Сопромат

Задача № 1
Тема: Расчет на прочность статически определимых систем при растяжении и сжатии
Требуется:
1. Построить эпюру продольного усилия Ni
2. По условию прочности подобрать размер поперечного сечение «а», если />=160 МПа
3. Для рассчитанного размера поперечного сечения построить эпюру нормальных напряжений />
4. Построить эпюру осевых перемещений W и найти наибольшую величину относительных деформаций />, если />
5. Определить потенциальную энергию упругих деформаций U
/>Дано: 7
Р1 = 50 кН; l1= 3 м ; Øa 2a
Р2 =65 кН; l2= 2 м;Ø2a a 2a
Р3 =40 кН; l3=3 м;a
Р4 =10 кН; l4= 1м ; D C B A
Формы сечения: RaP4 P3 P2 P1
А1№ 11 А3№ 4
А2№ 9 А4№ 7 IV III II I
l 1l2 l3l4
Ni =?; /> =?; /> = ?; N1 P1
/>=?; “a” =?; 45 55
15
+ Эп.N (kH)
-
16 50
3,69 2
+ Эп.σ(МПа)
—
13
1,99 2,986 3,5346,9
Эп.∆l(мм) +



Решение:
Определяется сила реакции опор RА из уравнения статики:
/>
/>/>
Делим на 4 участка, обозначая их римскими цифрами (I, II, III, IV), а также характерные сечения через заглавные буквы (А, В, С, D, Е).
Определяется продольная сила на каждом участке методом сечения:
/>
/>
/>
/>
/>
Строится эпюра продольных сил Ni
Определяется площадь поперечных сечений на каждом участке
А1=а*а=а2
А2=2а*а=2а2
А3=2а*2а=4а2
/>
Определяется нормальное напряжение на каждом участке через 1/а2
/>
/>
/>
/>
Определяется максимальное значение нормального напряжения, не превышающее допускаемого напряжения, равное 160 МПа: />
Максимальное значение напряжения на третьем участке />
Находится значение «а»:
/>
Принимается а = 19,4мм
Определяются действительные значения площадей поперечных сечений:
/>
/>
/>
/>
Определяются истинные значения нормального напряжения на каждом участке:
/>
/>
/>
/>
10. Строится эпюра нормального напряжения />
11. Определяется относительная продольная деформация на каждом участке:
/>, где Е = 2 105МПа
/>
/>
/>
/>
12. Определяется относительная продольная деформация />по сечениям:
/>
/>
/>
/>
/>
13. Определяется относительное удлинение />и строится эпюра этих значений (Рис 1д):
/>
/>
/>
/>
Определяется максимальное значение относительного удлинения: />
14. Определяется удельная потенциальная энергия
/>
/>
/>
/>
/>
/>
15. Определяется полная удельная потенциальная энергия
/>
/>
/>
16. Определяется относительная погрешность нормального напряжения:
/>
/>
Задача №2
Тема: Расчет на прочность статически неопределимых систем при сжатии и растяжении
Дано:
Схема бруса
Размеры и нагрузки--PAGE_BREAK--
Материал брусьев – сталь 3
Допускаемое напряжение />
Модуль продольной упругости />
Требуется:
Определить допускаемую нагрузку для ступенчатого бруса
/>Дано:
l = 30 см = 0,3 м = 300 мм
А = 10 см2= />
К = 0,15
/>
/>
/>
[Р] = ?
Эп. N (kH) Эп. σ (kH) Эп. l (мм)
Ra
+ — + — + -
A A
1.5l 3A I 255 53
0,02
B 2A II133 В
l 0,047
C
C 425 С
1.5l 4P 4A III 66,40,066
D
D
lAIV 255 159
E 0,035
E
∆ Re
Решение:
Составляется уравнение статики
/>
Составляется уравнение совместности деформации УСД:
/> — от заданных сил
/> — УСД (1)
/>
Определяются продольные силы на каждом участке:
/>
/>=? когда нет RE
Находим относительное удлинение на каждом участке
/>
/>
Определяется /> — относительное удлинение силы реакции опор, когда нет сил Р и 2Р:
/>
/>
/>
Подставляем значения />и />в уравнение (1)
/>
/>
/>
Подставляем значение силы />в уравнение статики />
Определяем значения продольных сил, подставляя значения />
/>
/>
/>
/>
Определяется значение нормального напряжения на каждом участке />
/>
/>
/>
/>
Находим максимальное значение нормально напряжения
/>
Принимаем Р = 170 кН
Определяются действительные значения продольных сил:
/>
/>
/>
10. Определяются истинные значения нормального напряжения на каждом участке />:
/>
/>
/>
/>
Находим относительное удлинение />
/>
/>
/>
/>
/>
Находим относительное удлинение по сечениям />
/>
/>
/>
/>
/>
Определяем относительное удлинение />
/>
/>
/>
/>
По заданной формуле вычисляем значение зазора />, оно должно соответствовать значению />
/>
Проверка
/>
Задача № 3
Тема: Расчет на прочность статически неопределимых систем при растяжении и сжатии.
Требуется:
Найти усиление и напряжение в стержнях, выразив через силу Р1
Определить допускаемую нагрузку [Р], если [σ] = 160 МПа
Найти предельную нагрузку Рпр, если [σ1] = 240 МПа и h1 = 1,5
Сравнить величины допускаемых нагрузок Рпр и Р, для чего найти их отношения.
/>/>

Дано:
А=14см2 = 14·10 — 4м
а=2,3м
в=2,7см
с=1,7см
[σ] =160 МПа
hТ = 1,5
/>

Найти: Р=?, РТ =?, [РТ] =?
Решение.
1. Составляется уравнение статики для стержневой системы
1. ΣМi = 0; Ν1·a-P(a+c) +N2cos 45·b =0    продолжение
--PAGE_BREAK--
2. ΣZi =0; Z0 +Ν2·cos45 = 0
3. ΣYi =0; Y0 + Ν1– P — N2·cos 45 = 0
В три уравнения равновесия входят четыре неизвестные силы, и, следовательно, задача является статически неопределимой. Для составления уравнения рассмотрим деформацию конструкции.
2. Рассмотрим подобие двух треугольников />;
Рассмотрим /> для нахождения деформации системы.
OB=b OA=a
/>/>/>/>/>y0 N1
/>В
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>N2 РP
/>
/>

/>

B1 ∆l1
B2OA
BA1 ∆l2
/>/>
3. Подставляем />/> в уравнение моментов и выражаем их через Р
/>
/>
/>
/>
4. Находим значения нормальных напряжений σ1, σ2
σ1 = />
σ1 = />
/>
Принимаем />
5. Находим действительные значения Ni
/>
6. Находим действительные значения σi
σ1 = />=678,57/>/>=160МПа
σ2 = />=339,29/>/>=79,7МПа
7. Определяем предельную нагрузку Pпр, исходя из условия равновесия
Σ Мi = 0; Ν1·а– Р·(a+c) + N2cos 45·b =0, где N1 = σт · А, и N2 = σт · 2А; σт=240МПа
/>
8. Находим предельно допускаемую нагрузку
/>
/>
Задача № 4
Тема: Расчет статически определимых брусьев на прочность и жесткость при кручении.
Дано:
Схема бруса.
Размеры нагрузки.
Требуется:
Рассчитать брус на прочность и жесткость
Построить эпюры крутящих моментов, касательных напряжений и углов поворота.
/>

/>Дано:
m1 = 400 Н∙м
m2 = 1200 Н∙м
m3 = 2400 Н∙м
m4 = 400 Н∙м
m5 = m5 Н∙м
[τ] = 40 МПа
[θ] = 0,5 />
d = 0,5
d1 = 1.5b
d2 = 2b
d3 = 2.5b
/>a = 0.3 м
Найти: Т, τ, θ —?
Решение.
Составим уравнение статики:
Σ Мi = 0
m1 – m2 – m3 + m4 + m5 = 0
m5 = — m1 + m2 + m3 – m4 = — 400 + 1200 + 2400 – 400 = 2800 H·м
T1 = + m1 = 400 H·м
T2 = m1 – m2 = 400 – 1200 = — 800 H·м    продолжение
--PAGE_BREAK--
T3 = m1 – m2 – m3 = — 800 – 2400 = — 3200 H·м
T4 = m1 – m2 – m3 = — 800 – 2400 = — 3200 H·м
T5 = m1 – m2 – m3 + m4 = – 2800 H·м
T6 = m1 – m2 – m3 + m4 + m5 = 0 H·м
Определяем полярный момент сопротивления на каждом участке Wpi:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Определяется касательное напряжение на каждом участке по формуле />, выражая каждое значение через 1/b3
/>
Определяем максимальное значение касательного напряжения из пяти значений:
τmax = max {τ1, τ2, τ3, τ4, τ5} ≤ [τ];
τ3 ≤ [τ]
/>
Определяется полярный момент инерции по данной формуле /> на каждом участке:
/>
5. Определяем относительный угол закручивания по формуле
/>
/>
Определяем максимальное значение:
/>
Примем максимальное значение из полученных значений b:
b≥{|b1|,|b2|} = b1 = 54,3 мм = 54,3·10 — 3 м = 55мм
6. Определяем действительные значения касательного напряжения τi:
/>
Определяем действительные значения относительного угла закручивания θi:
/>
Определяем по формуле значение перемещения
/>
/>
Находим числовые значения перемещения Δφi по сечениям:
φА = 0
φВ = φА + φ1 = 0 + 0,000176053 = 0,000176053 рад;
φС = φВ + φ2 = 0,000176053 + 0,000149169 = 0,000325222 рад;
φD = φС + φ3 = 0,000325222 + 0,000168185 = 0,000493407 рад;
φЕ = φD + φ4 = 0,000493407 + 0,000168185 = 0,000661592 рад;
φF = φЕ + φ5 = 0,000661592 + 0,003477358 = 0,00413895 рад;
φG = φF + φ6 = 0,00413895 + 0= 0,00413895 рад.