Задача 1
Груз силой тяжести G=350 Н удерживается тросом, перекинутым через блок А,ось которого укреплена на стержнях АВ и АС. Определить силы реакции в стержнях,если углы на рис.8.1 равны, соответственно: α=60º, β=15º, γ=30º. Рисунок невыдержан в масштабе.
/>
Дано:
G=350 Н
α=60º
β=15º
γ=30
RA,RB — ?
T=G, т.к. трение в блоке отсутствует
Запишем уравнение равновесия длястержней. В качестве объекта равновесия примем точку А. Изобразим действующиена нее силы.
/>
ΣFx=0
Tsin30-RCsin60-RBsin75=0
ΣFy=0
G+Tcos30-RBcos75-RCcos60=0
Получили два уравнения с двумя неизвестными.Для упрощения процесса решения подставим числовее значения известных величин.
350sin30-RСsin60-RBsin75=-175-0,866RС-0.966RB=0
/>
49,6-0,259RB-0.5(-202,1-1,1RB) =51,9+0,291RB=0
RB=-51,9/0.291=-178,35Н
RC=-202,1-1,1(-178,35) =-5,92 Н
Знак "-" указывает нато, что силы направлены в сторону противоположную указанной на схеме.
Ответ: RB=-178,35Н
RC=-5,92Н
Задача 2
По заданному графику проекциискорости точки, движущейся прямолинейно, построить графики ее перемещения иускорения. Какой путь прошла точка? На каком максимальном расстоянии отисходного положения она находилась в процессе движения? На каком расстоянии отисходного положения она находится в конце движения?
/>
Для построения графиковперемещения и ускорения необходимо записать уравнения скорости на каждомучастке представленного графика.
Участок 1. tот 0 до 10 с
V1=const=10 м/с
Участок 2. tот 10 до 20 с
V2=2t-10
Участок 3. tот 20 до 30 с
V3=const=30 м/с
Участок 4. tот 30 до 40 с
V4=120-3t м/с
Для построения графиковперемещений проинтегрируем уравнения полученные выше
/>
Найдем константу С. S (0) =0=10·0+C →C=0, S1=10t
/>
S1 (10)=10·10=100
S2 (10)=102-10·10+C → C=100
/>
/>
S2 (20)=202-20·10+100=300
S3 (20)=20·30+C=300 → C=-300
/>
/>
S3 (30)=30·30-300=600
S4 (30)=120·3-/>302+C=600→ C=-1590
/>
Для построения графиковускорений продифференцируем уравнения скоростей на разных участках
a1=/>
a2=2м/с2
a3=0
a4=-3м/с2
/>
График зависимости перемещенияот времени м/с2
/>
График зависимости ускорения отвремени
Путь пройденный точкой численноравен площади под графиком зависимости скорости от времени
S=10·10+(10·10+0,5·10·20) +10·30+0,5·10·30=750 v
В данном случае максимальноерасстояние от исходного положения составит 750 м, точка в конце движения будетнаходится также на расстоянии 750 м.
Задача 8.3 В механизме качающегосягрохота (рис.8.3) определить угловую скорость кривошипа О2В=3r и скорость ползуна D привертикальном положении кривошипа O1A, если АВ=CD=2r.Отношение BC/CO2=3/5,угловая скорость кривошипа О1А равна ω=6 рад/с, углы α=60º, β=45º. Длинакривошипа O1A равна r=0.1м.
/>
Дано:
O1A=r=0,1м
AB=CD=2r=0,2 м
O2B=3r=0,3м
/>
ωOA1=6рад/с
α=60º
β=45º
ωO2B,VD — ?
Построим положение механизма всоответствии с данными условиями задачи.
Для определения необходимых намскоростей необходимо провести ряд промежуточных вычислений.
Определим скорость VA
VA=ωO1A·r/2=6·0,1=0,6 м. с (VA┴O1A)
Скорость VAопределяем с помощью теоремы о проекциях скоростей двух точек тела (стержня АВ)на прямую соединяющую эти точки (прямая АВ).
VA=VBcos30→ VB=0.6/cos30=0,69 м/c2
Построим мгновенный центрскоростей (МЦС) — точка лежащая на пересечении перпендикуляров к векторам VAи VB
ωO2B=/>рад/с
/>
Определяем VD.Точка D принадлежит одновременно ползуну, движущемусявдоль направляющих поступательно и стержню CD. Поэтомучтобы найти ее скорость достаточно знать скорость какой-нибудь другой точкиэтого стержня и направление VD.
Величину VCнайдем из пропорции
/>
VC=/>(VC┴СМЦС)
Скорость VDопределяем с помощью теоремы о проекциях скоростей двух точек тела (стержня CD) на прямую соединяющую эти точки (прямая CD).
VDcos45=VCcos15→ VD=0,5·cos15/cos45=0,68 м/c2
Ответ: ωO2B=/>рад/с; VD=0,68м/c2
Задача 3
Доска длиной l=6м, свободно положенная на две разновысокие опоры А иВ, получив начальную скорость v=0.5м/с, соскальзывает с опорвниз. Упадет ли доска с них, если коэффициент трения между доской и опорами f=0.6, а размеры на рис.8.4: a=0.3l, b=0.5l, h=0.14l.
/>
Дано:
l=6м
v0=0.5м/с
f=0.6
a=0.3l
b=0.5l
h=0.14l
s — ?
Запишем сразу уравнениеравновесия для доски находящейся в покое
ΣFx=0-FтрА+Qcosα-FтрB=0
FтрА=FтрВ=f·N=f·Qsinα (Ra=Rb=N)
/>
отсюда
Qcosα-2f·Qsinα=0
Запишем 3-й закон Ньютона длядоски начавшей движение
m/>=mg (cosα-2fsinα)
/>=g (cosα-2fsinα)
Проинтегрируем полученное уравнение
/>
/>=Vx=g (cosα-2fsinα) t+C1
x=g (cosα-2fsinα) t+C1t+C2
Найдем неизвестные cosα и sinα
/>
sin2α+cos2α=1
/>
Найдем постоянные С1и С2
При t=0 Vx (0) =0.5 м/с → С1=0,5
При t=0 x (0) =0 → С2=0
Окончательно уравнение движениядоски примет вид
V=9.8 (0.28-2·0.6·0.96)t+0,5=-8,55t+0,5
x=-4.27t2+0.5t
Найдем время, когда доскаостановится
V=0 →t=0.5/8.55=0.06 c
Путь пройденный доской за этовремя
x=-4.27·0.062+0.5·0.06=0.015м
Для того чтобы доска упала онадолжна пройти путь равный длине его верхней части а=0,3·6=1,8 м. В нашем случаеэто не происходит, следовательно доска не упадет.
Задача 4
На однородной балке массой m=3т (рис.8.5) установлена лебедка силой тяжести G=25кН, поднимающая на тросе, наматывающемся на барабан d=0.1l, груз силой тяжестиQ=12кН с ускорением а=3м/с2. Определитьнагрузки на опоры А и В, если b=0.4l, c=0.2l. Массу троса не учитывать.
/>
Дано:
m=3т
G=25кН
d=0.1l
Q=12кН
а=3м/с2
b=0.4l
c=0.2l
RA,RB — ?
/>
Запишем уравнения равновесия
ΣFx=0 RAx=0
ΣFy=0 RAy-G-Q-/>-Mg+RBy=0
ΣMA=0 -Gb-Qz-/>
где />
Получили два уравнения с двумянеизвестными, найдем искомые реакции
RBy=/>кН
RAy=G+Q+/>25+12+3.67-23=17,67 кН
Ответ: RBy=23кН, RAy=17,67 кН