Типовой расчет цепи

Пример выполнения типового расчета 3 Типовой расчет соответствует разделу программы Переходные процессы в линейных электрических цепях. Классический метод расчта переходных процессов. Задание для контрольной работы генерируется ЭВМ каждому студенту индивидуально. Распечатка одного из вариантов задания представлена на рис. 10. В типовом расчете необходимо 1. Записать шифр задания и вклеить листок с распечаткой задания

в контрольную работу. 2. Получить и записать исходные данные контрольной работы по распечатке, начертить схему цепи. 3. Рассчитать классическим методом переходные процессы по току в индуктивности и по напряжению на мкости . 4. По результатам расчтов построить графики переходных процессов Рассмотрим выполнение варианта типового расчета, представленного на рис. 3.10, с необходимыми комментариями 1. Шифр задания 13040616 записан на карточке слева.

2. Для получения исходных данных контрольной работы необходимо изобразить схему электрической цепи. Для этого вместо R1, R2, R3 на графической части листка с заданием начертить активные сопротивления, вместо С мкость, вместо L индуктивность, вместо Е источник ЭДС. Ключ К2 должен находиться в положении 1. Коммутация происходит путм размыкания ключа К1. Величины сопротивлений заданы в строке ПАРАМЕТРЫ листка, величины индуктивностей и мкостей в строке

КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД r1100 Oм, r224 Oм, r321 Oм, L33 мГн, С0,53 мкФ. Для всех вариантов задания B. Схема электрической цепи приведена на рис. 3. Расчт переходного процесса классическим методом сводится к непосредственному решению дифференциальных уравнений, описывающих цепь. Известно, что решение дифференциального уравнения имеет две составляющие. Это частное решение неоднородного и общее решение однородного дифференциальных уравнений.

В электротехнике указанные составляющие называются принужднной и свободной. Принужднная составляющая переходного процесса, или установившийся режим, рассчитывается в цепи после коммутации изученными ранее методами расчта цепей. Свободная составляющая переходного процесса определяется корнями характеристического уравнения. Расчт переходного процесса классическим методом производится в следующем порядке - рассчитывается цепь

до коммутации для определения независимых начальных условий - рассчитываются установившийся режим после коммутации - составляется характеристическое уравнение цепи и определяются его корни - записываются общее решение для свободных составляющих и полное выражение для переходного процесса искомой величины как сумма принужднной и свободной составляющих - рассчитываются необходимые зависимые начальные условия и определяются постоянные интегрирования - найденные постоянные интегрирования подставляются в полное

решение. Расчт переходных процессов в цепи, представленной на рис. 3.11, произведм в предложенном порядке. Начальные условия это значения токов в ветвях, напряжений на элементах цепи, их производных любого порядка в момент коммутации. Различают независимые и зависимые начальные условия. К независимым начальным условиям относятся ток в индуктивности и напряжение на мкости, так как они

в момент коммутации не могут измениться скачком. Это определяется законами коммутации Остальные начальные условия относятся к зависимым. До коммутации в рассматриваемом варианте цепи отсутствует мкость е зажимы закорочены ключом К1. Следовательно, напряжение на мкости до коммутации будет равно нулю и, согласно закону коммутации, не изменится непосредственно после размыкания ключа 0.

Расчт тока в индуктивности до коммутации проведм по схеме электрической цепи, представленной на рис. 3.12. Так как в цепи включн источник синусоидального напряжения, расчт проводим символическим методом. Реактивное сопротивление индуктивности Ом. Реактивное сопротивление мкости Ом. Комплексное сопротивление цепи относительно источника Ом. Комплексная амплитуда тока в цепи источника определится по закону

Ома А. Комплексную амплитуду тока в ветви с индуктивностью определим по правилу плеч А. Мгновенное значение тока в цепи с индуктивностью запишется в виде А. Полагая в последнем выражении t 0 , получим величину тока в индуктивности непосредственно перед коммутацией А. По законам коммутации ток в индуктивности не может измениться скачком. Следовательно, А. Принужднные составляющие тока в индуктивности и напряжения на мкости определим по

схеме цепи на рис. 11. Комплексное сопротивление цепи относительно источника Ом. Комплексная амплитуда тока в ветви источника определится по закону Ома А. Комплексную амплитуду тока в ветви с индуктивностью определим по правилу плеч Мгновенное значение тока в индуктивности, т.е. искомая принужднная составляющая, запишется в виде А. Комплексную амплитуду тока в цепи с мкостью определим по правилу плеч

Комплексная амплитуда напряжения на мкости определится по закону Ома В. Мгновенное значение напряжения на мкости, т.е. искомая принужднная составляющая, запишется в виде В. Характеристическое уравнение цепи составляется по дифференциальному уравнению, описывающему цепь. Можно также составить характеристическое уравнение через входное сопротивление. Для этого в цепи после коммутации исключают источники вместо источников необходимо включить их внутренние

сопротивления. В полученной пассивной цепи разрывают любую ветвь и относительно разрыва записывают комплексное входное сопротивление . В выражении заменяют на . Выражение приравнивают к нулю. Для рассматриваемого варианта задания в цепи на рис 3.11 замыкаем накоротко зажимы источника ЭДС. Разрываем ветвь с мкостью. Комплексное входное сопротивление относительно разрыва запишется в виде . Полагая в последнем выражении , получим 0. После выполнения алгебраических преобразований получим

характеристическое уравнение второго порядка . Подставляя численные значения параметров цепи, находим . Корни уравнения По виду корней характеристического уравнения записывается свободная составляющая переходного процесса. Так как число корней равно двум и они действительные, то . Для случая комплексно-сопряжнных корней или . Полный переходной ток в индуктивности равен сумме принужднной и свободной составляющих А. В последнем уравнении неизвестными являются и , следовательно, для их однозначного

определения необходимо второе уравнение. Получим его дифференцированием первого . Полагая в вышеприведнных уравнениях , получим Производная тока в индуктивности в момент коммутации относится к зависимым начальным условиям. Для определения зависимых начальных условий составим систему уравнений по законам Кирхгофа для момента времени послекоммутационной схемы Подставляя численные значения найденных ранее независимых начальных условий , и значение , получим

Ас. Тогда уравнения для определения постоянных интегрирования примут вид . Постоянные интегрирования будут равны . Окончательное выражение для переходного тока в индуктивности запишется в виде А. Переходной процесс по напряжению на мкости рассчитывается аналогично. Записываем выражение для как сумму двух составляющих . Принужднная составляющая переходного процесса определена выше.

Свободную составляющую ищем в виде суммы двух экспонент. С учтом этого . Второе уравнение, необходимое для однозначного определения постоянных интегрирования, получим дифференцированием первого . Полагая в обоих уравнениях , получим Производная напряжения на мкости в момент коммутации относится к зависимым начальным условиям. Определим е значение по выражению . Значение определим из системы уравнений по законам

Кирхгофа для момента времени , записанной выше. Тогда Вс. Уравнения для определения постоянных интегрирования примут вид . Решая полученную систему уравнений, определим постоянные интегрирования Окончательное выражение для переходного напряжения на мкости В. При построении графиков переходных процессов прежде всего необходимо определить их длительность.

Теоретически переходные процессы длятся бесконечно долго, практически же оканчиваются за время, равное трм постоянным времени . За это время свободная составляющая переходного процесса будет иметь значение, составляющее 5 от значения при . Постоянная времени определяется как величина, обратная минимальному по модулю корню характеристического уравнения с. Следовательно, длительность переходного процесса для рассматриваемой задачи с. Графики переходных процессов и представлены соответственно на рис.

3.13 и 3.14. Опреаторный метод Типовой расчет соответствует разделу программы Переходные процессы в линейных электрических цепях. Операторный метод расчта переходных процессов. Задание для типового расчета генерируется ЭВМ каждому студенту индивидуально. Распечатка одного из вариантов задания представлена на рис.3.10. В типовом расчете необходимо 1. Записать шифр задания.

2. Получить и записать исходные данные типового расчета по распечатке, начертить схему цепи. 3. Рассчитать операторным методом переходные процессы по току в индуктивности и по напряжению на мкости . 4. По результатам расчтов построить график переходных процессов. Рассмотрим выполнение варианта типового расчета, представленного на рис. 3.10, с необходимыми комментариями 1. Шифр задания 13040616 записан на карточке слева.

2. Для получения исходных данных типового расчета необходимо изобразить схему электрической цепи. Для этого вместо R1, R2, R3 на графической части листка с заданием начертить активные сопротивления, вместо С мкость, вместо L индуктивность, вместо Е источник ЭДС. Ключ К1 должен быть разомкнут. Коммутация происходит путм переключения ключа К2 из положения 1 в положение 2. Величины сопротивлений заданы в строке

ПАРАМЕТРЫ листка, величины индуктивностей и мкостей в строке ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД 100 Oм, r2 24 Oм, r3 21 Oм, L 10 мГн, С 0,54 мкФ. Для всех вариантов задания Е 100 B. Схема электрической цепи приведена на рис. 4.1. 3.Расчт переходных процессов операторным методом основан на использовании преобразования Лапласа. Это позволяет перейти от непосредственного решения дифференциальных уравнений, описывающих

цепь во временной области, к решению алгебраических уравнений в области изображений. Расчт переходных процессов операторным методом производится в следующем порядке - рассчитывается цепь до коммутации с целью определения независимых начальных условий - составляется операторная схема замещения цепи - производится расчт операторной схемы замещения, в результате чего определяются изображения по Лапласу искомых функций - на основе обратного преобразования

Лапласа от найденных изображений переходят к оригиналам. Расчт переходных процессов в цепи, представленной на рис. 4.1, произведм в предложенном порядке. До коммутации в цепи был включн источник постоянного напряжения. На постоянном токе индуктивность обладает нулевым сопротивлением, а мкость бесконечно большим. В эквивалентной схеме цепи для расчта независимых начальных условий, изображнной на рис.

4.2, реактивные элементы показаны как короткое замыкание и обрыв. Ток в цепи с индуктивностью определится выражением А. Напряжение на мкости В. Согласно законам коммутации, ток в индуктивности и напряжение на мкости в момент коммутации не могут измениться скачком. Следовательно, А В. При составлении операторной схемы замещения все элементы цепи замещаются их операторными эквивалентами.

Так, индуктивность замещается операторным индуктивным сопротивлением pL, мкость операторным мкостным сопротивлением 1pС активное сопротивление не изменяется. При этом ненулевые начальные условия учитываются в цепях с индуктивностью и с мкостью дополнительными источниками ЭДС. рис 4.3. Операторная схема замещения послекоммутационной цепи для рассматриваемого примера, построенная в соответствии с изложенным выше, приведена на рис.

4.4. Для расчта операторной схемы замещения может быть применн любой известный метод метод узловых потенциалов, метод наложения, метод контурных токов и т.д. Однако целесообразно использовать метод контурных токов, который при надлежащем выборе независимых контуров обеспечивает наиболее быстрое получение конечного результата. Выберем независимые контуры таким образом, чтобы общая ветвь содержала только сопротивление .

Тогда контурные токи и будут равны изображениям токов в мкости и в индуктивности. Уравнения, описывающие цепь на рис. 4.4 по методу контурных токов, запишутся в виде . Решая полученную систему с помощью определителей, получим . Разделив числитель и знаменатель в двух последних выражениях на и подставив численные значения, получим . мкость на операторной схеме замещения цепи изображается операторным сопротивлением и источником

ЭДС, учитывающим ненулевые начальные условия. Поэтому выражение для операторного напряжения на мкости запишется в виде . После подстановки получим . Для перехода от найденных операторных изображений токов и напряжений к оригиналам воспользуемся теоремой разложения. Если изображение по Лапласу искомой зависимости представлено в виде отношения двух полиномов , то оригинал находится по выражению , где - -й корень характеристического уравнения

Np0 n порядок характеристического уравнения - производная полинома . Для тока в индуктивности запишем 0,826р13735 18970p . Решая характеристическое уравнение 18970p 0, находим два корня и . При этом ток в индуктивности в соответствии с теоремой разложения запишется в виде . Коэффициенты при экспонентах в случае комплексно сопряжнных корней тоже будут комплексно сопряжнными,

поэтому при суммировании мнимая часть будет равна нулю и ток можно определить как удвоенное значение вещественной части первого или второго слагаемых После подстановки в последнее выражение численных значений получим А. Переходное напряжение на мкости вычислим, используя полученное раньше изображение и свойство линейности преобразования Лапласа. Сумме изображений будет соответствовать сумма оригиналов . Введм обозначения . Изображению в области оригиналов будет соответствовать константа .

Оригинал определим, используя теорему разложения. Характеристическое уравнение имеет три корня . Следовательно После подстановки численных значений и выполнения всех преобразований получим В. Складывая и , находим полное переходное напряжение на мкости В. Длительность переходного процесса равна трм постоянным времени.

Постоянная времени определяется как величина, обратная действительной части корня характеристического уравнения. Графики переходных процессов по току в индуктивности и по напряжению на мкости представлены соответственно на рис. 4.5 и 4.6.