Вступ
Приладидля виміру неелектричних величин або окремі їхні перетворювачі в робочих умовахпіддаються впливу різних несприятливих умов, що погіршують їхню точність. Однимз методів зменшення похибки є метод структурування схеми пристрою. За цимметодом прилад будується з реальних перетворювачів, які піддані дії зовнішніхвпливів, але його структурна схема вибирається така, щоб похибки окремихперетворювачів взаємно компенсувалися. Структурний метод дозволяє побудувати«гарний» прилад, використовуючи «погані» перетворювачі.Структурна схема приладу багато в чому визначає його властивості. Прилади,побудовані за простими схемами, звичайно дешевші й надійніші приладів,побудованих за складними схемами. Однак ускладнення схеми дозволяє побудуватиіз кращими метрологічними характеристиками: меншою похибкою, меншоюінерційністю й т.д.
1.Послідовне з'єднання перетворювачів
Послідовною схемою з'єднанняперетворювачів називається схема, де вхідною величиною кожного наступногоперетворювача служить вихідна величина попереднього. Вхідною величиною першогоперетворювача є вимірювана величина. Окреміперетворювачі можуть мати складнішу структуру.
Прикладом схеми з послідовнимз'єднанням перетворювачів є структурна схема термоанемометра (приладу длявимірювання швидкості газів). Давач (рис. 1, а) є платиновим дротом 1з опором R, припаяним до манганінових стрижнів 2, які змонтовані наручці 3. Дріт за допомогою проводів 4 включений в електричне коло, показане нарис.1, б, і нагрівається струмом I, що йде від джерела Е. При протіканніструму I по рамці вимірювального механізму його стрілка відхиляється.Символом /> позначений сумарний опірпроводів, вимірювального механізму й джерела живлення.
/>
Рисунок1 – Послідовне з'єднання перетворювачів
У розглянутомутермоанемометрі можна виділити такі елементарні перетворювачі, включеніпослідовно (рис.1, в): 1 ‑ нагрітий дріт, що перетворить швидкість v повітря в зміну температури t; 2‑ той же дріт, що виконує функцію термометра опору й перетворить змінутемператури в зміну опору R; 3 – електричне коло, що перетворить змінуопору R у зміну струму I; 4 – вимірювальний механізм, що перетворитьзміну струму I у зміну відхилення стрілки або відліку приладу ц.
Визначимо функціюперетворення приладу з послідовним з'єднанням перетворювачів. При цьомувважатимемо заданими функції перетворення окремих перетворювачів. Функціяперетворення першого перетворювача є залежністю температури дротутермоанемометра t від швидкості повітря v і виражається складноюаналітичною залежністю, яку позначимо
/>. (1)
Функція перетворення другогоперетворювача є залежністю опору платинового дроту R від температури tі виражається рівнянням
/>, (2)
де R0‑її опір при 0 °С;
/>– температурний коефіцієнтопору.
Функція перетворення третьогоперетворювача – залежність струму I у колі від значення опору R:
/>. (3)
Функція перетвореннячетвертого перетворювача – залежність відхилення стрілки магнітоелектричногомеханізму /> від струму I, щопроходить через нього, причому
/> (4)
де SM –чутливість механізму.
Функцію перетворення приладуотримуємо шляхом послідовної підстановки функцій перетворення елементарнихперетворювачів (3), (2), (1) в (4):
/>
/>. (5)
Вираз (5) визначає залежністьвідхилення стрілки приладу від вимірюваної швидкості повітряного потоку, атакож вплив конструктивних параметрів SM, E, Rc, R0, б на функцію перетворення йможе використовуватися при проектуванні.
Визначимо залежність чутливостіприладу від чутливостей окремих перетворювачів />.Відповідно до визначення чутливості
/>, />,/>, />. (6)
Перемноживши значеннячутливостей, одержимо
/>. (7)
Права частина рівності єчутливістю приладу
/>`. (8)
Отже, при послідовномуз'єднанні перетворювачів чутливість приладу дорівнює добутку чутливостейвхідних у нього перетворювачів:
/> . (9)
Розглянемо залежність похибкиприладу з послідовним з'єднанням перетворювачів від похибок елементарнихперетворювачів. Для простоти зазначимо, що прилад складається із трьохперетворювачів (рис. 2). Припустимо, що кожний окремо взятий перетворювачмає похибку. Його вихідну величину можна подати у вигляді суми
/> , (10)
де уН —частина вихідного сигналу, обумовлена вхідною величиною й номінальною функцієюперетворення;
Ду — абсолютнапохибка, наведена до виходу перетворювача.
/>
Рисунок 2 – Визначенняпохибки послідовного з'єднання
Якщо перетворювачі з'єднані впослідовну схему (рис. 2), то сигнал похибки Ду впливає на вхіднаступного перетворювача так само, як і сигналуН. Оскількипохибка Ду звичайно мала, можна вважати, що на виході наступногоперетворювача вона утворить сигнал SДу, де S – чутливість наступного перетворювача.Якщо функція перетворення цього перетворювача нелінійна, то чутливість Sзалежить від сигналу уН.
Вихідна величинаперетворювача 1
/> (11)
впливаєна вхід перетворювача 2. Вихідна величина перетворювача 2 при цьомудорівнюватиме
/> (12)
де S2 – чутливість перетворювача 2;
Ду2 – його похибка.
Вихідна величинаперетворювача 2 впливає на вхід перетворювача 3. Вихідна величина перетворювача3 при цьому стане рівною
/>
/>, (13)
де S3 – чутливість перетворювача 3;
Ду3 – йогопохибка.
За відсутності похибоквихідна величина приладу дорівнює у3H, отже, похибка схеми
/>. (14)
З (14) видно, що припослідовному з'єднанні перетворювачів похибка приладу дорівнює сумі переліченихдо виходу похибок усіх вхідних в нього перетворювачів.
Аналогічно можна показати, щопохибка по входу визначається виразом
/>, (15)
де Дx1, Дx2, Дx3 – похибки перетворювачів 1–3 повходу.
Розглянемо наведену похибкуприладу, що складається з перетворювачів із пропорційною функцією перетворення.Діапазон зміни вихідної величини такого приладу
/>
/>. (16)
Підставивши (14) і (16) уформулу наведеної похибки, одержимо
/>. (17)
Отже, при послідовномуз'єднанні перетворювачів, що мають пропорційні функції перетворення, наведенапохибка приладу дорівнює сумі наведених похибок перетворювачів, його складових.
З отриманих виразів можнавизначити похибку приладу, якщо відомі похибкиперетворювачів, його складових, наприклад, якщо похибки систематичні.
Якщо ж похибки випадкові, тоїхні значення звичайно невідомі, але часто відомі імовірнісні параметриточності: середньоквадратична похибка, граничні похибки й т.д.
Для схеми рис. 2 абсолютнезначення середньоквадратичної похибки при незалежності похибок окремих перетворювачів у першомунаближенні можна визначити за формулою
/>, (18)
де у1,2,3 –абсолютне значення середньоквадратичної похибки відповідних перетворювачів.
Наведена середньоквадратичнапохибка при пропорційній функції перетворення визначається виразом
/> (19)
де упр1,2,3‑ наведені середньоквадратичні похибки відповідних перетворювачів.
Вирази (18) і (19)справедливі лише за умов нормальних законів розподілення похибок. У іншому разівони дають наближений результат. Для більш точного обчислення потрібновикористовувати строгий метод підсумовування ймовірнісних величин.
Перевагою приладу зпослідовним з'єднанням перетворювачів є його простота, недоліком ‑ доситьвелика похибка.
2. Диференціальні схеми з'єднання перетворювачів
Диференціальною схемоюназивається схема, що містить два канали з послідовним з'єднаннямперетворювачів, причому вихідні величини кожного з каналів подаються на двавходи від’ємного перетворювача. Від’ємний перетворювач – це перетворювач іздвома входами, вихідна величина якого є непарною функцією різниці двох вхідних:
/>. (20)
Зокрема, вихідна величинаможе бути рівною
/>. (21)
На рис. 3 показана структурнасхема диференціального перетворювача. Відповідно до прийнятих позначеньвеличина, що подається на сектор, позначеним знаком «–» (перетворювач 2),віднімається з величини, що підводиться до іншого сектора. Обидва каналидиференціальної схеми робляться однаковими й перебувають в однакових робочихумовах.
/>
Рисунок 3. – Диференційнийперетворювач
Диференціальні схеми можутьбути двох типів. У схемі першого типу вимірювана величина впливає на вхідодного каналу, на вхід іншого впливає фізична величина тієї ж природи, але вонамає постійне значення, зокрема, нульове. Тоді другий канал служить длякомпенсації похибок, викликаних зміною умов роботи приладу. У схемі другоготипу вимірювана величина після деякого перетворення впливає на обидва канали,причому так, що коли на вході одного каналу вхідна величина зростає, на входііншого ‑ зменшується.
Розглянемо похибкуперетворювача, зібраного за диференціальною схемою рис. Нехай перетворювачі 1 і2 мають адитивні похибки, тобто такі, які не залежать від вхідної величини. Уцьому випадку
/>. (22)
Похибки Ду обохканалів можна вважати рівними, оскільки канали однакові й перебувають у тихсамих умовах. При цьому вихідна величина диференціального перетворювача
/>. (23)
Отже, у диференціальнихперетворювачах адитивні похибки каналів 1 і 2 компенсуються.
Лінійність функціїперетворення диференціальної схеми другого типу при малих х краще, ніжлінійність вихідних перетворювачів. Нехай канали 1 і 2 мають нелінійні функціїперетворення
/> . (24)
Розкладаючи у1й у2 у степеневий ряд в околі х0, одержимо
/> ;
/> . (25)
Припідсумовуванні у1 й у2 будуть скомпенсованіадитивні похибки, та похибки і нелінійність, що виникають завдяки другійпохідній функції перетворення.
3. Логометричні схеми з'єднання перетворювачів
Логометрична схема включенняперетворювачів (рис. 4) містить два канали з послідовним з'єднаннямперетворювачів, вихідні величини яких подаються на логометричний перетворювач.Логометричний перетворювач – це перетворювач із двома входами, вихідна величинаякого є функцією відношення від вхідних величин:
/>. (26)
Обидва канали логометричноїсхеми, як і в диференціальній схемі, виконуються однаково й перебувають у тихсамих умовах.
Логометрична схема дозволяєкомпенсувати мультиплікативну похибку.
У загальному випадку длясхеми, наведеної на рис. 4, при пропорційній функції перетворення каналів 1 і 2
/> . (27)
/>
Рисунок 4 – Логометр
Вихідна величина приладу злогометричною схемою включення дорівнює
/>, (28)
тому вона не залежить відзміни чутливості каналів послідовного перетворення.
4. Компенсаційні схемивключення перетворювачів
Прилади, побудовані закомпенсаційною схемою (схеми зі зворотним зв'язком), мають малу як адитивну,так і мультиплікативну похибки. Застосування зворотного зв'язку дозволяєстворити прилади, що мають малу статичну й динамічну похибку. Ці прилади маютьбільшу вихідну потужність, і їхні показання мало залежать від навантаження.
Структурна схемакомпенсаційного перетворювача наведена на рис. 5. Вхідна величина хподається на один із входів перетворювача, що віднімає, на інший його вхідподається хос сигнал тієї ж фізичної природи, що й вхіднавеличина х, причому розмір хос величини визначаєтьсярозміром вихідної величини у. Різниця Дх=х-хоснадходить у перетворювач 1. Якщо перетворювачі 1 і 2 мають лінійні функціїперетворення
/>, />, (29)
де S1 й S2 ‑ чутливості відповіднихперетворювачів, то залежність між вхідною величиною х і сигналом хосвизначається співвідношенням
/> (30)
/>
Рисунок 5 – Компенсаційнасхема, або схема зі зворотним зв’язком
З (30) слідує, що
/> .(31)
Добуток S1S2 часто досить великий, і можнавважати, що x ≈ хос. Рівність x ≈ хос часто має місце й при нелінійнихфункціях перетворення. З іншого боку, хос є функцією вихідноївеличини
/>. (32)
Із цього співвідношення можнавизначити
/> (33)
де f–1 – позначення функції, зворотної до (48).
Отже, якщоx ≈ хос, то y визначається перетворювачем 2 (рис.5) і мало залежить від перетворювача 1. У приладах зі зворотним зв'язком рольперетворювача зворотного зв'язку виконують прості пристрої, що мають високуточність. При цьому високу точність має й прилад у цілому.
Розглянемо функціюперетворення й чутливість перетворювача зі зворотним зв'язком. Для простотивизначимо, що перетворювачі 1 і 2 на схемі рис. 5 мають пропорційні функціїперетворення (32).
Маючи на увазі рівності (33)і
/>, (34)
одержуємо
/>. (35)
Звідси чутливість схеми зізворотним зв'язком
/> (36)
Визначимо похибку пристрою,обумовлену мультиплікативними похибками вхідних у нього перетворювачів 1 і 2,тобто похибку, викликану мінливістю чутливостей цих перетворювачів.
Згідно з (36) чутливістьсхеми є функцією двох змінних
/>. (37)
Зміну /> можна визначити як повнийдиференціал виразу (38):
/>. (38)
Вхідні частки похідні в (54)виходять шляхом диференціювання (39):
/>;
/>. (39)
Відносна мультиплікативнапохибка /> дорівнює відносній змінічутливості />. З огляду на це одержимо
/>, (40)
де /> ‑ відповідновідносні мультиплікативні похибки перетворювачів 1 і 2 (рис. 5).
Можна показати, що відноснаадитивна похибка компенсаційної схеми визначається таким же виразом (40) з тієюж різницею, що і /> і />.
За виразом (40) обчислюєтьсяпохибка схеми, якщо відомі похибки перетворювачів 1 і 2. Якщо ж ці похибки євипадковими й відомі їх середньоквадратичні похибки /> й/> то середньоквадратичнапохибка компенсаційного перетворювача
/>. (41)
З отриманих співвідношеньвидно, що вплив похибки перетворювача 1 на похибку приладу з компенсаційноюсхемою сильно зменшується.
Зменшення залежності похибкиприладу зі зворотним зв'язком від похибки перетворювача 1 можна показати втакий спосіб. Допустимо, що в схемі складного перетворювача зі зворотнимзв'язком (рис. 5) перетворювач 1 не стабілізований і його чутливість /> може залежати, зокрема,від опору, на який навантажений цей складний перетворювач. При зменшеннічутливості /> зменшуються вихіднавеличина /> й сигнал зворотногозв'язку />. Це викликаєзбільшення /> й збільшує значення />. Отже, завдяки зворотномузв'язку зменшується похибка, викликана зміною />.
5.Динамічні характеристики давачів
Динамічні характеристикивизначають перехідний процес встановлення вихідного сигналу при зміні вхідного.Інформаційна здатність вимірювальних перетворювачів крім статичниххарактеристик, що подають функцію перетворення сигналу, визначається йдинамічними характеристиками, які визначають швидкість виконання одногоперетворення, що визначає й обсяг одержуваної інформації.
Для аналізу часовиххарактеристик передатну функцію, звичайно, зображують у вигляді лінійної функції.Таке наближення припустиме, оскільки до лінійної функції прагнуть привестифункції реальних перетворювачів. А необхідність такого наближення обумовленатим, що аналіз часових характеристик нелінійних елементів надзвичайно складний.
Часто використовують нетільки часове, але й спектральне подання сигналу. Для періодичного сигналумаємо
/> , (42)
де спектральні коефіцієнтимають вигляд />:
/>, />.
У загальному випадку часовийзв'язок між вхідною величиною /> йвихідною /> можна визначитидиференціальним рівнянням:
/>
/> . (43)
При аналізі складнихвимірювальних систем їх намагаються привести до набору простих ланок. Однією ізпростих ланок у цьому випадку є інтегруюча схема (рис.6). Її робота описуєтьсярівнянням
/>. (44)
Роботу інтегруючихперетворювачів зручніше за все розглянути на прикладі електричнихперетворювачів, відомих з теорії електричних кіл.
Інтегруючий ланцюжок маєвигляд:
/>
Рисунок 6 – Інтегруюча схема
Вихідна напруга визначаєтьсявиразом:
/> . (45)
Ця схема буде інтегруючоющодо вхідного сигналу, якщо />.Доведемо це. Перепишемо рівняння електричного кола у вигляді
/> . (46)
Подаючи вихідну напругу увигляді добутку/> , одержимо
/> . (47)
Далі проведемо послідовність перетворень,щоб визначити допоміжні функції х і у.
/> , (48)
/>, (49)
/> , (50)
/> . (51)
Цейвираз дозволить виразити вихідний сигнал при будь-якій формі вхідного
/> . (52)
Зобразимо епюри вихідногосигналу для одно- й двоступеневого перетворювача (рис. 7).
/>
Рисунок 7 – Епюри напруги для функції підключення
У спектральному поданніробота інтегруючої схеми показана на рис. 8.
/>
Рисунок 8 – Фазовий портретінтегруючої схеми
У такий же спосіб можнарозглянути роботу схеми, що диференціює. Основне рівняння має вигляд:
/>. (53)
Інші параметри пропонуєтьсявивести самостійно.
До простих схем можнавіднести й схему із затримкою сигналу, описану рівнянням
/> . (54)
У цій схемі сигнал на виходіповторює сигнал на вході, але із затримкою, рівною />.
Будь-який давач абовимірювальний прилад є з'єднанням окремих вимірювальних перетворювачів.Переважно це послідовне з'єднання. При послідовному з'єднанні загальнийкоефіцієнт передачі визначається добутком коефіцієнтів передачі окремихперетворювачів. Він визначає і частотні характеристики давача.
Тоді нормована частотна характеристикапослідовного з'єднання двох інтегруючих перетворювачів має вигляд:
/> . (55)
Фазовий портрет цієїхарактеристики має вигляд петлі, розташованої в негативній на півплощині уявнихзначень, що перетинає вісь дійсних значень у точці послідовнийдиференціальний логометричний перетворювач схема
/> (56)
при
/> . (57)
На високих частотахзапізнювання вихідного сигналу становить півперіод, а точка /> наближається до нуля збоку негативних значень дійсної осі.
Для перехідної характеристикив початковий момент справедливо параболічне наближення:
/> . (58)
Частотна характеристикатриланкового давача має вигляд:
/> . (59)
Дійсну вісь /> перетинає в точці
/> (60)
при
/> . (61)
Для перетворювача, щодиференціює, і що в електричних колах моделюється за допомогою />-ланцюжка, нормованерівняння />-ланцюжка має вигляд:
/> . (62)
Як видно із цього рівняння, />-ланцюжок може лишеапроксимувати ідеальний перетворювач, що диференціює, тільки в області, у якійшвидкість зміни сигналу істотно менше 1/Т.
Рішення цього рівняння вчастотному поданні має вигляд:
/> . (63)
Нормований фазовий портретпередатної функції є півколом, розташованим над віссю дійсних значень, радіусякого дорівнює 0,5, а центр розташований у точці />,/>. Зі зменшенням частотимодуль передатної функції прагне до нуля, а фаза випереджає фазу вхідногосигналу на чверть періоду.
У часовому поданні при подачіна вхід кінцевого стрибка вхідної дії передатня функція має вигляд:
/> , (64)
де /> – початкове значення вихідногосигналу рівне />;
/> – стрибок вхідного впливу.
Характеристики послідовнихз'єднань диференціальних ланцюжків є дзеркальним відбиттям характеристикінтегруючих ланцюжків.
Далі розглянемо причинивиникнення нестійкості давачів з негативними зворотними зв'язками й методиїхнього усунення.
Негативні зворотні зв'язкичасто застосовуються при конструюванні давачів і вимірювальних приладів длялінеаризації передатних характеристик. У цьому випадку лінійність приладувизначається в основному лінійністю елемента порівняння, що, як правило, працюєв області малих сигналів. Але, при конструюванні пристроїв зі зворотнимизв'язками необхідно враховувати можливість їхнього самозбудження.
Самозбудження пристроїввідбувається у випадку, якщо коефіцієнт передачі по петлі зворотного зв'язкуперевищує одиницю. У цьому випадку малий сигнал, що виникає спочатку у виглядішумів, властивих кожному елементу, пройшовши по петлі, одержує посилення йповертається в початкову точку з більшою величиною. Друге й наступне оберненнясигналу по колу збільшують сигнал. Лавиноподібний процес збільшення силисигналу триває до настання обмеження. Але цей зв'язок є позитивним.Вимірювальні прилади проектують із негативним зворотним зв'язком. Але, якпоказано вище (51), реальні перетворювачі в діапазоні частот міняють фазупереданого сигналу. Тому проектуючи негативний зворотний зв'язок у заданомучастотному діапазоні, можна одержати позитивний зв’язок поза цим діапазоном.