--PAGE_BREAK--КВАНТОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ЧЕРНЫХ ДЫР.
Утверждение, что конечное состояние черной дыры стационарно, правильно лишь в рамках обычной, не квантовой теории тяготения. Квантовые эффекты ведут к тому, что на самом деле черная дыра должна непрерывно излучать, теряя при этом свою энергию.1
Поле тяготения черной дыры очень велико (именно поэтому оно производит над падающим телом работу, соизмеримую с его энергией покоя). Рассматривая чисто динамическую задачу о рождении частиц в таком гравитационном поле, С. Хокинг в 1975 г. показал, что оно делает физический вакуум2 неустойчивым: всегда присутствующие в нем виртуальные (короткоживущие) частицы превращающиеся в реальные (долгоживущие). Точнее говоря, в вакууме вблизи горизонта событий3 поле рождает пары частиц, причем одна из компонент пары уходит внутрь черной дыры, занимая состояние с отрицательной энергией, а другая, имеющая положительную энергию, вылетает наружу и может быть зарегистрирована далеким наблюдателем (рис. 1).
Рис.1. Рождение пары в поле черной дыры.
В вакууме постоянно рождаются и аннигилируют пары виртуальных частиц, которым, однако, не хватает энергии для превращения в реальные долгоживущие частицы. В достаточно сильном внешнем поле этот недостаток энергии может быть восполнен работой, производимой полем над частицами. Для появления реальной пары с энергией Е (сплошные линии) необходимо, чтобы ее компоненты, находясь еще в виртуальном состоянии (пунктир), разошлись на расстояние L, на котором работа поля равна Е. Одна из компонент пары (А) падает внутрь черной дыры, (Б) уходит наружу, к внешнему наблюдателю. Совокупность частиц Б и есть излучение Хокинга.
Таким образом, квантовые свойства вакуума проявляются в том, что черная дыра «обязана» излучать частицы разных сортов, в том числе кванты света. Изучая свойства этого излучения, Хокинг пришел к неожиданному заключению, что оно имеет тепловой характер: черная дыра светит точно так же, как черное тело радиуса Rg, нагретого до температуры
θ=ћc³/8πkMG≈1026 /M,
где ћ -постоянная Планка;
k-постоянная Больцмана;
θ-температура (измеряется в градусах Кельвина);
М-масса в граммах.
При этом не только спектр излучения (распределение его по частотам), но и более тонкие его характеристики (например, все корреляционные функции) точно такие же, как у излучения черного тела.
ТЕРМОДИНАМИКА ЧЕРНЫХ ДЫР.
ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ И ТЕРМОДИНАМИКА.
Открытие теплового излучения черной дыры было полной неожиданностью для большинства специалистов.
Дж. Уилер первым обратил внимание на то, что в рамках классической теории тяготения уже сам факт существования черной дыры противоречит второму началу термодинамики, согласно которому полная энтропия физической системы — величина, характеризующая степень ее хаотичности, или растет со временем, или по крайней мере остается постоянной. Например, когда внутрь черной дыры падает горячее тело, обладающее некоторым запасом энтропии, в результате чего внешний наблюдатель видит уменьшение полной энтропии мира, доступного его наблюдению. На это можно возразить, сказав, что «на самом деле» противоречия с термодинамикой нет, так как увеличилась энтропия внутренней части черной дыры. Это действительно так но только для наблюдателя, падающего вместе с горячим телом, который не столкнется ни с нарушением термодинамики, ни с самим эффектом Хокинга. Однако системой отсчета внешнего наблюдателя внутренняя часть черной дыры вообще не охватывается. Поэтому для такого наблюдателя упавшее в дыру тело реально исчезает (передавая, конечно, черной дыре как целому свои сохраняющиеся характеристики – энергию, или массу М, вращательный момент J и зарядQ).
Эти соображения приводят к следующей дилемме: либо термодинамика вообще запрещает существование черных дыр, либо этот объект сам по себе обладает запасом доступной наблюдению извне энтропии, которая возрастает после падения на него горячего тела. Вторая возможность, которая и оказалась правильной, означает, что такое тело передает черной дыре как целому не только М, момент J и заряд Q, но и свою энтропию.
Однако еще раньше, чем был сделан выбор в пользу этой возможности, появилось довольно много теоретических указаний на то, что свойства одной из характеристик черной дыры – площади ее поверхности – действительно напоминают свойства энтропии. Одно из таких указаний относится к процессам естественной эволюции черной дыры – аккреции вещества на нее, слиянию двух черных дыр в одну и т.п. при полном отсутствии обратных процессов. Оказывается, с течением времени суммарная площадь поверхности черных дыр, как и энтропия, либо возрастает, либо, в крайнем случае, остается постоянной1.
Вообще оказалось, что аналогия между физикой черных дыр и термодинамикой простирается довольно далеко. Она относится как к конкретным термодинамическим устройствам (типа тепловой машины), так и к общим законам термодинамики, каждому из которых нашелся свой эквивалент в физике черных дыр. Есть такой эквивалент и у известного термодинамического соотношения dE=θdS , где dE и dS – соответственно изменения энергии и энтропии тела; θ — температура2. Если определить связь между изменением энергии черной дыры dE=d(Mc²) и изменением ее поверхности dF=8πRgdRg , то, оказывается, она имеет вид dE=(c²/8πG)gdF, где g=c4/4GM –ускорение свободного падения на поверхности черной дыры.
Сопоставляя приведенные выражения для dE в термодинамике и физике черных дыр, можно прийти к следующему выводу: так как есть аналогия между поверхностью черной дыры F и энтропией S, то имеется и аналогия ускорения свободного падения на поверхности черной дыры g с температурой θ.
продолжение
--PAGE_BREAK-- ТЕМПЕРАТУРА И ЭНТРОПИЯ ЧЕРНОЙ ДЫРЫ.
Существование черной дыры само по себе парадоксально. Черная дыра ведет себя, как тело с температурой, равной абсолютному нулю, потому что с помощью черной дыры можно полностью превратить тепло в работу.
При падении на черную дыру тело может производить работу за счет энергии гравитационного притяжения к черной дыре. Если какое-либо тело падает на черную дыру, то вся его энергия вместе с «энергией покоя» M0c² (M0 -масса покоя тела) может быть превращена в работу1.
Таким образом, на границе черной дыры полная энергия тела обратится в нуль. Можно сказать, что масса покоя тела погасится отрицательной потенциальной энергией тела в гравитационном поле черной дыры. В обычных земных условиях потенциальная энергия очень мала по сравнению с энергией покоя, так что масса падающего камня остается практически неизменной; при падении в поле черной дыры она обращается в нуль.
Закон тяготения действует так, что сила притяжения пропорциональна массе притягиваемого тела независимо от того, с чем связана эта масса. Горячий чайник немного тяжелее холодного; падая на черную дыру, горячий чайник выделит несколько больше энергии (на U/c², где U – внутренняя энергия), чем холодный. Черная дыра работает как идеальный холодильник при Т=0, из которого никакими способами нельзя извлечь какой-либо энергии. Это значит, что к.п.д. цикла с черной дырой в качестве холодильника, по Карно, будет равен единице. Возникает ситуация, очень напоминающая вечный двигатель второго рода, и нарушается теорема Нернста. Такой парадокс должен был неминуемо навести на мысль, что черная дыра не может иметь температуру Т=0.
Решение парадокса надо было искать в термодинамических свойствах черной дыры. Первая догадка состояла в следующем.
Если черная дыра имеет температуру, отличную от абсолютного нуля, то она имеет и энтропию. Если черная дыра сферически симметрична, не вращается и не заряжена, то энтропия может зависеть только от массы. Но энтропия – величина, которая не зависит от единиц измерения: энтропия идеального газа определялась отношением объемов и отношением температур. Численное же значение массы, конечно, зависит от того, в каких единицах мы ее измеряем – в граммах или в миллионах тонн. По-видимому, и энтропия черной дыры должна определяться отношением ее массы к какой-то стандартной эталонной массе. Но какой? Как все же должно выглядеть выражение для энтропии черной дыры?
Качественное решение задачи было придумано Бекенштейном. Внимание его привлекла одна теорема общей теории относительности. Теорема утверждала, что какие бы процессы ни происходили в системе, в которой есть черные дыры, суммарная площадь поверхностей черных дыр может только увеличиваться. Эта очень общая теорема похожа на теорему о возрастании энтропии. Площадь, так же как энтропия, величина аддитивная и, так же как и энтропия, зависит от массы черной дыры. Поэтому был соблазн предположить, что энтропия черной дыры просто пропорциональна ее площади: S~A. Но как свести концы с концами, если площадь A имеет размерность квадрата длины?
В микромире нет своего масштаба длины. Из двух постоянных ћ и c нельзя составить величинусразмерностью длины или времени. Для этого надо взять еще массу. Тогда длину можно, например, составить так: ћ/mc.
В общей теории относительности также нет масштаба длины, так как его нельзя составить из G и c. Но если привлечь на помощь массу, то длину можно составить так: Gm/c².
Объединим теперь обе длины ћ/mc и Gm/c², составив их геометрическое среднее (ћG/c³)½. При этом масса сократится. Это и есть единица длины, предложенная Планком.
После того как Планк ввел две фундаментальные постоянные ћ иk, он заметил, что появилась возможность построить новую систему единиц, не связанную ни с какими искусственными эталонами. Это следующие единицы: длина lп=(ћG/c³)½=5,110*10-31 м,
Время tп =(ћG/c5)½=1,7016 *10-43 с,
Масса mп =(ћc5/G)½=6,189*10-9 кг,
Температура Тп=1/k(ћc5/G)½=4,028*1031 К.
Единицы Планка удобны при расчете таких систем, где существенны эффекты как квантовые, так и гравитационные.
Черная дыра (и ее энтропия) кажется удачным кандидатом для применения единиц Планка.
Предположим, что масштаб энтропии связан с постоянной длины lп, т.е. что площадь поверхности черной дыры надо разделить на lп2 с каким-то коэффициентом, о котором, конечно, нельзя догадаться заранее. На основе таких не очень строгих рассуждений и была выдвинута гипотеза о том, что энтропия черной дыры должна иметь вид S=αΑ/ lп2, где коэффициентα надо вычислить из каких-то соображений особо. Такая догадка оказалась правильной. Коэффициент α был вычислен позднее Хокингом. Он оказался равным 1/4.
Зная энтропию, можно вычислить и температуру. Заменим площадь A ее выражением через гравитационный радиус:
A=4πRg²=16πGM²/c4.
Используя единицы Планка, можно теперь написать формулу для энтропии:
S=16πα(M/mп)².
Температура запишется в виде
T=1/(32πα)* mп/M*Tп .
Исключая из этих формул массу, будем иметь (в единицах Планка и α=1/4) ST²=1/(16π).
Такое уравнение состояния ни на что не похоже. Из него следует, что чем выше температура, тем меньше энтропия, а при абсолютном нуле энтропия обращается в бесконечность.
Отсюда можно заключить, что либо в наших рассуждениях грубая ошибка, либо с черно дырой происходит нечто серьезное и она не «доживает» до абсолютного нуля. Но в рамках классических представлений парадокс разрешить оказалось невозможным.
Парадокс исчез, когда Хокинг теоретически доказал, что вблизи черной дыры происходит рождение частиц. Неожиданным образом выяснилось, что теорема о возрастании площади поверхности черной дыры перестает быть строгой в квантовой механике и энтропия ее может уменьшаться за счет того, что вокруг нее создается поток фотонов, которые эту энтропию уносят.
Очень большой потенциал гравитационного поля вблизи черной дыры приводит к тому, что на ее поверхности рождаются пары фотонов (и другие частицы). Энергия этих фотонов (как и всех частиц вблизи черной дыры) равна нулю, поэтому они могут родиться «из ничего», не нарушая закона сохранения энергии. После рождения пары фотонов один из них уходит в черную дыру1, а второй за счет освободившейся энергии улетает на бесконечность. Система работает, как блок: один груз опускается, а за его счет поднимается другой. Результатом этого процесса будет уменьшение массы черной дыры (а значит, и ее поверхности), эквивалентное энергии улетевших фотонов.
Теория этого процесса сложна. Но результат был интересным. Черная дыра излучает фотоны, спектр которых совпадает с распределением Планка, отвечающим температуре (в единицах Планка, т.е. mп =1 и Tп=1):
T=1/(8π)*1/М.
Из этой формулы следует, что коэффициент α=1/4.
Таким образом, черная дыра излучает как идеальное черное тело (неожиданно реализованное в космосе с очень большой точностью).
Теперь становится ясным источник парадокса. Черная дыра – система неустойчивая, неравновесная, поэтому и понятие о температуре черной дыры — понятие не вполне точное. Температура черной дыры растет с уменьшением массы; рождение пар приводит к уменьшению массы, а, следовательно, и к повышению температуры. С ростом температуры интенсивность излучения увеличивается, а температура возрастает еще больше. В конце концов, черная дыра должна сгореть совсем, причем сгореть за конечное время.
продолжение
--PAGE_BREAK--ТЕРМОДИНАМИКА И ИНФОРМАЦИЯ.
ИНФОРМАЦИООНЫЙ ПОДХОД К ТЕРМОДИНАМИКЕ.
Мы уже видели, насколько важно для возникновения тепловых свойств черной дыры существование горизонта событий, отделяющего область пространства, информация о которой не доходит до внешнего наблюдателя. Было показано, как можно прийти к эффекту Хокинга и термодинамике черных дыр с помощью простых термодинамических соображений, без проведения динамических расчетов рождения пар в поле черной дыры. Оказывается возможным сделать и следующий шаг — связать тепловые свойства черной дыры прямо с самим фактом существования у нее горизонта событий.
Эта возможность основана на информационном подходе к термодинамике, который восходит к классикам теории теплоты, был сформулирован Л. Сциллардом и развивался многими физиками и математиками. Суть этого подхода состоит в утверждении, что существует прямая связь между недостатком информации о физической системе и величиной ее энтропии.
Будучи приложен к физике черных дыр, информационный подход прямо указывает на существование у них отличной от нуля энтропии и температуры, позволяя осуществить непосредственный переход от утверждения «внешний наблюдатель лишен информации о внутренней части черной дыры» к утверждению «такой наблюдатель увидит черную дыру как горячее тело».
С другой стороны, физика черных дыр подкрепила информационный подход, подтвердив, что недостаток информации о системе, с чем бы он ни был связан, действительно проявляется в возникновении у нее тепловых свойств. Сегодня, после открытия эффекта Хокинга и других эффектов такого же рода, нам известно уже несколько механизмов потери информации и соответственно несколько механизмов появления тепловых свойств у динамической системы.
ЭНТРОПИЯ И ИНФОРМАЦИЯ.
Прежде чем давать количественную формулировку информационного подхода к термодинамике,напомним обычную картину перехода динамической системы в состояние термодинамического равновесия. В процессе такого перехода система быстро « забывает » свое начальное состояние,что происходит вследствие « запутывания » (стохастизации) движения составляющих ее частиц. Это вызывается динамическими неустойчивостями в системе,которые ведут к усилению неизбежно присутствующих малых неопределенностей начальных значений динамических переменных. В результате возникает быстрое перемешивание состояний частиц и равномерное заполнение всей доступной этой системе области значений динамических переменных.
Такое состояние системы,отвечающее равновероятности всех возможных микроскопических состояний составляющих ее частиц,описывается так называемым микроканоническим распределением. Из него автоматически следует,что любая достаточно большая часть системы описывается формулой Гиббса.
Поскольку равновесная система «забывает» свое начальное состояние,она характеризуется существенно меньшим числом параметров (энергией или температурой, давлением или объемом и т.п.), чем полное число ее степеней свободы. Поэтому состояние термодинамического равновесия вырождено: каждому набору только что перечисленных макроскопических параметров отвечает огромное числоNразличных микросостояний системы, реализующих этот набор. Мерой этого вырождения и служит энтропия системы S=k ln N.
Равновероятность различных микросостояний термодинамически равновесной системы означает, что никакое из них нельзя предпочесть другому. Поэтому чем больше величина N, тем меньшим объемом сведений о микроструктуре системы мы располагаем, и энтропию можно считать мерой неполноты информации об истинной микроскопической структуре равновесной системы.
Мы подошли, таким образом, к информационному определению энтропии. Чтобы дать его точную формулировку, нужно ввести следующее простейшее определение изменения количества информации ∆І при некотором процессе. Если сначала имелось Pравновероятных ответов на вопрос, касающийся какого-либо предмета или явления, а в конце их число стало p, то изменение информации об этом предмете или явлении есть
∆І=
k ln (P/p).
ЕслиP>p,
мы имеем дело с приростом информации (наши сведения стали более определенными), в обратном случае – с ее убылью.
Применим сказанное к процессу перехода динамической системы в состояние термодинамического равновесия (рис.2).
Рис. 2. Пример, иллюстрирующий справедливость соотношения ∆І=–∆
S – необратимое расширение газа в пустоту.
Первоначально газ занимает левую половину устройства– объем v0 (вверху). После поднятия заслонки газ расширяется, заполняя вдвое больший объем. В результате неопределенность в положении молекул газа (и число ответов на соответствующий вопрос) также увеличивается вдвое: P/p=1/2. Соответственно убыль информации о положении молекул будет определяться соотношением ∆I=–k ln 2. Из термодинамики известно, что прирост энтропии (на одну молекулу) при таком процессе есть ∆S=k ln 2, что точно соответствует равенству ∆S=-∆I.
Вначале система была чисто динамической, ее энтропия равнялась нулю, и мы точно знали ответ на вопрос о ее микросостоянии: P=1. В конце ее энтропия увеличилась на ∆S, а число ответов на указанный вопрос выросло до значения N.Поэтому ∆I=-k ln N, и мы приходим к важному соотношению: ∆S= -∆I.
Уменьшение количества информации о физической системе соответствует увеличению ее энтропии1. Более того, если эта потеря информации такова, что отражает равновероятность всех допустимых микросостояний, то наша система описывается микроканоническим распределением, а ее подсистемы – формулой Гиббса. Поскольку в приведенных рассуждениях никак не фигурировал конкретный механизм потери информации, сказанное в равной степени относится и к обычному горячему телу, и к черной дыре. Можно добавить, что наши утверждения не противоречат обычному представлению о том, что тепло отвечает хаотическому состоянию вещества. Ведь хаос в самом широком смысле – это и есть равновероятность различных микросостояний, когда ни одно из них нельзя предпочесть другому. Одновременно это и отсутствие информации о внутренней структуре системы.
Важно подчеркнуть, что, говоря о неполноте и потере информации, мы имели в виду, конечно, объективную невозможность получить информацию о состоянии системы – невозможность, характерихующую саму систему, а не субъекта-наблюдателя. Последний мог бы просто отказаться от получения полной информации, не используя, например, всех возможностей измерительной техники. Разумеется, к такой ситуации сказанное выше ни в малейшей мере не относится. Достаточно вспомнить рассмотренный выше пример рождения пар в электрическом поле, когда отказ регистрировать позитронную компоненту излучения хотя и означает потерю информации, однако не приводит к термодинамической формуле Гиббса. В то же время рождение пар в поле тяготения, когда есть горизонт событий и потеря информации имеет объективный, неустранимый характер, ведет именно к этой формуле.
продолжение
--PAGE_BREAK--