Содержание
Введение
1. Электромагнитное взаимодействие.Электрический заряд, его свойства. Электростатическое поле. Взаимодействиеточечных зарядов
2. Напряженность электростатическогополя. Расчет напряженности для системы точечных зарядов и распределенногозаряда
3. Поток напряженности электрическогополя. Теорема Гаусса в интегральной форме
4. Дивергенция векторного поля.Теорема Гаусса в дифференциальной форме
Заключение
Список использованной литературы
Введение
По современнымпредставлениям, электрические заряды не действуют друг на друганепосредственно. Каждое заряженное тело создает в окружающем пространстве />электрическое поле, которое оказываетсиловое действие на другие заряженные тела.
Главное свойствоэлектрического поля – действие на электрические заряды с некоторой силой. Такимобразом, взаимодействие заряженных тел осуществляется не непосредственным ихвоздействием друг на друга, а через электрические поля, окружающие заряженныетела.
Для количественногоопределения электрического поля вводится силовая характеристика />-напряженность электрического поля.
Напряженностью электрического поля называют физическуювеличину, равную отношению силы, с которой поле действует на положительныйпробный заряд, помещенный в данную точку пространства, к величине этого заряда:
/>
Напряженностьэлектрического поля – векторная физическая величина. Направление вектора />совпадает вкаждой точке пространства с направлением силы, действующей на положительныйпробный заряд.
Напряженность электрического поля, создаваемого системойзарядов в данной точке пространства, равна векторной сумме напряженностей электрическихполей, создаваемых в той же точке зарядами в отдельности:
/>
Это свойство электрического поляозначает, что поле подчиняется принципу суперпозиции.
1.Электромагнитное взаимодействие. Электрический заряд, его свойства.Электростатическое поле. Взаимодействие точечных зарядов
Многиеэлементарные частицы(называемые носителями электрического заряда) создают вокруг себя особый род материи – электромагнитное поле,которое является переносчиком силовых взаимодействий между этими частицами.Благодаря взаимодействию с носителями заряда, электромагнитное поле такжеявляется носителем информации в современных информационных системах (связи,радио- и телевещания и т.д.). Согласно фундаментальному принципу физики — принципу близкодействия — взаимодействие между частицами-носителями зарядапереносится электромагнитным полем в пространстве с конечной, вполнеопределенной скоростью. Эта скорость называется скоростью света. Свет – эточувственно обнаружимая (действующая на зрение человека) разновидностьэлектромагнитного поля.
Величина электрическогозаряда (иначе, просто электрический заряд) – численная характеристика носителейзаряда и заряженных тел, которая, может принимать положительные и отрицательныезначения. Эта величина определяется таким образом, что силовое взаимодействие,переносимое полем между зарядами, прямо пропорционально величине зарядоввзаимодействующих между собой частиц или тел, а направления сил, действующих наних со стороны электромагнитного поля, зависят от знака зарядов.
Электрический заряд любойэлементарной частицы присущ этой частице в течение всего времени ее жизни,поэтому элементарные заряженные частиц зачастую отождествляют с ихэлектрическими зарядами).
В системе СИэлектрический заряд измеряется в кулонах (Кл). Наиболее известные элементарныеносители заряда – электроны, имеющие отрицательный заряд и протоны, имеющиетакой же по величине положительный заряд. Заряд электрона />Кл. Электрическийзаряд любого заряженного тела кратен модулю заряда электрона, так называемому,элементарному заряду /> Кл. В целом, в природеотрицательных зарядов столько же, сколько положительных. Электрические зарядыатомов и молекул равны нулю, а заряды положительных и отрицательных ионов вкаждой ячейке кристаллических решеток твердых тел скомпенсированы. Поэтомувозникновение зарядовых систем обусловлено не рождением электрических зарядов,а их разделением, возникающим, например, при трении (см. ниже Ионизация,Поляризация). В дальнейшем, говоря об электрических зарядах, слово “электрический”будем опускать.
Если все заряды,создающие электромагнитное поле, в данной системе отсчета неподвижны, то (вэтой системе отсчета) поле называется электростатическим.
Электростатическое поле –физическая идеализация, т.к. это понятие предполагает, что после образованиязарядовой системы передача взаимодействия между зарядами закончилось. Зарядызаняли равновесные положения, при которых силы, действующие на каждый заряд состороны электростатического поля всех других зарядов, не меняются во времени(например, скомпенсированы другими силами).
Точечным зарядомназывается заряженное тело или частица, размеры которого (которой) пренебрежимомалы по сравнению с расстояниями до других зарядов рассматриваемой системы.Точечный заряд такая же физическая идеализация, как и материальная точка вмеханике. Пробным зарядом называется положительный точечный заряд, которыйвносится в данное электромагнитное поле для измерения его характеристик. Этотзаряд должен быть достаточно мал, чтобы не нарушать положение зарядов–источниковизмеряемого поля и тем самым, не искажать существующее поле. Таким образом,пробный заряд служит индикатором электромагнитного поля (точнее, покоящийсяпробный заряд является индикатором электрического поля).
На основе обобщенияопытных данных М. Фарадеем в 1843 сформулирован следующий закон сохранениязаряда. Заряд электрически замкнутой системы (через поверхность которой непереносятся заряженные частицы) не изменяется, какие бы процессы в ней непроисходили. Следствие из этого закона: если зарядовая система 1 отдает зарядсистеме 2, то система 2 получает ровно такой заряд, какой теряет система 1.
Закон релятивистскаяинвариантность заряда, сформулированный Г. Лоренцем в 1877 г. также наэкспериментальной основе, гласит: заряд любого тела инвариантен относительноизменения системы отсчета. Следствие из этого закона: заряд тела не зависит отего скорости и ускорения.
Можно указать следующиепроцессы возникновения и исчезновения свободных зарядов. Ионизация пристолкновении атомов и атома с электроном:
/> (1.1.1)
Рождение электрона ипозитрона при столкновении гамма-квантов:
/> (1.1.2)
Рекомбинация ионовразного знака, а также иона и электрона:
/> (1.1.3)
Аннигиляция (уничтожение)пары электрон-позитрон
/> (1.1.4)
Закон взаимодействие точечныхзарядов (закон Кулона) экспериментально установлен Ш. Кулоном в 1785г. Дляточечных зарядов в вакууме (или воздухе) сила взаимодействия дается формулой
/> (1.1.5)
/>Рис. 1.1.1
На рис. 1.1.1 показаныразные сочетания взаимодействующих зарядов. Напомним, что по третьему законуНьютона />. Коэффициент в законеКулона в системе СИ равен /> и часто записывается в виде/>.
Параметр /> иногданазывают диэлектрической проницаемостью вакуума.
В среде, которая непроводит электрический ток, сила взаимодействия между зарядами уменьшается посравнению со случаем взаимодействующих зарядов в вакууме (вне зависимости отвеличин зарядов и расстояний между ними). Это уменьшение, таким образом,определяется влиянием среды. Оно учитывается введением в коэффициент /> параметраe, называемого относительной диэлектрической проницаемостью (для большинствасред e >1). А именно />.
2.Напряженность электростатического поля. Расчет напряженности для системыточечных зарядов и распределенного заряда
В каждой точкепространства, где есть электромагнитное поле, на пробный заряд q действуетопределенная сила, зависящая (при заданных зарядах-источниках поля) от величиныпробного заряда и его положения относительно источников. При фиксированнойвеличине заряда q, покоящегося в заданном электростатическом поле, эта силазависит только от его координат (x,y,z). Напряженностью электрического поляназывается сила, действующая со стороны электромагнитного поля на пробный зарядq, покоящийся в точке (x,y,z), отнесенная к величине этого заряда:
/>. (1.2.1)
Формула (1.2.1) даетопределение напряженности электростатического поля, если известно, что заряды –источники поля также покоятся. Зная Е как функцию координат нетрудно найтисилу, действующую в данном поле на данный заряд в любой точке:
/>. (1.2.2)
Из закона Кулона (1.1.5)и определения (1.2.1) следует, что напряженность электростатического поля,созданного точечным зарядом Q на расстоянии r от него равна
/>. (1.2.3)
Посколькуэлектростатическое поле создается, в конечном счете, точечными зарядами (любоезаряженное тело можно рассматривать как систему микроскопических заряженныхчастиц), то сила, действующая на пробный заряд со стороны произвольногоэлектростатического поля, есть сумма сил, действующих на пробный заряд состороны каждого точечного источника. Отсюда следует принцип суперпозиции,который посредством формулы (1.2.3) можно выразить формулой для суммы полей точечныхзарядов в точке, удаленной на расстояния /> от них:
/>. (1.2.4)
Если расстояние откаждого из зарядов до точки наблюдения много больше расстояний между зарядами,то во многих случаях формулу (1.2.4) можно приближенно заменить формулой(1.2.3), где Q –суммарный заряд системы, а r – расстояние от какой-либо точкивнутри системы зарядов. При этом, если Q = 0, т.е. система зарядов электрическинейтральна, поле вдали от системы практически отсутствует. Именно поэтомубольшинство тел, хоть и содержит множество заряженных частиц, не создают поля.Однако этот результат справедлив не для всех зарядовых систем. Системы с Q =0,обладающие, так называемым, дипольным моментом (см. ниже Поляризация), создаютвокруг себя заметное поле. В том случае, когда заряд распределен внутримакроскопического тела или некоторой области пространства, его пространственноерасположение принято описывать с помощью: объемной плотности заряда (r),поверхностной плотности заряда (s) и линейной плотности заряда (t). Этивеличины определяются формулами:
/>, (1.2.5)
где суммируются зарядывсех частиц в объеме dV, на площадке dS и отрезке dl, соответственно. ВеличиныdV, dS, dl выбираются малыми (см. рис. 1.2.1) по сравнению с объемом (площадью,длиной) тела, но содержащим много элементарных заряженных частиц (электронов,ионов)./> />
Рис.1.2.1
При разбиении заряженноготела объемом V на большое число N малых частей, каждая такая часть может бытьрассмотрена как точечный заряд, напряженность поля которого />, вычисляется позакону (1.2.3). Применяя принцип (1.2.4) для N, стремящегося к бесконечности,получаем напряженность тела как объемный интеграл:
/>. (1.2.6)
/>
/>
Аналогично рассчитываютполя от заряженной поверхности (поверхностный интеграл) и от линейногозаряженного тела (линейный интеграл).
На рис.1.2.2 показан случайзаряженной поверхности. Ниже приведены формулы расчета декартовых компонентнапряженности по известной поверхностной плотности заряда s(r):
/>,
/>, />. (1.2.7)
/>
/>
Силовой линиейэлектростатического поля называется пространственная линия, в каждой точкекоторой вектор напряженности этого поля является касательным. Свойстваэлектростатических силовых линий вытекают из этого определения, формулы длянапряженности поля точечного заряда (1.2.3) и принципа суперпозиции (1.2.4).
Силовые линииэлектростатического поля не бывают замкнутыми, не пересекаются вне зарядов,начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных или уходятв бесконечность. На рис. (1.2.3) в соответствии с картиной силовых линийпоказаны векторы напряженности и силы, действующей на заряды разного знака.
3 Потокнапряженности электрического поля. Теорема Гаусса в интегральной форме
/>
/>
Пусть n – единичнаянормаль к площадке dS (достаточно малой, чтобы пренебречь изменениемэлектрической напряженности Е в пределах площадки). Поток dФэ электрическойнапряженности через эту площадку определяется как произведение нормальнойкомпоненты Е и dS:
/>. (1.3.1)
/>
Знак потока dFэ, очевидно,зависит от взаимной ориентации нормали и напряженности. Если эти два вектораобразуют острый угол, поток положителен, если тупой – отрицателен.
Поток dFэчерез площадку, наклонную к силовой линии (т.е. к вектору Е), равен такжепотоку через проекцию этой площадки на плоскость, перпендикулярную силовойлинии (см. рис. 1.3.2):
/>. (1.3.2)
Это равенство (1.3.1)следует из определения (1.3.1) для dFэ и теоремы об углах с взаимноперпендикулярными сторонами.
/>
/>
Поток Fээлектрической напряженности Е через замкнутую поверхность S (рис. 1.3.3) определяется как суммаэлементарных потоков через все площадки поверхности. В пределе, когдаколичество площадок N стремится кбесконечности, сумма потоков через площадки переходит в поверхностный интегралот нормальной компоненты напряженности En:
/>. (1.3.3.)
К. Гауссом в 1844доказана теорема (теорема Гаусса в интегральной форме), устанавливающая связьисточников поля и потока напряженности через произвольную поверхность,окружающую источники.
/>
Для доказательствавыведем вспомогательную формулу. Поток от точечного заряда через произвольнуюокружающую его сферу.
/>. (1.3.4)
Силовые линии поляточечного заряда перпендикулярны поверхности концентрической сферы (см. рис1.3.4). С учетом этого факта формула (1.3.4) выводится из выражения для поляточечного заряда (1.2.3). Как видно, в этом случае поток Fэ независит от радиуса сферы, а зависит только от Q .
/>
/>
Из (1.3.2) и (1.3.4)следует, что поток поля точечного заряда через любую поверхность, окружающуюзаряд, равен потоку через сферу произвольного радиуса, концентричную заряду.Действительно, поток поля точечного заряда через любую площадку dS, вырезаннуютелесным углом dW из произвольной поверхности,получается таким же, как поток через площадку /> сферы, вырезанную тем жетелесным углом. Поток поля Fэ через сферу, как уже отмечалось, независит от ее радиуса. Поэтому поток напряженности поля точечного заряда черезповерхность S (см. рис. 1.3.5) задается формулой (1.3.4). Из формулы (1.3.4) ипринципа суперпозиции следует теорема Гаусса в интегральной форме: полный потокFэ напряженности электрического поля через произвольную замкнутуюповерхность, внутри которой находится как угодно распределенный (объемный,поверхностный и т.д.) заряд Q, вычисляется по формуле
/>. (1.3.5)
При применении теоремыГаусса для решения задач, необходимо помнить, что в уравнении (1.3.5) Q – суммавсех зарядов внутри мысленной поверхности, через которую вычисляется поток, втом числе зарядов, принадлежащим атомам и молекулам среды (так называемыхсвязанных зарядов).
Поток напряженности поляЕ через любую замкнутую поверхность, внутри которой полный заряд равен нулю,также равен нулю.
4.Дивергенция векторного поля. Теорема Гаусса в дифференциальной форме
Произвольному векторномуполю (т.е. некоторой векторной функции />, заданной в точках (x,y,z) некоторойобласти пространства) можно сопоставить скалярную функцию, называемуюдивергенцией поля F. Эта функцияобозначается символом «div» и определяется соотношением
/>. (1.4.1)
Физический смыслдивергенции следует из формулы, доказываемой в курсе высшей математики:
/>. (1.4.2)
При предельном переходеобъем V и его поверхность S стягиваются в точку наблюдения, в которойвычисляется дивергенция. Согласно (1.4.1), поток напряженности E через любуюбесконечно малую сферу, внутри которой нет зарядов, – тождественный нуль.Поэтому из (1.4.2) следует, что в точках с нулевой плотностью зарядов (r=0)дивергенция E равна нулю. Рассмотрев поток через малую сферу V вокруг точки, вкоторой дивергенция напряженности не равна нулю, можно показать с помощью(1.4.1) и (1.4.2), что в такой точке объемный заряд есть, поэтому точки, вкоторых дивергенция напряженности отлична от нуля, являются источниками силовыхлиний.
В курсе математикидоказывается теорема Остроградского-Гаусса (была установлена К. Гауссом в 1844независимо от М.В. Остроградского, доказавшего ее в 1839):
/>. (1.4.3)
Здесь V – произвольныйобъем, ограниченный поверхностью S. Применим теорему (1.4.3) к потокуэлектростатического поля. С учетом (1.4.1) получим:
/>
/>. (1.4.4)
Из равенства интеграловввиду произвольности объема V следует равенство подынтегральных выражений, т.е.теорема Гаусса в дифференциальной форме (А. Пуассон, 1850 г.):
/>. (1.4.5)
Из тех областейпространства, в которых дивергенция Е положительна, силовые линии Е исходят(r>0), в тех областях, где divE
Циркуляция и роторвекторного поля. Градиент скалярной функции
Циркуляция СLпроизвольного векторного поля F(x,y,z) по замкнутому контуру L определяется следующим соотношением:
/>
/>
/>, (1.5.1)
где Fl – проекция вектора F на направление элемента контура dl (см. рис. 1.5.1).
Ротор – это еще однопонятие из математической теории векторных полей. В декартовой системекоординат (x,y,z) ротор F (обозначение «rotF») определяется как вектор,компоненты которого равны определенным комбинациям пространственных производныхвектора F, именно:
/> (1.5.2)
Физический смысл ротораследует из равенства, доказываемого в курсе математики:
/>. (1.5.3)
Здесь n – нормаль кплощадке S, L – контур, ограничивающий эту площадки, который при этомпредельном переходе стягивается в точку наблюдения />. Если роторвекторного поля в некоторой точке наблюдения не равен нулю, то в любойдостаточно малой окрестности этой точки силовые линии поля образуютмикроскопические замкнутые контура вокруг нее («завихряются»). Поэтому область,где ротор векторного поля отличен от нуля, называют вихрем поля, а само поле,ротор которого отличен от нуля называется вихревым. Скорость движения потоковжидкости или газа, рассматриваемая как функция координат, является наглядным примеромвекторного поля. Турбулентности в жидкости или газе образуются именно вокругточек, в которых отличен от нуля ротор скорости потока жидкости (газа).Изображение поля с помощью силовых линий в области пространства, где ротор отличенот нуля (точно так же, как и в точках с ненулевой дивергенцией), невозможно.
Как будет видно издальнейшего, циркуляция и ротор электростатического поля, тождественно равнынулю во всем пространстве. Поэтому электростатическое поле – это относительнопростое силовое поле. Такими же свойствами обладает и гравитационное поле.
Понятие градиента ужевводилось в курсе механики. Напомним его. Градиент функции f(x,y,z), зависящей от координат – этовектор, декартовы компоненты которого являются пространственными производнымифункции f :
/>. (1.5.5)
Пусть />. Можнопоказать, что тогда необходимо и достаточно, чтобы ротор /> был равен нулю:
/>. (1.5.6)
/>
/>
Потенциальностьэлектростатического поля. Электрический потенциал
Работа поля по переносупробного q заряда из некоторой точки 1 внекоторую точку 2 не зависит от траектории его движения и определяется дляданного поля и данного заряда только координатами этих точек. Для случая, когдаисточником поля является точечный заряд Q (рис. 1.6.1) это нетрудно обосноватьследующим образом. Работа на элементарном отрезке траектории, по известному измеханики определению, есть: />. Раскрывая скалярноепроизведение векторов через угол a между ними, получаем
/>. (1.6.1)
Суммируя (интегрируя) всеэлементарные работы, находим
/>, (1.6.2)
что и требовалосьдоказать. Работа определяется только расстояниями от источника до начальной иконечной точки траектории. Такое силовое поле в механике мы называлипотенциальным.
Из принципа суперпозицииследует потенциальность электростатического поля, созданного любой системойзарядов. Из (1.6.2) и принципа суперпозиции следует также, что работаэлектростатических сил над зарядом, перемещаемым по замкнутому контуру, равна0:
/>. (1.6.3)
Таким образом, для любогоконтура в электростатическом поле циркуляция напряженности – тождественныйнуль. В соответствии с утверждением (1.5.6) напряженность электростатическогополя (с точностью до знака) может быть истолкована как градиент некоторойфункции координат, называемой потенциалом электростатического поля />:
/>. (1.6.4)
Используя определениенапряженности электростатического поля (1.2.1) и формулу связи между силой F и потенциальной энергией W,известную из курса механики
/>, (1.6.5)
из (1.6.4) получим, чтопотенциал поля в данной точке наблюдения численно равен потенциальной энергиипробного заряда q, помещаемого вданную точку, отнесенной к величине этого заряда:
/>. (1.6.6)
Потенциальная энергияэлектростатического поля, как и энергия поля сил тяготения, определяется сточностью до произвольной постоянной, которую можно зафиксировать выбором точкинулевого уровня для W. Как правило, потенциальная энергия электростатическогополя полагается равной нулю в бесконечно удаленной точке.
Из формулы (1.6.4) путеминтегрирования нетрудно получить формулу, связывающую потенциал снапряженностью:
/>. (1.6.7)
Интегрирование в (1.6.7)можно проводит по любой кривой соединяющей точки 1 и 2.
/>
Рассмотрим впространстве, где имеется электростатическое поле, мысленную поверхность,перпендикулярную силовым линиям. При вычислении интеграла (1.6.7) по любойтраектории 1–2, лежащей на этой поверхности, касательная Et компонента Е равна нулю.Следовательно, для любых двух точек 1 и 2 этой поверхности правая часть (1.6.7)равна нулю, потенциалы j(r1) и j(r2) одинаковы. Поверхность, во всех точках которойпотенциал имеет одинаковую величину, называется эквипотенциальной. Такимобразом, поверхность перпендикулярная к силовым линиям являетсяэквипотенциальной.
/>
/>
В общем случае разностьпотенциалов между точками 1 и 2 равна разности потенциалов эквипотенциальныхповерхностей, которым принадлежат эти точки. Последнюю можно найти, проводяинтегрирование в формуле (1.6.7), по силовой линии, соединяющей точки 1¢ и 2¢ этих эквипотенциальных поверхностей.При этом фактически под интегралом будет модуль Е электрической напряженности,т.к. на силовой линии />. В заключение дляпотенциала поля точечного заряда Q приведем формулу, которая следует изсравнения формул (1.6.2) и (1.6.6) и известного из курса механики соотношениямежду работой A12 потенциальных сил на участке 1–2траектории частицы и потенциальной энергией частицы в начале W1 и в конце W2 этогоучастка:
/>. (1.6.8)
В данном случае частицейявляется пробный заряд q. Формуладля потенциала точки, отстоящей от точечного источника Q на расстояние r, имеет вид
/>. (1.6.9)
Заключение
Электрическое поле —особая форма поля, существующая вокруг тел или частиц, обладающих электрическимзарядом, а также в свободном виде в электромагнитных волнах. Электрическое поленепосредственно невидимо, но может наблюдаться по его действию и с помощьюприборов. Основным действием электрического поля является ускорение тел иличастиц, обладающих электрическим зарядом.
Электрическое поле можнорассматривать как математическую модель, описывающую значение величинынапряженности электрического поля в данной точке пространства. Дуглас Джанколиписал так: «Следует подчеркнуть, что поле не является некой разновидностьювещества; правильнее сказать, это чрезвычайно полезная концепция… Вопрос о«реальности» и существовании электрического поля на самом деле — этофилософский, скорее даже метафизический вопрос. В физике представление о полеоказалось чрезвычайно полезным — это одно из величайших достиженийчеловеческого разума».
Электрическое полеявляется одной из составляющих единого электромагнитного поля и проявлениемэлектромагнитного взаимодействия.
Списокиспользованной литературы
Дмитриева В.Ф., Прокофьев В. Л.Основы физики. – М.: Высшая школа, 2003
Калашников Н. П., Смондырев М. А.Основы физики. – М.: Дрофа, 2003
Макаров Е. Ф, Озеров Р. П. Физика. –М.: Научный мир, 2002
Савельев И.В. Курс общей физики:Учеб. Пособие: для вузов. В 5 кн. Кн.2. Электричество и магнетизм – 4-е изд.,перераб.– М.: Наука, Физматлит, 2003, сс. 9–30, 41-71.
Трофимова Т.И. Курс физики: Учеб.Пособие: для вузов.– 5-е изд., стер.– М.: Высш. шк., 2003, сс. 148–164.
Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курсфизики: Учеб. пособие для вузов.– 2-е изд., испр. и доп.– М.: Высш. шк., 20049,сс. 182–190, 193–202.
Иродов И. Е. Электромагнетизм.Основные законы.– 3-е изд., испр.–М.: Лаборатория базовых знаний, 2000, сс.6–34.