Тунельные и барьерные эффекты

Московский ПедагогическийГосударственный Университет
Курсовая работа по квантовой механике на тему:
Туннельные и барьерные эффекты.
Приняла:
Выполнила:
студентка4-го курса  1-ой группы
физического факультета
Москва 2004 год.       
Введение
ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ (туннелирование) —квантовый переход системы через область движения, запрещённую классическоймеханикой. Типичный пример такого процесса— прохождение частицы через потенциальныйбарьер, когда её энергия Е меньше высоты барьера. Импульс частицы рв этом случае, определяемый из соотношения , где U(x)— потенциальная. энергия частицы (т — масса), был бы вобласти внутри барьера, Е
Одна из постановок задач опрохождении потенциального барьера соответствует случаю, когда на барьер падаетстационарный поток частиц и требуется найти величину прошедшего потока. Длятаких задач вводится коэффициент прозрачности барьера (коэффициент туннельногоперехода) D, равныйотношению интенсивностей прошедшего и падающего потоков. Из обратимости повремени следует, что коэффициент прозрачности для переходов в «прямом» иобратном направлениях одинаковы. В одномерном случае коэффициент прозрачностиможет быть записан в виде
(1)
интегрирование проводится по классическинедоступной области, х1,2 — точки поворота, определяемыеиз условия U(х1,2)= Е. В точках поворота в пределе классической механики импульсчастицы обращается в нуль. Коэффициент. Doтребует для своего определения точногорешения квантово-механической. задачи.
При выполнении условияквазиклассичности
 
(2)
на всём протяжении барьера, за исключениемнепосредственной. окрестностей точек поворота х1,2, коэффициентDoслабоотличается от единицы. Существенное, отличие Doот единицы может быть, например, в техслучаях, когда кривая потенциальной энергии с одной из сторон барьера идётнастолько круто, что квазиклассическое приближение там неприменимо, или когдаэнергия близка к высоте барьера (т. е. выражение, стоящее в экспоненте, мало).Для прямоугольного барьера высотой Uoи шириной а коэф. прозрачностиопределяется формулой

где
Основание барьерасоответствует нулевой энергии.
В квазиклассическом случае Dмал по сравнению с единицей.
Другая постановка задачи опрохождении частицы через барьер состоит в следующем. Пусть частица в начальныймомент времени находится в состоянии, близком к т. н. стационарному состоянию,которое получилось бы при непроницаемом барьере (например, при барьере,приподнятом вдали от потенциальной ямы на высоту, большую энергиивылетающей частицы). Такое состояние наз. квазистационарным. Аналогичностационарным состояниям зависимость волновой функции частицы от времени даётсяв этом случае множителем ехр(-iEt/). В качествеэнергии здесь фигурирует комплексная величина E, мнимая часть которой определяетвероятность распада квазистационарного состояния в единицу времени за счёт Туннельногоэффекта.:

(3)
В квазиклассическомприближении вероятность, даваемая формулой (3), содержит экспоненциальныймножитель того же типа, что и в формуле (1). В случае сферически симметричногопотенциального барьера вероятность распада квазистационарного состояния сорбит, квантовым числом lопределяется формулой
          (4)
Здесь r1,2—радиальные точки поворота,подынтегральное выражение в которых равно нулю. Множитель  зависит от характера движения вклассически разрешённой части потенциала, например, он пропорционаленклассической частоте колебаний частицы между стенками барьера.
Туннельный эффект позволяетпонять механизм α-распада тяжёлых ядер. Между α-частицей и дочернимядром действует электростатическое отталкивание, определяемое формулой U(r)=b/r. На малых расстояниях порядка размера а ядра ядерные силытаковы, что эффективный потенциал можно считать отрицательным: U(r)= — Uo. Врезультате вероятность α — распада даётся соотношением

(5)
Здесь
Е—энергия вылетающей α -частицы.
Туннельный эффект.обусловливает возможность протекания термоядерных реакций на Солнце и звёздахпри температуре в десятки и сотни млн. градусов, а также в земныхусловиях в виде термоядерных взрывов или УТС.
В симметричном потенциале,состоящем из двух одинаковых ям, разделённых слабопроницаемым барьером,Туннельный эффект. приводит к интерференции состояний в ямах, что приводит кслабому двойному расщеплению дискретных уровней энергии. Длябесконечного периодичного в пространстве набора ям каждый уровень превращаетсяв зону энергий. Таков механизм образования узких электронных энергетических зонв кристаллах с сильной связью электронов с узлами решётки.
Если к полупроводниковомукристаллу приложено электрическое. поле, то зоны разрешённых энергий электроновстановятся наклонными в пространстве. Тем самым уровень пост, энергии электронапересекает все зоны. В этих условиях становится возможным переход электрона изодной энергетической зоны в другую за счёт Туннельный эффект. Классическинедоступной областью при этом является зона запрещённых энергий. Это явлениеназ. пробоем Зинера. Квазиклассическое приближение отвечает здесь малойвеличине напряжённости электрического поля. В этом пределе вероятность пробояЗинера определяется в основном экспонентой, в показателе которой стоит большаяотрицательная величина, пропорциональная отношению ширины запрещённойэнергетической зоны к энергии, набираемой электроном в приложенном поле нарасстоянии, равном размеру элементарной ячейки.
Похожий эффект проявляется в туннельныхдиодах, в которых зоны наклонены благодаря полупроводникам р- и n-типа по обе стороны от границы ихсоприкосновения. Туннелирование осуществляется благодаря тому, что в зоне, кудапереходит носитель заряда, имеется конечная плотность незанятых состояний.
Благодаря Туннельному эффектувозможен электрический ток между двумя металлами, разделёнными тонкойдиэлектрической перегородкой. Эти металлы могут находиться как в нормальном,так и в сверхпроводящем состоянии. В последнем случае может иметь место Джозефсонаэффект.
Туннельный эффект. обязанытакие явления, происходящие в сильных электрических полях, как автоионизацияатомов и автоэлектронная эмиссия из металлов. В обоих случаяхэлектрическое поле образует барьер конечной прозрачности. Чем сильнееэлектрическое поле, тем прозрачнее барьер и тем сильнее электронный ток изметалла. На этом принципе основан сканирующий туннельный микроскоп — прибор, измеряющий туннельный ток из разных точек исследуемой поверхности идающий информацию о характере её неоднородности.
Туннельный эффект. возможенне только в квантовых системах, состоящих из одной частицы. Так, например,низкотемпературное движение дислокаций в кристаллах может быть связано стуннелированием конечной части дислокации, состоя из многих частиц. В такогорода задачах линейную дислокацию можно представить как упругую струну, лежащуюпервоначально вдоль оси у в одном из локальных минимумов потенциала V(x, у). Этот потенциал не зависит от у, а его рельеф вдольоси х представляет со последовательность локальных минимумов, каждый изкоторых находится ниже другого на величину, зависящую от приложенного ккристаллу механического напряжения. Движение дислокации под действием этогонапряжения свода к туннелироваиию в соседний минимум определенного отрезкадислокации с последующим подтягиванием туда оставшейся её части. Такого же родатуннельный механизм может отвечать за движение волн зарядовой плотности вдиэлектрике Пайерлса.
Для расчётов эффектовтуннелирования таких многорамерных квантовых систем удобно использоватьквазикласическое представление волновой функции в виде ψ~exp(iS), S—классическоедействие системы. Для туннельного эффекта. существенна мнимая часть S, определяющая затухание волновой функции в классически недоступнойобласти. Для её вычисленияиспользуетсяметод комплексных траекторий.
Квантовая частица,преодолевающая потенциальный барьер может быть связана с термостатом. В классическоймеханике это соответствует движению с трением. Тем самым,; описаниятуннелирования необходимо привлечение теории, получившей название диссипативнойквантовой механики. Такого рода соображения необходимо использовать дляобъяснения конечного времени жизни токовых состояний контактов Джозефсона. Вэтом случае происходит туннелирование эффекта. квантовой частицы через барьер,а роль термостата играют нормальны электроны.
§ 1. Прохождение микрочастиц черезпотенциальные барьеры.
 Постановка проблемы и простейшие случаи.
Если мы имеем две областипространства, в которых потенциальная энергия частицы меньше, нежели наповерхности, раз­деляющей эти  области,то мы говорим,  что области разделены потенциальным барьером.
Простейшим примеромпотенциального барьера может служить барьер в одном измерении, изображенный нарис.1. По оси ординат отложена потенциальная энергия U(х) в функции коор­динаты частицы х. В точке х0потенциальная энергия имеет мак­симум Um. Все пространство — ∞ х0, вкоторых U
  (1)
где р —импульс частицы, аμ – её масса. Решая  (1)относительно импульса, получим         
     (2)
Знаки ± следует выбрать взависимости от направления движе­ния частицы. Если энергия частицы Е больше«высоты» барьера Um, то частица беспрепятственно пройдет барьер слева направо, еслиначальный импульс р>0, или в противоположном направлении, если начальныйимпульс р
Допустим, что частицадвижется слева, имея полную энергию Е, меньшую Uт. Тогда в некоторой точке xtпотенциальная энергия U(х1)=Е, p(x1)=0, частица остановится. Вся ее энер­гия обратится впотенциальную, и движение начнется в обратном порядке: х1 естьточка поворота. Поэтому при E х0Подобным же образом, если частица движется справаналево, имея  Е


Рис. 1.1. Потенциальный барьер в одном измерении.
Рис. 1.2. Самый простой потенциальный барьер
в которой U(x2)=E(рис.1). Таким образом, потенциальныйбарьер является «непрозрачной» перегородкой для всех частиц, энергия которыхменьше Um(напротив, он «прозрачен» для частиц, обладающих энергией Е>Um). Этими разъясняется название «потенциальный барьер».    
Совсем иначе протекаютявления   вблизи    потенциальных барьеров, если речьидет о движениях   микроскопических   частиц в микроскопических полях, т. е. одвижениях, при рассмотрении которых нельзя игнорировать квантовые эффекты. В этомслучае, как мы сейчас увидим, в противоположность выводам классическоймеханики,  частицы с энергией Е, большейвысоты барьера Um, частичноотражаются   от   барьера, а   частицы с энергией,меньшей  Um,  частично проникают  через барьер.
Для тогочтобы в этом   убедиться, мы рассмотримсовсем простой случай барьера, изображенный на рис. 2. Именно, мы будемсчитать, что потенциальная энергиячастицы  U(х) всюду равна нулю, кроме области 0 ≤ Х ≤ l, где она имеет постоян­ное значение, равное Um. Такой барьер представляет собой, конечно, идеализацию, но на нем,особенно просто можно проследить интересующие нас стороны проблемы. Мы можемсебе представить, что такой прямоугольный барьер возникает путем непрерывной  деформации плавного барьера,  изображенногона рис. 1.
Будем искать стационарныесостояния частицы, движущейся в поле такого барьера. Обозначая потенциальнуюэнергию через U(х), мыполучим уравнение Щредингера в виде


Обозначая в дальнейшем дифференцирование по х штрихом и вводя оптическиеобозначения

где   п (х) — показатель преломления,мы  перепишем уравнение (3) в виде
 (5)
Уравнение (94.5) распадаетсяна три уравнения для трех областей пространства:

(5'),(5"),  (5'")
Решения в этих областях могут бытьзаписаны сразу:
(96.6)
(6),  (6'), (6")
где А, В, α, β,a и b — произвольные постоянные. Однако это — общие решения трехнезависимых уравнений (5), (5'), (5") и они, вообще говоря, не образуюткакой-либо одной волновой функции, описывающей состояние частицы, движущейся всило­вом поле U(х). Длятого чтобы они давали действительно одну функцию ψ (х), мы должнысоблюсти краевые условия, которые мы сейчас установим.
Для этого будем рассматриватьU(х) и, следовательно, п (х) какплавную функцию х. Интегрируя тогда уравнение (5) около точки х = 0,получим

Отсюда
                                                 (7                    (7)
Переходя к пределу
 (7')
Далее, согласно общемутребованию о непрерывности волновых функций, имеем второе краевое условие
 (7")
Точка х = 0 ничем невыделена, поэтому условия (7') и (7") должны быть соблюдены в любой точке,в частности, и при х = 1.
Чтобы решение (6)трех уравнений (5) можно было рассматривать как предел решения одного уравненияпри переходе от плавного изменения U(х) к скачкообразному, нужно, чтобы эти решения в точках х = 0и х = 1 удовлетворяли краевым условиям (7') и (7"), т. е.

Подставляя сюдазначение функций из (6), получаем
 (9)
Мы имеем четыре уравнения дляшести постоянных. Произвол в выборе постоянных объясняется тем, что могут бытьволны, падающие на барьер слева, а могут быть — падающие на него справа.
Если мы, например, возьмем А,В≠0, b=0, то Aeik0Xможет рассматриваться как падающая волна, Be-ik0X—как отраженная, аe-ik0X— как проходящая. Если бы мы взяли b≠ 0, то это означало бы, что естьеще падающая волна с другой стороны барьера. Эти возможности соответствуют вклассической механике случаям движения частиц к барьеру слева, либо справа.
Мы рассмотрим дляопределенности случай падения частиц слева. Тогда, мы должны взять b= 0. Кроме того, без всяких ограничениймы можем принять амплитуду падающей волны за единицу: А=1. Уравнения (9)принимают тогда вид                                          ''
 (10)
Из этих алгебраических уравнений находимα, β, В и a:)
 (11 ), (12), (13), (14)
Если энергия частицы Е большевысоты барьера Um, топоказа­тель преломления пт действителен. В этом случаеинтенсивность отраженной волны | В|2 равна


а интенсивностьпроходящей волны
 (15)
Вычислим поформуле для плотности тока поток частиц в падающей волне, (JQ), отраженной (Jr) и проходящей (Jd). Получаем:
 (16)
Отношение потокаотраженных частиц к потоку падающих
              (17)
называют коэффициентом отражения. Отношениепотока проходящих частиц к потоку падающих
              (18)
называют коэффициентом прозрачностибарьера.
Из законасохранения числа частиц (уравнение непрерывности для тока) следует, что
                                (19)
 (приведенные выше выражения для Rи Dпозволяют непосредст­венно убедиться всправедливости этого равенства).
Поклассической механике, если E>Um, должно иметь место R=0, D=1 барьер совершенно прозрачен. Из(15) следует, что  | В| 2≠0поэтому в квантовой механике R> О, D
на границе двух сред.
Еслиэнергия частицы Е меньше высоты барьера Um, то по классической механике имеет место полное отражение D= 0, R=1. При этом частицы совсем не проникаютвнутрь барьера. В оптике такой случай отвечает полному внутреннему отражению.Согласно геометрической оптике лучи света не проникают во вторую среду.
Болеетонкое рассмотрение на основе волновой оптики пока­зывает, что вдействительности световое поле при полном отра­жении все же проникает в среду,от которой происходит отражение и если эта среда представляет собой оченьтонкую пластинку, то свет частично проходит через нее. Квантовая механика в слу­чаеЕ
 (20)
Внося этовыражение для пт в (14), вычислим теперь |а|2.Тогда, считая
 (21)
Обозначая первыйдробный множитель через Do(он не очень отличается от 1) и имея ввиду значение k6, получаем
 (22)
Таким образом, приE
Явлениепрохождения через потенциальный барьер получило образное название туннельногоэффекта.
Очевидно,что туннельный эффект будет иметь заметное зна­чение лишь в тех случаях, когда Dне слишком мал, т. е. когда
 (23)
Нетрудно видеть,что с туннельным эффектом мы можем встре­титься лишь в области микроскопическихявлений. Так, например, для Um— E~ 10-11 эрг (около десяти электрон-вольт), μ~ 10-11  (масса электрона) и l~ 10-11 cм, из(22) получим D~ e-1. Но если мы возьмем, например, l=1 см, то из той же формулы получим,Umнад Е еще более уменьшат D. Подобным же образом можно пока­зать, чторассмотренное выше отражение исчезает с ростом энер­гии частицы — квантоваямеханика переходит в классическую.
Формулу(22) для коэффициента прозрачности D, выведен­ную нами для прямоугольного барьера, мы можем обобщить ина случай барьера произвольной формы. Произведем сейчас это обобщение простымпутем.
Пусть имеемпотенциальный барьер U(x),изображенный на  рис. 1,  Представим его приближенно в видесовокупностипрямоугольныхбарьеров с шириной dxи высотой U(х). Этибарьеры на рисунке заштрихованы. Частица, имеющая энергию Е, вступает вбарьер в точке х = х1 и покидает его в точке х = х2.Согласно (22) коэффициент прозрачности для одного из этих элементарныхбарьеров равен

(потенциальнаяэнергия U(х) должнабыть достаточно плавной, чтобы dxможно было взять достаточно большим). Коэффициент прозрачности длявсего барьера должен равняться произведению коэффициентов прозрачности для всехэлементарных барьеров. Тогда показатели в формуле для D' сложатся, и мы получим
 (24)
§ 2. Кажущаяся парадоксальность «туннельного эффекта»
Прохождение частицчерез потенциальные барьеры представ­ляется на первый взгляд парадоксальным.Эту парадоксальность усматривают в том, что частица, находящаяся внутрипотенциаль­ного барьера при полной энергии Е, меньшей высоты барьера Um, должна иметь отрицательную кинетическую энергию, и полная энергия, как это имеет местов классической меха­нике,  является суммой энергий  кинетической ипотенциальной:

Вобласти,  где,U(х) >Е, это бессмысленно, так как импульс р естьдействительная величина. Как раз этиобласти, как мы знаем из классической механики недоступны для частицы. Междутем, согласно квантовой механике, частица может быть обнаружена и в этой«запретной» области. Таким образом, полу­чается, будто квантовая механикаприводит к выводу, что кине­тическая энергия частицы может быть отрицательной,а импульс частицы мнимым. Этот вывод и называют парадоксом «туннель­ногоэффекта».
На самомделе здесь нет никакого парадокса, а сам вывод неверен.  Дело  втом,  что,   поскольку туннельный эффект естьявление квантовое (приħ → 0 коэффициент прозрачности D(24) стремится к нулю), постольку онможет обсуждаться лишь в рам­ках квантовой механики. Полную же энергию частицыможно
рассматривать как сумму кинетической и потенциальной энергий
только на основе классической механики. Формула
предполагает, что одновременно знаем величину как кинетиче­ской энергии Т,так и потенциальной U{х). Инымисловами, мы приписываем   одновременноопределенное   значение координатечастицы х и ее импульсу р, что противоречит квантовой меха­нике. Делениеполной энергии на потенциальную и кинетическую
в квантовой механике лишено смысла, а вместе с тем несостоятелен и парадокс,основанный на возможности представить полную энергию Е как суммукинетической энергии (функция импульса) и потенциальной энергии (функциякоординат).
Остаетсялишь посмотреть, не может ли все же оказаться так, что путем измеренияположения частицы мы обнаружим ее внутри потенциального барьера, в то время какее полная энергия меньше высоты барьера.        I
Обнаружить частицу внутрибарьера действительно можно, даже если Eтак что уженельзя утверждать, что энергия частицы, после того как определили ееположение, равна Е.
Из формулы для коэффициентапрозрачности следует, что частицы проникают заметным образом лишь на глубину I, определяемуюравенством (23). Чтобы обнаружить частицу внутри барьера, мы должны фиксироватьее координату с точностью ∆x
Подставляя сюда l2из (23), находим     (2.1)
т. е. изменение кинетическойэнергии  частицы,  вносимое вмешательством измерения, должнобыть больше той энергии, кото­рой ей недостает до высоты барьера Um.Приведем еще пример, иллюстрирующий это утверждение. Определить координатучастицы, находящейся внутри потенциального барьера таким путем,  что будем посылать — узкий пучок света внаправлении, перпендикулярном к направлению движения частицы.  Если пучок рассеется, то значит, на его путипопалась частица.
Как объяснялось выше,точность нашего измерения должна быть такова ∆X
 (2.2)
так как,где ω—частота световых колебаний,  а с- скоростьсвета,тоотсюда следует, что  
Встречающиеся   в нерелятивистской  механике энергии  должны быть меньше собственной, энергии частицы μс2, поэтому
 (2.3)
т. е. энергия применяемых в световом пучкеквантов света должна быть больше, нежели разность между высотой потенциальногобарьера и энергией частицы. Таким образом, этот пример иллюстрирует положение онеобходимости применить для измерения координаты приборы, обладающие достаточноболь­шой энергией, чтобы можно было локализовать частицу.
§ 3. Холодная эмиссия электронов изметалла
Если к металлуприложить большое электрическое поле (порядка 106 в/см) так;чтобы он являлся катодом, то такое поле вырывает электроны; получаетсяэлектрический ток. Это явление получило название «холодной эмиссии». Она можетбыть легко истолковано на основе квантовой теории прохождения частиц черезпотенциальный ба­рьер и притом, в общих чертах, в согласии с опытом.

Рис 3.1. Поле на границе металла.

Рассмот­рим теорию этого эффекта, пред­ставляющую одно из наиболее
простых приложений теории прохождения через потенциальный
барьер. Обратимся сначала к картине движения электронов в
металле в отсутствие внешнего электрического поля.
Чтобыудалить электрон из металла, необходимо затратитьнекоторую работу. Следовательно,потенциальная энергия элек­трона в металле меньше, нежели вне металла. Наиболеепростым образом этот факт может быть выражен, если мы примем потен­циальнуюэнергий электрона U(х) внутриметалла равной 0, а вне металла равной С>0, так что потенциальная энергияимеет вид, изображенный на рис. 1. Схематизируя таким образом истинный ходпотенциальной энергии, мы в сущности оперируем со средним полем в металле. Насамой деле, потенциал внутриметалла меняется от точки к точке с периодом, равнымпостоян­ной кристаллической решетки. Наше приближение соответствует гипотезесвободных электронов, так как, поскольку U(х) = О, внутри металла нет никаких сил, действующих наэлектрон.
Здесьрассмотрим вопрос о степени правильности такого приближений. Ограничимся лишьуказанием на то, что рассмотрение электронов в металле как свободно движущихсяча­стиц («электронный газ») позволяет уяснить многие явления в метал­лах ипоэтому, в определенных рамках, является законным. Распре­деление по энергиямэлектронов этого газа таково, что подавляю­щее большинство электронов имеетэнергию Е
Представим теперь себе, что наложено электрическое поле ع, направленное к поверхности металла. Тогда кпотенциальной энергииэлектрона U(х) (рис.1) добавится потенциальная энер­гияэлектрона в постоянном поле ع, равная — еعх(заряд электрона равен — е). Полная потенциальная энергия электрона будет тецерь равна

(3.1)
Криваяпотенциальной энергии примет теперь иной вид. Она изображена на рис. 1пунктиром. Заметим, что внут