Министерствообразования и науки Российской Федерации
Курсоваяработа
на тему: Теория нелинейной теплопроводности
Содержание
Аннотация
Введение
1. Теория нелинейной теплопроводности
2. Распространение тепловых возмущений в нелинейныхсредах
3. Пространственная локализация тепловых возмущений
4. Задача нелинейной теплопроводности с объемнымпоглощением
5.Решения нелинейной задачи теплопроводности на полупрямой
Заключение
Список используемой литературы
Аннотация
Как известно в учении отеплообмене рассматриваются процессы распространения теплоты в твердых, жидкихи газообразных телах. Эти процессы по своей физико-механической природе весьмамногообразны, отличаются большой сложностью и обычно развиваются в виде целогокомплекса разнородных явлений.
Перенос теплоты можетосуществляться тремя способами: теплопроводностью, конвекцией и излучением, илирадиацией. Эти формы глубоко различны по своей природе и характеризуютсяразличными законами.
Теплопроводность – этоодин из видов переноса теплоты (энергии теплового движения микрочастиц) отболее нагретых частей тела к менее нагретым, приводящий к выравниваниютемпературы.
Процесс переноса теплотытеплопроводностью происходит между непосредственно соприкасающимися телами иличастицами тел с различной температурой. Учение о теплопроводности однородных иизотропных тел опирается на весьма прочный теоретический фундамент. Оноосновано на простых количественных законах и располагает хорошо разработаннымматематическим аппаратом который я и постарался рассмотреть в данной курсовойработе.
ВведениеОдним из актуальныхнаправлений современной математической физики является изучение нелинейныхматематических моделей различных физико-химических явлений и процессов.Появление таких моделей обусловлено использованием в современной физике итехнике воздействий на вещество электрических полей большой интенсивности,пучков частиц высокой энергии, мощного лазерного когерентного излучения,ударных волн высокой интенсивности, мощных тепловых потоков. Линейныематематические модели являются всегда лишь определенными приближениями приописании различных процессов. Их можно использовать только в тех случаях, когдаисследуемые физические величины в рассматриваемом процессе изменяются не в оченьшироком диапазоне значений.Нелинейные моделипозволяют описать процессы в более широком диапазоне изменения параметров. Приэтом нелинейности изменяют не только количественные характеристики процессов,но и качественную картину их протекания. В основе нелинейных моделей лежатнелинейные дифференциальные уравнения в частных производных, законченной теориии общих методов решения задач для которых в настоящее время не разработано.Однако для ряда нелинейных задач математической физики удается найти точныеаналитические решения, анализ свойств которых позволяет выявить качественноновые нелинейные эффекты в исследуемых процессах. В частности, при исследованиивысокотемпературных тепловых процессов с учетом действия таких механизмовпереноса энергии, как электронная или лучистая теплопроводности, необходимоучитывать зависимость плотности р, удельной теплоемкости с и коэффициентатеплопроводности среды k от температуры.Мощность тепловыхисточников, распределенных в объеме среды, также может зависеть от температуры,если учитывать процессы диссоциации и ионизации молекул, фазовые переходы,излучение, горение, химические реакции и другие экзо- и эндотермическиепроцессы, протекающие в нагретой среде.
1. Теория нелинейнойтеплопроводностиУравнение теплопроводности,учитывающее зависимость свойств среды от температуры и нелинейную зависимостьот температуры мощности распределенных в объеме тепловых источников, являетсяквазилинейным параболическим уравнением вида/> (1.1)Нелинейность задачитеплопроводности может быть также обусловлена нелинейностью граничного условия.Такие задачи, в отличие от задач с внутренней нелинейностью, обусловленнойнелинейностью уравнения, часто называют задачами с внешней нелинейностью.Нелинейное граничноеусловие на поверхности тела может иметь вид/> (1.2)где функция внелинейным образом зависит от температуры.К таким условиям,например, относится условие на поверхности излучающего тела или условиеконвективного теплообмена, в котором коэффициент теплообмена ат зависит оттемпературы поверхности тела.Задача теплопроводностистановится нелинейной, если учитывать фазовые переходы в среде, такие, какплавление, испарение, конденсация, кристаллизация, происходящие приопределенной температуре и сопровождающиеся выделением или поглощением теплоты.В среде с фазовымпереходом появляется поверхность ∑ раздела фаз, которую называют фронтомфазового перехода. Эта поверхность перемещается с конечной скоростью. Баланстепловой энергии на фронте фазового перехода с температурой u* позволяет записать на движущейсяповерхности ∑ фронта кроме условияu1(P)=u2(P)=u*(1.3)другое граничноеусловие:/> (1.4)где k1, k2 и и1, u2 — коэффициенты теплопроводности и температуры двух соприкасающихся фазсоответственно; q* — удельнаямассовая теплота фазового перехода; V — мгновенная скорость перемещения фронта фазового перехода внаправлении нормали />поверхности∑ .Так как скоростьперемещения фронта V заранее неизвестна и должна быть найдена в процессе решения задачи теплопроводности, тограничное условие (1.4), называемое условием Стефана, делает задачу нелинейной.Возможен и другойподход к моделированию процесса фазового перехода без явного выделения фронтафазового перехода при постановке задачи. Этот подход связан с переходом в классобобщенных функций. Действительно, теплоту фазового перехода, выделяющуюся нафронте, можно учесть, считая внутреннюю энергию среды разрывной функциейтемпературы и вводя сосредоточенную теплоемкость среды. При этом внутренняяэнергия единицы объема среды е, как функция температуры, при u = u* скачком изменяется на величину теплоты фазовогоперехода, т.е./> (1.5)Здесь />= р(u)с(u) — теплоемкость единицы объемасреды;
Q*=pq*;/>импульсная функцияХевисайда, производная которой />есть дельта-функция/>.Дифференцируя теперьвнутреннюю энергию (1.5) по температуре, получим выражение для эффективнойобъемной теплоемкости среды с учетом теплоты фазового перехода/>эф= /> (u)+Q*/>.Второе слагаемое,записанное через дельта функцию, представляет собой сосредоточеннуютеплоемкость, которую следует понимать как обобщенную функцию температуры.При таком описаниифазового перехода уравнение теплопроводности в отсутствие объемных тепловыхисточников примет вид[c(u)+q*/>]p(u)/>(1.6)Здесь/> Фронт фазового переходав такой постановке задачи находится как изотермическая поверхность u = u* = const, положение которой в пространстве, а в общемслучае и форма, изменяются с течением времени.Нелинейности изменяютне только количественные характеристики тепловых процессов, но и качественнуюкартину их протекания. Они значительно усложняют математические модели тепловыхпроцессов, причем во многом эти трудности связаны с невозможностью применениядля нелинейных задач принципа суперпозиции решений. Число найденных точныханалитических решений таких нелинейных задач теплопроводности крайнеограничено, но именно анализ этих решений позволяет выявить качественно новыенелинейные эффекты при распространении теплоты. Некоторые такие решениянелинейных задач теплопроводности рассмотрены ниже.Квазилинейныепараболические уравнения второго порядка лежат в основе математических моделейразнообразных явлений и процессов в механике, физике, биологии, экологии,технологии и других отраслей знаний. В частности, уравнение нелинейнойтеплопроводности (1.1) при определенных условиях описывает фильтрацию жидкостейи газов в пористых материалах, диффузию нейтронов, нелинейный скин-эффект припроникновении магнитного поля в проводящие среды. Это уравнение применимо приматематическом описании процессов горения и детонации, химической кинетики,процесса роста и миграции биологических популяций, распространении загрязненийв окружающей среде. Такой диапазон приложений уравнения (1.1) обусловлен тем,что в его основе лежат фундаментальные законы сохранения энергии, массы иличисла частиц.Распределениетемпературы в неограниченном стержне/>,-∞˂x˂+∞Начальное условие: u|t=0=f(x)Решение:/>
(интеграл Пуассона).Распределениетемпературы в стержне, ограниченном с одной стороны/>, 0˂x˂+∞Начальное условие: u|t=0=f(x)Краевое условие: u|t=0=φ(t)Решение:/> 2. Распространениетепловых возмущений в нелинейных средахВ работах Г.И. Баренблатта,Я.Б. Зельдовича, С.П. Курдюмова, Л.К. Мартинсона, А.А. Самарского и другихнайдены точные аналитические решения некоторых задач нелинейнойтеплопроводности. Анализ свойств этих решений позволяет обнаружить ряд важныхнелинейных эффектов при распространении тепловых возмущений в средах,коэффициент теплопроводности которых зависит от температуры.Рассмотрим среду,коэффициент теплопроводности k которой изменяется в зависимости от температурыи по степенному законуk=k0uб(2.1)где />> 0 — параметр нелинейности среды. Плотность средыρ и ее теплоемкость будем считать постоянными, не зависящими оттемпературы. Такую среду, в отличие от среды с постоянным коэффициентомтеплопроводности (δ = 0), назовем нелинейной, так как процесстеплопроводности в такой среде в отсутствие объемных тепловых источниковописывается нелинейным, точнее, квазилинейным параболическим уравнением/> (2.2)где /> — характерный коэффициент температуропроводности.При моделированиитепловых процессов в нелинейной среде необходимо использовать такие решенияуравнения (2.2), которые удовлетворяют условиям непрерывности температуры итеплового потока. Но так как плотность теплового потока/> в такой среде зависитне только от градиента температуры, но и от значения самой температуры, торешения уравнения нелинейной теплопроводности (2.2) следует искать в классеобобщенных функций, допускающих разрывы производных по пространственнымпеременным там, где функция и обращается в нуль и уравнение (2.2) вырождается.3. Пространственнаялокализация тепловых возмущенийЕще один интересныйнелинейный эффект можно обнаружить при рассмотрении процесса распространениятепловых возмущений в нелинейных средах с объемным поглощением теплоты.Рассмотрим задачу овлиянии мгновенного плоского сосредоточенного теплового источника в нелинейнойсреде с коэффициентом теплопроводности, изменяющимся в зависимости оттемпературы по степенному закону, если в нагретой среде происходит объемноепоглощение теплоты, удельная мощность которого в каждой точке средыпропорциональна значению температуры в данный момент времени. Математическаямодель такого процесса соответствует задаче Коши для квазилинейного уравнениятеплопроводности с младшим членом/>(3.1)Здесь /> - коэффициент поглощения.Поглощение энергии вобъеме нелинейной среды приводит к уменьшению интегральной тепловой(внутренней) энергии среды. Поэтому при интегрировании (3.1) попространственному переменному/> в пределах от -∞до +∞ находим/> (3.2)где />Так как />, то, интегрируя уравнение (3.2), получаем/> Для решения задачи (3.1)перейдем с помощью преобразования/> (3.3)к новой функции v(x,t). Тогда уравнение для Vпринимает вид
/> Вводя новое независимоепеременное (преобразованное время) по правилу/> (3.4)получаем для функции /> задачу/> (3.5)С точностью дообозначения временного переменного задача (3.5) соответствует задаче о влияниимгновенного сосредоточенного теплового источника в нелинейной среде безобъемного поглощения. Единственное отличие состоит в том, что задача (3.5)сформулирована на конечном «временном» интервале. Поэтому, проведяобратное преобразование переменных, можно записать решение исходной задачи (3.1)в виде/> (3.6)/> (3.7)Зависимости U(τ) и x0(τ) в (7.7) определены формулами в которых времяt следует заменить на τ, понимая под τ = τ (t) преобразованноепо закону
/> (3.8)временное переменное.При этом существенно, что преобразование/> отображает полубесконечный интервал [0, +∞) попеременному t в ограниченный отрезок [0, τm) по переменному τ .Финитное решение (3.6)задачи (3.1) представляет собой фронтовое решение, описывающее распространениетепловой волны от мгновенного сосредоточенного источника с конечной скоростьюперемещения фронтов x=±x0(/>).Но главную особенностьэтого решения можно обнаружить, если проанализировать законы движения фронтовтепловой волны. Из этого анализа следует, что функция /> в любой момент времени t > 0 равна нулю внеобласти />, где
/>
/>
Так как при />, то /> тепловые возмущения от источника проникают внелинейную среду с объемным поглощением лишь на конечную глубину даже забесконечный промежуток времени. Тепловые возмущения оказываются локализованнымив ограниченной пространственной области.
Как видно на рисунке 1,на плоскости состояний /> заштрихованная область возмущений, где />, заключена в полуполосе, конечная ширина которой 2Lm. При этом величина Lm, определяющая размер областилокализации тепловых возмущений, зависит от определяющих параметров задачи всоответствии с выражением (3.10).
В частности, размеробласти пространственной локализации увеличивается с ростом мощности тепловогоисточника Q и уменьшается с увеличением коэффициента поглощения ρ./>Рисунок 1Рисунок 1 описываеттепловые возмущения которые оказываются локализованными в ограниченнойпространственной области так как тепловые возмущения от источника проникают внелинейную среду с объемным поглощением лишь на конечную глубину даже забесконечный промежуток времени.Эффект пространственнойлокализации тепловых возмущений в рассмотренной задаче обусловлен объемнымпоглощением тепловой энергии. Действительно, если /> То /> и, как следует из выражения (3.10), />, т.е. в среду без объемного поглощения тепловыевозмущения проникают неограниченно далеко.Возможность созданияусловий, когда удержание разогретой среды в ограниченной области пространстваможно осуществить за счет внутренних механизмов нелинейного процессатеплопроводности, является принципиально новым выводом, вытекающим из анализаматематической модели (3.1) нелинейного процесса теплопроводности. Реализациятаких условий является, в частности, одной из практически важных задач впроблеме управляемого термоядерного синтеза.Отметим, чтосвоеобразный режим метастабильной локализации тепловых возмущений можетнаблюдаться и в отсутствие в среде объемного поглощения теплоты. В этом режимелокализации фронт тепловой волны остается неподвижным в течение некоторогоконечного промежутка времени. Такая локализация тепловых возмущений наблюдаетсяпри нагреве нелинейной среды в режиме с «обострением», когдатемпература граничной поверхности растет неограниченно за конечный промежутоквремени. Такую локализацию теплового воздействия в режиме с обострениемиллюстрирует следующая краевая задача нелинейной теплопроводности вполупространстве:/>(3.11)Здесь A0=const˃0; />Параметр Т в задаче (3.11)назовем временем обострения процесса разогрева нелинейной среды, учитывая, что />при />Задача (3.11) имеетпростое по форме решение в разделяющихся переменных:/> (3.12)Так как /> при всех /> для любого /> , то фронт теплового возмущения х = х0, на которомравны нулю температура и тепловой поток, отделяет нагретую среду от холодной.Фронт неподвижен, несмотря на неограниченный
/>
Рисунок 2
Рисунок 2 описываеткачественный вид локализованных температурных профилей остановившейся на времятепловой волны в различные моменты времени интервала [0,T). рост температуры в области тепловыхвозмущений при />. Втечение промежутка времени [0,T) тепловыевозмущения от нагретой стенки локализованы в пространственной области /> конечных размеров.Решение (3.12) можноназвать остановившейся на конечное время тепловой волной. Качественный видлокализованных температурных профилей такой тепловой структуры в различныемоменты времени интервала [0, Т) для среды с показателем нелинейности δ= 2представлен на рисунке 2.
4. Задача нелинейнойтеплопроводности с объемным поглощением
Рассмотрим еще однузадачу нелинейной теплопроводности, имеющую точное решение в аналитической форме.Пусть в нелинейной среде происходят эндотермические процессы, удельная мощностькоторых зависит от температуры степенным образом. Нестационарный процесстеплопроводности в такой среде с объемным поглощением теплоты описываетсяквазилинейным уравнением
/> (4.1)
Здесь u(М, t) — температура; р = const > 0 — параметр поглощения, а значение N = 1, 2, 3 определяет размерностьпространства, в котором происходит исследуемый процесс.
Запишем модель задачи овлиянии мгновенного сосредоточенного теплового источника в среде с поглощением,если δ. Учитывая симметрию такой задачи (плоскую для N = 1, осевую для N = 2 и центральную для N = 3), сформулируем соответствующуюзадачу Коши для квазилинейного уравнения теплопроводности:
/> (4.2)
где радиальнаяпространственная координата r≥0для случаев N = 2 и N = З и /> для N = 1. Параметр а2 в уравнении мыположили равным единице, что всегда можно сделать соответствующим выбороммасштабов времени или пространственного переменного.
С учетом конечной скоростираспространения тепловых возмущений в нелинейной среде будем искать решениезадачи (4.2) в виде фронтового решения
/> (4.3)
где A(t) и l(t) — функции, подлежащие определению.
Подставив предполагаемуюформу решения (4.3) в уравнение (4.2), получим
/> (4.4)
Можно заметить, что этосоотношение приводится к виду
/>(4.5)
если предположить, что
/>
т.е. /> (4.6)
Тогда
/> (4.7)
Так как условие (4.5)должно выполняться для любых r и t, то это возможно лишь при S(t) = 0. С учетом формулы (4.7) это условие приводит кдифференциальному уравнению для определения функции А(t):
/>(4.8)
Для обеспечения слабойсходимости решения в форме (4.3) при /> к дельтаобразному начальному распределениюнеобходимо, чтобы /> , а />при />. Разделяя переменные в уравнении (4.8), интегрируя иполагая константу интегрирования равной нулю, находим решение.
/> (4.9)
неограниченно возрастающеепри />.
Теперь, используясоотношение (4.6), для функции l(t) приходим к следующемудифференциальному уравнению:
/> (4.10)
Общее решение этогонеоднородного дифференциального уравнения первого порядка находим как суммуобщего решения однородного уравнения и частного решения неоднородногоуравнения. В результате получаем
/> (4.11)
Таким образом, с учетомуравнений (4.3), (4.9) и (4.11) решение исходной задачи (4.2) можно записать вформе фронтового решения
/> (4.12)
где
/> (4.13)
/> (4.14)
Значение константы С вформуле (4.14) можно найти из соотношения
/>
/> (4.15)
являющегося следствиемначального условия задачи Коши (4.2). С учетом выражений (4.12) — (4.14)соотношение (4.15) преобразуется к виду
/> (4.16)
Учитывая, что
/>
а значение интеграла
/>
выражается через бета функцию
/>
из выражения (4.16)находим значение константы
/>(4.17)
Таким образом, точноерешение задачи (4.2) имеет вид (4.12), где u(t) и r+(t) определены соотношениями (4.13) и (4.14) с константой С,которая находится по формуле (4.17). Найденное решение допускает предельныйпереход р />0.Полагая в уравнении (4.14) р = 0, получаем решение задачи о влиянии мгновенногососредоточенного теплового источника в нелинейной среде без объемногопоглощения. Для N = 1 это решениебыло построено нами ранее.
Дадим физическуюинтерпретацию решения (4.12). Оно описывает эволюцию тепловой структурыконечных пространственных размеров, которую мы будем называть тепловымимпульсом. В любой момент времени t > 0 существует фронт теплового импульса r = r+(t), отделяющий область тепловыхвозмущений от невозмущенной области, куда тепловые возмущения еще не дошли игде u = 0.
Проанализируем характердвижения фронта теплового импульса. Для этого запишем уравнение (4.14) в виде
/> (4.18)
Где
/>
Качественный видзависимости (4.18) представлен на рисунке.
/>
Рисунок 3 описываеткачественный вид зависимости движения фронта теплового импульса
На начальной стадииэволюции теплового импульса механизм тепловой диффузии является определяющим ипространственный размер теплового импульса увеличивается с течением времени. Всреде распространяется волна разогрева. Затем скорость движения фронтатеплового импульса уменьшается, и при t = t*, где
/>
фронт останавливается,проникнув в нелинейную среду с объемным поглощением лишь на конечную глубину.
При t > t* объемное поглощение тепловой энергии становитсядоминирующим фактором в балансе энергии, и волна разогрева сменяется волнойохлаждения, когда ширина теплового импульса уменьшается. Фронт тепловогоимпульса изменяет направление движения, и в момент времени t = tm тепловой импульс стягивается в точку, прекращая своесуществование. Тепловой импульс в среде с объемным поглощением тепловой энергиисуществует конечное время, т.е. для t > tm в любой точке пространства u = 0. Такую локализацию тепловыхвозмущений с конечным временем их существования в нелинейной среде споглощением естественно назвать пространственно-временной локализацией.
При р = 0, т.е. вотсутствие объемного поглощения теплоты, из уравнения (4.14) следует монотонныйстепенной рост ширины теплового импульса (штриховая линия на рисунке 2).Тепловые возмущения в этом случае проникают в среду неограниченно далеко.
Полученные соотношенияможно рассматривать и при р
5. Решениянелинейной задачи теплопроводности на полупрямой
Начнемс рассмотрения задачи
/> (5.1)
сначальным/граничным условием для уравнения на полупрямой />характеризуемой начальным и граничными условиями
u(x,0)=u0(x) ∞˃ x≥0 (5.2)
/> ux(∞,t)=0 (5.3)
/> (5.4)
где /> – положительная константа, а />– интегрируемая функция. Граничное условие (5.4)представляет заданную теплопроводность в начале координат
Введемпреобразование годографа
/> (5.5)
/> (5.6)
/> (5.7)
условиесовместности которого />гарантировано уравнением (5.1). Используя приведенное вышепреобразование, отобразим уравнение (5.1) в линейное уравнение теплопроводности
/>(5.8)
вобласти />, где F(t) удовлетворяетсоотношению
/>(5.9)
Спомощью преобразования годографа мы свяжем с уравнением (4) начальные данные
/>(5.10)
где z0в силу уравнений (5.5) и (5.6) имеет вид
/>(5.11)
атакже граничные условия
/>(5.12)
/>(5.13)
Тогдазадача с начальным /граничным условием для нелинейного диффузионного уравнения(5.1) с начальными данными (5.2) и граничными условиями (5.3), (5.4) отображаетсяв линейное уравнение теплопроводности (5.7) в области с движущейся границей,характеризующейся начальным условием (5.9) и граничными условиями (5.11), (5.12).Чтобы решить линейную задачу, введем фундаментальное ядро теплопроводности
/> (5.14)
ипроинтегрируем тождество Грина для уравнения теплопроводности
/>(5.15)
пообласти />, а также возьмем />. Используя условие (5.12) и тот факт, что />, получаем
/> (5.16)
Изуравнения (5.15) ясно, что можно определить />, если известно граничное условие v(F(t), t); поэтомуудобно вычислить (5.15) при />. Полагая /> , получим
/>(5.17)
/>(5.18)
/>(5.19)
Уравнение(5.16) является линейным интегральным уравнением Вольтерра второго рода ссингулярным ядром />Подходящий выбор функции f(t) позволяет с помощьюуравнения (5.8) получить умеренно сингулярное ядро. Тогда линейное уравнениеВольтерра (5.16) допускает единственное решение в предположении, что G(t)является интегрируемой и ограниченной функцией своего аргумента.
Используяпроцесс Пикара последовательных приближений, решение уравнения (5.16) можнозаписать как
/>(5.20)
Здесь/>-ядро резольвенты, задаваемое рядом
/>(5.21)
/>
Рис. 4
Графическоепредставление решения/>, соответствующего примеру 5.1 построенное относительно переменной /> при фиксированных значениях t дляразличных интервалов:
/>
/>
/> (5.23)
Нижемы численно исследуем четыре примера, соответствующие двум различным выборамфункции /> в первом случае />является константой,
а вовтором – линейной функцией времени:
/> />(5.24)
/> />(5.25)
Из (5.23)и (5.24) ясно, что с учетом соотношения (5.8) />является соответственно линейной или квадратичнойфункцией времени. Мы рассматриваем начальные данные u0(x), совместные сасимптотическим условием (5.2), соответствующим, во первых, функции
/> (5.26)
/>
Рис. 5
Графическоепредставление решения /> соответствующего примеру 5.2 построенное относительно переменной /> при фиксированных значениях /> для различных интервалов:
/>
где /> – обычная единичная ступенчатая функция, а во-вторых,функции
/>(5.27)
гдеW(x) – W-функция Ламбера, неявно определяемая соотношением /> В первом случае с />, определяющейся (5.23), наш метод состоит в прямом вычислениифункции /> через явное решение, как это было показано в работе.Затеммы вычисляем функцию /> в соответствии с выражением (5.15) и окончательнополучаем решение />, обращая преобразование годографа (5.4)–(5.6). При фиксированномвремени t = t* с помощью (5.4) и (5.5) получаем
/>(5.28)
Тогдаиз выражения (5.27) мы получаем обратную функцию /> и окончательно находим решение исходной задачи:
/>(5.29)
всоответствии с (5.4).
/>
Рис. 6
Графическоепредставление решения />соответствующего примеру 5.3 построенное относительно переменной /> при фиксированных значениях t дляразличных интервалов: />
Если /> определяется (5.24), то интегральное уравнениеВольтерра (5.16) не решается в квадратурах, как в предыдущем случае, однако онодолжно решаться численно. Решение /> линейной задачи получается с помощью уравнения (5.15),но, конечно, вычислительные издержки такого алгоритма гораздо больше, чем в предыдущемслучае. Интегральное уравнение (5.15) интегрируется численно при использованиинеравномерного fixed-mesh-метода, с тем чтобы избежать проблем, связанных сналичием умеренно сингулярного ядра. Как объяснялось выше, после вычисленияфункции /> мы, обращая преобразование годографа, получаемрешение />нелинейной задачи (см. (5.27)и (5.28)).
Нижемы подробно анализируем примеры и интерпретируем численные результаты,представив ряд графиков. Подчеркнем, что на всех графиках каждая линияпредставляет собой функцию />в фиксированный момент времени. Как и ожидалось, прибольших x решение нелинейной задачи u(x, t) асимптотически приближается кзначению />.
Пример5.1.
Функцияu0(x) задается уравнением (5.25), а f(t) – уравнением (5.23),
где a=1 ,/> Тогда
/> (5.1.1)
/>
Рис. 7
Графическоепредставление решения />соответствующего примеру 5.4, построенное относительно переменной x при фиксированных значениях t для различных интервалов: />
Результатычисленного моделирования представлены на рис. 4. Видно, что при 0 по переменной x, обусловленный выбором ступенчатой функции/>в начальных данных u0(x), сдвигается к началу координатвдоль оси x с ростом t.
Пример5.2.
Функцияu0(x) задается уравнением (5.25), а f(t) – уравнением (5.24), где a=2,b=0,/> Тогда
/> (5.2.1)
Результатычисленного моделирования представлены на рис. 5. Сравнивая этот результат спредыдущим, мы видим, что выбор функции (5.24) (а именно квадратичной повремени функции F(t), по-видимому, приводит к более быстрому по времениприближению решения />к постоянной функции />
Пример5.3.
Функцияu0(x) задается уравнением (5.26), а f(t) – уравнением (5.23),
где a=1,c=1,k=/> Тогда
/> (5.3.1)
Вэтом случае полезно заметить, что из уравнения (5.2.1) с помощью уравнений (5.9)и (5.10) мы получаем
/>(5.3.2)
Результатычисленного моделирования представлены на рис. 6.
Пример5.4.
Функцияu0(x) задается формулой (5.26), а f(t) – формулой (5.24), где
a=1,c=1,k=/> Тогда
/> (5.4.1)
Результатычисленного моделирования представлены на рис. 7. Сравнивая этот результат спредыдущим, мы видим, что выбор функции (5.24) (а именно квадратичной повремени функции F(t)), по-видимому, приводит к более быстрому по времениприближению решения />к постоянной функции />
Заключение
нелинейный теплопроводность возмущение поглощение
Всвоей работе я рассмотрел теплопроводность, некоторые ее свойства. Рассмотрелнесколько видов математических уравнений описывающий этот процесс при различныхусловиях. А так же решая нелинейнойзадачи теплопроводности на полупрямой показал что выбор функции F(t) квадратичной по времени приводит к более быстрому по времениприближению решения u(x, t) к постоянной функции />
Списокиспользуемой литературы
1) Мартинсон Л.К.,Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики. Издательство: МГТУим. Н.Э. Баумана. Москва 2002 г. 368с.
2) С. Де Лилло, Д.Лупо, М. Соммакал, Решения нелинейной задачи теплопроводности на полупрямой, ТМФ,2007г.
3) Агошков И.Н.Методы решения задач математической физики. Учебное пособие для студентов,Специализирующихся в области вычислительной математики. 2002 г. 320 с.
4) http://cde.ncstu.ru/lms-ds/login.ds
5) http://www.mathnet.ru/php/getFT.phtml?jrnid=tmf&paperid=6070&what=fullt&option_lang=rus
6) http://bse.sci-lib.com/article109938.html
7) http://www.lib.ua-ru.net/diss/cont/45405.html