СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1. Механика твёрдого тела. Динамика поступательного и вращательного движения твёрдого тела. Определение момента инерции тела с помощью маятника Обербека
Контрольные вопросы
Решение
2. Колебания и волны
2.1 Кинематика колебательного движения
Контрольные вопросы
Решение
2.2 Динамика колебательного движения
Контрольные вопросы
Решение
Заключение
Список литературы
ВВЕДЕНИЕ
Целью расчётно-графической работы является углубление и закрепление знания основных понятий и законов двух разделов: «Механика твёрдого тела» и «Гармонические колебания». Для того, чтобы укрепить знания по разделу «Механика твёрдого тела» необходимо с помощью маятника Обербека исследовать зависимость углового ускорения от момента внешней силы при условии, что I=const, и зависимость момента инерции от расстояния грузов до оси вращения, рассчитав при этом момент инерции согласно теореме Штейнера.
1. МЕХАНИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО И ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛА С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА ОБЕРБЕКА
Контрольные вопросы
Момент инерции точкиотносительно данной оси – скалярная величина, равная произведению массы точки на квадрат расстояния от этой точки до оси. (Ii=miri2). Момент инерции телаотносительно оси вращения – физическая велиина равная сумме произведений масс nматериальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси. (I=ΣIi=Σmiri)
Роль момента инерции во вращательном движении. Момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении подобно тому, как масса есть мера инертности при поступательном движении. Момент инертности показывает распределение массы в пространстве относительно оси вращения.
Рассмотрим сечение твердого тела произвольной формы, изображенное на рисунке
/>
Выберем координатную систему XYс началом координат Oв центре масс Cтела. Пусть одна из осей вращения проходит через центр масс C, а другая через произвольную точку P, расположенную на расстоянии dот начала координат. Обе оси перпендикулярны плоскости чертежа. Пусть Δmi– некоторый малый элемент массы твердого тела. По определению момента инерции:
/>/>
Выражение для IPможно переписать в виде:
/>
Поскольку начало координат совпадает с центром масс C, последние два члена обращаются в нуль. Это следует из определения центра масс. Следовательно, I=Ic+ma2=0,5mR2+m=1,5mR2
где m – полная масса тела.
Теорема Штейнера:момент инерции тела относительно любой оси вращения равен моменту его инерции Icотносительно оси, проходящей через центр масс плюс произведение массы тела на квадрат расстояния «а» между осями.
Момент силы относительно неподвижной оси – скалярная величина М равная проекции на эту ось вектора момента силы, определённого относительно произвольной точки на данной оси Z. Если имеется материальная точка, к которой приложена сила, то момент силы относительно точки равен векторному произведению радиус-вектора, соединяющий точки O и OF, на вектор силы: Направление момента силы совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении.--PAGE_BREAK--
Уравнение динамики вращательного движения тела: Элементарная работа всех внешних сил при таком повороте равна элементарному изменению кинетичекой энергии:
dA=dEk=> M=dε => M=Idω/dt=> M=d(Iω)/dt
M=Iε– это основное уравнение динамики вращательного движения тела: угловое ускорение вращающегося тела прямо пропорционально сумме моментов всех действующих на него сил относительно оси вращения тела и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно этой оси вращения. Полученное уравнение аналогично по форме записи выражению второго закона Ньютона для поступательного движения тела:F=ma
Ускорению поступательного движения тела асоответствует угловое ускорение вращательного движения ε. Аналогом силыFпри поступательном движении, является момент силы Мво вращательном движении, а аналогом массы тела mпри поступательном движении, служит момент инерции тела Iпри вращательном движении.
Решение
Вариант
m0
m
m1
m2
m3
l1
l2
l3
a
R
22
0,04
0,2
0,2
0,1
0,3
0,3
0,1
0,5
0,3
0,03
Найдём момент инерции J0 системы, если известны масса груза m, радиус блока R, l=0, трением пренебречь.
J=m(g-a)R/ε=m(g-a)R2/a
Вычислим и получим результат:J=0,0057кгм2
Строим график зависимости J=f(l) при l1, l2, l3.
Момент инерции маятника Обербека согласно теореме Штейнера может быть записан в виде:
J=J0+4m0l2
где l – расстояние центров грузов m от оси вращения.
Рассчитаем момент инерции системы для различных l:
при l=0 J=J=0,0057кгм2
при l1=0,3 J1=0,0201кгм2
при l2=0,1 J2= 0,0073кгм2
при l3=0,5 J3= 0,0457кгм2
Составим таблицу результатов расчётов и отразим это графиком:
l, м
0,3
0,1
0,5
J, кгм2
0,0057
0,0201
0,0073
0,0457
/>
2. Строим график зависимости ε=f(M)при m1, m2, m3при J=const
Вращающий момент равен M= TR, где силу натяжения нити Tнаходим из уравнения T=m(g-a),тогда M=m(g-a)R. продолжение
--PAGE_BREAK--
Из основного уравнения динамики для вращательного движения находим главное угловое ускорение:ε=m/J=m(g-a)R/J, где J=const(по условию)
Возьмём значение момента инерции из п.2: J=J=0,0057 кгм2
Сделаем расчёт вращающего момена М при различных значениях m:
при m1=0,2 M1=0,2(9,8-0,3)0,03=0,057Нм
при m2=0,1 M2=0,1(9,8-0,3)0,03=0,0285Нм
при m3=0,3 M3=0,3(9,8-0,3)0,03=0,0855Нм
Сделаем расчёт для углового ускорения ε:
при m1=0,2 ε=M1/J=10с-2
при m2=0,1 ε=M2/J=5с-2
при m3=0,3 ε=M3/J=15с-2
Составим таблицу результатов расчёта и отразим это графиком:
m, кг
0,1
0,2
0,3
M, Н*м
0,0285
0,057
0,0855
ε, с-2
5
10
15
/>
Мы получили линейную зависимость εот Мпри J=constи различных массах m1, m2, m3.
2. Колебания и волны
2.1 Кинематика колебательного движения
Контрольные вопросы
Колебания– это процессы обладающие некоторой повторяемостью во времени. Гармонические колебания – колебания, происходящие по закону синуса и косинуса. Амплитуда – максимальное отклонение колеблющейся величины от положения равновесия в данный момент времени. Фаза – угловое отклонение колеблющейся величины от положения равновесия в данный момент времени. Циклическая частота – число колебаний за 2π единиц времени. Период – время одного полного колебания.
Дано: А=5см; Т=4с; φ=π/2 Уравнение: ω=2π/T=π/2 => х=5sin(π/2t+π/2)
при t1=0, Х=0; при t2=1,5, Х=-5.
/>
Дано: А=5 см; Т=8, ω = π/4(по формуле п.2). Написать уравнение гармонического колебания:
φ=0; x=5cos(π/4t+0)= 5cos(π/4t)
φ=π/2; x=5cos(π/4t+ π/2)=-5cos(π/4t)
φ=π; x=5cos(π/4t+π)=-5cos(π/4t)
φ=3π/2; x=5cos(π/4t+3π/2)=5sin(π/4t) продолжение
--PAGE_BREAK--
φ=2π; x=5cos(π/4t+2π)= 5cos(π/4t)
Решение:
X=Acos(ωt+φ0)
t=5c
A=5м
ω=π
φ0=π
Из уравнения гармонического колебательного движения точки определяем смещение точки и строим график X=f(t) в пределах одного периода:
X= Acos(ωt+φ0 )= 5cos(πt+π
при t1= 4 c; X1= -5
приt2= 4,5с; X2= 0
приt3 = 5с;X3=5
приt4 = 5,5с;X4= 0
/>приt5= 6с; X5=-5
Период равен:T=2π/ω=2c
Определяем скорость колеблющейся точки и по результатам расчёта строим график в пределах одного периода:
/>
При t1=4 cV1= 0
Приt2=4,5 cV2=15,7 м/с
При t3=5 cV3= 0
При t4=5,5 cV4=-15,7 м/с
При t5=6 cV5=
t, с
4
4,5
5
5,5
6
V, м/с
15,7
-15,7
/>
Определяем ускорение колеблющейся точки и по результатам расчёта строим a=f(t) график.
A=dv/dt=-Aω2cos(ωt+φ)=-5π2cos(πt+π/2)
Приt1=4 c, a1= 0
Приt2=4,5c,a2=49,3 м/с2
При t3=5 c,a3= 0
При t4=5,5 c,a4= -49,3 м/с2
При t5=6 c,a5= 0
t,c
4
4,5
5
5,5
6
X, м
-5
5
-5
t, c
4 продолжение
--PAGE_BREAK--
4,5
5
5,5
6
a,м/с2
49,3
-49,3
/>
4. Для большей наглядности сведём все три графика X=f(t), V=f(t), a=f(t) на одни оси.
/>
Динамика колебательного движения контрольные вопросы
Сила действующая на колеблющуюся материальную. точку массой m:
F= — mωx
Кинетическая энергия материальной точки, совершающей прямолинейные гармонические колебания: Ek=mA2ω2cos2(ωt+φ)/2
Потенциальная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания:Eп=Esin2(ωt+φ)
Полная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания: E=mA2ω2/2
Дано: x=0,1sin(π/8•t+π/4), m=0,16 кг.
Fmax=F=mAω2=0,16*0,1*(π/8)2=0,003H
F=-Fsin(ωt+φ)=-0,52sin(π/8•t+π/4)
/>
При t1=0c, F1=-0,37H
Приt2=1c, F2 =-0,48H
При t3=2 c, F3=-0,52H
При t4=3 c, F4=-0,48H
При t5=4с, F5=-0,37H
При t6=5c, F6 =-0,2H
При t7=6,F7=0H
При t8=7, F8=0,2H
При t9=8,F9=0,37
Дано: m=0,16 кг, x=2sin(π/4·t+π/4)
E=Eпол=0,16·4(π/4)2/2=0,2Дж продолжение
--PAGE_BREAK--
Ek=Ecos2(ωt+φ)=0,2cos2(π/4·t+π/4)
Eп=Esin2(ωt+φ) =0,2sin2(π/4·t+π/4)
При t1=0 c,Ek1=0,1Дж Eп=0,1Дж
Приt2=0,5 c,Ek2=0,03ДжEп=0,17Дж
При t3=1 c,Ek3=0Eп=0,2Дж
При t4=1,5 c,Ek4=0,03ДжEп=0,17Дж
При t5=2 c, Ek5= 0,1ДжEп=0,1Дж
/>
Решение
Вариант
X=f(t)
m,кг
t, c
A, м
ω, с-1
φ0, рад
22
Asin(ωt+φ0)
0,12
3
7
π/4
π/2
Найдём силу для момента времени t и максимальную силу Fm:
F= — mA(π/4)2sin(π/4·t+π/2)=0,37H
Fmax=F=mAω2=0,52H
F=-Fsin(ωt+φ)= — 0,52 sin(π/4·t+π/2)
При t1=1 c, F1=-0,37H
Приt2=1,5c, F2 = -0,2H
При t3=2 c, F3= 0
При t4=2,5 c, F4=0,2H
При t5=3c, F5 = 0,37H
При t6=3,5,F6=0,48H
При t7=4, F7=0,52H
При t8=4,5,F8=0,48H
При t9=5, F9=0,37H
При t10= 5,5c, F10=0,2H
Приt11=6c, F11 = 0
При t12=6,5 c, F12= -0,2H
При t13=7 c, F13=-0,37H
t, c
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5 продолжение
--PAGE_BREAK----PAGE_BREAK--
6
6,5
7
7,5
8
F, Н
0,27
0,9
1,53
1,81
1,53
0,9
0,27
0,27
0,9
1,53
1,81
1,53
0,9
0,27
/>
Найдём значение потенциальной энергии для отдельных моментов времени в пределах одного периода:
Eп=Епол-Ек=mA2ω2/2 – mA2ω2cos2(ωt+φ)/2=Esin2(π/4·t+π/2)
При t1=0 c,Eп1=1,81Дж
Приt2=0,5 c,Eп2=1,53Дж
При t3=1 c,Eп3=0,9Дж
При t4=1,5 c,Eп4=0,27Дж
При t5=2 c,Eп5= 0
При t6=2,5Eп6=0,27Дж
При t7=3Eп7=0,9Дж
При t8=3,5Eп8=1,53Дж
При t9=4, Eп9=1,81Дж
При t10=4,5Eп10=1,53Дж
При t11=5Eп11=0,9Дж
При t12=5,5Eп12=0,27Дж
При t13=6Eп13= 0
Приt14=6,5Eп14=0,27Дж
При t15=7Eп15=0,9Дж
Приt16=7,5Eп16=1,53Дж
Приt17=8, Eп17=1,81Дж
/>
Заключение
В этой расчётно-графической работе мы исследовали зависимости при определении момента инерции тела с помощью маятника Обербека, а также на примере проследили действие законов из таких разделов физики, как «Механика твёрдого тела» и «Колебания и волны». Данная расчётно-графическая работа актуальна, так как она помогает овладеть аналитико-синтетическим методом, усилив внимание на качественной стороне физической сущности явлений; развивает практические навыки работы со справочной литературой; помогает овладеть элементами научно-исследовательской и самостоятельной творческой работы; позволяет использовать один из вариантов внедрения ПК в учебный процесс с помощью решения задач и построения графиков.
Список литературы
Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Высшая школа, 1999 г.
Бачище А.В. Краткий курс общей физики. Механика. Молекулярная физика. Термодинамика. – Новороссийск: НГМА, 1999 г.