Факультет«Естественных наук»
Кафедра «Физика»
Курсовая работа
специальности7.070101 «Физика»
по дисциплине«Квантовая механика»
Теориястолкновений
Луганск, 2010 г.
Факультет«Естественных наук»
Кафедра «Физика»
Задание на курсовуюработу
специальности 7.070101«Физика»
по дисциплине«Квантовая механика»
Название курсовойработы: «ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ»
Указания к выполнениюкурсовой работы:
Изучить литературныеисточники по данной теме, сделать необходимые обобщения и применить их привыполнении практического задания.
План выполнения:
Изучение общей теориистолкновений;
Обобщение и проверкаприменимости для решения практических задач;
Решение практическихзадач.
Реферат
Курсовая работа:
29 с., 1 рис., 5источников.
Цель работы: изучениеквантовой теории столкновений и выполнение практических задач.
Исследовательский прием:анализ теоретических исследований, обобщение и применение при решениипрактических задач.
Теория столкновениймикрочастиц образует в наше время одну из весьма обширных глав атомной механики.Столкновение – понятие из классической механики. В квантовой механике большеприменимо понятие рассеяния. Процессом рассеяния называется отклонение частицот первоначального направления движения, вызванное взаимодействием с некоторойсистемой, называемой рассеивателем.
Изучение процессоврассеяния заряженных и незаряженных частиц является одним из основныхэкспериментальных методов исследования строения атомов, атомных ядер иэлементарных частиц.
Приоритеты развития – проведениеэкспериментов, сопоставление теории с новыми экспериментальными данными.
Волновая функция,постоянная планка, рассеяние, сечение рассеяния, борновское приближение.
рассеяниезаряженный атом борновский фазовый
Содержание
Введение
Обзор литературы
1. Постановка задачи рассеяния.Амплитуда рассеяния
2. Борновское приближение. Формула Резерфорда.Атомный форм-фактор
2.1 Борновское приближение
2.2 Критерий применимости
2.3 Формула Резерфорда
2.4 Атомный форм-фактор
2.5 Конечные сечения в квантовоймеханике
3. Фазовая теория рассеяния
3.1 Понятие о неупругом сечении
3.2 Оптическая теорема
3.3 Упругое рассеяние медленных частиц
3.4 Дифракционное рассеяние быстрыхчастиц на черном шаре
3.5 Упругое рассеяние быстрых частиц наидеально отражающем шаре
3.6 Резонансное рассеяние
Список использованных источников
Введение
В последние десятилетиянаука об атомных явлениях образовала не только одну из важнейших главсовременной физики, но и получила широкое применение в современной технике.
Уже самый поверхностныйвзгляд на область атомных явлений обнаруживает новые черты, существенноотличные от тех, которые свойственны микромиру.
Первое, с чем мывстречаемся в микромире – это атомизм. Простейшие, элементарные частицыхарактеризуются вполне определенными признаками (зарядом, массой и пр.),тождественными для всех частиц одного сорта.
Подобной атомистичностине существует в макромире. Макроскопические объекты представляют собойсовокупности большого числа элементарных частиц. Закономерностимакроскопических явлений – это закономерности, свойственные совокупностибольшого числа частиц.
Все это показывает, чтобыло бы методологически неправильно рассматривать микрочастицы по образу иподобию макроскопических тел. Даже материальная точка классической механикиесть абстрактный, идеализированный образ вовсе не микрочастицы, амакроскопического тела, размеры которого малы в сравнении с расстояниями,встречающимися в задаче.
Атомизм микромира неограничивается определенностью признаков самих микрочастиц. Он выражается такжев существовании некоторой абсолютной меры для механического движения. Такоймерой является постоянная Планка />. Она имеет первостепенноезначение в механике микрочастиц. Физики долгое время стремились понять атомныеявления, оставаясь в рамках классических, макроскопических теорий. Открытиепостоянной Планком было первым серьезным предупреждением о несостоятельностимеханического переноса закономерностей из области большого в область малого.
В 20-х годах ХХстолетия были открыты новые опытные факты, заставившие окончательно отказатьсяот этого пути. Было показано, что электроны обнаруживают волновые свойства:если пропускать поток электронов через кристалл, то частицы распределяются наэкране так же, как распределяется интенсивность волн подходящей длины волны. Мыполучаем чуждое классической механике явление дифракции микрочастиц. Позднеебыло доказано, что это явление свойственно не только электронам, но и вообщевсем микрочастицам. Таким образом, была открыта принципиально новая исовершенно общая закономерность.
Движение микрочастицоказалось во многих отношениях более родственно движению волн, нежели движениюматериальной точки по траектории. Явление дифракции несовместимо спредположением о движении частиц по траекториям. Поэтому принципы классическоймеханики, в которых понятие траектории является одним из основных понятий,непригодны для анализа движения микрочастиц.
Обзор литературы
Литература по квантовоймеханике на русском языке в настоящее время представлена довольно полно каккнигами советских физиков, так и переводами всех основных сочинений иностранныхтеоретиков. В этих книгах всякий физик, изучающий квантовую механику, или ужеприменяющий ее в своей практической работе, найдет исчерпывающее изложениеосновных принципов квантовой механики и многих ее применений, причем ужеимеется возможность выбрать книгу сообразно требованиям и склонностям читателя.Квантовая механика вошла настолько глубоко в обиход современного физика, чтоему, как правило, постоянно приходится сталкиваться с квантовомеханическимрасчетом, с практическим приложением теории к конкретным вопросам. Этиквантовые расчеты содержатся почти во всех книгах, но приводятся они главнымобразом для иллюстрации общих соображений и не всегда достаточно подробно. Вэтом отношении книги «/>» и «/>», освещаяпринципиальные вопросы, отличаются наиболее подробным изложением решенийосновных задач.
В данной курсовойработе приведение подробных расчетов неприменимо в связи с ограничениями пообъему. Поэтому можно воспользоваться литературными источниками, в которыхосновные принципы квантовой механики предполагаются известными и практически необсуждаются (см. список литературы).
1. Постановка задачирассеяния. Амплитуда рассеяния
Рассматриваем решениестационарного УШ
/> (1.1)
которое на большихрасстояниях r >> a (a — характерный радиус действия потенциала U(r))имеет вид суперпозиции падающей плоской волны и сферической волны, расходящейсяот центра (рис. 1):
/> (1.2)
Здесь функция f =f(k,θ,ϕ) — амплитуда рассеяния.
/>
Рис. 1: Схема рассеяния
Дифференциальноесечение рассеяния dσ равно отношению числа частиц, рассеянных в единицувремени в элемент телесного угла dΩ
/>
к плотности потокападающих частиц />
/>
Заметим, что, обсуждаясечение, мы имеем в виду расстояниях r, большие не только по сравнению с a,радиусом действия потенциала, но и с дебройлевской длиной волны λ.
От дифференциального УШ(1.1) и граничного условия (1.2) удобно перейти к интегральному уравнению
/> (1.3)
Такой переход можнообосновать известными из электродинамики результатами (см. Ландау Л.Д., ЛифшицЕ.М. Теория поля (М.: Наука, 1988, § 64). Действительно, волновое уравнение
/>
при гармоническойзависимости от времени потенциалов и плотностей зарядов
/>
имеет вид
/> (1.4)
аналогичный (1.1) сзаменой
/>
Решение же уравнения(20.4) в форме запаздывающих потенциалов таково:
/>
что соответствуетсуперпозиции сферических волн />, расходящихся из центров />,в которых сосредоточены заряды />.
При r >> aсоотношение (1.3) приводится к виду (1.2). Действительно, при этом
/>
так что
/> (1.5)
2. Борновское приближение. Формула Резерфорда.Атомный форм-фактор
2.1 Борновскоеприближение
Рассматриваем потенциалкак возмущение. Для получения амплитуды рассеяния в первом порядке попотенциалу взаимодействия, подставим в (1.5) невозмущенную волновую функцию
/>
и получим
/>
2.2 Критерийприменимости
/> , чтодает для сферически симметричного потенциала условие
/>
Оно приводится к
/>
Иными словами,характерная потенциальная энергия |U(a)| должна быть мала либо (для медленныхчастиц) по сравнению с характерной энергией /> либо (для быстрыхчастиц) по сравнению с /> (в последнем случае |U(a)| можетбыть и не мала по сравнению с />).
Критерий применимостиборновского приближения для рассеяния медленных частиц /> соответствуеттому, что в случае притягивающего потенциала притяжение недостаточно для образованиясвязанного состояния. В случае быстрых частиц условие /> соответствуеттому, что неопределенность в энергии, связанная с временем пролета, должна бытьмного больше потенциала взаимодействия; условие ka >> 1 обеспечиваетздесь применимость квазиклассического рассмотрения.
2.3 Формула Резерфорда
Для поля U(r) = −α/rкритерий применимости борновского приближения /> Борновскаяамплитуда равна
/>
а сечение рассеяния
/>
совпадает склассическим. Отметим без доказательства, что борновская формула для сечениясовпадает с точной (это верно лишь в нерелятивистском приближении). Полноесечение равно бесконечности.
2.4 Атомный форм-фактор
При упругом рассеяниибыстрых электронов на атоме последний можно рассматривать как источникстатического потенциала ϕ(r), создаваемогосредним распределением зарядов в атоме
/>
Так как /> то из
/>
следует, что/>.Таким образом,
/>
Здесь введен такназываемый атомный форм-фактор:
/>
При qa >> 1, тоесть при углах рассеяния θ >> 1/ka, форм-фактор |F|
При qa
/>
В этой областидифференциальное сечение
/>
Таким образом, прирассеянии на атоме полное сечение оказывается (в отличие от резерфордовского)конечным.
Пример
Атом водорода. />, поэтому
/>
Указанномураспределению зарядов соответствует потенциальная энергия
/>
В классической механикев таком поле σ = ∞, что находится в резком противоречии с квантовым(правильным!) результатом.
2.5 Конечные сечения вквантовой механике
Обсудим подробнеевопрос о том, какие потенциалы приводят в квантовой механике к конечнымсечениям. Пусть на больших расстояниях />. В классической механике прирассеянии в таком поле полное сечение бесконечно, так как любым большим прицельнымпараметрам ρ соответствуют хотя и малые, но конечные классические углыотклонения
/>
В квантовой механикедля частицы с прицельным параметром ρ (у нее /> неопределенностьпоперечного импульса />/>поэтому квантоваянеопределенность угла отклонения равна
/>
Таким образом, при />и поэтому квантомеханическиерезультаты могут существенно отличаться от классических.
Зная поведение U(r) набольших расстояниях, где взаимодействие всегда слабое и поэтому борновскоеприближение применимо, можно оценить поведение амплитуды в области малых угловрассеяния:
/>
Отсюда получаем, чтодифференциальное сечение
/>
конечно при θ →0, если n>3, а полное сечение
/>
конечно при n>2.
Опыты по рассеяниюбыстрых электронов на ядрах. Формфакторы элементарных частиц.
3. Фазовая теориярассеяния
Рассеяние на сферическисимметричном потенциале является симметричным, то есть ψ(r) зависит лишьот r и θ, но не от ϕ. Поэтому разложениеэтого решения по парциальным волнам содержит лишь />
/> (3.1)
Как известно(центральное поле сил),
/>
Чтобы выполнялосьграничное условие (1.2), необходимо
/>
Тогда
/>
3.1 Понятие о неупругомсечении
Решение (3.1) при r →∞можно представить не только в виде (1.2), но и в виде двух сферических волн,расходящейся и сходящейся:
/>
(разумеется, при такомразбиении расходящаяся волна/>отличается от />в (1.2)). Парциальнаяамплитуда расходящейся волны отличается на множитель />от соответствующей амплитуды в сходящейсяволне. Если нет поглощения частиц силовым центром, то этот множитель долженбыть по модулю равен единице, />.
Если есть поглощение,то />, авеличина />характеризуетуменьшение потока частиц в расходящейся волне по сравнению с потоком частиц всходящейся. Действительно,
/>
Поэтому неупругоесечение равно
/>
3.2 Оптическая теорема
Для процессов рассеянияи поглощения существуют определенные ограничения и связи. Введем понятиепарционального сечения />, представив />. В классическоймеханике />моментимпульса />,поэтому />,а под парциальным сечением />естественно понимать площадь кольцамежду окружностями радиусов />и />, то есть
/>
Парциальные сечения дляупругого, неупругого и полного />/> сечения можно записать в виде
/>
/>
/>
При />нет ни поглощения, нирассеяния; при />есть только рассеяние, но нетпоглощения. Так как />, то
/>
/>
Если есть поглощениечастиц /> ,то непременно происходит и рассеяние частиц. Поглощение максимально при />и в этом случае
/>
Еще одно соотношениевозникает, если сравнить
/>
с выражением для мнимойчастицы амплитуды рассеяния на угол
нуль:
/>
Отсюда получаемоптическую теорему:
/>
Ее смысл тот же, что ив оптике: ослабление падающего потока происходит за счет интерференции падающейволны и волны, рассеянной под очень малыми углами.
3.3 Упругое рассеяниемедленных частиц
При ka для />, поэтому лишь s-волна можетдавать заметное рассеяние. Таким образом,
/>
дифференциальноесечение изотропно
/>
а полное сечениеопределяется фазой s-волны
/>
3.4 Дифракционноерассеяние быстрых частиц на черном шаре
Пусть идеальнопоглощающий (черный) шар имеет радиус a. Рассмотрим рассеяние быстрых (ka >>1) частиц на таком шаре (пример: нейтроны с энергией E ∼100 МэВ рассеиваются на тяжелом ядре радиуса />см, при этом ka ∼10). Эта задача вполне аналогична дифракции плоской световой волны на черномшаре. Прицельный параметр />соответствует />.
При />частицы не сталкиваютсяс шаром, /> .
При /> частицы полностьюпоглощаются, />. Строго говоря, эти утверждениясправедливы лишь для />, но область /> недает большого вклада в сечение. Таким образом,
/>
/>
то есть полное сечениевдвое больше классического />
Амплитуда упругогорассеяния велика лишь в области малых углов
/>
/>
Поэтому
/>
3.5Упругое рассеяние быстрых частиц на идеально отражающем шаре
Пусть радиус шара a иka >> 1. Полное сечение определяет число частиц, выбывших из начальногопучка. В классике это сечение /> связано лишь с прямым столкновениемс мишенью. С учетом волновых свойств частиц их выбывание из пучка, то естьизменение начального импульса, связано также с дифракцией.
Как и в предыдущемслучае />
При /> решениеУШ для радиальной волновой функции имеет вид /> при r
/>
/>
Сшивка при r = a дает />. Для нахождения полного сеченияиспользуем оптическую теорему
/>
Слагаемые, содержащие />, быстро осциллируют при изменении/>, и поэтому их вкладом в суммуможно пренебречь. В итоге получаем />, что вдвое превышает классическоесечение />В данном случае отличие отклассического результата связано с наличием помимо квазиклассическогорассеяния, обусловленного углами θ >> 1/ka, дифракционного рассеянияна малые углы />
Чтобы увидеть это,представим амплитуду рассеяния
/>
в виде двух слагаемых />совпадает с амплитудой рассеяния впредыдущем случае, а
/>
Доказательство тогофакта, что /> (в полном соответствии склассическим изотропным рассеянием /> />) можно найти взадаче />
Таким образом, вклады />в полное сечение одинаковы, авклад их интерференции пренебрежимо мал.
Для классических частицдифракция практически ненаблюдаема. Так, для частицы с m ∼1 г, v ∼1 см/с углы дифракции на шаре радиуса a ∼1 см настолько малы, />, что увидеть это рассеяние можнобыло бы лишь на расстояниях /> см.
3.6 Резонансноерассеяние
Перепишемасимптотическое выражение (при r →∞)
/>
в виде
/>
/>
Если в данном поле U(r)возможно квазистационарное состояние при />, то асимптотика /> приданной энергии должна содержать только расходящуюся волну, то есть
/>
Отсюда следует, чтопарциальная амплитуда рассеяния
/>
должна иметь полюс при />.Пусть вблизи резонанса
/>
тогда
/>
где />— фаза иамплитуда рассеяния вдали от резонанса, причем
/>
При прохождении черезрезонанс фаза рассеяния изменяется на π.
Парциальное сечение имеетрезонансную зависимость от энергии:
/>
и при />достигаетмаксимально возможного значения
/>
При />,радиальная волновая функция на больших расстояниях равна
/>
Если /> нормированаво внутренней области на единицу, то полный поток в расходящейся волне />долженравняться вероятности распада в единицу времени />. Отсюда
/>
Аналогичным образомможно показать, что при аналитическом продолжении по k функций /> вобласть отрицательных значений E (при этом k → iκ), связаннымсостоянием с энергией En
Список использованныхисточников
1. БетеГ. Квантовая механика простейших систем. – М.: ОНТИ, 1935.
2. БлохинцевД.И. Основы квантовой механики. – М.: Высшая школа, 1976.
3. ГалицкийВ.М., Карнаков Б.М., Коган В.И. Задачи по квантовой механике. – М.: Наука,1981.
4. ЛевичВ.Г., Вдович Ю.А., Мямлин В.А. Курс теоретической физики т.2. Квантоваямеханика, статистика и физическая кинетика. – М.: Наука, 1971.