Вадим Руднев
Еееще называют символической логикой. Математическая логика — это та же самаяАристотелева силлогистическая логика, но только громоздкие словесные выводызаменены в ней математической символикой. Этим достигается, во-первых,краткость, во-вторых, ясность, в-третьих, точность. Приведем пример. Известныйсиллогизм. Большая посылка: «Все люди смертны». Малая посылка:«Сократ — человек». И вывод: «Следовательно, Сократсмертен». Мы можем заменить имена «Сократ», «человек»и свойство «быть смертным» буквами, соответственно С, х и у. Слово«все» называется квантором всеобщности — о нем мы скажем ниже. Онообозначается так называемой гротесковой перевернутой буквой А:
У*
Итак,запишем символически большую посылку: *
У(х)(у),то есть для всех индивидов х соблюдается свойство у — все люди смертны. Теперьзапишем символически малую посылку С(х), то есть индивид С обладает свойствомх, — Сократ смертен. И вывод: С(у), то есть индивид обладает свойством у.Сократ смертен. Теперь запишем весь силлогизм в виде импликации (логическогоследования): *
У(х)(у)аС(х)->С(у)
Тоесть, «если все люди смертны и Сократ человек, то Сократ смертен».Если записывать словами, то надо использовать более 60 символов (букв), а еслисимволически, то нужно всего 12 символов, в 5 раз меньше. Если нужно решатьсложную задачу, экономия становится очевидной.
Такили иначе, но только в конце ХIХ в. немецкий логик Готтлоб Фреге сформулировалсимволическое исчисление, и лишь в начале XХ в. Бертран Рассел и АльфредУайтхед в трехтомном труде «Principia Mathematica» построили стройнуюсистему математической логики.
ВМ. л. два типа символов — переменные, которые обозначают объекты, свойства иотношения; и связи, символизирующие логические отношения между предметами ивысказываниями. Для наших целей достаточно различать следующие связки:
а- конъюнкция, соединение; читается как союз «и», во многомсоответствует ему по смыслу; *
У- дизъюнкция, разделение; читается как союз «или»;
->- импликация, следование; «если… то...»;
~- отрицание; «неверно, что...»;
=- эквивалентность; «то же, что и...»
Воснове любой логической системы лежат несколько недоказуемых очевидных аксиом,так называемых законов логики. В обычной двузначной логике, то есть в такойлогике, высказывания которой имеют два значения (истина и ложь), выделяютчетыре основных закона.
1.Закон тождества: р = р; то есть любое высказывание эквивалентно самому себе.Тождество объекта самому себе — вообще исходное начало для любого мышления. Ноне во всякой логике это является законом. Например, в контексте алетическихмодальностей (см. модальности) мы можем сказать: «Возможно, что дождьидет» и «Возможно, что дождь не идет» — и это не будетпротиворечием. В обычной логике пропозиций предложения «Идет дождь» и«Не идет дождь» будут противоречиями.
2.Закон двойного отрицания: р = ~~р; то есть утверждение эквивалентно егодвойному отрицанию. «Дождь идет» = «Наверно, что Дождь неидет».
3.Закон исключенного третьего: *
(рУ ~р); то есть либо высказывание истинно, либо оно ложно — третьего не дано(применимость закона исключенного третьего ограничена конечными множестваобъектов; см. об этом многозначные логики).
4.Закон противоречия: ~(р а ~р); то есть неверно, что высказывание может бытьодновременно истинным и ложным.
Следуетввести еще два понятия, одно из которых мы уже ввели в самом начале статьи. Досих пор мы говорили о высказывании как о чем-то нерасчлененном, но увысказывания есть субъект и предикат. Часть М. л., занимающаяся отношениямимежду субъектом и предикатом высказываний, называется теорией квантификации.Свойство или отношение, которое выражает предикат, может быть присуще всемсубъектам данного множества или только некоторым из них. Например, высказывание«Собаки бывают черными» означает, что некоторое количество собак извсего множества собак имеет свойство «быть черным». Символ, накоторый мы заменим слово «некоторые», называется кванторомсуществования, или экзистенциальным квантором, и обозначается гротесковойобращенной буквой *
Е3 *
3(х)(у) — некоторые собаки черные.
Носуществуют свойства, характерные для всех собак. Например, у всех собак(разумеется, живых) есть голова. Символ, на который мы поменяем слово«все», это уже известный нам квантор всеобщности, или универсальныйквантор: *
У(х)(у)- все собаки по природе обладают головой.
Взаключение сформулируем основной закон квантифицированной логики: * У(х)(у)->3 (х, у)
Тоесть если данным свойством обладают все объекты, то им обладают и некоторыеобъекты. Кажущаяся тривиальность законов логики оправдывается дальнейшим ходоммышления. Как писал Людвиг Витгенштейн, «Если вы знаете, что у вас естьруки, дальнейшее гарантируется».
Список литературы
КлиниС. Математическая логика. — М., 1974.
ЧерчА. Введение в математическую логику. — М., 1959. />
Дляподготовки данной работы были использованы материалы с сайта lib.ru/