Релятивисткие частицы

Министерство образования Российской Федерации Иркутский государственный университет кафедра теоретической физики зав. кафедрой профессор А.Н. Валл курсовая работа релятивистские частицы с внутренним моментом во внешнем электромагнитном поле Руководитель профессор Валл А.Н. Студент группы 1311 Козлов Даниил Анатольевич Работа защищена с оценкой 2002 г. Протокол Нормоконтролер

В.М. Персиков Иркутск 2002 г. реферат В курсовой работе рассматривается получение уравнений движения релятивистской частицы в линейном по спину приближении. Показано, что сила, действующая на спин во внешнем электромагнитном поле и соответствующая гамильтониану взаимодействия спина с полем в c-2 приближении, имеет нековариантный вид. Однако, при переопределении координаты x частицы, входящей в ковариантное уравнение для силы, ковариантный

формализм приводит к правильному результату. На простом примере свободной частицы со спином 12 показано происхождение соотношения, связывающего обычную координату частицы r с координатой x. Приведены нековариантные уравнения движения частицы со спином в электромагнитном поле и уравнение прецессии спина во внешнем поле. содержание введение 3 Глава 1. уравнения движения частицы в электромагнитном поле 1. Классическая частицы в электромагнитном поле 4 1.2.

Частица с внутренним моментом во внешнем электромагнитном поле 3. Координата и спин 4. Нековариантный формализм 8 заключение 10 список использованных источников 11 введение Целью данной работы является рассмотрение движения релятивистских частиц с внутренним моментом спином во внешнем электромагнитном поле. Курсовая работа носит реферативный характер и основана на материале обзорной статьи А.А. Померанского, Р.А. Сенькова, И.

Б. Хриплович Релятивистские частицы с внутренним моментом во внешних полях, УФН, т.170, 10. Задача о движении частицы со спином во внешнем поле включает две части 1 описание прецессии спина и 2 учет влияния спина на траекторию движения частицы. Полное решение задачи для внешнего электромагнитного поля в низшем неизчезающем порядке по c-2 было дано в 1. Прецессия гироскопа в центрально-симметричном поле в том же приближении была рассмотрена

в 2. Позднее была исследована прецессия спина для гравитационного спин-спинового взаимодействия 3. Релятивистская задача о прецессии спина во внешнем электромагнитном поле была полностью решена в 1926 4, а затем в более удобном формализме с использованием ковариантного вектора спина 5. Ситуация со второй частью задачи иная. Ковариантные уравнения движения для релятивистской частицы со спином в электромагнитном поле были получены в 4, а для случая гравитационного поля в 6.

Эти уравнения неоднократно обсуждались впоследствии с разных точек зрения в многочисленных статьях. Вопрос о влиянии спина на траекторию частицы во внешних полях представляет не только теоретический интерес. В частности, он привлекает внимание в связи с описанием движения релятивистских частиц в накопителях 7. Вопрос о возможности наблюдения на практике спиновых поправок к уравнениям движение элементарных частиц до сих пор активно обсуждается. Так, в одной из работ утверждается, что эта возможность подкрепляется

численными расчетами. Более того, зависящие от спина корреляции в дифференциальных сечениях процессов рассеяния, несомненно, существуют. Однако в данной курсовой работе этот аспект проблемы не освещается. Глава 1. уравнения движения частицыв электромагнитном поле 1. Классическая частица в электромагнитном поле В классической электродинамике внешнее электромагнитное поле описывается четырехмерным потенциалом , где ц скалярный потенциал, а трехмерный вектор

A векторный потенциал поля. Гамильтониан взаимодействия частицы имеет вид 8 H . 1.1 В этом случае уравнения движения заряженной частицы в электромагнитном поле можно записать в виде , 1.2 здесь E и B напряженности электрического и магнитного поля соответственно. Стоящее справа выражение называется силой Лоренца. Первая е часть сила, с которой действует электрическое поле на заряд, не зависит от скорости частицы.

Вторая часть сила, оказываемая магнитным полем на заряд, пропорциональна скорости заряда. Силу Лоренца можно переписать в ковариантном виде , где безразмерная величина 4-скорость в классическом приближении , антисимметричный тензор 4-тензор электромагнитного поля. Таким образом, в классической электродинамике не учитывается наличие спина у заряженной частицы. Однако, при рассмотрении классической частицы можно, учитывая релятивистские поправки к гамильтониану,

получить члены, зависящие от спина. 2. Частица с внутренним моментом во внешнем электромагнитном поле Взаимодействие спина с внешним электромагнитным полем с точностью до членов порядка c-2 включительно описывается следующим гамильтонианом 9 H , 1.3 здесь e, m, s и p заряд, масса, спин и импульс частицы соответственно g гиромагнитное соотношение для электрона g2. Следует отметить, что структура второго слагаемого в этом выражении не только надежно установлена теоретически,

но и подтверждена с высокой точностью эксперементально в атомной физике. Попробуем построить ковариантное уравнение движения с учетом спина, которое в том же приближении воспроизводило бы силу 1.4 соответствующую гамильтониану 1.3 запятая в индексе означает частную производную. Ковариантная поправка f м к силе Лоренца должна быть линейной по тензору спина Sмн и градиенту тензора электромагнитного поля Fмн,л она может зависеть также от 4-скорости uм.

Из указанных тензоров можно построить лишь две независимые структуры, удовлетворяющие условию uм f м 0. Первая из них в c-2-приближении сводится к , 1.5 а вторая к . 1.6 Очевидно, никакая линейная комбинация 1.5 и 1.6 не может воспроизвести правильное выражение 1.4 для силы, зависящей от спина 9. Почему правильная в c-2-приближении формула 1.4 не может быть получена из ковариантного выражения для силы Слагаемое в 1.4, пропорциональное g-фактору легко воспроизводится

линейной комбинацией 1.5 и 1.6. Иными словами, не представляет труда записать в ковариантной форме слагаемые, описывающие, так сказать, прямое взаимодействие магнитного момента с внешними полями. Напротив, слагаемое в 1.4, не зависящее от g-фактора и соответствующее томасовой прецессии, не может быть записано в ковариантной форме. Безусловно, для частиц с произвольными скоростями томасова прецессия может быть описана и вне рамок c-2-приближения. Под нековариантностью понимается отличие закона преобразования

от тензорного. Разумеется, нековариантность уравнений не означает, что физические наблюдаемые имеют неправильные трансформационные свойства. Достаточно вспомнить электродинамику в кулоновской калибровке. 1.3. Координата и спин Ковариантный формализм приводит к правильным результатам, если координата x частицы, входящая в ковариантное уравнение, связана с обычной координатой r в c-2-приближении следующим образом . 1.7 Обобщение этой подстановки на случай произвольных скоростей частиц .

1.8 Очевидно, что при зависящей от скорости подстановке лагранжиан начинает явно зависеть от ускорения, что не позволяет применить стандартный гамильтонов подход. Существенным преимуществом использования координаты r является возможность применения гамильтонова формализма. Между тем, прецессию спина частицы в отличие от влияния спина на траекторию можно описывать в ковариантной форме 4,5, не заботясь об определении координаты частицы.

Это возможно по нескольким причинам. Во-первых, ковариантные уравнения прецессии спина частицы , 1.9 где Sм 4-вектор спина, написаны в квазиклассическом приближении, т.е. в пренебрежении зависимостью внешних полей от координат. Во-вторых, уравнения 1.9 линейны и однородны по спину. Поэтому, даже если выйти за рамки квазиклассического подхода, но остаться в линейном по спину приближении, использование обычной координаты r, которая отличается от координаты x только членами, пропорциональными

s, будет полностью законным. Соотношение 1.7 справедливо и для свободной частицы. Проследим его происхождение на простом примере свободной частицы со спином 12. Здесь вместо представления Дирака, где гамильтониан имеет стандартный вид H D бp вm, 1.10 удобнее использовать представление Фолди-Ваутхойзена, в котором гамильтониан H FW в , 1.11 а 4-компонентные волновые функции состояний

с положительной и отрицательной энергиями сводятся фактически к 2-компонентным спинорам. Очевидно, что в представлении Фолди-Ваутхойзена оператор координаты , определяемый обычным соотношением шr rшr 1.12 это просто r. Переход от точного уравнения Дирака во внешнем поле к его приближенной форме, содержащей только поправку первого порядка по c-2, осуществляется именно посредством преобразования Фолди-

Ваутхойзена. Поэтому в возникающем гамильтониане первого порядка по c-2 координата электрона с учетом спина это та же самая координата r, что и в полностью нерелятивистском случае. Никто не делает подстановку 1.7 в кулоновском потенциале, рассматривая спин-орбитальное взаимодействие в атоме водорода. Еще один предельный случай, представляющий особый интерес, это классическая релятивистская частица с внутренним моментом. Такая частица в действительности является хорошо локализованным волновым

пакетом, построенным из состояний с положительными энергиями, т.е. она естественным образом описывается в представлении Фолди-Ваутхойзена. Поэтому именно r естественно считать координатой релятивистской частицы с внутренним моментом. Определенная тонкость здесь связана с тем, что в представлении Дирака оператор недиагонален. Однако операторные уравнения движения выглядят одинаково в представлениях Дирака и Фолди-Ваутхойзена. Соответственно, и квазиклассическое приближение к ним одно и то же.

В частности, произвдные по времени в левой части уравнения берутся от той же самой координаты r, которая служит аргументом полей в правой части этих уравнений. Что же касается ковариантного оператора , то наиболее просто он выглядит в представлении Дирака 1.13 где rD оператор, действующий на волновую функцию в представлении Дирака по закону 1.12. Перепишем оператор в представлении

Фолди-Ваутхойзена. Матрица преобразования Фолди-Ваутхойзена имеет вид . 1.14 Вычисления, которые удобно проводить в импульсном представлении, где , дают выражение , 1.15 где 1.16 релятивистский оператор спина. Заметим, что разные компоненты релятивистского оператора координаты 1.15 не коммутируют между собой. Если ограничиться пространством состояний с положительной энергией, то в 1.15 можно положить в1 и отбросить члены, содержащие бi.

Таким образом, мы приходим к соотношению 1.7. 1.4. Нековариантный формализм Правильные уравнения движения в электромагнитном поле с учетом спина в первом порядке известны давно 7. Хотя эти уравнения полностью релятивистские, они нековариантны и основаны на исходном физическом определении спина. Согласно этому определению спин это трехмерный вектор s или трехмерный антисимметричный тензор smn внутреннего момента, заданный в системе покоя частицы.

Ковариантный вектор спина Sм или ковариантный антисимметричный тензор Sмн получается из s или smn просто преобразованием Лоренца. Кстати, преимущество такого подхода состоит в том, что условия uмSм 0 и uмSмн 0 выполняется тождественно. Частота прецессии спина s при произвольной скорости частицы хорошо известна см. 8 1.17 Соответствующий лагранжиан взаимодействия лагранжево описание здесь несколько удобнее, чем гамильтоново

равен L Щs. 1.18 Уравнение движения для координаты частицы имеет обычный вид , 1.19 где Ltot полный лагранжиан системы. Уравнение движения для спина частицы в общем виде таково , 1.20 где скобки Пуассона. Соответственно, в квантовой задаче . 1.21 заключение Было показано и получено на примере свободного электрона соотношение между координатой частицы, входящей в ковариантное уравнение для силы, и обычной координатой, при котором сила, соответствующая

правильному в c-2 приближении гамильтониану взаимодействия спина с полем, имеет ковариантный вид. Тем не менее, ковариантная формулировка уравнений движения релятивистской частицы со спином приводит к тому, что лагранжиан начинает явно зависеть от ускорения и стандартный гамильтонов подход применять нельзя. Приведены полностью релятивистские нековариантные уравнения движения частицы со спином в электромагнитном поле в линейном по спину приближении и уравнение прецессии спина во внешнем поле. список использованных

источников 1. Thomas L.H. Nature London 117 514 1926 Phylos. Mag. 3 1 1926 2. Fokker A.D. Kon. Akad. Weten. Amsterdam, Proc. 23 729 1921 3. Schiff L. Phys. Rev. Lett. 4 435 1959 4. Frenkel J.Z. Phys. 37 243 1926 5. Bargman V Michel L Telegdi V. Phys. Rev. Lett. 2 435 1959 6.

Papapetrou A. Proc. R. Soc. London Ser. A 209 248 1951 7. Дербенев Я.С Кондратенко А.М. ЖЭТФ 64 1918 1973 8. Ландау Л.Д Лифшиц Е.М. Теория поля М. Наука, 1988 9. Берестецкий В.Б Лифшиц Е.М Питаевский Л.П. Квантовая электродинамика М. Наука, 1989 10. Khriplovich I.B Pomeransky A.A.

Phys. Lett. A 216 7 1996 gr-qc9602004 11. Heinemann K. Preprint DESY 96-229 phys9611001