О физической значимости векторных потенциалов

О ФИЗИЧЕСКОЙ ЗНАЧИМОСТИ ВЕКТОРНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ В КЛАССИЧЕСКОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ В.В. Сидоренков Общепринято считать, что явления электромагнетизма физически пол-но представлены векторными электромагнитными полями, свойства которых исчерпывающе описываются системой электродинамических уравнений, сформулированных в окончательной форме Максвеллом [1]. При этом непо-средственно следующие из уравнений

Максвелла векторные потенциалы указанных полей как физическая реальность не рассматриваются, и им отво-дится роль вспомогательных математических функций, в ряде случаев суще-ственно упрощающих вычисления. Такой взгляд на векторные потенциалы обусловлен взаимно неоднозначной связью полей и их потенциалов, не до-пускающей прямых измерений последних, и, что еще более важно, использо-вание векторных потенциалов в рамках электромагнитных уравнений Мак-свелла не приводит в явном виде к дополнительным, не известным

прежде следствиям. Однако к настоящему времени исследованиями в области электродина-мики, квантовой механики, сверхпроводимости достоверно установлено, что в фундаментальных уравнениях должны фигурировать не поля, а именно их потенциалы. В частности, эффекты Ааронова-Бома, Джозефсона, Мейснера реализуются в поле магнитного векторного потенциала [2], проявляющего себя тем самым вполне наблюдаемой физической величиной.

Известно пред-ложение о применении поля указанного вектор-потенциала в технологиях обработки разного рода материалов [3]. Отметим также сообщение [4], где на основе формального использования представлений о векторных потенциалах металлического проводника с током сделано утверждение о том, что в про-водник при электропроводности вместе с потоком вектора электромагнитной энергии Пойнтинга поступают потоки чисто электрической и чисто магнит-ной энергии, момента электромагнитного

импульса, возникающие в таких условиях в электромагнитном поле. Таким образом, налицо серьезная про-блема, для решения которой необходимо должным образом проанализиро-вать известные либо сформулировать новые физические представления о ро-ли и месте векторных потенциалов в явлениях электромагнетизма. В настоящей работе проведена модификация уравнений электромаг-нитного поля Максвелла для электрического и магнитного векторных потен-циалов, и на основе анализа физического

содержания полученных уравнений показано, что, наряду с традиционными полями в электродинамике, их век-торные потенциалы являются полноправными физически значимыми поля-ми, существенно расширяющими представления об электромагнитных поле-вых процессах. Для решения поставленной задачи, прежде всего, рассмотрим саму сис-тему электродинамических уравнений Максвелла [5] в дифференциальной форме: , (1) включающую в себя материальные соотношения: (2) описывающие отклик среды на наличие в ней электромагнитных полей.

Здесь и - векторы напряженности электрического и магнитного полей, связанные посредством соотношений (2) с соответствующими векторами ин-дукции и , - вектор плотности электрического тока, ρ - объемная плот-ность стороннего заряда, ε0 и μ0 - электрическая и магнитная постоянные, σ, ε и μ - удельная электрическая проводимость и относительные диэлектри-ческая и магнитная проницаемость среды, соответственно.

Принципиальная особенность этих динамических релятивистски инвариантных уравнений (1) состоит в том, что в их структуре заложена отражающая обобщение опытных данных основная аксиома классической электродинамики - неразрывное единство переменных во времени электрического и магнитного полей. Фундаментальным следствием уравнений Максвелла является вывод о том, что описываемое ими электромагнитное поле перемещается в простран-стве в виде волн, скорость которых определяется лишь электрическими и магнитными

параметрами среды, заполняющей это пространство (например, в отсутствие поглощения). Совместное решение уравнений системы (1) по-зволяет также ответить на вопрос, что переносят эти волны и получить ана-литическую формулировку закона сохранения электромагнитной энергии: , (3) согласно которому поток электромагнитной энергии компенсирует в данной точке среды джоулевы (тепловые) потери при электропроводности и изменяет электрическую и магнитную энергию. При этом характеризующий энергетику данного факта вектор

Пойнтинга плотности потока электромаг-нитной энергии , связанный с вектором плотности электромагнитно-го импульса 2, отличен от нуля только там, где одновременно присутствуют электрическое и магнитное поля, векторы и которых не-коллинеарны. Таким образом, в рамках уравнений (1) в принципе невозможно пред-ставить раздельное существование чисто электрических либо магнитных волн, переносящих только электрическую или магнитную энергию. Кроме того, далеко не ясен вопрос о физической реализации момента импульса электромагнитного

поля, соответственно, переносящих его волн, и каким об-разом это явление соотносится с уравнениями Максвелла [6]. Чтобы аргу-ментированно прояснить сложившуюся ситуацию, рассмотрим далее вопрос о возможности модификации уравнений электромагнитного поля (1) в виде альтернативных им уравнений для электрического и магнитного векторных потенциалов. Понятие векторного потенциала следует из очевидного положения о том, что дивергенция ротора любого вектора тождественно равна нулю.

По-этому магнитный векторный потенциал определится посредством соот-ношения div = 0 системы электромагнитных уравнений Максвелла (1), а электрический - соотношением div = ρ этой системы при , описы-вающим поляризацию локально электронейтральной среды: (а) rot , (b) rot . (4) Однозначность функций векторного потенциала, то есть чисто вихре-вой характер такого поля, обеспечивается условием кулоновской калибровки: div = 0. Тогда подстановка соотношения для магнитного векторного потенциа-

ла (4a) в уравнение вихря электрической напряженности системы (1a) приво-дит к известной формуле [5] связи поля вектора указанной напряженности с магнитным вектор-потенциалом: , (5) описывающей закон электромагнитной индукции Фарадея. Отметим, что здесь не рассматривается электрический скалярный потенциал, формаль-но следующий из таких рассуждений: grad φe. Аналогичная подстановка соотношения для электрического векторного потенциала (4b) в уравнение вихря магнитной напряженности системы (1c) с учетом соотношений

(2) позволяет получить формулу связи поля этой на-пряженности с электрическим вектор-потенциалом: , (6) где τрел= εε0 /σ - постоянная времени релаксации электрического заряда в среде за счет электропроводности. Теперь можно убедиться, что результаты проведенных рассуждений действительно позволяют предложить альтернативу традиционной системе электромагнитных уравнений Максвелла (1). Используя формулы (4a) и (4b) связи полей индукции и их векторных потенциалов, имеем

при подстановке в них соотношений (5) и (6) систему динамических уравнений относительно полей только электрического и магнитного векторных потенциалов: (a) rot , (b) div , (7) (c) rot , (d) div . Неординарность уравнений системы (7) вполне очевидна, поскольку в каждом одном роторном уравнении поля векторного потенциала или содержится информация о свойствах обоих роторных уравнений электромаг-нитных полей и системы (1). Так, например, если взять ротор от элек-трического роторного уравнения (7a), то

после подстановки в его левую часть соотношения (4b), а в правую (4a) получается также “электрическое” роторное уравнение (1a). Теперь, если взять производную по времени ( t) от уравнения (7a) и использовать подстановки соотношений (5) и (6), то оно преобразуется в “магнитное” роторное уравнение (1c). Аналогичные дейст-вия с магнитным роторным уравнением (7c) дают в итоге роторные уравне-ния (1c) и (1а). Дивергентные уравнения системы (7) посредством дифферен-цирования их по времени преобразуются

в соответствующие уравнения сис-темы (1) при ρ = 0. Об исключительности уравнений векторных потенциалов говорит и тот факт, что дифференцирование по времени только магнитных уравнений сис-темы (7) преобразует ее с учетом вышеизложенного в новую систему уравне-ний относительно полей электрической напряженности и ее вектор-потенциала: (a) rot, (b) div , (8) (c) rot , (d) div. Соответственно дифференцирование по времени пары уравнений элек-трического векторного

потенциала в системе (7) преобразует ее в другую но-вую систему уравнений теперь уже относительно полей магнитной напря-женности и ее вектор-потенциала: (a) rot , (b) div , (9) (c) rot , (d) div . Сделаем общее для всех систем замечание о дивергентных уравнениях. Как уже говорилось, уравнение div = 0 являются калибровкой, обеспечи-вающей однозначность функции векторного потенциала , поэтому, соглас-но симметрии уравнений в рассматриваемых системах, другие дивергентные

уравнения: (1b) при , (1d), (8b) и (9b) математически также следует счи-тать соответствующими калибровками для функций вихревых полей и . С точки зрения эффективности анализа физического содержания всех представленных уравнений укажем на явную предпочтительность использо-вания в электродинамике системы единиц физических величин СИ в сравне-нии с абсолютной системой единиц СГС. Размерность в системе СИ множи-теля 0 в материальных соотношениях (2) для действительно

оп-равдана, поскольку тем самым объединяются физически различные электри-ческие величины: линейный (силовой) вектор напряженности и потоковый вектор смещения . Аналогично, в другом соотношении (2) размерная кон-станта 0 связывает линейные и потоковые векторные величины: . Напротив, в гауссовой системе единиц безразмерные коэффициенты 0 = 1 и 0 = 1 делают векторы и , и сущностно тождественными, что обедняет физическое содержание

соотношений электромагнетизма, оголяя в них формализм “математики”. Физические свойства указанных полей, акцен-тируемые системой СИ, наиболее полно отражены в электродинамических уравнениях Максвелла (1), где, и Максвелл это особо подчеркивал [1], опи-сываются вихри именно линейных векторов и , а дивергенция потоко-вых и . Кстати, векторные потенциалы и по определению явля-ются линейными векторами,

а векторы отклика среды на их воздействие и - потоковыми. Судя по симметрии, представленные здесь системы уравнений физиче-ски не менее значимы, чем традиционная система (1), поскольку в их струк-туре также заложено принципиальное неразрывное единство полей электри-ческого и магнитного векторных потенциалов в системе (7), полей электрической напряженности и ее вектор-потенциала в системе (8), и, наконец, полей магнитной напряженности и ее вектор-потенциала в системе

(9). При этом каждая из систем вполне автономна и самодостаточна при описании определенного класса физических явлений, строгое обоснова-ние достоверности которых возможно в рамках именно этой конкретной сис-темы электродинамических уравнений Максвелла, понимаемых теперь в зна-чительно более широком смысле. Как видим, полученные результаты несо-мненно перспективны в плане непосредственного развития физических пред-ставлений о роли и месте векторных потенциалов в явлениях электромагне-тизма.

Проведем анализ полученных выше систем уравнений, специфика ко-торых состоит в том, что, являясь модификацией уравнений Максвелла элек-тромагнитных полей, они справедливы теперь в таких областях пространст-ва, где присутствуют одновременно поля и их векторные потенциалы, либо только потенциалы. Согласно структуре представленных уравнений, описы-ваемые ими поля распространяются в пространстве в виде волн, скорость ко-торых в отсутствие поглощения определяется электрическими и магнитными параметрами

этого пространства: . В этом можно убедиться, взяв, как обычно, ротор от одного из роторных уравнений системы, и после чего подставить в него другое роторное уравнение той же системы. В качест-ве иллюстрации получим, например, для системы (7) волновое уравнение от-носительно : rot rot grad divrot , где, согласно (7b), div , а Δ – оператор Лапласа. Таким образом, имеем теперь волновые уравнения не только для электромагнитных полей и , но

и для их векторных потенциалов и в парных комбинациях этих четырех уравнений в зависимости от системы. В итоге возникает физи-чески очевидный, принципиальный вопрос: какие это волны, и что они пере-носят? Другими словами, необходимо прояснить физическое содержание рассматриваемых здесь систем электродинамических уравнений. В случае системы (8) введем аналогично вектору Пойнтинга плотности потока электромагнитной энергии другой потоковый вектор , который, судя по размерности,

определяет электрическую энер-гию, приходящуюся на единицу площади поверхности. Для аргументирован-ного обоснования возможности существования такого вектора воспользуемся стандартными рассуждениями, как при выводе соотношения баланса энергии электромагнитного поля (3), и из уравнений системы (8) в итоге получим: div ( 10) - уравнение энергетического баланса процесса электрической поляри-зации среды в данной точке. Как видим, уравнения электрических полей на-пряженности и векторного потенциала

системы (8) описывают статиче-ские и динамические чисто электрические явления, показывают реальность волн, переносящих только электрическую энергию. Аналогично можно ввести потоковый вектор , размерность которого определяет поверхностную плотность магнитной энергии. Под-тверждение этому найдем из уравнений (9) в виде уравнения энергетического баланса процесса намагничивания среды в данной точке: div. (11) Следовательно, уравнения магнитных полей напряженности и век-торного

потенциала системы (9) описывают статические и динамические магнитные явления, устанавливают реальность волн, переносящих только магнитную энергию. Очевидно, что такие результаты анализа систем (8) и (9) в принципе не-возможны и просто абсурдны в рамках традиционной электродинамики Мак-свелла, но это нисколько не является недостатком системы (1), а лишь иллю-стрирует автономию одной системы уравнений по отношению к другим. Полученные здесь уравнения энергетического баланса (10) и (11)

опи-сывают не только энергетику обычной электрической и магнитной поляриза-ции среды с помощью соответствующего поля (первое слагаемое), но и пока-зывают возможность реализации эффектов динамической поляризации веще-ства посредством изменяющегося во времени поля векторного потенциала, причем наличие электропроводности среды способствует этому. Надо ска-зать, что явления динамической поляризации вещества, как нам представля-ется, уже имеют реальное экспериментальное воплощение: это эффекты электродинамической индукции в металлах

[7] и динамического намагничи-вания в ферритах и магнитоупорядоченных металлах [8, 9]. Подобным образом вводится вектор , размерность которого определяет момент импульса на единицу площади поверхности. Соответст-венно, уравнения (7) позволяют получить уравнение баланса процесса пере-дачи момента импульса поля электромагнитных потенциалов в данной точке среды: div. (12) Согласно этому уравнению, проводящей среде момент импульса пере-дается электрическим вектор-потенциалом,

стационарным в том числе, а ди-электрической – переменными во времени полями электрического или маг-нитного потенциалов. Целесообразно отметить, что вектор момента импульса поля электромагнитных векторных потенциалов никак не может быть сопоставлен с предложенным в порядке гипотезы из механических ана-логий вектором момента импульса электромагнитного поля , дис-куссия о котором продолжается по сей день [6] и носит, на наш взгляд, тупи-ковый характер. Итак, уравнения системы (7) описывают необычные волны векторного

потенциала, переносящие, согласно (12), момент электромагнит-ного импульса, которые, однако, в явном виде не переносят энергии, по-скольку в них и равны нулю. Вопрос о физическом смысле таких волн остается открытым. Иллюстрацию физической значимости векторных потенциалов в элек-тродинамике продолжим на конкретном примере использования этих поня-тий при анализе энергетики процесса взаимодействия металла с электромаг-

нитным полем, где главную роль играет высокая электропроводность такой среды. Так как магнитный векторный потенциал проводника с током подробно обсуждался в работе [2], то далее наши рассуждения будут в боль-шей степени касаться электрического векторного потенциала проводника с током. Такая инициатива возможна, поскольку в процессе электропровод-ности однородная проводящая среда остается обычно локально электроней-тральной [10, 9], а потому электрическое поле в ней описывается

соотноше-нием div . Следовательно, выражение (4b) справедливо и в данном слу-чае. Выражение rot в применении к проводнику с током для боль-шей наглядности и математической общности представим в интегральной форме: , (13) где циркуляция вектора электрического потенциала по замкнутому контуру С равна потоку вектора электрического смещения через поверхность SC , опирающуюся на этот контур, то есть определяет величину поляризационного заряда , индуцированного

на этой поверхности. Во-прос об электрической поляризации металлического проводника в процессе электропроводности подробно обсуждался в работе [11]. На основе (13) нетрудно получить конкретные формулы связи поля вектора с полями векторов и , при их однородном распределении внутри кругового цилиндрического проводника радиуса R и ориентирован-ными вдоль его оси симметрии. В результате имеем: при r < R и при r > R . (14) Таким образом, поле электрического векторного потенциала су-ществует как в

самом проводнике с током, так и вовне, оно непрерывно на его поверхности. В этой связи физически интересно представить проводник с током как “электрический соленоид”, поскольку поля индукции и ее векторного потенциала функционально эквивалентны аналогичным за-висимостям и магнитного соленоида [2]. Однако представления о вектор-потенциале будут по-настоящему физически содержательными только тогда, когда указан хотя бы в принципе метод его наблюдения, а лучше конкретный способ измерения

параметров такого векторного поля. В нашем случае это вполне возможно и, в соответст-вии с соотношением (6), электрический векторный потенциал в асимптотике низких частот ( ) определяется посредством соотношения: . (15) Видно, что распределение поля векторного электрического потенциала проводника с током полностью соответствует топологии распределе-ния напряженности магнитного поля , созданного этим током в процес-се электропроводности, а их величины между собой прямо пропорциональ-ны.

Согласно [12], порядок величины времени релаксации электрического заряда в металлах ~ 10-6 с, а конкретно для меди из эксперимента ~ 3,6•10-6 с [13]. Следовательно, электрический векторный потенциал про-водника с током при можно считать косвенно наблюдаемой физиче-ской величиной, поскольку реальное измерение магнитного поля не пред-ставляет серьезной технической проблемы. В ситуации, отвечающей соотношениям (14), вычислим конкретное значение потокового вектора внутри проводника:

. (16) Здесь = /2 – объемная плотность электрической энергии, фор-мула которой в нашем случае определяется законами электропроводности Ома и электрической поляризации проводника . Как ви-дим, вектор действительно представляет электрическую энергию, посту-пающую в проводник с током через единицу площади его боковой поверхно-сти, при этом энергетика процесса электрической поляризации проводящей среды при стационарной электропроводности описывается следующим из соотношения (10) уравнением

энергетического баланса частного вида: div. Соответственно рассмотрим для проводника с током два других пото-ковых вектора: и . В нашем случае для магнитного поля имеем из [2] при r &#8804; R: и . В результате по-лучим конкретные выражения для векторов , (17) определяющих плотности магнитной энергии и момента импульса поля электромагнитных потенциалов, поступающих в цилиндрический проводник через его боковую поверхность. Тогда из соотношения (11) найдем уравне-ние баланса энергии процесса

намагничивания проводящей среды под дейст-вием стационарного электрического тока: div , а из (12) - урав-нение div , описывающее передачу момента электромагнитного импульса проводнику в данной ситуации. В заключение подведем итог. Итак, проведена модификация уравнений Максвелла электромагнитно-го поля для электрического и магнитного векторных потенциалов, и на осно-ве анализа физического содержания полученных уравнений установлена воз-можность существования динамических

чисто электрических или магнитных явлений, показана реальность волн, переносящих только электрическую или только магнитную энергию. Выявлены необычные потенциальные волны, переносящие момент импульса поля электромагнитных векторных потенциа-лов, которые, однако, в явном виде не переносят энергии, поскольку и в них равны нулю. Вопрос о наблюдении и физическом смысле таких волн ос-тается открытым. На конкретном примере изучения энергетики процесса стационарной электропроводности в металле проиллюстрировано,

что использование фи-зических представлений об электромагнитных векторных потенциалах по-зволяет “увидеть” раздельно потоки чисто электрической и магнитной энер-гии, момента импульса, существующие в электромагнитном поле, посту-пающие вместе с известным потоком электромагнитной энергии в проводник в указанных условиях. Данное утверждение можно, по нашему мнению, счи-тать теоретически вполне обоснованным. Как нам представляется, проведенные исследования достоверно пока-зали, что поля электромагнитных векторных

потенциалов никоим образом нельзя считать математическими фикциями, поскольку они в полной мере обладают фундаментальными характеристиками объективной реальности: энергией, импульсом и его моментом. Таким образом, наряду с традицион-ными электромагнитными полями в электродинамике: , , и , их век-торные потенциалы и также являются полноправными физически значимыми полями, расширяющими наши представления об электромагнит-ных полевых процессах. 1. Максвелл

Дж. К. Трактат об электричестве и магнетизме. Т. I и II. М.: Наука, 1989. 2. Антонов Л.И Миронова Г.А Лукашёва Е.В Чистякова Н.И. Векторный магнитный потенциал в курсе общей физики. / Препринт № 11. М.: Изд. Физ. ф-та МГУ, 1998. 3. Кропп В. Патент РФ № 2101842. 4. Сидоренков В.В. // Сборник трудов

XIX Международной школы-семинара “Новые магнитные материалы микроэлектроники”. М.: МГУ, 2004. С. 740. 5. Матвеев А.Н. Электродинамика. М.: Высшая школа, 1980. 6. Соколов И.В. // УФН. 1991. Т. 161. № 10. С. 175. 7. Дюдкин Д.А Комаров А.А. Электродинамическая индукция. Новая кон-цеп- ция геомагнетизма. / Препринт НАНУ,

ДонФТИ-01-01, 2001. 8. Сидоренков В.В Толмачев В.В Федотова С.В. // Изв. РАН. Сер. физич. 2001. Т. 65. № 12. C. 1776. 9. Сидоренков В.В. // РЭ. 2003. Т. 48. № 6. С. 746. 10. Мартинсон М.Л Недоспасов А.В. // УФН. 1993. Т. 163. № 1. С. 91. 11. Сидоренков В.В. // Современные естественно-научные и гуманитарные проблемы:

Сборник трудов. М.: Логос, 2005. С. 237. 12. Зоммерфельд А. Электродинамика. М.: ИЛ, 1958. 13. Корнев Ю.В Сидоренков В.В Тимченко С.Л. // Докл. РАН. 2001. Т. 380. № 4. С. 472.