--PAGE_BREAK--
I. Основные понятия
Перемещение тел в пространстве — результат их механического взаимодействия между собой, в результате которого происходит изменение движения тел или их деформация. В качестве мары механического взаимодействия в динамике вводится величина – сила . Для данного тела сила — внешний фактор, а характер движения зависит и от свойства самого тела — податливости оказываемому на него внешнему воздействию или степени инерции тела. Мерой инерции тела является его масса т, зависящая от количества вещества тела.
Таким образом, основными понятиями механики являются: движущаяся материя, пространство и время как формы существования движущейся материи, масса как мера инерции тел, сила как мера механического взаимодействия между телами.Соотношения между этими понятиями определяются законам! движения, которые были сформулированы Ньютоном как обобщение и уточнение опытных фактов.
2. Законы механики
1-й закон. Всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока внешние воздействиянеизменяют этого состояния. Первый закон заключает в себе закон инерции, а также определение силы какпричины, нарушающей инерциальное состояние тела. Чтобы выразить его математически, Ньютон ввел понятие количества движения или импульса тела:
( 2.1)
тогда , если
2-й закон. Изменение количества движения пропорционально приложенной силе и происходит по направлению действия этой силы. Выбрав единицы измерения m и так, чтобы коэффициент пропорциональности был равен единице, получаем
или (2.2)
Если при движении m
=
const
, то
или (2.3)
В этом случае 2-й закон формулируют так: сила равна произведению массы тела на его ускорение. Этот закон является основным законом динамики и позволяет по заданным силам я начальным условиям находить закон движения тел. 3-й закон. Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны и направлены в противоположные стороны, т.е., (2.4)
Законы Ньютона приобретают конкретный смысл после того, как указаны конкретные силы, действующие на тело. Например, часто в механике движение тел вызывается действием таких сил: сила тяготения , где r — расстояние между телами, — гравитационная постоянная; сила тяжести — сила тяготения вблизи поверхности Земли, P
=
mg; сила трения , где k — коэффициент трения, N - сила нормального давления; cила упругости , где k — коэффициент упругости (жесткости); x -перемещение тела.
3. Инерциальные системы отсчёта (И.С.О.)
Для описания движения тела необходимо указать систему отсчета. Существует целый ряд систем, в которых выполняются законы Ньютона и для которых верно утверждение, что когда тело приобретает ускорение, можно указать тела, действие которых вызывает это ускорение. Систему отсчета, в которой это утверждение, вытекающее из закона инерции, выполняется, называют инерциальной. Любая С.O., движущаяся с постоянной скоростью () относительно инерциальной системы, сама будет инерциальной. Существует бесконечное множество И.С.О., движущихся друг относительно друга равномерно и прямолинейно. В таких системах: отсчета физические явления выглядят наиболее просто. Всякая система отсчета, движущаяся с ускорением относительно инерциальной, будет неинерциальной. В такой системе отсчета на тело действует сила инерции , где — ускорение системы отсчета, которая не является результатом взаимодействия тел.
4. Принципы относительности Галилея
Опыт показывает, что во всех инерциальных системах отсчета механические явления протекают одинаково, т.е. в механическом отношении все И.С.О. равноправны. Это утверждение называют принципом относительности Галилея.
5. Закон сохранения импульса
Совокупность взаимодействующих тел называют механической системой. Силы, действующие между телами системы, называют внутренними, а со стороны тел, не включенных в данную систему — внешними. Если действием внешних тел на тела данной системы можно пренебречь, то систему называют замкнутой или изолированной. В ней действуют лишь внутренние силы. В такой системе описать движение тел можно без помощи 2-го закона Ньютона, т.к. в ней имеются величины, на меняющиеся со временем, т.е. сохраняющиеся. Одной их таких величин является полны импульс всех тел системы. Рассмотрим взаимодействие двух материальных точек m1 и m2составляющих замкнутую систему. Движение каждой из них описывается 2-й законом Ньютона:
(2.5)
Т.к. по третьему закону Ньютона , то из (2.5) получаем:
, откуда (2.6)
Этот результат и представляет закон сохранения импульса для замкнутой системы.
Полный импульс всех тел замкнутой системы сохраняется (т.е. не меняется со временем).
Нужно помнить, что импульсы отдельных тел при этом могут меняться.
6. Реактивное движение
Закон сохранения импульса лежит в основе реактивного движения. Рассмотрим, например, движение ракеты, где — скорость истечения газов относительно ракеты. Полный импульс системы ракета-газы для моментов времени t1 и t2будет равен:
,
гдеDm- масса вылетевших газов, — их скорость относительно Земли, тогда или (2.7). Из этой формулы следует, ччо отделение газов от ракеты эквивалентно действию на не силы: , где — расход топлива. Эту силу называют реактивной. Переходя в (2.7) к дифференциалам, получим
(2.8)
Полученный результат представляет Формулу Циолковского.
7. Центр инерции
Рассмотрим движение произвольной системы материальных точек (Рис. 2.2). Движение каждой из них определяется законом изменения радиус-вектора .Центром инерции (центром масс) такой системы зазывается точка (т.С.), радиус-вектор которой равен:
(2.9)
Центр инерции может и не совпадать ни с одним из тел системы, а, например, для двух тел центр инерции делит расстояние между ними на части, обратно пропорциональные их массам. Вычислим скорость центра инерции:
(2.10)
Числитель этой формулы есть полный импульс поэтому:
(2.11)
Как видно, между полный импульсом системы тел и скоростью центра инерции такая же связь, как и для материальной т.С. массой . Таким образом, центр инерции приобретает смысл точки, скорость которой равна скорости движения всей системы как целого. Если , то система как целое покоится, в то же время отдельные тела системы могут двигаться относительно центра инерции.
Формула (2.11) есть обобщение закона инерции для системы тел: для замкнутой системы,.поэтому центр инерции такой системы движется равномерно и прямолинейно или покоится.
I. Работа
Количественной характеристикой процесса взаимодействия тел является работа, совершаемая силой А.
Работа есть скалярная величина, равная произведению проекции силы (на направление перемещения) на величину перемещения точки приложения силы
(3.1)
гдеa— угол между направлением силы и перемещением. Если a0), если a>90°, то Аa=90° сила работы не совершает, oна лишь искривляет траекторию тела.
Если работа совершается переменной силойF=
F(
S), во для элементарного перемещения , а для всего пути
(3.2)
Вычислим для примера работу, совершаемую силой тяжести при движении тела по наклонной плоскости (Рис. 3.1):
,
где h — высота наклонной плоскости. Как видно, работа силы тяжести не зависит от длины пути, а зависит от начального и конечного положений тела. Можно показать, что такой же результат получается для любой криволинейной траектории. Таким же свойством обладает и сила упругости.
Силы, обладающие указанным свойством, называются консервативными или потенциальными.
Для таких сил работа по любому замкнутому контуру равна нулю, или:
(3.3)
Это и есть условие потенциального характера силы.
Работа, совершаемая за единицу временя, называется мощностью:
2. Энергия
В результате совершения работы в окружающих телах происходят определенные изменения — переход одних форм движения материи в другие. Общей количественной мерой различных форм движения материи является физическая величина, которую называют энергией Е.
В физике соответственно различным физическим процессам и взаимодействиям различают механическую энергию; тепловую, электромагнитную, ядерную и т.д.
Энергия может, быть выражена через величины, характеризующие строение и состояние тела. Она является функцией его состояния. Изменение состояния тела, например, его движение, приводит к изменению его энергии, а сам процесс изменения есть результат работы, совершаемой силой, поэтому изменение энергии тела или системы тел определяется работой, совершенной приложенными к телу силами:
(3.4)
Механическая энергия состоит из двух величин — кинетической энергии K — энергии движения и потенциальной энергии П — энергии взаимодействия между телами:
(3.5)
3. Кинетическая и потенциальная энергии
Чтобы получить выражение для кинетической энергии подсчитаем работу силы, необходимую для изменения скорости тел от v1 до v2:
Итак, совершенная силой работа равна приращению кинетической энергии тела: , где. Потенциальная энергия обусловлена характером взаимодействия между телами, их взаимным расположением. Поэтому вид формулы для потенциальной энергии зависит от конкретного вида силы.
Так, работа силы тяжести, необходимая дня изменения положения тела относительно Земли, равна:
,
где h1 и h2 — начальная и конечная высота тела относительно Земли. Эта работа равна изменению потенциальной энергии тела:
,
т.е. совершенная силой работа равна убыли потенциальной энергии тела.
Так как , то или (3.7)
Эта формула, связывающая между собой силу, перемещений тела и соответствующее этому изменение его потенциальной энергии, даёт возможность вычислить потенциальную энергию в отдельном случае.
Вычислим, например, потенциальную энергию силы тяготения
Из (3.7) находим и , есть так называемый нулевой уровень потенциальной энергии, который обычно выбирается из условия , тогда= 0 и
4. Закон сохранения механической энергии
В изолированной системе кроме полного импульса сохраняющейся величиной является и полная механическая энергия.
Так, для двух взаимодействующих материальных точек уравнения движения будут (3.8)
Под действием сил точки совершают перемещения ; . Умножив каждое из уравнений (3.8) на соответствующее перемещение, получим:
сложив их, получим:
(3.9)
т.к. , то вместо (3.9) имеем:
или,
где — изменение кинетической и потенциальной энергии всех тел системы. Тогда , (3.10)
Полная энергия изолированной системы есть величина постоянная. Это и есть формулировка закона сохранения энергии.
5. Удар абсолютно упругих и неупругих тел
Под ударом понимают кратковременное столкновение соударяющихся тел.
Прямая, проходящая через точку соприкосновения обоих тел, называется линией удара (Рис. 3.2). Если она проходит через центры масс тел, то удар центральный. Отношение относительных скоростей шаров после удара U к скорости их v до удара называют коэффициентом восстановления: . Если , то удар абсолютно неупругий, если , то удар абсолютно упругий.
При абсолютно неупругом ударе часть механической энергии тел переходит в другие формы энергии (например, в тепловую). В этом случае выполняется лишь закон сохранения импульса, на основании которого и находим скорость шаров после столкновения:
(3.11)
Найдем изменение кинетической энергии шаров, т.е. ту её часть которая перешла во внутреннюю энергию:
(3.12)
При абсолютно, упругом ударе потерь энергии нет, н в этом случае выполняются законы сохранения импульса и энергии:
Решая эти уравнения, находим:
(3.13)
Когда массы соударяющихся тел равны: , то шары обмениваются скоростями:
I. Кинематика вращательного движения
Абсолютно твердым телом в механике называют совокупность частиц, взаимное расположение которых остается неизменным во время движения.
Вращательным называют такое движение, при котором все точки тела описывают концентрические окружности, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения.
Положение вращающегося тела может быть определено взятым с соответствующим знаком двугранным углом j между двумя полуплоскостями, проходящими через ось вращения, одна из которых Qнеподвижна относительно С.О., а другая Р связана с телом и вращается вместе о ним (рис. 4.1). Знак j определяют по правилу правого винта. Положение тела в любой момент времени t определяется уравнением , дающим закон вращательного движения.
Различные точки тела проходят при одинаковом угловом перемещении d
j разные линейные перемещения d
S, которые связаны соотношением:
(4.1)
где r — расстояние от точки тела до оси вращения.
Поэтому вращательное движение удобно характеризовать не линейными, а угловыми величинами, одинаковыми для всех точек тела.
Угловой скоростью называют скорость изменения угла попорота:
(4.2)
Угловым ускорением называют величину, характеризующую быстроту изменения угловой скорости:
(4.3)
С помощью (4.1) можно найти связь и в с соответствующими линейными величинами и :
(4.4) (4.5)
Угловые скорость и ускорение — векторные величины, направленные вдоль оси вращения. Их направление определяют с помощью правила правого винта. Так, что:
(4.6) (4.7)
Полное ускорение находится по формуле:
(4.8) продолжение
--PAGE_BREAK--