Компьютерное моделирование в курсе "Электричество и Магнетизм"

Курсовая работа по МПФ Компьютерное моделирование опыта Милликена 4 ? 1995 - 1 - ОГЛАВЛЕНИЕ ст. 1. Введение 3 а Актуальность темы дипломной работы 3 б Цели работы 4 в Научная новизна результатов дипломной работы 4 г Научная и практическая ценность 5 д Вклад автора 5 е Реализация 5 ж Апробация и публикации 6 з

Краткое содержание и структура 6 Глава 1. Физические основы исследуемых процессов 1.1 Электрический колебательный контур 1.2 Опыт Милликена 1.3 Скин-эффект в цилиндрической геометрии 1.4 Скин-эффект в плоской геометрии 26 Глава 2. Математические методы исследования физических процессов 2.1 Типы задач для обыкновенных дифференциальных уравнений 31 2.2

Задача Коши. Метод Рунге-Кутты 2-го порядка 2.3 Метод Рунге-Кутты 4 порядка 2.4 Краткие сведения о функциях Бесселя 2.5 Краткие сведения о функциях Кельвина 46 Глава 3. Использование ЭВМ в учебном процессе 3.1 Роль ЭВМ в обучении физики 3.2 Методы использования

ЭВМ в обучении 3.3 Моделирование физических процессов на ЭВМ 3.4 Краткое описание программ 55 Заключение 56 Приложения 57 Литература 66 Введение Актуальность темы дипломной работы Дипломная работа посвящена разработке демонстрационных программ для применения в процессе преподавания физики как в школах и среднеспециальных учебных заведениях, так и в высших учебных заведениях.

Насыщенность школ современной вычислительной техникой еще не приводит к большим переменам в образовании, если учитель не подготовлен ни психологически, ни профессионально к внедрению ЭВМ в его жизнь. В настоящее время накоплен большой опыт применения вычислительной техники в физических исследованиях, выработаны общие методические подходы решения основных физических проблем и можно констатировать факт, что сложился новый предмет - вычислительная физика, которая составной частью современной физики

наряду с общей физикой и теоретической физикой и входит в стандарт образования по физики. Основным методом исследования вычислительной физики является компьютерный эксперимент, теоретической базой которого служит математическое моделирование, а экспериментальной базой - ЭВМ. Компьютерное моделирование интегрирует такие предметы, как теоретическая физика, численный анализ и программирование. На сегодняшний день в процессе преподавания физики очень многие важные явления и

опыты не могут быть реализованы в виде демонстраций в силу их сложности, а их объяснение требует от преподавателя больших художественных возможностей . Именно поэтому появилась тенденция создания компьютерных программ для моделирования подобных процессов 1-7 . Теперь преподаватель, заранее подобрав исходные данные, может по ходу объяснения демонстрировать все возможные варианты развития процесса не затрачивая массу времени на приемлемое изображение установки,

самого эксперимента, сопутствующих графиков. Кроме того, такие программы могут быть также2 0 использованы в лабораторном практикуме с дополнительными заданиями разного уровня сложности, а в совокупности с прилагаемыми описаниями и для самостоятельного изучения материала. Целями дипломной работы являлись - исследование моделируемых процессов на предмет получения конечных аналитических решений, пригодных для создания на их основе демонстрационных программ, а в случае их

отсутствия построение алгоритмов решения на основе численных методов - создание демонстрационных программ на основе полученных решений - создания лабораторных работ на основе разработанных программ и ряда разноуровневых заданий к ним - апробация созданных лабораторных работ 2 0на2 0 физическом факультете ТГПУ им. Л.Н. Толстого в курсе методики преподавания физики Научная новизна результатов дипломной работы В работе впервые -

Созданы демонстрационные программы для моделирования процессов в электрическом колебательном контуре, опыта Милликена, скин-эффекта - Для скин-эффекта получено решение в виде комбинации функций Кельвина - Показана роль фазового дополнительного слагаемого в решении для скин-эффекта - Показано, что в электрическом колебательном контуре на графике зависимости энергии от времени существуют плато, соответствующее нулевому току и проведена аналогия с механическими колебаниями

Научная и практическая ценность В работе проведен теоретический анализ исследуемых процессов и создан ряд моделирующих программ. Как теоретические результаты, так и компьютерные программы дипломной работы могут быть использованы в процессе преподавания физики в различных учебных заведениях и при самостоятельном изучении данного материала. Вклад автора В работах, результаты которых выносятся на защиту и выполненных совместно с научным руководителем, автором внесен должный вклад в постановку задач, выбор методов исследования,

теоретический анализ, выбор методов реализации и интерпретацию результатов. Реализация результатов работы Полученные в результате теоретического анализа аналитические решения были реализованы автором в виде демонстрационных программ для машин класса IBM PC AT и совместимых, работающих под управлением - MS-DOC версии 5.0 и последующих - MS-WINDOWS версий 3.1 и 3.11

RUS . Программы реализованы с помощью компиляторов - Turbo Pascal 6.0 - Turbo Pascal 7.0 и при использовании графических пакетов - BGI International - Дизайнер. Демонстрационные программы используются в курсе преподавания физики на физическом факультете ТГПУ им. Л.Н.Толстого и могут быть использованы в других учебных заведениях. Апробация и публикации Основные результаты докладывались опубликованы в тезисах докладов

Всероссийского с участием стран СНГ совещания-семинара Применение средств вычислительной техники в учебном процессе , изд-во УГТУ, Ульяновск 1995 г. 23 Материалы работы докладывались и обсуждались также на студенческих научных конференциях в ТГПУ 24 . Краткое содержание и структура Структура. Дипломная работа состоит из введения, трех глав, приложения, заключения, содержит 55 страниц

машинописного текста, 12 рисунков, список цитируемой литературы включает 24 наименования. Во Введении. обосновывается актуальность работы, формулируется ее цель, излагается краткое содержание работы по главам и перечисляются результаты, являющиеся новыми. Кроме того говорится о реализации и апробации проделанной работы. Глава 1. дипломной работы посвящена теоретическому исследованию моделируемых процессов.

Глава 2. посвящена описанию математических методов, необходимых для теоретического исследования и моделирования. ВГлаве 3. рассматриваются методические вопросы, касающиеся как применения ЭВМ в учебном процессе в целом, так и конкретно применение разработанных программ. Заключение. посвящено подведению итогов проделанной работы. ВПриложении. приводятся необходимые схемы, рисунки и графики.

Глава 1 Физические основы исследуемых процессов 10 11.1 Электрический колебательный контур. Рассмотрим электрический колебательный контур, состоящий, в общем случае, из конденсатора C, катушки индуктивности L и сопротивления нагрузки R см. рис.1 . Процессы происходящие в такой системе описываются дифференциальным уравнением вида Ф- d520q 7 0 dq 27d 0 7 w40520q 0 1.1.1 dt520 7 0 dt где

R 1 dq 27d 0 7 0 7 w40520 I L LC dt Начальные условия q q400 I I400. t 0 4 0 t 0 Энергия колебательного контура определяется выражением q520 LI52 W 1.1.2 2C 2 Это обыкновенное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Колебания, описываемые линейными дифференциальными уравнениями, называются линейными колебаниями, а соответствующие колебательные системы - линейными системами.

Уравнение 1.1.1 имеет следующие решения 18 Ф- 7 1 7 w400 7d4 ,7 W0 7? w40527 0 7d520 - слабое затухание 4-7в4t7 0 7d q e 4 0 A Cos 7W0t B Sin 7W0t A q400 B q40 7W 4-7в4t0 4-7в4t q -7d0e 4 0 A Cos 7W0t B Sin 7W0t e 4 0 A7W0Cos 7W0t B7W0Sin 7W0t 7 7 0 7d524 -7в4t q q407 0 1 e7 0Cos 7W0t-7f400 1.1.3 7?0 7W52 7d где tg7f400 - сдвиг фаз 7W 7 0 7d520 7 4-7в4t I q407 01 7 0 780 7W0e7 0Sin 7W0t 1.1.4 79 0 7W520 70

Частный случай R 0 и 7d0 0 гармонические колебания q q400Cos 7w400t 1.1.5 I q407w400Sin 7w400t 1.1.6 2 Критический режим 7 цw400 7d 1 R520 4L 5 0 R520 LC 4L520 C 4-7в4t q q400e7 0 7d0t 1 1.1.7 4-7в4t I q400e7 d520t 1.1.8 3 Сильное затухание q527 0 7 0 -7d0 7W0 t 7 0 7 0 -7d0-7W0 t7 q 7 0 7W0 7d0 e7 0 7 0 7W0 - 7d0 e7 0 7 0 7 80 1.1.9 27W 9 0 70 q527w40520 7 0 -7d0 7W0 t 7 0 -7d0-7W0 t7

I 7 0e7 0 7 0 e7 0 7 0 7 80 1.1.10 27W 0 79 0 70 ш2.0 На рис. 12 показаны зависимости q t , I t , W t , причем на последней хорошо заметно плато соответствующие нулевому току, при котором в системе не происходит потерь энергии. 1 11.2 Опыт Милликена по определению заряда электрона. Роберт Эндрюс Милликен 1868-1953 - американский физик с 1924 года член-корреспондент

АН СССР . Получил широкую известность за ряд опытов, направленных на установление дискретности электрического заряда и определение заряда электрона с высокой точностью. За эту работу в 1923 году удостоен Нобелевской премии. Также известны его работы, направленные на экспериментальное подтверждение квантовой теории фотоэффекта А.Эйнштейна и работы по определению численного значения постоянной

Планка. Классические опыты Милликена направлены на прямое доказательство дискретности электрического заряда и определение элементарного электрического заряда. Экспериментальный метод, примененный Милликеном, заключался в непосредственном измерении заряда очень маленьких капелек масла 14,19 . Представим себе такую капельку между обкладками горизонтально расположенного конденсатора рис.2 . Если к пластинам конденсатора не приложено напряжение, то капля будет свободно

падать. Вследствие малых размеров капля будет падать равномерно, так как ее вес уравновешивается силой сопротивления воздуха, определяемой законом Стокса, и силой Архимеда. 76 6 6 F4st0 G F4арх0 0 1.2.1 F4st0 G-F4арх0 1.2.2 F4st0 67ph0aV4G0, 1.2.3 G-F4aрх0 37p0a530 7r4k0-7r0 g 4, 1.2.4 где a-радиус капли, 7h0-вязкость газа, V4G0-скорость свободного падения капли,7r4k0-плотность капли,

7r0-плотность газа. Представим себе теперь, что к пластинам конденсатора приложено напряжение, величина и знак которого подобраны так, чтобы капелька под действием электрического поля поднималась вверх. Если через V4Е 0обозначить скорость этого подъема, то можно записать Еq-mg 67ph0aV4E0 1.2.5 где Е - напряженность поля внутри конденсатора. Ионизируя воздух между пластинами конденсатора например, при помощи рентгеновских лучей , можно изменить

заряд капли. Если при этом величину напряженности поля оставить прежней, то скорость капли изменится и станет равной V4E10. Продолжая эти рассуждения, можно получить формулу для разности зарядов q-заряд до облучения, q410-заряд после облучения 1.0 7p0 2V4G7h530 51 2 7D0q q-q410 9 V4E0-V4E10 1.2.6 E 7r4k0-7r0 g 51 2 Облучая каплю несколько раз и меняя напряжение, Милликен проводил с одной каплей много опытов. Измеряя скорости падения и подъема капли, экспериментатор

рассчитал заряд электрона, который по его данным оказался равным e 4.805 105-10 0СГСЭ. Схема установки Милликена приведена на рис. 3 11,19 . Проведем строгое решение задачи о движении заряженной частицы в электрическом поле в вязкой среде. Данное движение рис.2 описывается следующим уравнением 76 dV 760 7 60 760 7 0 76 m F4арх0 G F4сопр0 F4электр 0 1.2.7 dt dV4x m - F4арх0

G F4сопр0 - F4электр0 1.2.8 dt 760 7 6 где F4электр0 qE - сила, действующая на заряженную частицу в электрическом поле с напряженностью E, причем E4x0 7 0 U d ,7 0U - напряжение между обкладками конденсатора d - расстояние между обкладками конденсатора F4сопр-0определяется по закону Стокса 1.2.3 , G mg - сила тяжести После подстановки и преобразований получим dVx 67ph0а

Gx F4арх0 4 0qE4x Vx - 1.2.9 dt m m m m Введем обозначения 97h0 7r0 7 03qE4x 7a0 1.2.10 7b0 g 1- 1.2.11 7g0 1.2.12 27r4k0а520 7r4k0 47r4k7p0a53 получим dVx 7a0Vx 7b0 7g0 1.2.13 dt 4-7a0t 7b 0 7 g Общее решение этого уравнения V4x7 0 7 0const e 7 0 1.2.14 7a используя начальное условие 7b0 7g0 7b0 7g Vx V400 4 0V400 const 7 0 const V400 - 1.2.15 t 0 7 0 7a 0 7 0 7a имеем 7 0 7b0 7g0 7 0 4-7a0t 7b0 7g V4x0 4 0 720 V400 - 720 e4 0 1.2.16 7 0 7a 0 7 0 7a 4x0 4t 7!0 7! так как 724 0dx 7 20

V4x0 dt 1.2.17 и x 0 получим 710 710 t 0 5x400 50 1 7 0 7 b 0 7g0 7 4 0 4-7a4t0 7 0 7 b 0 7 g 0 7 x - 7 0V407 0-7 0 7 80 e 7 0 7 80 t 1.2.18 7a 9 0 7a0 70 0 7 90 7 a 0 7 0 Для создания демонстрационной программы удобнее использовать формулу не для x , а для 7D0x , 1 7 0 7b 0 7g 0 7 0 4-7a4t0 7 0 7 b 0 7 g 7D0x x-x400 72 0V40 0- 7220 1 - e 720 t 1.2.19 7a0 7 0 7 a0 7 0 7 0 7 a При q410 n410e 76 g410 7a0V41x0-7a0V40x0, а при q420 n420e 76 g420 7a0V42x0-7a0V40x0 1.2.20

, где V40x0-скорость падения капли до облучения и без напряжения, V41x0-скорость падения капли до облучения при наличии поля, V42x0-скорость капли после облучения при наличии поля. Разделив 1.2.20 друг на друга получим 7g410 V41x0 - V40x0 q41 4 0 4 0 1.2.21 7g420 V42x0 - V40x0 q42 ш2.0

Определив из формулы 1.2.16 значения для V40x0,V41x0,V42x 0и подставив их в 1.2.21 можно получить отношение q41 0 к q42 0и если оно равно отношению целых чисел то мы вправе утверждать, что оба заряда кратны одному и тому же значению - элементарному электрическому заряду, который по современным данным равен e 1.6021892 105-19 0Кл. 1 11.3 Скин эффект в цилиндрической геометрии. Скин-эффект от англ. skin-кожа - это явление затухания электромагнитных волн по мере их проникновения в проводящую среду.

Переменное во времени электрическое поле3 0и связанное с ним магнитное поле не проникают в глубь проводника, а сосредоточены большей частью в относительно тонком приповерхностном слое толщиной7 d0, называемом1 глубиной скин-слоя0. Происхождение скин-эффекта объясняется тем, что под действием внешнего переменного поля в проводнике свободные электроны создают токи, поле которых компенсирует внешние поле в объеме проводника. Скин-эффект проявляется у металлов, в плазме и в других средах с достаточно большой проводимостью 12,15

. Глубина скин-слоя существенно зависит от проводимости 7s0, циклической частоты электромагнитного поля7 w0, от состояния поверхности. На малых частотах7 d0 велика, убывает с ростом частоты и для металлов на частотах оптического диапазона оказывается сравнимой с длинной волны7 l 0105-50 см. При еще больших частотах, превышающих плазменную частоту0, в проводниках оказывается возможным распространение электромагнитных волн. Их затухание определяется как внутризонными, так и межзонными электронными переходами.

Теоретическое описание скин-эффекта сводится к решению кинетического уравнения для носителей заряда с целью определения связи тока с полем и последующему решению уравнений Максвелла. Наиболее просто описывается нормальный скин-эффект, который имеет место, когда7 d0 велика по сравнению с эффективной длиной7 0 пробега электронов. Величина l определяется расстоянием, проходимым электроном за время7 t0 между двумя актами рассеяния 7t0-время

релаксации либо за период поля 1 7w0 в зависимости от того, какая из этих величин меньше. В общем случае v l , 1.3.1 7t5-10-i7w где v-скорость электрона. Известно 3 вида скин-эффекта нормальный, аномальный и нелинейный. В случае аномального скин-эффекта происходит рассмотрение ситуации, когда l 7 d0 он наблюдается в СВЧ-диапазоне в чистых металлах при низких температурах.

При достаточно высоких значениях напряженности электромагнитного поля, когда параметры среды, например проводимость7 d0, начинают зависеть от поля, скин-эффект становится нелинейным, т.е. толщина скин-слоя7 d0 также начинает зависеть от интенсивности электромагнитного поля. Подробно рассмотрим распределение плотности тока по сечению проводника, в котором течет отличный от нуля полный переменный ток, т.е. нормальный скин-эффект.

Точное решение зависит, вообще говоря, не только от формы проводника, но и от способа возбуждения в нем тока, т.е. от характера внешнего переменного магнитного поля, индуцирующего ток. Есть однако важный случай, когда распределение тока можно считать независящим от способа его возбуждения. Это ток в тонком проводе, толщина которого мала по сравнению с его длиной. При вычислении распределения тока по сечению тонкого провода будем считать последний прямолинейным.

При этом электрическое поле параллельно оси провода, а вектор напряженности магнитного поля лежит в плоскости перпендикулярной к оси провода 12 . Рассмотрим провод кругового сечения. Этот случай особенно прост в связи с тем, что вид поля провода заранее ясен. Действительно, в силу симметрии на поверхности провода вектор напряженности электрического поля зависит только от времени. Но при таком граничном условии уравнения 76 6 div

E 0 и rot E 07 0 7 0 1.3.2 76 в пространстве вне провода имеет лишь решение E const7 0не зависящие от пространственных координат во всем пространстве. Отсюда следует, что магнитное поле вокруг провода будет таким же, каким оно было бы вокруг провода с постоянным током, равным данному мгновенному значению переменного тока. 15 Итак пусть имеется очень длинный проводник радиуса

R. Используя уравнения Максвелла и выражение для rot в цилиндрической системе координат 760 7 0 4 7 760 7ч0B7ы0 76 2017 0 7ч0E4z 7ч0E7f4 726 2 ч0E4r7 ч0E4z726 rotE rotE 720-7 0 4 0-4 720e4r0 720 4 0 720e7f0 7ч0t 7 20r7 0 7чf0 4 7ч0z4 72 2 ч0z7 0 7 ч0r7 2 1.3.3 7 90 4 70 9 0 760 760 76 ч0D 7 0 7 rotH j 7 2017 ч0 rE7f0 7 017 ч0E4z7 26 7ч0t7я0 7 0 720-7 0 7 0-4 0-7 0 720e4z0 1.3.4 1.3.5 7 20r 7 ч0r7 0r7 чf 2 Закон Ома 7 9 0 7 0 760 760 j 7s0E 7 0 4 7 1.3.6 76 2017 0 7ч0H4z 7ч0H7f4 726 2 ч0H4r7 ч0H4z726 rotH 720-7 0 4 0-4 720e4r0 720 4 0 720e7f0

Материальные урав- 7 20r7 0 7чf0 4 7ч0z4 72 2 ч0z7 0 7 ч0r7 2 нения 7 90 4 70 9 0 76 60 7 0 7 0 7 D 7ee400E 720 1.4.7 72017 ч0 rH7f0 7 017 ч0H4z7 26 760 760 720 7 0 720-7 0 7 0-4 0-7 0 720e4z0 1.3.8 B 7mm400H 700 7 20r 7 ч0r7 0r7 чf 2 79 0 7 0 76 0 7 6 76 ч0H 760 76 ч0E rotE -7mm40 0 1.3.9 rotH 7s0E 7ee40 0 1.3.10 7ч0t7 0 7 ч0t 7ч Из симметрии задачи видно , что 0 , тогда получим 7чf 7ч0E7f ч0H4r7 0 7 ч0H7f 4 7 ч0E4r - -7mm400 1.3.11 - 7s0E4r 7ee400 1.3.12 7ч0z7 ч0t7 0 7 ч0z7 4 7 ч0t 7ч0E4r0 7ч0E4z0 7ч0H7f0 7 ч0H4z0 7 ч0H4z0 7ч0E7f

- -7mm400 1.2.13 - 7s0E7f0 7ee400 1.3.14 7ч0z 7ч0r 4 7ч0t 7 ч0z 7 ч0r 7ч0t 1 7ч0 rE7f0 7ч0H4z0 7 01 7ч0 rH7f0 7 0 7ч0E4z - -7mm400 1.3.15 - 7s0E4z0 7ee400 1.3.16 r 7ч0r 7ч0t 7 0r 7ч0r7 0 7ч0t Очевидно , что эти 6 уравнений распадаются на 2 системы ш1.0 17 ч0 rH7f0 7 ч0E4z0 7 0 1 7ч0 rE7f0 7ч0H4z7 - 7s0E4z0 7ee400 а 720 - -7mm400 7 2 r 7 0 7ч0r7 ч0t 720 r 7ч0r 7ч0t7 2 720 7 2 7ч0E4r0 7ч0E4z0 7ч0H7f0 720 7ч0H4z0 7 ч0H4z0 7ч0E7f 2 - -7mm400 б 780 1 - 7s0E7f0 7ee400 7 80 2 7ч0z 7ч0r 4 7ч0t 720 7ч0z 7 ч0r 7ч0t7 2 720 7 2 7чHf0 7 4 7ч0Er 720 7ч0E4z7

ч0H4r7 2 - 7s0E4r 7ee400 в 720 - -7mm400 7 2 7ч0z7 0 7 4 7ч0t 700 7ч0z7 ч0t7 0 С компонентами E4z0,H7f0,E4r0 эта сис- С компонентами H4z0,E7f0,H4r0 эта система описывает скин-эффект. тема описывает вихревые токи. Будем рассматривать только первую систему, описывающую скин-эффект. Очевидно, что если в каком либо месте проводника поле периодически меняется во времени, то оно будет

периодически меняться и во всех остальных точках проводника. При отыскании периодических решений системы 1 вместо синуса или косинуса удобно пользоваться комплексной показательной функцией, а затем с помощью известной формулы Эйлера 4i7ф e4 0cos7a0 isin7a0 1.3.17 перейти к вещественной форме решения. Кроме того отметим, что уравнения в системе 1 линейны и однородны и следовательно для них выполняется

принцип суперпозиции сумма произвольного числа решений уравнения сама является решением того же уравнения. Ищем решение системы 1 в виде i7w0t 7 ч E4z0 E4z0 r e i7w 2 i7w0t 7 0 7 ч0t7 20 1.3.18 H7f0 H7f0 r e7 ч 2 i7w0t -ik4z7 2 E4r0 E4r0 r e7 ч0z7 0 Положим k4z0 0 так , как мы ищем колебательное решения , а не волновое. Кроме того считаем , что7 s e407ew0 поэтому7 e0 0.

Тогда ik4z0H7f0 7s0E4r0 E4r0 0 1.3.19 7s 0 7 ч0E4z 7ч0E4z7я0 H7f0 1.3.22 i7mm407w0H7f0 1.3.20 i7mm407ws 0 7ч0r 7ч0r 7ч0H7f0 1 - H7f0 7 s0E4z0 1.2.21 7ч0r r 7ч520E4z7ы 01 7ч0E4z - 4 0- i7mm407ws0E4z0 0 1.3.23 7ч0r520 r 7ч0r Рассмотрим 2 возможных случая 1 Снаружи проводника. 7s0 0 7ч520E4z0 7 017 ч0E4z0 17 ч0 7ч0E4z0 7 ч0E4z -

0 - r 0 r const41 7ч0r527 0r7 ч0r r7 ч0r 7 0 7ч0r 7 ч0r 7ч0E4z0 const417 !0 const41 4 0 E4z0 720 dr 1.3.24 7ч0r7к0 r7 10 r E4z0 const410ln r const420 1.3.25 Т.к. при r76 0 поле не может бесконечно возрастать const410 0, следовательно E const420 т.е. не зависит от пространственных координат вокруг проводника. 2 Внутри проводника 7ч520E4z7ы 01 7ч0E4z - 4 0-i7mm407ws0E4z0 0 1.3.26 7ч0r520 r 7ч0r

Очевидны граничные условия I E4z0 E4z0 и H7f0 H7f0 r R r R r R r R 27p0R 1.3.27 Таким образом мы получили уравнение 7ч520E4z7 017 ч0E4z - 4 0 k520E4z0 0 1.3.28 7ч0r527 0r7 ч0r где k520 -i7mm407ws 7ы0 1 7ч0E4z H7f0 1.3.29 i7mm407w0 7ч0r Это хорошо известное уравнение Бесселя решение которого записывается в виде комбинации функций

Бесселя и Неймана или Вебера 8,18 E4z0 r AJ400 kr BN400 k410r 1.3.30 Однако N400 x 76 0при x7600 , поэтому мы вынуждены отбросить это решение и окончательно записать E4z0 r AJ400 kr 1.3.31 Или общее решение i7w0t E r,z,t AJ kr e 1.3.32 7 0 1-i 7 0 1-i 1 1-i7 0 7 0 7 т.к.7?0-i k 7?mm407ws5 0 k - 7d0 1 7?mm407ws 7 7?0 2 7 ? 027 0 7d0 7 ? 02 7d0 - глубина проникновения.

Как известно, расчет значений функции Бесселя комплексного аргумента представляет собой достаточно сложную вычислительную задачу. Кроме того данное решение не обладает достаточной степенью наглядности. Вместе с тем хорошо известно , что уравнение вида 7ч520E4z7 017 ч0E4z - 4 0- i7l520E4z0 0 1.3.33 7ч0r527 0r7 ч0r 7l520 7mm407ws0 7 l0 1 7d имеет решение в виде комбинации функций Кельвина E4z0 A ber400 7l0r ibei400 7l0r B ker400 7l0r kei400 7l0r 1.3.34

Причем функции ker400 7l0r и kei400 7l0r мы должны отбросить по тем же соображениям , что и функции Неймана в предыдущем решении. Это же легко подтвердить из следующих соображений 7 0 -i7p0 4 1-i 7?027 0 e 1.3.35 Тогда согласно 8 получим -i7p0 4 ber400 7l0r ibei400 7l0r I400 7l0re 1.3.36 Очевидно , что ber400 7l0r Re I400 7l0r 1-i 251 20 1.3.37 bei400 7l0r Jm I400 7l0r 1-i 251 20 1.3.38 Очевидно , что общее решение будет иметь вид i7w0t

E4z0 r,t,z A ber400 r 7d0 ibei400 r 7d0 e 1.3.39 Преобразуем последнее выражение E4z0 r,t,z A ber400 r 7d0 ibei400 r 7d0 cos 7w0t-k4z0z isin 7w0t A ber400 r 7d0 cos 7w0t -ibei400 r 7d0 sin 7w0t i ber400 r 7d0 cos 7w0t ibei400 r 7d0 sin 7w0t 7 A ber400 r 7d0 520 7?0bei400 r 7d0 527 0cos 7w0t 7f0 7 0 i ber400 r 7d0 520 7?0bei400 r 7d0 520 sin 7w0t 7f0 1.3.40 bei400 r 7d0 где tg7f0 ber400 r 7d0 7 E4z0 A ber400 r 7d0 520 7?0bei400 r 7d0 520 cos 7w0t 7f0 isin 7w0t 7f0 1.3.41

Далее необходимо перейти к вещественной форме решения, так как только такие решения имеют физический смысл. Как было показано выше всякое комплексное решение эквивалентно двум вещественным решениям. 7 E4z10 A ber400 r 7d0 520 7?0bei400 r 7d0 520cos 7w0t 7f0 1.3.42 7 E4z20 A ber400 r 7d0 520 7?0bei400 r 7d0 520sin 7w0t 7f0 1.3.43 7 где7 f0 - определяется выше , а 7d0 1 7?mm407ws Оба решения одинаковы так как от функции синуса всегда можно перейти к косинусу путем изменения начала

отсчета времени. Окончательно получим E4z0 A ber400 r 7d0 520 bei400 r 7d0 520 51 20cos 7w0t 7f0 1.3.44 bei400 r 7d0 7 0 7 0 где7 f0 arctg 7d0 1 7?mm407ws0 7 w0 27pn0 ber400 r 7d0 7n0 - частота переменного тока 7m0 - магнитная проницаемость проводника 7m400 47p0 105-70 Гн м - магнитная постоянная 7s0 - проводимость проводника Постоянную A можно определить зная полный ток в любой момент времени ш1.07 4R

R 7 I t 720jdS 72s0E4z027p0rdr 27ps20E4z0 r,t rdr 1.3.45 71 1 1 50 0 7 Графики функций ber400 x ,bei400 x ,7?0 ber400 r 7d0 520 bei400 r 7d0 520 , 7f0 x в приложении на рис. 4,5 . При высоких частотах. x 1 7 ber x 7?027p0x7 0exp x 7? 02 cos x 7? 02 -7p0 8 1.3.46 7 ber x 7?027p0x7 0exp x 7? 02 sin x 7? 02 -7p0 8 1.3.47 Тогда x r 7d 7 E4z0 r,t A 27p0x 5-10exp 2x 7? 02 cos520 x 7? 02 -7p0 8 7 0 7 0 5 27p0x 5-10exp 2x 7? 02

sin520 x 7? 02 -7p0 8 5 0cos 7w0t 7f0 1.3.48 5 7 7?027p0x7 0sin x 7? 02 -7p0 8 7 7f0 arctg arctg tg x 7? 02 -7p0 8 1.3.49 7 7?027p0x7 0cos x 7? 02 -7p0 8 7 7f0 x 7? 02 -7p0 8 E4z0 r,t A 27p0r 7d0 5-1 20exp r 7d0251 20 cos 7w0t r 7d0251 20 -7p0 8 1.3.50 ш2.0 При малых частотах. x7600 ber x 7 01 bei x 7 0x520 4 tg7f 0x520 47 f Тогда E4z0 r,t A 1 x540 16 51 20cos 7w0t x520 4 1.3.51 1 1.4

Скин-эффект в плоской геометрии. Цилиндрические функции табулированы, однако их машинный расчет является достаточно длительной по времени задачей. Покажем, что плоской геометрии решения очень похожи на решения в цилиндрической геометрии , причем функции sin, exp, cos считаются намного быстрее. Рассмотрим достаточно тонкую очень длинную ленту, по которой течет ток шина рис.6 7 6 6 6 760 4 0 e4x 0 4 0e4y0 4 0e4z0 760 7ч0B 760 4 764 0 7ч0E4z0 7ч0E4y0 764 0 7ч0E4x0 7ч0E4z0 rotE 7 0rotE 7ч0 7ч0x7 ч0 7ч0y7 ч0 7ч0z e4x 0 - e4y 0 -

7ч0t 4 0 7ч0y 7ч0z 4 0 7ч0z 7ч0x 1.4.1 E4x0 E4y0 E4z0 760 760 760 7ч0D rotH j 7ч0t 764 0 7ч0E4y0 7ч0E4x0 1.4.2 e4z 0 - 1.4.3 76 60 4 0 7ч0x 7ч0y j 7s0E7о0 76 4 760 D 7ee400E 7 6 6 0 76 6 6 76 4 760 rotE -7mm407ч0H 7ч0t 1.4.4 rotH 7s0E 7ee407ч0E 7ч0t 1.4.5 B 7mm400H Из симметрии задачи очевидно , что7 ч0 7ч0y 0 7ч0E4y7 ч0H4x0 4 0 7ч0H4y7 0 7 4 7 4 0 7ч0E4x -7mm400 1.4.6 4 0 7s0E4x 0 4 7ee400 1.4.7 7ч0z7 ч0t4 0 4 0 7ч0z7 0 7 4 7 4 0 7ч0t 4 7ч0E4x0 7ч0E4z7

ч0H4y0 4 0 7ч0H4x0 7ч0H4z7 0 7 4 7 4 0 7ч0E4y 4 0 - -7mm400 1.4.8 4 0 - 7s0E4y 0 4 7ee400 1.4.9 7ч0z4 0 7ч0x7 ч0t4 0 4 0 7ч0z 7ч0x7 0 7 4 7 4 0 7ч0t 4 7ч0E4y7 ч0H4z0 4 0 7ч0H4y7 0 7 4 7 4 0 7ч0E4z -7mm400 1.4.10 4 0 7s0E4z 0 4 7ee400 1.4.11 7ч0x7 ч0t4 0 4 0 7ч0x7 0 7 4 7 0 4 7ч0t Очевидно , что эти 6 уравнений распадаются на 2 системы 7 0 7ч0H4y7 0 7 4 7 4 0 7ч0E4z7 20 7ч0E4y7 ч0H4x 7s0E4z 0 4 7ee400 a 780 a -7mm400 7ч0x7 0 7 4 7 0 4 7ч0t7 00 7ч0z7 ч0t 7ч0E4x0 7ч0E4z7 ч0H4y7 0 7ч0H4x0 7ч0H4z7 0 7 4 7 4 0 7ч0E4y 4 0

- -7mm400 b 72 0 - 7s0E4y 0 4 7ee400 7ч0z4 0 7ч0x7 0 7 ч0t7 0 7ч0z 7ч0x7 0 7 0 7 4 7 4 0 7ч0t 780 a 7ч0H4y7 0 7 4 7 4 0 7ч0E4x7 20 7ч0E4y7 ч0H4z 7s0E4x 0 4 7ee400 c -7mm400 7ч0z7 0 7 4 7 4 0 7ч0t7 20 7ч0x7 ч0t 700 С компонентами E4z0,H4y0,E4x0 , эта С компонентами H4z0,E4y0,H4x0 , эта система описывает скин-эффект система описывает вихревые токи Занимаемся только системой a и ищем решения в виде ш1.0 7 i7w0t 7 ч 2

E4z0 E4z0 r e i7w 2 i7w0t 7 0 7 ч0t7 80 1.4.12 H4y0 H4y0 r e7 ч 2 i7w0t -ik4z7 2 E4x0 E4x0 r e7 ч0z7 2 70 7ч0H4y 7s0E4z0 1.4.13 7ч0x 7ч0E4z0 7ы i7mm407w0H4y0 1.4.14 7ч0x E4x0 0 1.4.15 7s0 7 ч0E4z H4y0 7 0 1.4.16 i7mm407ws ч0x 7ч520E4z - i7mm407ws0E4z0 0 1.4.17 7ч0x52 Таким образом имеем уравнения Внутри проводника Снаружи проводника 7s0 0 7ч520E4z0 7ч520E4z - i7mm407ws0E4z0 0 1.4.18 0 1.4.19 7ч0x520 7ч0x52 Очевидны граничные условия Решение E4z0 const410x const420 1.4.22

E4z0 E4z0 1.4.20 Так как поле не может бес- r R r R конечно возрастать то 4внутри5 4снаружи0 const410 0 Поле вне проводника пос H4y0 H4y0 1.4.21 тоянно , не зависит от r R r R пространственных координат 4внутри снаружи По теореме о циркуляции легко E4z0 const42 получить 5 760 760 5 0 7ee400 17 ч0E4z 7 0Hdl I 1.4.23 5 0 H4y0 -7 0 7 0 1.4.24 5 0 7mm407 s ч0x 5 0 5 0

I5 0 5 0 5неопределенность 7H4y02l I5 0l H4y0 1.4.25 5 0 Магнитное поле такое же , 2 5 0 как оно было бы вокруг про- 5 0 вода с постоянным током , I5 0 - линейная плотность тока 5 0 равным мгновенному значению 5 0 переменного тока. ш1.0 Таким образом имеем уравнение 7ч520E4z - k520E4z0 0 1.4.26 7ч0x52 где k520 i7mm407ws Решение этого уравнения хорошо известно 18 E x Ae5ikx0

Be5-ikx0 1.4.27 7 0 1-i 7 0 1-i 1 1-i7 0 7 0 7 т.к.7?0-i k 7?mm407ws5 0 k - 7d0 1 7?mm407ws 7 7?0 2 7 ? 027 0 7d0 7 ? 02 из геометрии задачи видно , что E4z0 x E4z0 -x A B. Следовательно решение уравнения можно записать в виде E x A e5ikx0 e5-ikx0 1.4.28 Тогда общее решение можно записать в виде переобозначив некоторые выражения x 251 27s0 y , а 7w0t-k4z0z 7a0 4i7ф E4z0 A e5y0e5iy0 e5-y0e5-iy0 e

A e5y0 cosy isiny e5-y0 cosy-isiny cos7a0 isin7a0 A e5y0 e5-y0 cosy i e5y0-e5-y0 siny cos7a0 isin7a0 A e5y0 e5-y0 cosycos7a0- e5y0-e5-y0 sinysin7a0 i e5y0 e5-y0 cosycos7a0 e5y0-e5-y0 sinysin7a0 A e5y0 e5-y0 cos520y e5y0-e5-y0 sin520y 51 20 cos7f0sin7a0-sin7f0cos7a0 i cos7f0sin7a0 sin7f0cos7a0 1.4.29 e5y0-e5-y0 siny 5 0e5y0-e5-y где tg7f0 5 0 5 0 tgy e5y0 e5-y0 cosy 5 0e5y0 e5-y Тогда вправе переписать 5-0 E4z0 A e52y0 e5-2y0 2cos2y 51 20 cos 7a0 7f0 isin 7a0 7f0 1.4.30

Далее следует перейти к вещественной форме решения, так как только такие решения имеют физический смысл. Приведенное выше комплексное решение эквивалентно двум вещественным. Оба решения одинаковы, так как синус всегда можно преобразовать в косинус, путем изменения начала отсчета времени. По этим же соображениям путем изменения начала системы отсчета всегда можно положить z 0. Окончательно получим E4z0 r,t A e52y0 e5-2y0 2cos2y 51 20cos 7w0t 7f0 1.4.31 e5y0-e5-y0 x 7 0 7f0 arctg5 0

tgy y 7 d0 1 7?mm407ws0 7w0 27pn 0 e5y0 e5-y0 251 27d0 Т.е. решения аналогичны цилиндрическим. Интересен предел высоких частот 7w6 0 7d6 0 y76 E4z0 x,t Ae5y0cos 7w0t y 1.4.32 x y 1.4.33 251 27d Предел низких частот 7w600 7d600 y7600 E4z0 r,t A 1 2y 1-2y 2cos2y 51 20cos 7w0t 7f0 1.4.34 1 y-1 y tg7f0 y y520 1 y 1-y E4z0 r,t A 2 2cos2y 51 20cos 7w0t y520 1.4.35

E4z0 r,t A 2 1 cos2y 51 20cos 7w0t y520 1.4.36 E4z0 r,t A2 cosy cos 7w0t y520 1.4.37 Важно заметить, что в формулах 1.3.31 и 1.3.44 существует дополнительное фазовое слагаемое, роль которого хорошо заметна при сравнении рисунков 10 и 11. Очевидно, что существует приповерхностный слой с плотностью тока противоположно направленной поверхностному току. Для наблюдения этого эффекта нужно сравнить графики в программах skin.exe с учетом фазового слагаемого

и skin 1.exe без учета . Глава 2 Математические методы исследования процессов 2.1 Типы задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Обыкновенные дифференциальные уравнения далее ОДУ широко используются для математического моделирования процессов и явлений в различных областях науки и техники. В дифференциальное уравнение n-го порядка в качестве неизвестных величин входят функция y x и ее первые

n производных по аргументу x 7f0 x,y,y , y5 n 0 0. 2.1.1 Из теории ОДУ известно, что уравнение 2.1.1 эквивалентно системе n уравнений первого порядка 7f4k0 x,y410,y 410,y420,y 420, ,y4n0,y 4n0 0, 2.1.2 где k 1,2, ,n. Уравнение 2.1.1 и эквивалентная ему система 2.1.2 имеют бесконечное множество решений. Единственные решения выделяют с помощью дополнительных условий, которым должны удовлетворять искомые

решения. В зависимости от вида таких условий рассматриваются три типа задач, для которых доказано существование и единственность решений. Первый тип - это задачи Коши, или задачи с начальными условиями. Для таких задач кроме исходного уравнения 2.1.1 в некоторой точке x400 должны быть заданы начальные условия, т.е. значения функции y x и ее производных y x400 y400 y x400 y4100, ,y5 n-1 0 x400 y4n-1,00. 2.1.3 Для системы ОДУ типа 2.1.2 начальные условия задаются в виде y410 x400 y4100 y420 x400 y4200, ,y4n0

x400 y4n00. 2.1.4 Ко второму типу задач относятся так называемые граничные, или краевые задачи, в которых дополнительные условия задаются в виде функциональных соотношений между искомыми решениями. Количество условий должно совпадать с порядком n уравнения или системы. Если решение задачи определяется в интервале x7е0 x400,x4k0 , то такие условия могут быть заданы как на границах, так и внутри интервала. Минимальный порядок

ОДУ, для которого может быть сформулирована граничная задача, равен двум. Третий тип задач для ОДУ - это задачи на собственные значения. Такие задачи отличаются тем, что кроме искомых функций y x и их производных в уравнения входят дополнительно m неизвестных параметров7 l410,7l420,7l430, ,7l4m0, которые называются собственными значениями. Для единственности решения на интервале x400,x4k0 необходимо задать n m граничных условий.

В качестве примера можно назвать задачи определения собственных частот, коэффициентов диссипации, структуры электромагнитных полей и механических напряжений в колебательных системах, задачи нахождения фазовых коэффициентов, коэффициентов затухания, распределения напряженностей полей волновых процессов и т.д. К численному решению ОДУ приходится обращаться, когда не удается построить аналитическое решение задачи через известные функции. Хотя для некоторых задач численные методы оказываются более эффективными даже

при наличии аналитических решений 10 . Рассмотрим конкретные алгоритмы для каждого типа задач. 2.2 Задача Коши. Метод Рунге-Кутту 2-го порядка . Систему ОДУ 2.1.2 часто удается представить в каноническом виде, в так называемой форме Коши dy4k0 x f4k0 x,y410,y420, ,y4n0 , 2.2.1 dx где k 1,2, ,n. При формулировке задачи Коши система 2.2.1 дополняется начальными условиями 2.1.4 .

Для простоты рассмотрим задачу Коши для одного уравнения типа 2.2.1 , а затем полученные алгоритмы обобщим на систему n уравнений dy x f x,y , y x400 y400. 2.2.2 dx В окрестности точки x400 функцию y x разложим р ряд Тейлора x-x400 52 y x y x400 x-x400 y x400 y x400 , 2.2.3 2 который можно применить для приближенного определения искомой функции y x .

D njxrt x400 h при малых значениях h можно ограничится двумя членами ряда 2.2.3 , тогда y x400 h y400 hy x400 O h520 , 2.2.4 где O h520 -бесконечно малая величина порядка h520. Но такой метод дает очень существенные погрешности. Для уменьшения погрешности метода интегрирования ОДУ, использующего разложение искомого решения в ряд Тейлора 2.2.3 , необходимо учитывать большее количество членов ряда.

Однако при этом возникает необходимость аппроксимации производных от правых частей ОДУ. Основная идея методов Рунге-Кутты заключается в том, что производные аппроксимируются через значения функции f x,y в точках на интервале x400,x400 h , которые выбираются из условия наибольшей близости алгоритма к ряду Тейлора. В зависимости от старшей степени h, с которой учитываются члены ряда, построены вычислительные схемы Рунге-Кутты разных порядков точности 10 .

Рассмотрим схемы второго порядка точности. Для этого порядка точности полечено однопараметрическое семейство схем вида y x400 h y400 h 1-7a0 f400 7a0f x400 7g0h,y400 7g0f400h O h530 , 2.2.5 где 07 0 7 a ,0 1 - свободный параметр, f f x,y ,7 g0 27a0 5-10. Локальная погрешность схем 2.2.5 имеет 3-й порядок, глобальная 2-й т.е. решение ОДУ полученное по этой схеме, равномерно сходится к точному решению с погрешностью

O h520 . Для параметра7 a0 наиболее часто используют значения7 a0 0,5 и 7a0 1. В первом случае формула 2.2.5 приобретает вид y x400 h y400 h f400 f x400 h,y400 hf400 2, 2.2.6 геометрическая интерпретация которой представлена на рис. 7 Вначале вычисляется приближенное решение ОДУ в точке x400 h по формуле Эйлера y4Э 0 4 0y40 0 4 0hf400. Затем определяется наклон интегральной кривой в найденной точке f x400 h,y4Э0 , и после нахождения среднего

наклона на шаге h находится уточненное значение y4RK0 y x400 h . Схемы подобного типа называют прогноз-коррекция , что подразумевает грубое вычисление решения по формуле низкого порядка, а затем уточнение с учетом полученной информации о поведении интегральной кривой 10 . С целью экономии памяти при программировании алгоритма 2.2.6 , обобщенного на системы ОДУ, изменим его запись с учетом того, что y400 y4Э0-hf40 y4k0 x400 h y4kЭ0 h f4k00-f4k0 x400 h,y4kЭ0 2, 2.2.7

где k - номер решения для системы ОДУ. Во втором случае при 7a0 1 от формулы 2.2.5 переходим к схеме y x400 h y400 hf x400 h 2,y400 hf400 2 , 2.2.8 геометрический смысл которой отражает рис. 8. Здесь при прогнозе определяется методом Эйлера решение в точке x400 h 2 y41 20 y400 hf400 2, 2.2.9 а после вычисления наклона касательной к интегральной кривой в средней точке решение корректируется по этому наклону. 2.3 Метод Рунге-Кутты 4-го порядка.

Для построения вычислительных схем методов Рунге-Кутты четвертого порядка в тейлоровском разложении искомого решения y x учитываются члены, содержащие степени шага h до четвертой включительно. после аппроксимации правой части ОДУ f x,y получено семейство схем Рунге-Кутты четвертого порядка, из которых наиболее используемой в вычислительной практике является следующая y x400 h y400 k410 2k420 2k430 k440 6 O h550 , 2.3.1 где k410 hf x400,y400 , k420 hf x400 h 2,y400 k410 2

, k430 hf x400 h 2,y400 k420 2 , k440 hf x400 h,y400 k430 . Схема 2,3,1 на каждом шаге h требует вычисления правой части ОДУ в 4-х точках. Локальная погрешность схемы имеет 5-й порядок, глобальная - 4-й. Схема обобщается для систем ОДУ, записанных в форме Коши. Для удобства программной реализации, особенно в случае систем

ОДУ, формулы 2,3,1 рекомендуется преобразовать к виду y4i0 x400 h y4i00 q4i10 2q4i20 2q4i30 q4i40 3 O h550 , 2.3.2 где q4i10 h420f4i0 x400,y4i00 , h420 h 2 q4i20 h420f4i0 x400 h 2,y4i00 q4i10 , q4i30 hf4i0 x400 h 2,y4i00 q4i20 , q4i40 h420f4i0 x400 h,y4i00 q4i30 , i 1,2, ,n - номер уравнения в системе ОДУ из n уравнений. В приводимом тексте программ рассматривается решение уравнения Ван дер Поля y p y520-1 y y 0, 2.3.3 которое является математической моделью автоколебательных механических

и электронных схем. Параметр p в уравнении 2,3,3 определяет нелинейные свойства системы. Для малых p 1 и больших p 1 значения параметра p в теории колебаний развиты приближенные методы аналитического решения уравнения Ван дер Поля. Для промежуточных значений параметра p уравнение приходится решать численными методами 10 . Для приведения уравнения 2,3,3 к форме Коши введем обозначения y410 x y x ,y420 x y x , тогда получим систему уравнений 7 720y 410 x y420 x

, 7 0 2.3.4 720y 420 x p 1-y52410 x y420 x -y410 x . 79 Оценку погрешности решений системы ОДУ, получаемых методом Рунге-Кутты четвертого порядка, можно провести можно провести по формуле y4h0 x -y4kh0 x R400 5-0 , 2.3.5 k5p0-1 которая при кратности изменения шага k 2 принимает вид R400 y4h0 x -y42h0 x 15 2.3.6 Однако эта формула требует значительных затрат времени для повторного

расчета. Рассмотрим тексты программ реализованных на Паскале. PROGRAM RUNGE-KYTTE 4 TYPE VEC ARRAY 1 8 OF REAL VAR P,X,X9,H REAL Y VEC CH CHAR ПРОИЗВОДНЫЕ PROCEDURE RP X REAL VAR Y,R VEC BEGIN F 1 Y 2 F 2 P 1.0-SQR Y 1 Y 2 -Y 1 END МЕТОД РУНГЕ-КУТТЫ 4-го ПОРЯДКА PROCEDURE

RK4 N INTEGER X,H REAL VAR Y VEC VAR I,J INTEGER H1,H2,Q REAL Y0,Y1,F VEC BEGIN H1 0.0 H2 H 2 FOR I 1 TO N DO BEGIN Y0 I Y I Y1 I Y I END FOR J 1 TO 4 DO BEGIN RP X H1,Y,F IF J 3 THEN H1 H ELSE H1 H2 FOR I TO N DO BEGIN Q H1 F I Y I Y0 I Q IF J 2 THEN Q 2 Q Y1 I Y1

I Q 3.0 END END FOR I 1 TO N DO Y I Y1 I END BEGIN REPET WRITE P,X,X9,H,Y 1 ,Y 2 ? READLN P,X,X9,H,Y 1 ,Y 2 WHILE X X9 H 0.0 DO BEGIN RP4 2,X,H,Y X X H WRITELN X, ,Y 1 , ,Y 2 END WRITE Еще разок ? Y N READLN CH UNTIL CH Y OR CH y END. 2.4Краткие сведения о функцияхБесселя.

Цилиндрические функции бесселевы функции - решения Z7т0 дифференциального уравнения Бесселя d520Z dZ z520 z z520-7n520 Z 0 2.4.1 dz520 dz где7 n0 - произвольное действительное или комплексное число. Если7 n0 не является целым числом, то общее решение уравнения 2.4.1 имеет вид Z7т 0 7 0c410J7т0 z 7 0 7 0c420J4-7т0 z , 2.4.2 где с410,с420 - постоянные, а

J7т0 и J4-7т0 - так называемые цилиндрические функции 1-го рода, или функции Бесселя. Для них справедливо разложение 7 4 m7 т4 2m 7 0 -1 5 0 0,5z J z 7 0 , arg z 7p0 2.4.3 7 0 7-0Г m 1 Г m 7n0 1 5m 0 7т Ряд в правой части для z J7т0 z сходится абсолютно и равномерно при всех z 7,0R, 7n0 7,0N, где R и N - произвольные положительные числа.

Функции J7т0 z и J4-7т0 z - аналитические , с особыми точками z 0 и z 7 0 производные функций J7т0 z и J4-7т0 z удовлетворяют следующему тождеству 2sin7np z J7т0 z J 4-7т0 z -J 7т0 z J4-7т0 z - 2.4.4 7p Если же7 n0 - целое, то J7т0 z и J4-7т0 z линейно зависимы, и их линейная комбинация уже не является общим решением уравнения 2.4.1 . Поэтому, наряду с цилиндрическими функциями 1-го рода, вводят цилиндрические функции 2-го рода

N7n0 z или Неймана функции, функции Вебера 1 N7т0 z J7т0 z cos7np0-J4-7т0 z , 2.4.5 sin7np другое обозначение Y7т0 z . При помощи этих функций общее решение уравнения 2.4.1 может быть записано в виде Z7т0 c410J7т0 z c420N7т0 z . Важны для приложения и другие решения уравнения 2.4.1 - цилиндрические функции 3-го рода или Ганкеля функции . Их обозна чают через

H7т5 1 0 z и H7т5 2 0 z и, по определению, полагают 14 -i7тз H7т5 1 0 z J7т0 z iH7т0 z J4-7т0 z -J7т0 z e , 2.4.6 isin7np 14 -i7тз H7т5 2 0 z J7т0 z -iH7т0 z J7т0 z e -J4-7т0 z . 2.4.7 isin7np Справедливы тождества 7 27 2 z J7т0 z N 7т0 z -J 7т0 z N7т0 z 7 2 7p 2 780 2.4.8 4i7 2 z H7т5 1 0 z H7т5 2 0 z -

H7т5 1 0 z H7т5 2 0 z - 7 2 7p 2 70 и соотношения 1 J z - H7т5 1 0 z H7т5 2 0 z , 2.4.9 2 1 H7т0 z H7т5 1 0 z -H7т5 2 0 z . 2.4.10 2i Для действительных z x и7 n0 функции Ганкеля являются комплексно сопряженными решениями уравнения 2.4.1 . При этом функции J7т0 z дают действительную часть, а функции

N7т0 x - мнимую часть функций Ганкеля. Цилиндрические функции 1-го, 2-го и 3-го рода удовлетворяют рекуррентным формулам 7 27n 2 Z7т4-10 z Z7т4 10 z Z7т0 z ,7 2 z7 80 2.4.11 72 Z7т4-10 z -Z7т4 10 z 2Z 7т0 z .7 2 70 Каждая пара функций J7т0 z ,J4-7т0 z J7т0 z ,Y7т0 z H7т5 1 0 z ,H7т5 2 0 z образует при целом 7n0 фундаментальную систему решений

уравнения 2.4.1 . Модифицированными цилиндрическими функциями называются цилиндрические функции мнимого аргумента 7 0 4-i7тз4 27 0 4i7з4 2 720 e7 0J7т0 e z ,7 0-7p0 argz 7,0 7p0 2 , 72 I7т0 z 7 0 2.4.12 720 4-3i7тз4 27 0 4-3i7з4 2 720 e7 4 7 0J7т0 e 4 0 z ,7 p0 2 argz 7,0 7p0, 79 и функции Макдональда 4i7зт4 27 4 7 4i7з4 20 4 -i7зт4 27 4 7 4-i7з4 2 K7т0 z 1 2 i7p0e7 0H5 1 7т0 e4 0z - 1 2 i7p0e7 4 7 0H5 2 7т0 e4 0z 4-i7зт4 27 4 7 4i7з4 2 1 2 i7p0e7 4 7 0H5 1 7т0

e4 0z . 2.4.13 Эти функции являются решениями дифференциального уравнения d520Z dZ z520 z - z520 7n520 Z 0 2.4.14 dz520 dZ и удовлетворяют рекуррентным формулам 8,9 7 27n 0 72 I7т4-10 z I7т4 10 z I7т0 z ,7 2 z7 0 780 2.4.14 27n 0 72 K7т4-10 z -K7т4 10 z K7т0 z . 72 z7 0 70 K4-7т0 z K7т0 z . 2.4.15 2.5 Краткие сведения о функциях Кельвина. Функции

Кельвина или функции Томпсона ber z и bei z - определяются следующими соотношениями 43i7з4 4 ber7т0 z bei7т0 z J7т0 ze 2.4.16 4-3i7з4 4 ber7т0 z -bei7т0 z J7т0 ze7 0 2.4.17 где J7т0 - вышеописанная функция Бесселя. При7 n0 0 индекс у знака функции опускается. Функции Кельвина составляют фундаментальную систему решений уравнения z520y zy - iz520 7n520 y 0, 2,4,18

переходящего при z x i51 20 в уравнение Бесселя. Функции Кельвина представляются в виде 7 7 4 5 0 -1 5r0z54r7 ber z 7 4 0 5 ,0 2.4.19 7 4 0254r0 2r ! 52 4r 0 7 7 4 5 0 -1 5r0z54r 27 bei z 7 4 0 . 2.4.20 7 4 0254r 20 2r 1 ! 52 4r 0 Асимптотические представления 8,9 7ф4 z e ber z 4 0- cos7b0 z , 2.4.21 27p0z 51 2 7ф4 z e bei z 4 0- sin7b0 z , 2.4.22 27p0z 51 2 где z 1 5 0 25 13 7a0 z 7 0 5 0 5 0- 5 0 2.4.23 2 51 20 8z 2 51 20 384z520 2 51 20 128z52

z 7p0 1 5 01 5 0 25 7b0 z 7 0 5 0 5 0 5 0- 2.4.24 2 51 20 8 8z 2 51 20 16z520 384z520 2 51 2 Графики функций Кельвина представлены на рисунках 4,5. Глава 3 Использование ЭВМ в учебном процессе. 3.1 Роль ЭВМ в обучении физики. В ходе поступательного развития методики преподавания физики совершенствуются методы обучения и технология педагогического труда, улучшается и обогащается техническая оснащенность

учебного процесса. От примитивного рисунка на песке до использования ЭВМ, позволяющих показать в динамике практически любой физический процесс и проверить знания учащихся - вот путь эволюции технических средств обучения. Дальнейший прогресс в преподавании физики, на мой взгляд, будет тесно связан с широким использованием в учебном процессе мощных современных ПЭВМ и компьютерных сетей локального и глобального масштаба.

Это, в скором будущем, позволит исключить использование такой громоздкой техники как кино, эпи диа- и графопроекция, обучающие и контролирующие устройства. Не надо думать однако, что ЭВМ вытеснит живой эксперимент, позволяющий ученику соприкоснуться с явлением один на один. Речь идет о моделировании тех опытов, постановка которых очень громоздка или невозможна вообще. Эти мыслящие машины должны стать в руках учителя орудием более эффективной передачи знаний подрастающим

поколениям и усиления воспитательного влияния на них. рис. 9,10,11 Однако неправильно считать ЭВМ всесильными. Их применение всегда должно определятся спецификой изучаемой темы и возможностью выразительно передать с их помощью главные особенности изучаемого материала. Так, нельзя изучать физику только сидя за терминалом

ЭВМ. Основой обучения физики должно быть непосредственное специально организованное педагогом восприятие учениками изучаемых явлений. Учитель физики должен знать дидактические возможности применения ЭВМ и в совершенстве владеть приемами их использования. Широкое применение ЭВМ дает возможность на всех этапах обучения 1 повысить эффективность преподавания путем налаживания систематического пооперационного контроля знаний учащихся, индивидуализировать усвоение

знаний в условиях классно-урочной системы, т.е. реализовать разноуровневость в обучении 2 освободить учителя от монотонной технической работы, с тем чтобы он мог больше времени уделять творческой деятельности. 3 развивать у учеников методы самостоятельной работы. Кроме того, позволяет а в ряде случаев дать учащимся более полную и точную информацию об изучаемом явлении с помощью компьютерной мультипликации или компьютерного видео , например, показать тела в состоянии

невесомости, выход человека в открытый космос, доменную структуру ненамагниченного и намагниченного ферромагнетика, быстротечные микропроцессы например процессы в RLC-цепочке, скин-эффект и т.п. б повысить наглядность, создать представления о механизме сложных явлений и тем самым облегчить учащимся их понимание так средствами компьютерной мультипликации даются модельные представления об электрическом токе в проводниках разного рода, явлениях, происходящих в атомных ядрах,

о взаимодействии элементарных частиц и т.д. в ознакомить учащихся с характером быстро и медленно протекающих процессов, а также невидимых явлений г познакомить учащихся с фундаментальными физическими экспериментами, постановка которых в классе затруднена или невозможна опытами Штерна, Резерфорда, Милликена и Иоффе, Стюарта, Кавендиша и т.п. д более успешно решать задачи политехнического образования, поскольку компьютерная анимация позволит дать представление о конструкции машин и механизмов

и о физических принципах их работы, а также показать переход от принципиальной схемы того или иного технического устройства к её конкретному конструктивному решению например видеофрагменты по темам Машины переменного тока , Радиолокация и т.д. е проводить контроль знаний учащихся учитывая их индивидуальные способности т.е. осуществлять разноуровневый подход к контролю знаний учащихся ж усилить воспитательное воздействие на учащихся с этой целью можно использовать видеофрагменты об истории научных открытий и

изобретений 3.2 Методы использования ЭВМ в обучении. Компьютер может использоваться в обучении как 1 Справочное средство. Т.е. использование ЭВМ как банк данных, содержащий различного рода справочную информацию. Это могут быть различные таблицы, чертежи, схемы, тексты и видеослайды т.д. Если терминал подключен к сети, то можно получить информацию которая хранится на других терминалах

или сетевом сервере, а имея модем можно получить доступ к информации хранящейся даже в другой стране или связаться с преподавателем и получить от него нужную информацию. Видеослайды будут прекрасным дополнением к объяснению учителя, а также помогут учащимся осознать материал. 2 Информационное средство. ЭВМ можно использовать как хранилище видео информации. Это могут быть учебные целостные видеофильмы, фрагментарные видеофильмы, видеофрагменты видеоролики

. а Целостный видеофильм - это своеобразная видеолекция, в которой раскрывается весь материал темы. Однако практика показывает, что целесообразно делать их фрагментарными и применять как обзорные. б Фрагментарный видеофильм состоит из нескольких частей, каждая из которых разбита на фрагменты. На уроке можно использовать или только нужный фрагмент, или сочетание нескольких. Весь фильм целесообразно использовать при обобщении или повторении. в

Видеофрагмент - это очень короткий 4-5 мин. показа учебный фильм, посвященный определенному небольшому вопросу он рассчитан на органическое включение его в ход урока. Присущие ему автономность и относительная отрывочность позволяют учителю в соответствии с логикой учебно-воспитательного процесса осуществлять просмотр видеофрагмента тогда, когда это может принести максимальный педагогический эффект. 3 Учебное средство. а Обучающие средство.

ЭВМ выдает ученику подобранную соответствующим образом информацию своего рода электронный учебник , с которой ученик знакомится самостоятельно. Причем в этом случае учитель может контролировать то, информация какого уровня сложности преподносится тому или иному ученику т.е. реализуется разноуровневый подход к обучению . б Контролирующее средство. Это различного рода тестовые программы и электронные задачники, в которых вопросы и задачи подобранны по уровням сложности и даются каждому ученику в зависимости от

его индивидуальных способностей 6 . 3.3 Моделирование физических процессов на ЭВМ. Для изучения того ил иного явления в физике очень часто используется такой метод изучения, как моделирование. Моделирование представляет собой воспроизведение определенных свойств и связей объекта - оригинала в другом, специально созданном объекте - в модели с целью их более тщательного изучения. ЭВМ позволяет создать широкий спектр программных средств и активно использовать их в учебном процессе,

позволяя сделать многие физические задачи доступными и наглядными 1 . Вместе с тем нужно отметить, что самая совершенная модель не может полностью описать явление, а представляет лишь его основные, наиболее характерные черты. Таким образом цель моделирования физического процесса - создание модели является волшебным инструментом познания, позволяющим на разных степенях исследования выделить главные, наиболее существенные характеристики физического процесса.

Каждая модель физического процесса должна отвечать следующим требованиям 1 модель не должна искажать физическую реальность 2 модель должна быть динамичной 3 модель должна базироваться на проверенных данных 4 модель должна действовать в определенных рамках 5 модель должна наглядно представлять физическое явление, для которого создана. Исходя из вышесказанного и были созданы 3 компьютерные программы описывающие а процессы в электрическом колебательном контуре б опыт

Милликена в скин-эффект. 3.4 Краткое описание программ. На основе проведенного теоретического анализа созданы демонстрационные программы Электрический колебательный контур , Опыт Милликена и Скин-эффект . Программы предназначены для работы в диалоговом режиме и дают пользователю возможность непосредственно участвовать в процессе. Ученику изначально предложены варианты данных при которых явление

лучше всего наблюдать, но ученик может по ходу процесса вносить свои изменения. Система помощи позволяет работать с программой даже человеку плохо знакомому с ЭВМ. В системе ссылок указана литература к которой можно обратиться для более подробного изучения материала. В процессе работы ученика на экране представлена вся необходимая для работы информация. На основе программ созданы лабораторные работы, которые в настоящее время используются на физическом

факультете ТГПУ им. Толстого на кафедре общей физики в курсе методики преподавания физики. Описания лабораторных работ прилагаются к дипломной работе. Заключение В ходе выполнения дипломной работы - проведен теоретический анализ моделируемых процессов - выявлены новые эффекты - на основе полученных решений созданы демонстрационные программы - на основе разработанных программ созданы лабораторные работы - лабораторные работы опробованы на физическом факультете

ТГПУ им. Л.Н.Толстого в курсе методики преподавания физики. В дальнейшем автор предпологает продолжать работу в данном направлении. В частности ведется разработка генератора контрольных работ для средней школы. Приложение Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 Рис. 6 Рис. 12 Список используемой литературы. 1. Бурсиан Э.В. Задачи по физике для компьютера Учебное пособие для студентов физ мат. факультетов

пед. институтов, М. Просвещение, 1991, 256 с. 2. Тезисы докладов VI координационного совещания-семинара преподавателей физических дисциплин педагогических ВУЗов Центральной зоны МО РФ Коломна, 21-23 сентября 1993 г. 3. Тезисы докладов II научно-методической конференции Использование научно-технических достижений в демонстрационном эксперименте и в постановке лабораторных

пракикумов , Саранск, 17-19 мая 1994 г. 4. Тезисы докладов 3 Всеросийского с участием стран СНГ совещния-семинара Применение средств вычислительной технки в учебном процессе кафедр физики, высшей и прикладной математики , Ульяновск, 12 сентября 1995 г. изд-во УГТУ, Ульяновск 1995. 5. Гулд Х Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике,

М Мир,1990 г. 6. Информатика и образование , 3-6, 1995 г. 7. Физика в школе , 4, 1994 г. 8. Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш, Специальные функции формулы, графики, таблицы , Москва Наука, 1977, ст. 176-245, 262-284. 9. Математическая энциклопедия, Москва Наука 1985, Т. 2 стр. 846,Т. 5 стр. 819-825. 10.

Калиткин Н.Н Численные методы, М. Наука, 1978, ст.246-250. 11. Калашников С.Г Электричество, М. Наука ,1985, 576 с. 12. Физическая энциклопедия, Москва Наука, 1995, Т. 3, 4. 13. Савельев И.В Курс физики, М. Наука, 1981, Т.1 493 с. 14. Сивухин Д.В Общий курс физики , М. Наука 1977,

Т.3, 687 с. 15. Ландау Л.Д Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, М. Наука 1982 Т.8,Т.10 16. Шпольский Э.В Атомная физика, Т.1,М.Наука 1984, 14-20 с. 17. Бугаев А.И Методика преподавания физики в средней школе теоретические вопросы , Москва 1981. 18. Камке Е Справочник по дифференциальным уравнениям6 М. Наука, 1979. 19. Филимонов С.Р Судьба классического закона,

Библиотека Квант, выпуск 79, 1989, 65-82 с. 20. Хорошавин С.А Техника и технология демонстрационного эксперимента М. Просвещение, 1978, 78-79 с. 21. Лекционный демонстрационный эксперимент под ред. Ивероновой, М. Просвещение, 1976, 89 с. 22. Шахмаев Н.М Павлов Н.И Тыщук В.И Физический эксперимент в средней школе,

М. Просвещение, 1979, ч 1-2. 23. Городько А.Б Романов Р.В Компьютерное моделирование процессов в электрическом колебательном контуре, тезисы докладов 3 Всеросийского с участием стран СНГ совещ ния-семинара Применение средств вычислительной технки в учебном пр цессе кафедр физики, высшей и прикладной математики , Ульяновск, 12- сентября 1995 г. изд-во УГТУ, Ульяновск 1995, ч.2, с.28-29. 24.

Городько А.Б Романов Р.В Компьютерное моделирование опыта Милликена в курсе электромагнетизма, Тезисы XXII Толстовских чтений. Рис. 7 Рис. 8