А.В. Воронов Московский городской педагогическийуниверситет, Москва
Однимиз распространенных методов познания биологических объектов являетсямоделирование. Этот метод позволяет, используя основные законы физики,механики, математики, биологии, физиологии и других наук, объяснитьфункциональную структуру изучаемого процесса, выявить его существенные связи свнешними объектами, внутреннюю организацию, оценить количественныехарактеристики. Наиболее полно отражает гносеологическую суть моделиопределение В.А. Штофа [23]: «Под моделью понимается такая мысленнопредставленная или материально реализованная система, которая, отображая иливоспроизводя объект исследования, способна замещать его так, что ее изучениедает нам новую информацию об этом объекте». Поиск аналога оригиналавозможен на основе следующих типов моделей:
— детерминированные модели — модели, построенные на системах алгебраических,регрессионных и дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных;
— статистические модели, предсказывающие вероятность различных событий.
Общиеподходы к моделированию движений человека. Моделирование локомоций человека вспортивной биомеханике, робототехнике, эргономике, физиологии, реабилитационнойи космической медицине ведется по следующим направлениям:
— исследование центральной и периферической организации нормальных ипатологических двигательных действий;
— помощь в диагностике и коррекция нарушений опорно-двигательного аппарата споследующей реабилитацией;
— оптимизация рабочего места оператора в системе человек-машина;
— разработка рациональных вариантов двигательных действий с целью достижениязапланированного спортивного результата.
Созданиебиомеханических моделей основывается на двух типах информации: теоретическихзнаниях об изучаемом двигательном действии и экспериментальных данных,полученных методами видеоанализа, электромиографии, гониометрии и др.
Общаятеория моделирования предполагает возможность [33] построения комплексноймодели, т.е. включение в модель максимального числа параметров. Подобнаятенденция при создании биомеханической модели может привести к тому, что такаямодель будет слишком трудной для понимания.
Посколькумодель есть упрощенное (иногда весьма) отражение двигательного действия,необходимо на начальной стадии моделирования определить существенные и несущественныесоставляющие модели, т.е. решить, какие параметры включать в модель, а какимипренебречь. Чем проще модель, тем быстрее ее можно создать и тем меньшевероятность ошибок при написании формализованной части. Баланс междукомплексностью модели и ее информационной значимостью зависит от целеймоделирования. Модель, работающая по системе «черного ящика» ифункционирующая в реальном режиме времени, в некоторых случаях намного полезнеесамой подробной модели, дающей результаты после многочасовых расчетов.
Каждаямодель должна удовлетворять метрологическим правилам надежности идостоверности. Свойство «надежность» отражает способность моделидавать сходную информацию вне зависимости от того, кто этой моделью пользуется.В «хороших» моделях возможность субъективной подстройки параметровмодели под ожидаемый результат отслеживается программной частью и сводится кминимуму.
Достоверностьмодели заключается в ее способности отражать исследуемый биомеханическийпроцесс. Если теоретические и экспериментальные значения согласуются — модельдостоверна. Однако не всегда возможно оценить точность некоторых параметровмодели экспериментальными методами. Например, силы межзвенных реакций нельзяизмерить силоизмерительными датчиками без нарушения целостности двигательногоаппарата человека. На помощь приходят косвенные методы оценки достоверностимодели. Для случая межзвенных сил можно ограничиться измерениями реакций опорыс помощью силоизмерительных платформ. Если модель дает реакции опоры, близкие квеличинам, зарегистрированным с помощью силоизмерительных устройств, то сбольшой долей вероятности можно считать, что такая модель корректно оценивает исилы в суставах.
Моделированиедвигательного аппарата человека. Локомоторный аппарат состоит из трех систем:
— скелета, состоящего из костей, суставов и связок, обеспечивающих жесткость телачеловека и противодействие силе тяжести;
— мышечной системы, состоящей из мышц и сухожилий, выполняющих функциюдвижителей;
— нервной системы, обеспечивающей управление и мышечным сокращением и контроль заним.
Трисистемы анатомически и функционально объединены друг с другом. Мышцы соединеныс костной системой в местах крепления сухожилий и апоневрозов к скелету.Нервная система связана с мышцами посредством мотонейронов и проприоцепторов.Нервная система организует активацию и сокращение мышц, рецепторы мышц черезмеханизм обратной связи влияют на работу мотонейронов. Длина мышц и,следовательно, состояние рецепторного аппарата определяются геометрическимиразмерами скелета и углами в суставах.
Всвязи с анатомическими особенностями строения тела человека антропоморфнаямодель может быть представлена тремя видами моделей, анатомическая основакоторых следующая: а) кости и суставы; б) мышцы, сухожилия, кости, суставы исвязки; в) нервная система, мышцы, кости, суставы и связки.
Преждечем моделировать такую сложную систему, как тело человека, необходимоопределить цель моделирования и исходя из нее выбрать модель. Структура моделипредполагает задание числа звеньев, тип суставов, количество и вид движителей.Если представить полную модель тела человека, состоящую из костей позвоночникаи черепа, верхней и нижней конечностей, то такая модель будет состоять болеечем из 80 твердых тел (костей) и иметь 250 степеней свободы [37]. Создать математическийалгоритм такой комплексной и «необозримой», в смысле размерности,задачи достаточно трудно. В настоящее время из моделей тела человека наиболееполными являются: 16-17-звенные модели с 40-44 степенями свободы, разработанные[2, 30, 10, 11].
Взависимости от целей исследования выбирают и вид модели. Наиболее частоиспользуют 11-звенную плоскую модель. Подобная модель с высокой точностьюописывает такие локомоции, как ходьба, легкоатлетический бег, бег на коньках[37, 41].
Исследованиелокомоций человека с помощью плоской многозвенной модели осуществляется как ввиде прямой, так и в виде обратной задач динамики.
Прирешении прямой задачи динамики вводят начальную конфигурацию системы, а такжевектор управления. После численного интегрирования системы дифференциальныхуравнений находят конечную конфигурацию системы и кинематические и динамическиетраектории [30, 31, 22, 13, 14, 16, 24]. Для того чтобы при решении не былиискажены физиологические параметры, добавляют некоторые ограничения на кинематикуи динамику модели. Например, при моделировании мышечной системы добавляютзависимости «сила-скорость », «сила-длина » [26, 39]. Дляупрощения решения системы дифференциальных уравнений достаточно частолинеаризуют уравнения [22, 3]. При моделировании, основанном на интегрированиидифференциальных уравнений, необходимо найти ответ на вопрос: «Какимидолжны быть начальные кинематические и динамические параметры, для того чтобымеханическая система перешла из одного известного положения в другое?»
Прирешении обратной задачи динамики по известной кинематике находятсясилы/моменты, вызвавшие это движение. Особое внимание при таком способемоделирования уделяется уравнениям. Они должны как можно точнее описыватьисследуемый биологический процесс с учетом физических, анатомических ифизиологических параметров [19, 36]. Например, при моделировании бега наконьках [6, 41] учитываются силы аэродинамического сопротивления сегментов телаи силы трения коньков о лед. Для оценки нагрузки на мышечную систему используютуравнения «сила-время», «сила-скорость»,«сила-длина», периоды электрической активности мышц [30].
Прирешении как прямой, так и обратной задачи механики предположения, лежащие воснове построения модели тела человека, следующие:
— сегменты тела человека (включая туловище) абсолютно твердые;
— все суставы идеальные;
— длины сегментов, положения центров масс известны;
— определены линейная и угловая кинематика звеньев тела;
— массы, тензор моментов инерции звеньев тела известны;
— силы реакции приложены в центрах вращения в суставах;
— моменты управления являются функциями сил межзвенных реакций, углов, угловыхскоростей;
— силы сопротивления внешней среды известны.
Остановимсянесколько подробнее на некоторых предположениях, сделанных выше. Утверждение отом, что все сегменты тела человека абсолютно твердые, вполне корректно длятаких сегментов, как плечо, предплечье, бедро и голень. Для стопы предположениеоб абсолютной твердости является вынужденным [15]. Идеальные цилиндрическиешарниры не отражают анатомии суставов, однако удобны для математическогомоделирования.
Предположениео наличии движителей в суставах в виде мышечных моментов позволяет избежатьнеобходимости включения в модель плеч тяги мышц. Несмотря на спорность многихпредположений, применяемых при построении антропоморфных моделей, эти моделиработают и дают исследователям необходимую информацию о кинематике и динамикелокомоций человека [2].
Моделиуправления антропоморфного механизма. После создания антропоморфной модели необходимовыбрать систему управления звеньями тела. Наиболее простой вид управленияпредставляют приводы, создающие моменты в шарнирах [31]. Каждый привод создаетмомент относительно оси вращения в суставе. Схема управления приводами основанана реципрокном торможении антагонистов: момент создают только мышцы-агонисты,момент антагонистов равен нулю. Задача с приводным управлением при известныхсилах реакции опоры всегда однозначно разрешима.
Втом случае, если в качестве движителей рассматриваются мышцы, число неизвестныхмного больше степеней свободы антропоморфного механизма. Так, управлениеверхней конечностью с 7 обобщенными координатами в модели [34] осуществляется32 мышцами. Движения в трех суставах нижней конечности осуществляются какминимум 9 мышцами [40, 17]. Для нахождения решения в таких моделях, когда числонеизвестных больше числа уравнений, необходимо создать алгоритм управлениямышцами, отличный от приводного. Поскольку координационные механизмыпреодоления мышечной избыточности ясны не до конца, исследователи придумываютсхемы управления двигательными действиями на основе известных математическихалгоритмов. Наиболее часто встречающимся математическим способом преодолениямышечной избыточности является метод минимизации целевой функции. В биомеханическихисследованиях целевые функции чаще всего отражают следующие физиологическиепараметры: минимумы метаболической энергии, механической работы, сил тяги мышци т.п. Предлагаемые критерии поверхностно отражают механизмы управления ЦНСмышцами, однако для некоторых типов локомоций принцип минимума целевой функциидает результаты, близкие к экспериментально измеренным силам тяги мышц [27, 28,31].
Механизмыуправления мышечной активностью и скоростно-силовыми характеристиками мышцподробно исследованы в односуставных движениях [32, 21] и локомоциях,совершаемых преимущественно в одной плоскости, таких, как ходьба, вертикальнаястойка, прыжки вверх.
Силытяги мышц, мышечные синергии в пространственных локомоциях, к которым относитсябольшинство спортивных движений, изучены недостаточно.
Понашему мнению, метод имитационного моделирования является подходящиминструментом, способным исследовать механизм управления в пространственныхдвижениях человека. С помощью этого метода можно количественно оценить каквнутреннюю (координационную) структуру двигательных действий (через амплитуду изнаки мышечных моментов), так и внешние проявления мышечной активности — скорости и силы в центрах масс сегментов [4].
Исследованиебиологических систем методом имитационного моделирования. Имитационноемоделирование проводится с целью изучения сложных биологических систем.Например, энергообеспечение мышечной деятельности [20], мышечное сокращение[1]. Эти модели имеют большую размерность, и не до конца ясны и формализованымеханизмы изучаемых процессов. Такие модели могут состоять как из логических(неформализованных), вероятностных, так и математических блоков.
Термин«имитация» означает такой подход к изучению систем, когда информацияо функционировании этой системы и ее частей получается за счет многократногопроигрывания на ЭВМ модели системы. Результатами многократного повторениямодели биологического объекта с различными входными физиолого-анатомическимипараметрами, формами математической связи между составляющими биологическойсистемы являются:
а)оптимальный вариант управления системой;
б)наилучший режим функционирования;
в)рациональный способ ее применения [20, 12];
г)корригируется поведение реальной системы (например, тактические действияспортсмена на дистанции [20] и
д)делается предпочтительный выбор техники движений [6, 41].
Посколькупри моделировании биологических систем часть компонентов неизвестны илиизвестны неточно, имитационная модель, описывающая биологический процесс,является всего лишь его копией. В зависимости от точности модельных блоковрезультаты компьютерного перебора модельных вариантов позволяют: а) рассчитатьискомые параметры или б) определить тенденции в поведении биологическойсистемы, в том числе и антропоморфного механизма.
Изменениенекоторых входных данных антропоморфной модели влияет на силы, моменты,мощности в суставах, механическую работу, поэтому исследователь можетопределить, каким образом каждый параметр влияет на конечный результат. Такаяпостановка имитационной задачи сводится к ответу на вопрос: «Что,если?».
Имитационноемоделирование в биомеханике. Метод имитационного моделирования применительно кбиомеханическим задачам позволяет, не регистрируя кинематику и динамикудвигательного действия, только по кинетограмме, созданной на компьютере:
а)оценить [6, 41] максимальные усилия мышц;
б)определить суставы, на которые больше всего падает нагрузка с цельюпредотвращения травм;
в)рассчитать механические энергозатраты и разработать эффективные вариантыдвигательных действий и т. п.
Припостроении имитационных антропоморфных компьютерных моделей исходили из того,что движение человека можно представить в виде определенной последовательностифаз, повторяющихся двигательных циклов. В большинстве локомоций человека кинематическиепараметры движения достаточно хорошо изучены. Известны временная длительностьфаз, средняя скорость звеньев в фазах, углы и угловая скорость в суставах вначале и конце каждой фазы. Так, нормальная ходьба состоит из следующих фаз:переднего толчка, заднего толчка и маха. В беге на коньках фазовый составдвижения следующий: фазы свободного проката (I фаза), одноопорного отталкивания(II фаза) и двухопорного отталкивания (III фаза) [18]. Рассмотрим задачуимитационного моделирования локомоций человека на примере бега на коньках.
Заданиекинематических характеристик локомоций. При моделировании движения человека спомощью ЭВМ разработали следующий алгоритм:
а)модели тела человека придавали форму, соответствующую началу/окончанию фаз,например для бега на коньках такие положения, как «начало свободногопроката», «начало одноопорного» и «окончание двухопорногоположения» (рис. 1), назвали их «базисные кинематическиеположения»;
б)задавали время между фазами и среднюю скорость полюса модели (тазобедренногосустава) в фазах;
в)в качестве интерполирующей функции — математической зависимости, дающейкинематическую последовательность между базисными точками, применяли сплайны(кубический сглаживающий или интерполяционный). Использование сплайна позволяетполучить кинетограмму движения с любым временным интервалом между точками.
Привыборе математической зависимости, связывающей время и кинематику движения,необходимо учитывать:
1)наличие «разрывов» в производных, т.е. таких элементов в фазах, прикоторых происходят быстрые изменения в скорости. Например, при постановке стопына опору при ходьбе, беге, прыжках происходит резкое изменение вертикальногоускорения. Следовательно, если рассматривать локомоции с быстро меняющейсяскоростью за аппроксимирующую функцию, следует взять тригонометрическиеполиномы [25] или кусочно-полиномиальные функции, дающие лучшее приближениемодельной кинематики к реальной в точках «разрыва» скоростей [2];
2)в том случае, если моделируются движения, у которых отсутствуют быстрыеизменения скоростей, например: бег на коньках, плавание, бег на лыжах, то припостроении кинетограммы подобных локомоций на ЭВМ можно использовать гладкиефункции типа полиномов: алгебраического или интерполяционного сплайна [29],сглаживающих сплайнов 3-й или 5-й степени.
Началосвободного проката (А)
/>
Началоодноопорного отталкивания (Б)
/>
Началодвухопорного отталкивания (В)
/>
Рис.1. Базисные кинематические положения при моделировании бега на коньках
/>
Рис.2. Положительное направление моментов в суставах толчковой ноги
/>
Рис.3. Механическая работа в суставах толчковой ноги относительно оси Xинерциального базиса при разной скорости бега на коньках
Необходимоотметить, что математические зависимости, описывающие кинематику модели(сплайны, тригонометрические полиномы), весьма чувствительны к способу заданияначальных (базисных) кинематических данных и к краевым условиям [35]. Например,произвольность по времени между базисными точками может привести к тому, чтокинетограмма модели станет существенно отличаться от реального движения.
Длятого чтобы избежать искажения кинематики в имитационной модели перед еесозданием поступили следующим образом:
а)исследовали кинематику моделируемой локомоции (бег на коньках по прямой) спомощью видеорегистрирующей методики. Наличие исходных кинематических данных сдискретностью 40 мс (частота видеорежима PAL) дает возможность с приемлемойточностью определить кинематические параметры модели;
б)чтобы краевые условия не влияли на скорость и ускорение изучаемого движения,справа и слева от изучаемого цикла задавали дополнительно не менее трех фаз[41].
Трехмернаяимитационная модель локомоций человека (на примере бега на коньках).Пространственная имитационная модель локомоций человека была реализована длябега на коньках по прямой. Уравнения модели, описывающие трехмерное движениезвеньев тела, даны в [10]. Построение имитационной модели проходило в несколькоэтапов:
1.На первом этапе определили масс-инерционные характеристики сегментов телаконькобежца: массы, моменты инерции звеньев, положения центров масс ибиомеханические длины звеньев [7, 9].
2.На втором этапе исследовали особенности движения конькобежца в двухопорнойфазе. Для этого оценили величину поперечного смещения звеньев тела конькобежца,рассчитали центробежную силу, действующую на толчковый конек, и тем самым ввелиограничения на «разгрузку толчковой ноги» в двухопорной фазе. Прирасчете загрузки опорной ноги и моментов в суставах применяли уравнения изработы [5].
3.На третьем этапе определили аэродинамическое сопротивление сегментов телаконькобежца. Включение в модель аэродинамических сил необходимо, так какаэродинамическое сопротивление — основная тормозящая сила, действующая наконькобежцев. Коэффициенты аэродинамического сопротивления Сх для разных формпосадки конькобежцев в зависимости от скорости и вида бега: с руками или безрук, по прямой или по повороту — составили от 0,75 до 1,2 [8, 38]. Суммарнаявеличина сопротивления воздуха для всего тела конькобежца (сила, приложенная кОЦМ) в зависимости от формы посадки при скорости бега 15 м/c составляет 45-61Н. Наибольшее воздействие силы аэродинамического сопротивления приходится натуловище — около 30% от суммарной силы. Аэродинамическое сопротивление голени ибедра ног не превышает 10 Н.
4.На четвертом этапе рассчитали кинематические характеристики имитационной моделибега на коньках. К ним относятся: длина шага, длительность фаз: свободногопроката, одноопорного отталкивания и двухопорного отталкивания; средняяскорость по фазам, ширина «елочки», формы посадки конькобежцев.
Вышебыло сказано, что способ задания базисных точек кинетограммы существенно влияетна скорости и ускорения изучаемого движения и, значит, на результаты решенияОЗД. При моделировании бега на коньках для более точного задания линейных иугловых характеристик локомоций использовали данные видеосъемки конькобежцев.Перед тем как создать кинетограмму бега на ЭВМ, сначала методом биомеханическойвидеосьемки и компьютерных программ определяли углы, угловые скорости всуставах в трех положениях: в начале фазы «свободного проката» (рис.1А); в начале одноопорного отталкивания (рис. 1Б); в начале двухопорногоотталкивания (рис. 1В); в завершении двухопорного отталкивания (рис. 1Б).
Знаярасстояние между масштабными метками на дорожке, определяли путь и среднююскорость тазобедренного сустава (полюса модели) между базисными точками впродольном направлении.
Аналогичнуюпоследовательность в обработке кадров применяли и для видеоряда поперечныхдвижений конькобежцев.
5.На пятом этапе в компьютерную модель включили данные по анатомическому строениюмышц нижней конечности конькобежцев — точки крепления мышцы к костям,физиологический поперечник, длины мышечной и сухожильной частей, составволокон; угол перистости [9].
6.На шестом этапе решали обратную задачу — определения динамики для 16-звеннойпространственной модели тела человека.
Выходныепараметры модели. В результате компьютерного моделирования бега на конькахопределяли следующие биомеханические параметры:
а)управляющие (суставные) моменты;
б)механическую работу и мощность, развиваемую в суставах;
в)скорости 7 мышц нижней конечности и
г)силы тяги 7 мышц ноги.
Применениеимитационного моделирования для определения биомеханических характеристик бегана коньках с рекордной скоростью. Продемонстрируем возможности методаимитационного моделирования с целью определения модельных динамическиххарактеристик бега на коньках с рекордной скоростью. Для этого определилидинамические и энергетические параметры, такие, как: а) механическая работа иб) мощность при различных скоростях бега, включая рекордную скорость 15 м/с.
Среднююскорость бега в фазах, углы в суставах, фазовый состав движения определили на основерезультатов биомеханического исследования темпо-ритмовых характеристик бега напрямой участников забегов на дистанциях 1500 и 5000 м зимних Олимпийских игр вНагано и Солт-Лейк-Сити.
Механическаяработа в зависимости от скорости бега. Моменты, направленные на разгибание всуставах (моменты относительно поперечных осей), придают ускоренное движениеОЦМ тела (рис. 2). Расчет механической работы в тазобедренном, коленном иголеностопном суставах толчковой ноги при разной скорости бега проводили в проекциина ось X инерциального базиса. Результаты расчетов представлены на рис. 3.
Сувеличением скорости бега механическая работа в суставах не имеетоднонаправленной тенденции к возрастанию. Так, работа в тазобедренном суставепочти не меняется — 74-69 Дж, в коленном — возрастает с 52 (V=11 м/с) до 92 Дж(V=15 м/с); а в голеностопном — увеличивается в 2,8 раза — с 55 (V=11 м/с) до159 Дж (V=15 м/с).
Механическаямощность в суставах толчковой ноги. Помимо механической работы рассмотрим ещеодин показатель силовой активности мышц — мощность (также в проекции на ось Xинерциального базиса). Мощность по своим составляющим: угловой скорости имоменту — в большей степени соответствует физиологическим особенностямфункционирования мышцы, а именно зависимости «сила-скорость».Увеличение скорости бега с 11 до 15 м/с меняет экстремум мощности втазобедренном суставе на 24%. В коленном и голеностопном суставах с увеличениемскорости бега максимальная мощность возрастет в два раза (рис. 4).
Заключение.Применили метод имитационного моделирования к задачам, связанным с изучениемдвигательной деятельности человека в экстремальных условиях. На примере бега наконьках с рекордной скоростью 15 м/с были определены «ведущие»суставы, в которых развивается максимальная мощность и совершается наибольшаямеханическая работа. Такими суставами являются коленный и голеностопный. Сростом скорости бега с 11 до 15 м/с механическая работа увеличивается вколенном суставе почти в два раза — с 52 до 92 Дж, в голеностопном — в три раза- с 55 до 159 Дж (см. рис. 3). Механическая суставная мощность — косвенныйпоказатель напряженности мышечной работы — свидетельствует о том, чтоголеностопный сустав за счет шарнира между лезвием конька и ботинком становитсяведущим суставом, обеспечивающим рост скорости бега до 15 м/с (см. рис. 4).
/>
Рис.4. Мощности разгибания в суставах толчковой ноги при разной скорости бега
Список литературы
1.Агапов Б.Т. Имитационное моделирование сократительной функциипоперечно-полосатой сердечной мышцы: Автореф. докт. дисс. М., 1993.
2.Алешинский С.Ю. Результаты решения основной задачи биодинамики. — В кн.: Совершенствованиеуправления системой подготовки спортсменов высшей квалификации. Биодинамикаспортивной техники / Под ред. В.М. Зациорского. — М.: ГЦОЛИФК, 1978, с. 87-117.
3.Белецкий В.В. Двуногая ходьба: модельные задачи динамики и управления. — М.:Наука. 1984. — 288 с.
4.Бернштейн Н.А. О построении движений. — М.: Медгиз, 1947.- 252 с.
5.Воронов А.В., Лавровский Э.К. Моделирование на ЭВМ двухопорной фазыотталкивания конькобежцев на прямой // Теория и практика физ. культуры. 1989, №2, с. 29-32.
6.Воронов А.В., Лавровский Э.К. О моделировании рациональных вариантов техникибега на коньках. — В кн.: Современные проблемы биомеханики, 1992, вып. 7, с.144-163.
7.Воронов А.В., Селуянов В.Н., Чугунова Л.Г. Распределение массы телаконькобежцев разной квалификации // Конькобежный спорт: Ежегодник. — М.: ФиС,1983, с. 43-44.
8.Воронов А.В., Юдин Г.В., Белякова З.Н. Исследование свойств обтекания ивеличины лобового сопротивления плохообтекаемого тела на примереспортсмена-конькобежца. — ВИМИ, депонированная рукопись, 23 декабря 1986 г., №Д07075, серия «СВ» выпуск 04 за 1986 г.
9.Воронов А.В. Анатомическое строение и биомеханические характеристики мышц исуставов нижней конечности. — М.: Физкультура, образование и наука, 2003. — 203с.
10.Вукобратович М. Шагающие роботы и антропоморфные механизмы. — М.: Мир, 1976. — 541 с.
11.Вукобратович М., Стокич Д. Управление манипуляционными роботами: теория иприложения. — М.: Наука, 1985. — 384 с.
12.Загревский В.И. Программирование обучающей деятельности спортсменов на основеимитационного моделирования движений человека на ЭВМ: Автореф. докт. дисс.Томск, 1992.
13.Зинковский А.В., Макаров Н.В., Шолуха В.А. Компьютерный анализ адекватныхмоделей антропоморфных локомоций. — В кн.: Кибернетика и вычислительная техника,1990, вып. 86б, с. 56-60.
14.Зинковский А.В., Шолуха В.А. Антропоморфные механизмы, моделирование, анализ исинтез движений: Учеб. пос. — Л.: СПбГТУ, 1992, 71 с.
15.Меделевич И.А. Стопа. — В кн.: Клиническая биомеханика. — Л.: Медицина, 1980,с. 82-106.
16.Новожилов И.В., Кручинин П.А., Копылов И.А. и др. Математическое моделированиесгибательно-разгибательных движений нижних конечностей при изменениивертикальной позы человека. — М.: Изд-во механико-математического факультета.2001. — 52 с.
17.Прилуцкий Б.И., Зациорский В.М. Нахождение усилий мышц человека по заданномудвижению. — В сб.: Современные проблемы биомеханики. Вып. 7. Нижний Новгород,1993, с. 81-123.
18.Соколов М.П. Конькобежный спорт. — М.: ФиС, 1955. — 339 c.
19.Третьяков В.П., Штарк М.Б., Шульман Е.И. и др. Принципы построения ифункционирования проблемно-ориентированных программных систем автоматизацииисследований в экспериментальной биологии на основе микроЭВМ и КАМАК //Автометрия,1986, № 3, с. 3-22.
20.Уткин В.Л. Биомеханические аспекты спортивной тактики. М., 1984. — 128 с.
21.Фельдман А.Г. Центральные и рефлекторные механизмы управления движениями. — М.:Наука, 1979. — 184 с.
22.Формальский А.М. Перемещение антропоморфных механизмов. — М.: Наука, 1982. — 368 с.
23.Штоф В.А. Моделирование и философия. М.-Л., 1966. — 275 с.
24. ByoungHwa Ahn, Gye-San Lee, Bo-Yeo Kim. A mathematical modelingof the human upper extremity: an application of its model to the simulation ofbaseball pitching motion // Korean Journal of Sport Science, 1993, Vol. 5, p.5-81.
25. Capozzo A. A general computing method for the analysis of humanlocomotion // Journal of Biomechanics, 1975, Vol. 18, p. 307-370.
26. Chow C.K., Jakobson D.H. Studies of human locomotion via optimalprogramming // Mathematical biosciences, 1971, Vol. 10, p. 239-306.
27. Dul J., Jonson G.E., Shiavi R., Townsend M.A. Muscular synergism- II. A minimum-fatigue criterion for load sharing between synergist muscles //Journal of Biomechanics, 1984b, Vol. 17, p. 675-684.
29. Dul J., Townsend M.A., Shiavi R., Jonson G.E. Muscular synergism- I. On criteria for load sharing between synergist muscles // Journal ofBiomechanics, 1984a, Vol. 17, p. 663-673.
30. Dunfield D.L., Read J.F. Determination of reaction rates byusing cubic spline interpolation // The Journal of Chemical Physics, 1972, Vol.57, N 5, p. 2178-2183.
31. Hatze H. Myocybernetic control models of skeletal muscle. — University of south Africa, Muckleneuk, Pretoria, 1981. — 193 p.
32. Hemami H. Modelling, control, and simulation of human movement// CRC Critical Reviews in Biomedical Engineering, 1988, Vol. 13, Issue 1, p.1-34.
33. Herzog W. Individual muscle force prediction in athleticmovements. — PHD Thesis, 1985, The University of Calgary, p. 1-278.
34. Karpus W.J. The spectrum of mathematical modeling and systemssimulation. — In: Simulation of systems, ed. L. Dekker, Delft, 1976, pp. 5-13.
35. Kedzior K., Zagrajek T. A biomechanical model of the humanmusculoskeletal system. — In Human and Mashine Locomotion, ed. A. Morecki andK.J. Waldron. Springer-Verlag Wien New York 1997, p. 125-153.
36. Laughlin T.M.Mc, Dillman C.J., Lardner T.J. Biomechanicalanalysis with cubic spline functions // Research Quarterly for Exercise andSport, 1978, Vol. 48, N 3, p. 569-581.
37. Lumb J.R. Computer simulation of biological systems. — Molecularand Cellar Biochemistry, 1987, Vol. 73, p. 91-98.
38. Morecki A. Modeling and simulation and walking robot locomotion.- In Human and Mashine Locomotion, ed. A. Morecki and K.J. Waldron.Springe-Verlag Wien New York 1997, p. 1-79.
39. Schenau Ingen Van G.J., Bakker K.A. Energy cost of speed-skatingand efficiency of work against air resistance // Journal of Biomechanics, 1976,Vol. 40, N 4, p. 584-4591.
40. Seyfarth A., Blickhan R., Van Leeuwen J.L. Optimum take-offtechniques and muscle design for long jump // The Journal of ExperimentalBiology, 2000, Vol. 203, p. 741-750.
41. Voronov A.V., Lavrovsky E.K. Muscle force prediction model inspeed-skating — International Society of Biomechanics XIV-th Congress, Paris,July 4-8, 1993, p. 1432-1433.
42. Voronov A.V., Lavrovsky E.K., Zatsiorsky V.M. Modelling ofrational variants of the speed-skating technique // Journal of Sport Sciences,1995, Vol. 13, N 2, april 1995, p. 153-170.
Дляподготовки данной работы были использованы материалы с сайта lib.sportedu.ru/