--PAGE_BREAK--СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
– коэффициент температуропроводности, ;
– температура, ;
– давление, ;
– скорость фильтрации, ;
– скорость конвективного переноса тепла, ;
Π=с ρ/cpl;
m – пористость;
– относительная вязкость газа,
– проницаемость, ;
– коэффициент сжимаемости, ;
– коэффициент теплопроводности, ;
– радиус контура питания, ;
– радиус скважины, ;
– плотность газа, ;
– коэффициент Джоуля – Томсона, ;
– удельная теплоемкость газа насыщающего пористую среду, ;
– адиабатический коэффициент, ;
– время, ;
глава 1. постановка задачи о температурном поле в нефтегазовом пласте
1.1. Уравнения состояния реального газа
Модель идеального газа хорошо описывает свойства газообразного состояния вещества при средних и высоких температурах (от комнатной и выше) и небольших давлениях (около атмосферного). Расчет свойств газов в широком интервале экспериментальных условий требует использования уравнения состояния реального газа[1].
Реальным газом называется газ, между молекулами которого существуют заметные силы межмолекулярного взаимодействия. Оно имеет электромагнитную и квантовую природу и осуществляется посредством сил межмолекулярного притяжения и отталкивания.
Силы притяжения, проявляющиеся на расстояниях r между центрами молекул порядка 10-7 см, называются ван-дер-ваальсовыми силами. Они убывают с расстоянием ~ r–7, что соответствует изменению потенциальной энергии по закону r–6.
Различают три вида ван-дер-ваальсовых сил [7]:
Ориентационные силы между двумя молекулами, обладающими постоянными дипольными моментами. Они стремятся расположить молекулы упорядоченно так, чтобы векторы дипольных моментов ориентировались вдоль одной прямой. Этому препятствует тепловое движение молекул.
Индукционные силы, возникающие между молекулами, обладающими высокой поляризуемостью. Если молекулы достаточно сближены, то под действием электрического поля одной из них в другой возникает индуцированный дипольный момент.
Дисперсионные силы возникают в результате возбуждения колебаний электронов в молекуле (атоме) под влиянием колебаний электронов в другой молекуле (атоме). Колебания электронов соседних молекул происходят в одинаковой фазе и приводят к притяжению двух молекул (атомов). Величина дисперсионных сил определяется нулевой энергией молекул (атомов), если их колебания можно рассматривать как колебания линейных гармонических осцилляторов.
Полная потенциальная энергия ван-дер-ваальсовых сил описывается суммой:
U = Uор + Uинд + Uдисп.
(I.1.1)
Для полярных молекул основную роль играют ориентационные силы притяжения, для остальных молекул – дисперсионные силы. Энергия ван-дер-ваальсового притяжения составляет (0,1 – 1) ккал/моль [7]. В большинстве случаев ван-дер-ваальсовы силы притяжения перекрываются значительно превосходящими их химическими валентными силами притяжения с энергиями порядка (10 – 100) ккал/моль.
Согласно упрощенной модели ван-дер-ваальсовых сил, молекулы газа – абсолютно упругие шары – притягиваются с силами, достигающими наибольшего значения при непосредственном их соприкосновении. Силы отталкивания проявляют себя на значительно меньших расстояниях.
Для описания свойств реальных газов применяют различные уравнения состояния, отличные от уравнения Клапейрона-Менделеева. Наиболее удобны двухпараметрические уравнения, разрешимые относительно давления и содержащие объем в третьей степени (кубические уравнения состояния). Первое такое уравнение было предложено Ван-дер-Ваальсом в 1873 г.
Уравнение Ван-дер-Ваальса состояния реального газа имеет следующий вид [7]:
,
(I.1.2)
где V0– объем 1 моля газа, а – внутреннее давление, обусловленное силами притяжения между молекулами, b – поправка за собственный объем молекул, учитывающая действие сил отталкивания между молекулами и равная учетверенному объему молекул в 1 моле газа:
,
(I.1.3)
.
(I.1.4)
Здесь NA – число Авогадро, d – диаметр молекулы, U(r) – потенциальная энергия притяжения двух молекул.
Уравнение состояния Бертло (1900г.):
.
(I.1.5)
Здесь а и b связаны с параметрами критического состояния (в критической точке) соотношениями [8]:
.
(I.1.6)
Уравнение состояния Вукаловича и Новикова [7]:
.
(I.1.7)
Здесь B1, B2 и т.д. – так называемые вириальные коэффициенты весьма сложного вида. Их вычисление производится с учетом ассоциации молекул – объединения под влиянием ван-дер-ваальсовых сил притяжения.
Уравнение состояния Майера [7]:
,
(I.1.8)
где: dti=dqi1*...dqin.
Здесь Uпij – взаимная потенциальная энергия i-й и j-й молекул, взаимодействующих по закону центральных сил, qi1,......,qin – обобщенные координаты i-той молекулы, обладающей n степенями свободы.
Уравнение Камерлинг-Оннеса (1901) [8]:
(I.1.9)
где , .
Уравнение Редлиха-Квонга (1949 г.) [8]:
(I.1.10)
Здесь 0,42748·R2·T2,5k/Pk, b = 0,08664·R·Tk/Pk. Уравнение Редлиха-Квонга считается наилучшим двухконстантным уравнением. При его выводе авторы не руководствовались какими-то определенными теоретическими обоснованиями [8]. Это уравнение следует рассматривать как произвольную, но удачную эмпирическую модификацию предшествующих уравнений состояния.
Уравнение Мартина (1967 г.) [8]:
,
(I.1.11)
где 27·R2·T2k/(64Pk), b = R·Tk/(8Pk).
1.2. Основные уравнения, описывающие процесс фильтрации газа в пористой среде
В последнее время наблюдается рост интереса к различным термодинамическим эффектам в пористых средах. Это связано с их многообразными практическими приложениями[4,5].
Особую важность упомянутые проблемы имеют в физике нефтегазоносных пластов. Поля давления в нефтегазоносных пластах в условиях разработки, как правило, нестационарны. Дросселирование нефти и газа приводит к проявлению баротермического эффекта– изменению температуры при течении нефти или газа в пористой среде в нестационарном поле давления. Величина барометрического эффекта в отличие от эффекта Джоуля – Томсона, наблюдающегося при стационарном дросселировании, зависит от коллекторских свойств пористой среды, времени, геометрии течения и других факторов. Эти особенности баротермического эффекта обеспечивают возможность его практического применения при исследовании скважин и пластов.
В основу исследований положена полная система уравнений для — той фазы (компонента), описывающих баротермический эффект. Ядром этой системы является уравнение для температуры с учетом термодинамических эффектов высокого порядка [9]
(I.2.1)
где первое слагаемое в левой части уравнения (I.2.1) описывает изменение температуры в пласте со временем, второе – за счет конвекции (перемещения больших объемов газа). Первое слагаемое в правой части ответственно за теплопроводность, второе – за межфракционный теплообмен, третье описывает адиабатический эффект, четвертое – эффект Джоуля-Томсона и пятое – влияние поля тяготения Земли.
Вторым уравнением системы является уравнение неразрывности, которое записывается в виде:
.
(I.2.2)
Фильтрация газа подчиняется закону Дарси
.
(I.2.3)
К системе добавляется уравнение состояния
.
(I.2.4)
Система (I.2.1)-(I.2.4) является нелинейной, кроме того, уравнения (I.2.1)-(I.2.2) являются взаимосвязанными.
продолжение
--PAGE_BREAK--1.3. Описание задачи
Рассмотрим температурную задачу в полярной системе координат, где среда представлена одной бесконечной областью (рис.1). Область является пористой и насыщена газом. Будем рассматривать случай радиального движения газа из бесконечности к скважине радиуса , ось которой совпадает с осью
Рис. 1. постановка задачи
При описании температурной задачи примем следующие допущения:
- пористый пласт считается однородным и изотропным по гидродинамическим и теплофизическим свойствам;
- давления в скважине и на контуре питания остаются неизменными;
- породы, окружающие пласт предполагаются непроницаемыми и однородными по своим теплофизическим свойствам;
- температуры газа и скелета пористой среды в каждой точке совпадают;
- естественное тепловое поле Земли считается стационарным;
- пласт расположен на глубине порядка 1 – 2 км, поэтому суточные и сезонные колебания температуры не достигают пласта;
- адиабатическим эффектом, обусловленным гравитационным полем пренебрегаем.
1.4. Математическая постановка задачи
Математическая постановка задачи включает температурную задачу, гидродинамическую задачу, уравнение состояния и соотношение для поля скорости конвективного переноса тепла. Ниже рассматриваются соответствующие постановки задач.
1.4.1. Математическая постановка температурной задачи
Математическая постановка задачи для всех областей представляется уравнением (I.2.1). Температурное поле в этом случае описывается уравнением Чекалюка в пренебрежении теплопроводностью и адиабатическим эффектом и с учетом закона фильтрации Дарси:
.
(I.4.1.1)
Будем рассматривать задачу при следующих условиях температуры:
начальном
,
(I.4.1.2)
и граничном
.
(I.4.1.3)
1.4.2. Математическая постановка гидродинамической задачи
Математическая постановка гидродинамической задачи в полярной системе координат примет следующий вид. Учитывая, что для осесимметричного течения поле давления является функцией координаты rуравнение можно представить в виде:
,
(1.4.2.1)
Будем рассматривать задачу при следующих условиях. Пусть PC– давление на границе контура питания. При значении радиуса, равном радиусу контура питания
,
(1.4.2.2)
давление поддерживается равным Рс:
,
(1.4.2.3)
Pс – давление на контуре питания.
При значении радиуса, равном радиусу скважины
,
(1.4.1.3)
давление поддерживается равным PW:
,
(1.4.1.4)
где PW– давление в скважине.
1.4. Основные идеи метода характеристик[6]
В данном разделе рассмотрим метод характеристик. Любое линейное дифференциальное уравнение второго порядка (при двух независимых переменных) может быть записано в следующем виде:
(1.4.1)
где а, b, с, d, e, f, g— заданные непрерывные функции от xи y(или в частном случае, постоянные).
Попытаемся упростить это уравнение с помощью замены независимых переменных:
(1.4.2)
Здесь xи h— новые независимые переменные. Функции jи y, связывающие новые переменные со старыми, будут подобраны позднее; пока же мы будем считать их дифференцируемыми нужное число раз. Кроме того, будем считать, что система уравнений (1.4.2) может быть однозначно разрешена относительно х и у; этонадо понимать следующим образом: если функции jи yи отображают некоторую область Gплоскости Оху в область G* плоскости Oxh, то при этом каждой точке (x,h) области G* соответствует только одна точка области G(иначе говоря, отображение области Gна G*, даваемое функциями jи y, является взаимно однозначным). Как известно, для этого достаточно, чтобы якобиан преобразования (т. е. определитель ) нигде в области Gне обращался в нуль.
Для того чтобы сделать требуемую замену переменных, выразим частные производные от функции uпо х и у через производные от и по xи h:
(1.4.31)
(1.4.32)
Это записано на основании правила дифференцирования сложной функции от двух переменных (здесь uзависит от xи h, которые, в свою очередь, зависят от xи у). Для того чтобы выразить , через производные по xи h,учтем формулу (1.4.31) и применим снова правило дифференцирования сложной функции:
Следовательно,
(1.4.41)
Аналогично найдем:
(1.4.42)
(1.4.43)
Правые части равенств (1.4.31), (1.4.32), (1.4.41), (1.4.42), (1.4.43) представляют собой линейные функции относительно частных производных , Подставляя u'x, u'y, u'xx,… из этих формул в уравнение (1), мы получим снова линейное уравнение второго порядка снеизвестной функцией и и независимыми переменнымиxи h:
(1.4.5)
где
(1.4.5’)
a — функция, линейная относительно и’x, u’h, u.
Уравнение (1.4.5) становится особенно простым, если в нем коэффициенты а ис окажутся равными нулю. Для того чтобы первоначально заданное уравнение (1.4.1) можно было привести к такому простому виду, надо в нем сделать замену переменных
подобрав функции jи yтак, чтобы они являлись решениями уравнения:
(1.4.6)
Это уравнение является нелинейным уравнением в частных производных первого порядка. Следующая теорема покажет, как связаны его решения с общим решением некоторого обыкновенного уравнения.
Теорема. Для того чтобы функция z= f(x, у) во всех точках области Gудовлетворяла уравнению (6), необходимо и достаточно, чтобы, семейство
(1.4.7)
было общим интегралом уравнения
(1.4.8)
в той же области G.
Доказательство. Необходимость. Пусть z= f(x, у)— решение уравнения (1.4.6). Рассмотрим семейство кривых f(x, у) — kи докажем, что любая кривая этого семейства удовлетворяет уравнению (1.4.7).
В любой точке, лежащей на кривой f(x, у) = k(где k— фиксировано), выполняется следующее равенство:
действительно вдоль данной кривой функция f(x, у) постоянна, и поэтому ее полный дифференциал равен нулю.
Следовательно, всюду на кривой имеет место равенство:
обозначим каждое из этих отношений через l; тогда
Подставляя эти выражения для dxи dyв левую часть уравнения (1.4.8), получим:
Выражение, стоящее в квадратных скобках, равно нулю, так как, по условию, функция f(x, у) есть решение уравнения (1.4.6). Следовательно, во всех точках нашей кривой имеет место равенство
откуда вытекает, что она является интегральной кривой уравнения (1.4.8).
Итак, любая кривая вида f(x, у) = kявляется интегральной кривой уравнения (1.4.8); с другой стороны, через каждую точку области Gпроходит кривая такого вида; это вытекает из того, что функция f(x, у) определена всюду в области Gи поэтому, например, через точку (х0, у0) проходит кривая f(x,y)=f(x,y).
Отсюда следует, что семейство f(x, у) = k является общим интегралом уравнения (1.4.8).
Достаточность. Пусть семейство f(х, у)= kбудет общим интегралом уравнения (1.4.8). Возьмем произвольную точку (х0, у0) из Gи выделим ту кривую семейства, которая проходит через эту точку:
f(x, у) = k.
Так же, как и при доказательстве необходимости, убеждаемся, что всюду вдоль этой кривой выполняется равенство
откуда
(1.4.10)
Так как кривая является интегральной кривой уравнения (1.4.8), то при подстановке в это уравнение dxи dyиз (1.4.10), получим тождество:
или, после сокращения на l2:
В частности, в точке (х0, у0) имеет место:
Но последнее равенство означает, что функция двух переменных f(x, у) удовлетворяет в точке (х0, у0) уравнению (1.4.7). Так как точка (х0, y)была взята произвольно в области G, то функция f(x, у) удовлетворяет уравнению (1.4.7) во всех точках этой области, т. е. эта функция является одним из решений уравнения (1.4.7).
Таким образом, теорема доказана.
Рассмотренная теорема открывает путь для упрощения исходного уравнения (1.4.1). Для этого сначала составляем вспомогательное уравнение (1.4.8); оно называется характеристическим уравнением для данного уравнения (1.4.1). Характеристическое уравнение есть обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, но второй степени. Разрешая его относительно y’x(предварительно разделив все члены уравнения на dx2), получим два уравнения:
(1.4.101)
(1.4.102)
(предполагается, чтоас — b2, b2—ас>0всюду в области G). Пусть общий интеграл уравнения (1.4.101) имеет вид
j(х, у)= k,
(1.4.111)
а общий интеграл уравнения (1.4.102)
y(х, у)= k.
(1.4.112)
Интегральные кривые характеристического уравнения (т. е. все кривые, входящие в семейства (1.4.111) и (1.4.112)) называются характеристиками заданного дифференциального уравнения (1.4.1). В связи с этим рассматриваемый метод упрощения уравнения (1.4.1) называется методом характеристик.
Семейства (1.4.111) и (1.4.112) можно рассматривать, как общие интегралы уравнения (1.4.8) (это уравнение распадается на два уравнения (1.4.101)и (1.4.102)).
Следовательно, согласно доказанной теореме, функции
z=j(х, у) и z=y(х, у)
являются решениями уравнения в частных производных (1.4.6).
Функции j(х, у) и y(х, у) независимы друг от друга (можно доказать, что их якобиан отличен от нуля, если ас- b2). Поэтому, возвращаясь к уравнению (1.4.1), мы можем в нем сделать замену переменных:
Так как функции j и yудовлетворяют уравнению (1.4.6), то в результате этой замены переменных окажется и . Следовательно, уравнение (1.4.1) преобразуется к виду:
или, после деления на 2bи переноса в другую часть равенства:
где – функция, линейная относительно и’x, u’h, u(см. выше, формула (1.4.5)).
Полученное уравнение имеет более простой вид, чем исходное уравнение (1.4.1); если мы его сможем решить (т. е. найти и как функцию от xи h), то для того, чтобы найти решение исходного уравнения, достаточно вернуться к старым переменным (выразив xи hчерез х и у).
продолжение
--PAGE_BREAK--1.5. Выводы
В данной главе представлены основные уравнения состояния реального газа, уравнения, описывающие процесс фильтрации газа в пористой среде. Дано описание задачи. Сформулированы физическая и математическая постановки температурной и гидродинамической задач. Описан метод характеристик, который использован для получения решения задачи в главе 2.
Глава 2. Аналитическое решение задачи о баротермическом эффекте с учетом реального уравнения состояния
В данной главе приведены аналитические решения гидродинамической и температурной задач для произвольного уравнения состояния.
2.1. Решение гидродинамической задачи
Решение уравнения (I.4.1.1) приводит к необходимости решения дополнительной гидродинамической задачи для отыскания поля давления. Для описания движения газа воспользуемся квазистационарным уравнением неразрывности:
.
(2.1.1)
Скорость фильтрации газа сквозь пористую среду определяется законом Дарси:
.
(2.1.2)
Здесь — проницаемость пористой среды, — вязкость газа. Полагая, что и не меняются при движении газа к скважине, и что плотность газа зависит только от давления (баротропное приближение), перепишем уравнение неразрывности в следующем виде:
(2.1.3)
Функцию Лейбензона представим в виде:
,
(2.1.4)
где величины и А задаются граничными условиями. Подставляя функцию Лейбензона в уравнение (2.1.3), получим:
.
(2.1.5)
Учитывая, что для осесимметричного течения поле давлений является функцией координаты , уравнение (2.1.5) можно представить в виде:
(2.1.6)
Решение этого уравнения представим в виде:
,
(2.1.7)
где и — постоянные интегрирования, определяемые граничными условиями. Пусть — давление на границе контура питания (при ), — давление в скважине (при ), тогда согласно (2.1.4) и (2.1.7)
(2.1.8)
(2.1.9)
Отсюда найдем выражение для и :
(2.1.10)
(2.1.11)
Подставив эти выражения в уравнение (2.1.7), получим:
(2.1.12)
Выражение (2.1.12) представляет неявную зависимость давления Р от координаты r, если известна зависимость плотности от давления . Очевидно, что при рассмотрении баротермического эффекта в пластах газ нельзя рассматривать как идеальный, поскольку коэффициент Джоуля-Томсона для идеального газа равен нулю. Поэтому в дальнейшем плотность газа будем представлять в виде какого-либо уравнения для реального газа (например, уравнения Ван-дер-Ваальса).
Используя (2.1.12), получим выражение для градиента давления в виде:
(2.1.13)
Найденное выражение для градиента давления позволяет преобразовать температурную задачу к виду удобному для аналитического решения. Решение температурной задачи рассматривается в следующем параграфе.
2.2. Решение температурной задачи
С учетом (2.1.13) и закона фильтрации Дарси (2.1.2) задача (I.4.1.1) – (I.4.1.3) преобразуется к виду:
(2.2.1)
Условия (I.4.1.1) – (I.4.1.3) остаются неизменными. Вводя обозначение
(2.2.2)
представим уравнение Чекалюка в виде:
(2.2.3)
Будем рассматривать задачу при следующих условиях для температуры:
начальном
(2.2.4)
и граничном
(2.2.5)
Решение уравнения (2.2.3) методом характеристик дает зависимость координаты от времени :
.
(2.2.6)
Характеристика, удовлетворяющая условию :
(2.2.7)
определяет область применимости нестационарного решения
(2.2.8)
Уравнение (2.2.3) с учетом (2.2.6) можно представить в виде:
(2.2.9)
откуда
(2.2.10)
где
(2.2.11)
Исключив константу С из (2.2.10) и (2.2.11), окончательно получаем нестационарное решение:
.
(2.2.12)
Пределы применимости этого решения ограничены областью (2.2.8). Следовательно, рассматриваемое время должно удовлетворять условию: . Для моментов времени значения больше, чем , что соответствует зоне, по которой волна температуры уже прошла и где распределение температуры уже установилось, то есть . Для этой области
(2.2.13)
и стационарное решение, удовлетворяющее условию (2.2.5), имеет вид:
(2.2.14)
Выражения (2.2.12) и (2.2.14) полностью решают поставленную задачу для любого уравнения состояния
2.3. Выводы
В данной главе представленоаналитическое решение задачи о баротермическом эффекте с учетом реального уравнения состояния, которая включает в себя температурную и гидродинамическую задачи.
Глава 3. Получение Аналитических выражений решения задачи о баротермическом эффекте с учетом барической сжимаемости
3.1. Решение гидродинамической задачи для линеаризованного уравнения состояния
Выпишем полученные решения для линеаризованного баротропного уравнения состояния
(3.1.1)
Вычислив интеграл, входящий в (2.2.3):
(3.1.2)
Представим зависимость между давлением и радиальной координатой rв виде:
(3.1.3)
Введем обозначение
(3.1.4)
Тогда уравнение (3.1.3) преобразуется к виду:
(3.1.5)
Откуда найдем
(3.1.6)
Физический смысл имеет только значение полученного выражения со знаком плюс перед квадратным корнем. Введем обозначения
(3.1.7)
(3.1.8)
которые позволяют представить подкоренное выражение в виде и упростить запись выражения (3.1.6)
(3.1.9)
Подставив (3.1.9) в (3.1.1), получим зависимость плотности от радиальной координаты r:
(3.1.10)
Полученные в данном разделе выражения позволяют построить решения задачи о баротермическом эффекте в случае линеаризованного уравнения состояния.
3.2. Температурная задача в линеаризованном случае
В этом случае нестационарное решение для температуры (3.1.5) записывается в виде:
(3.2.1)
Интеграл в (3.2.1) легко вычисляется; окончательно нестационарное решение представляется в виде
(3.2.2)
Выражения для Gи Hпредставляются формулами (3.2.5) и (3.2.6), а — для Vпредставляется в виде, следующем из(2.2.8)
(3.2.3)
В пределе при α→0 из (3.2.2)-(3.2.3) следует известное решение для несжимаемой жидкости[4]:
(3.2.4)
Аналогично в стационарном случае из (2.2.14) получим:
(3.2.5)
В пределе при α→0 из (3.2.5) и (3.2.3) следует известное решение для несжимаемой жидкости[4]:
(3.2.6)
Выражения (3.2.2), (3.2.4) решают поставленную задачу о баротермическом эффекте при фильтрации газа в прискважинной зоне реальных газовых пластов. Такое решение поставленной задачи получено впервые. Поэтому представляет значительный и практический интерес анализ результатов расчетов на основе полученных решений, что и приведено в четвертой главе.
3.3. Выводы
В данной главе получено аналитическое решение задачи о баротермическом эффекте с учетом барической сжимаемости, которая включает в себя решение гидродинамической задачи для линеаризованного уравнения состояния и температурную задачу в линеаризованном случае.
Глава 4. анализ результатов расчетов и Исследование температурных полей, возникающих при фильтрации газа
В данной главе приведен анализ результатов расчетов баротермического эффекта в прискважинной зоне газовых пластов применительно к реальным месторождениям газа.
продолжение
--PAGE_BREAK--