Системы уравнений полевой теории стационарных электромагнитных явлений

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПОЛЕВОЙ ТЕОРИИ СТАЦИОНАРНЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ Сидоренков В.В. МГТУ им. Н.Э. Баумана Полевая концепция природы электричества является фундаментом классической электродинамики и базируется на признании факта взаимодей-ствия разнесенных в пространстве электрических зарядов посредством элек-тромагнитных (ЭМ) полей. Покажем, что уравнения полевой теории стацио-нарных явлений электромагнетизма можно получить гипотетически,

ориен-тируясь всего лишь на несколько основных эмпирических законов в этой об-ласти знаний. Исходным эмпирическим законом в учении об электричестве, как из-вестно [1], является закон Кулона взаимодействия неподвижных точечных электрических зарядов, на основе которого цепочкой физически логичных рассуждений составим систему последовательно связанных между собой по-левых уравнений электростатики: (a) , (b) , (1) (c) , (d) , где и - абсолютные диэлектрическая и магнитная проницаемо-сти среды, соответственно.

Здесь в первом уравнении (1a) аналитически сформулировано прямое следствие формулы закона Кулона – условие потен-циальности электростатического поля. В следующем уравнении (1b) рас-сматривается математическое свойство структуры поля взаимодействия за-рядов в законе Кулона , когда поток такого поля через произвольную замкнутую поверхность равен константе (так называемая теорема Гаусса). Физически это уравнение описывает следствие явления электрической поля-

ризации, в виде отклика материальной среды на наличие в данной точке сто-роннего электрического заряда ( – объемная плотность стороннего заряда) либо на воздействие внешнего электрического поля ( ). Поскольку ди-вергенция ротора любого векторного поля тождественно равна нулю, то из уравнения (1b) для областей среды с локальной электронейтральностью ( ) непосредственно следует третье уравнение (1c), показывающее, что эффект электрической поляризации материальной среды принципиально со-провождается

вихревым полем электрического векторного потенциала . Последнее уравнение (1d) – это условие кулоновской калибровки, обеспечи-вающее чисто вихревой характер поля вектора . Как видим, уравнения обсуждаемой системы рассматривают такие об-ласти пространства, где присутствует только статическое электрическое по-ле, структурно реализуемое, согласно уравнению (1c), двумя векторными взаимно ортогональными полевыми компонентами: электрической напря-женностью и векторным

электрическим потенциалом . Формально пра-во на существование именно такой структуры электрического поля иллюст-рируется логикой проведенных рассуждений и видом полученных уравне-ний, однако однозначным аргументом объективности данного факта служит следующее из уравнений (1) соотношение энергетического баланса для пото-ка электрической энергии: (2) Следовательно, перенос извне в данную точку пространства потока электрической энергии (левая часть соотношения (2)) действительно осуще-ствляется двумя взаимно

ортогональными векторными компонентами элек-трического поля посредством потокового вектора , что и обеспечивает энергетику процесса электрической поляризации среды (правая часть соот-ношения (2)). Продолжим далее нашу цепочку логических рассуждений, позволяю-щую получить теперь систему последовательно связанных между собой по-левых уравнений, описывающих посредством статического ЭМ поля дисси-пативный процесс стационарной электрической проводимости в материаль-ной среде: (a) ,

(b) , (3) (c) , (d) , где - удельная электрическая проводимость. Здесь в первом уравне-нии (3a) математически сформулировано условие потенциальности электри-ческого поля, существующего в проводнике при наличии в нем электриче-ского тока. Второе уравнение (3b) является аналитической записью фунда-ментального постулата - закона сохранения электрического заряда для слу-чая стационарной электропроводности и, согласно закону

Ома , описывающее характер поведения электрического поля в проводя-щей среде. В частности, это уравнение показывает, что в рамках закона Ома электропроводности однородный проводник с постоянным током локально электронейтрален ( ). А поскольку дивергенция ротора векторного поля тождественно равна нулю, то из уравнения (3b) непосредственно полу-чаем третье уравнение (3c), показывающее, что процесс электропроводности принципиально сопровождается

вихревым магнитным полем напря-женности , охватывающим линии этого тока. Четвертое уравнение (3d) фи-зически представляет собой магнитный аналог теоремы Гаусса, хотя матема-тически это условие кулоновской калибровки, обеспечивающее чисто вихре-вой характер поля вектора . Таким образом, уравнения системы (3) описывают свойства статиче-ского ЭМ поля, представленного, согласно уравнению (3c), двумя векторны-ми взаимно ортогональными полевыми

компонентами: электрической и магнитной напряженностями. Объективность существования такой струк-туры ЭМ поля иллюстрируется видом уравнений этой системы, где главным физическим аргументом однозначности такого вывода служит следующее из этих уравнений соотношение баланса для потока ЭМ энергии: (4) Видно, что перенос в пространстве потока ЭМ энергии принципиально реализуется посредством обеих компонент

ЭМ поля в виде потокового век-тора Пойнтинга . Этот поток, поступая извне в данную точку провод-ника (левая часть соотношения (4)), идет на компенсацию джоулевых потерь в процессе электропроводности, обусловленных выделением тепла в провод-нике, что описывается законом Джоуля-Ленца (правая часть (4)). Данный во-прос наиболее последовательно исследован (вплоть до построения картины “силовых” линий вектора Пойнтинга у поверхности проводника с током) в учебном пособии по электродинамике

Зоммерфельда [2]. Необходимо отметить, что, несмотря на наличие в проводнике с током ЭМ поля с компонентами электрической и магнитной напряженности, вследствие чего проводник обладает электрической и магнитной энергиями, из уравнений системы (3) не следуют для этих энергий соотношения баланса, аналогичные соотношению (2) потока электрической энергии. Структурно уравнения ЭМ поля (3) не способны в принципе описать потоки электриче-ской или магнитной энергий ввиду отсутствия

в них вторых компонент соот-ветствующих полей. Например, для компоненты нужна также еще и ком-понента , а это уже электрическое поле, уравнения которого представлены системой (1). Здесь, безусловно, видна общность обсуждаемых систем урав-нений (1) и (3). Вернемся снова к нашей цепочке логических рассуждений с целью по-лучить теперь систему уравнений магнитостатического поля, позволяющих описать процессы магнитной поляризации (намагничивания) материальной среды: (a) ,

(b) , (5) (c) , (d) . Первое уравнение (5a) показывает, что в рамках представлений клас-сической электродинамики все магнитные явления имеют токовую природу, то есть вихревое магнитное поле напряженности в магнитостатике прин-ципиально порождается процессом электропроводности . Второе уравнение (5b) физически представляет собой магнитный аналог теоремы Гаусса, описывающей следствия магнитной поляризации среды под действи-ем внешнего магнитного поля, однако

формально математически его можно назвать условием кулоновской калибровки, обеспечивающее чисто вихревой характер поля вектора . Соответственно, третье уравнение (5c) напрямую следует из уравнения (5b) и показывает, что процесс магнитной поляризации (намагничивания) принципиально сопровождается вихревым полем вектор-ного магнитного потенциала . Чисто вихревой характер поля вектора обеспечивается условием кулоновской калибровки посредством дивергент-ного уравнения (5d).

Таким образом, уравнения системы (5) описывают свойства и поведе-ние в материальных средах статического магнитного поля, структурно реа-лизуемого, согласно уравнению (5c), двумя векторными полевыми компо-нентами: магнитной напряженностью и векторным магнитным потенциа-лом . Объективность существования именно такой структуры магнитного поля иллюстрируется видом уравнений системы (5), откуда следует главный и однозначный аргумент реальности данного физического факта - соотноше-ние

баланса для потока магнитной энергии: , (6) описывающее энергетику процесса магнитной поляризации матери-альной среды. Как видим, перенос извне в данную точку пространства потока магнитной энергии (левая часть соотношения (6)) действительно осуществ-ляется двумя взаимно ортогональными полевыми компонентами магнитного поля посредством потокового вектора . При этом намагничивание материальной среды реализуется двумя способами: как посредством воздей-ствия на среду поля магнитной напряженности (второе слагаемое правой час-ти

соотношения (6)), так и за счет процесса электрической проводимости в среде (первое слагаемое правой части (6)). Полученные выше системы уравнений электростатического (1) и маг-нитостатического (5) полей позволяют теперь, по существу формально, из уравнений (1c), (1d) и из (5c), (5d) составить еще одну систему полевых урав-нений, в которых рассматриваются свойства статического вихревого поля ЭМ векторного потенциала с электрической и магнитной компонен-тами, реализация которых физически обусловлена

процессами соответствен-но процессами электрической и магнитной поляризации материальных сред: (a) , (b) , (7) (c) , (d) . Здесь дивергентные уравнения (7b) и (7d) математически это калибровки, обеспечивающие чисто вихревой характер компонент поля ЭМ векторного потенциала. Очевидно, что данная система уравнений представ-ляют собой основу для физической интерпретации поля ЭМ векторного по-тенциала, выяснения его роли и места в явлениях электромагнетизма.

Объек-тивность существования именно такой структуры указанного поля иллюст-рируется видом уравнений системы (7) и следующим из них соотношением баланса: , (8) описывающим, судя по размерности потокового вектора , про-цесс передачи материальной среде момента ЭМ импульса. В качестве наглядного примера серьезного прогресса в концептуаль-ном развитии основ теории электричества рассмотрим использование пред-ставленных здесь результатов для изучения процесса стационарной

электро-проводности в металле - уникальном объекте, где указанный процесс, как будет показано ниже, порождает все обсуждаемые здесь явления электромаг-нетизма. Стремление описать эту конкретную ситуацию естественно скажет-ся на облике полученных систем уравнений и на их основе соотношений ба-ланса, но их математическая структура и базовое физическое содержание при этом, безусловно, останутся неизменными. Так, например, при неизменной структуре уравнений электростатики

(1) соотношение баланса электрической энергии (2) ввиду особой специфики физического механизма электрической поляризации проводника действием электрического тока [3] примет несколько иной вид: , где – постоянная времени релаксации заряда в проводя-щей среде. При этом внешний вид систем уравнений ЭМ поля (3) и магнито-статики (5) и следствий из них (4) и (6) останутся неизменными и не потре-буют комментариев, поскольку тождественны обсуждаемой ситуации.

На-против, в случае использования системы (7) для описания статического поля ЭМ векторного потенциала, созданного в проводнике постоянным током, роторные уравнения (7a) и (7с) этой системы определенно модифицируются и представятся как: (a) , (b) , (9) (c) , (d) . Отсюда непосредственно получаем и модификацию соотношения (8) баланса передачи момента ЭМ импульса проводнику с током . (10) Как видим, процесс электрической проводимости имеет полевое кон-

тинуальное воплощение, что является принципиальным дополнением и рас-ширением узких рамок формализма традиционных локальных представлений о данном явлении. Безусловным аргументом справедливости такого вывода служат потоки электрической (2) и магнитной (6) энергий, ЭМ энергии ком-пенсации джоулевых потерь (4) и потока момента ЭМ импульса (10), посту-пающие в проводник в указанном процессе.

Важно здесь и то, что все эти по-токи неразрывно связаны между собой и существуют одновременно, то есть именно их совокупность обуславливает феномен электропроводности мате-риальных сред. Кстати, углубление в рамках классической электродинамики физических представлений о процессе стационарной электрической прово-димости в металле и их современное полевое развитие подробно рассматри-вается в работе [3]. Таким образом, в общем виде и на конкретном примере установлено существование в

Природе структурно сложного векторного поля, которое с концептуальной точки зрения условно назовем единое электродинамическое поле. Согласно уравнениям системы (7), оно базируется на поле ЭМ вектор-ного потенциала с взаимно ортогональными электрической и магнитной компонентами, существование которого в свою очередь реализует функ-ционально связанные с ним и другие составляющие единого поля: ЭМ поле с компонентами электрической и магнитной напряженности, электриче-ское поле с компонентами

и , и, наконец, магнитное поле с компонен-тами и . Анализ полученных здесь систем стационарных полевых урав-нений электромагнетизма убедительно показал, что структура вышеназван-ных полей из двух векторных взаимно ортогональных компонент – это объ-ективный способ существования составляющих единого электродинамиче-ского поля, принципиальная и единственная возможность их распростране-ния посредством потока соответствующей физической величины.

В этой свя-зи отметим, что концепция единого электродинамического поля применима ко всем известным в настоящее время ЭМ явлениям и процессам, но наибо-лее ярко и физически перспективно проявляет себя в динамических явлениях, обусловленных действием переменного во времени указанного поля, систе-мы уравнений описания которого представлены в работе [4]. Литература: 1. Матвеев А.Н. Электродинамика. М.: Высшая школа,

1980. 383 с. 2. Зоммерфельд А. Электродинамика. М.: ИЛ, 1958. 504 с. 3. Сидоренков В.В. Развитие физических представлений о процессе электри-ческой проводимости в металле // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Ес-тественные науки. 2005 № 2 С. 35-46. 4. Сидоренков В.В. Обобщение физических представлений о векторных по-тенциалах в классической электродинамике // Вестник МГТУ им. Н.

Э. Бау-мана. Сер. Естественные науки. 2006 № 1 С. 28-37.