Реферат по предмету "Физика"


Система уравнений Максвелла в сплошной среде. Граничные условия

--PAGE_BREAK--2. Граничные условия

          

         При решении задач электродинамики, учитывается, что все макроскопические тела ограничены поверхностями. При переходе через эти поверхности физические свойства макроскопических тел изменяются скачком и поэтому также скачком могут изменяться электромагнитные поля, создаваемые этими телами. Другими словами векторные функции  и  являются кусочно-непрерывными функциями координат, т.е. они непрерывны вместе со своими производными внутри каждой однородной области, но могут претерпевать разрывы на границах раздела двух сред. В связи с этим представляется удобным решать уравнения Максвелла (1) — (4) в каждой области, ограниченной некоторой поверхностью раздела отдельно, а затем полученные решения объединять с помощью граничных условий.
         При нахождении граничных условий удобно исходить из интегральной формы уравнений аксвелла. Согласно уравнению (4) и теореме Остроградского-Гаусса:
                                                      ,                                                (16)
где Q – полный заряд внутри объёма интегрирования.
          Рассмотрим бесконечно малый объём в виде цилиндра с высотой h и площадью основания S, расположенный в средах 1 и 2 (рис. 2).

                                                                              Соотношение (16) в этом случае можно записать виде:

                                                                  

                                 (17)

                                                                                       здесь   — нормаль к границе раздела  двух сред, направленная  из  среды 2  в среду 1.  Знак «минус»  во втором слагаемом обусловлен тем, что  внешняя нормаль  поверхности интегрирования  в среде 2 направлена противоположно  нормали   в среде 1. Пусть основание  цилиндра стремится к границе раздела двух сред. Так как площадь боковой стремится к нулю, то , и поэтому (17) приобретёт вид:

                                                                                                                               (18)

где  и   — значения нормальных составляющих вектора  по разные стороны поверхности раздела; — поверхностная плотность зарядов, избыточных по отношению к связанным зарядам самого вещества. Если поверхность раздела не заряжена, то в формуле (18) необходимо положить =0. Пользоваться понятием поверхностной плотности удобно тогда, когда избыточные (сторонние) заряды расположены в очень тонком слое вещества d, а поле рассматривается на расстояниях  от поверхности r>>d. Тогда из определения объёмной плотности заряда  следует:

  = d= .
           Если учесть, что , а   — поверхностная плотность поляризационных зарядов, то формулу (18) можно записать в виде:

где , а величина , которая входит в граничное условие (18), есть поверхностная плотность зарядов, избыточных по отношению к связанным зарядам самого вещества.

            Используя уравнение (2) и проводя аналогичные рассуждения, получаем граничное условие для вектора :

                                                                                                                                       (19)



         Выражения (18) и (19) – граничные условия для нормальных составляющих векторов  и . Чтобы  получить  условия  для  тангенциальных составляющих  можно использовать  уравнения  (1) и (3). Умножим уравнение (3) скалярно на положительную нормаль  к поверхности S, ограниченной контуром L, имеющим вид прямоугольника  (рис. 3).  

 

         Используя теорему Стокса, получим:

         Перепишем это уравнение в виде:

                                                                                                            (20)
          Здесь    и — значения вектора  соответственно в средах 1 и 2,   — единичный вектор, касательный к поверхности раздела,   — нормаль к поверхности раздела, направленная из среды 2 в среду 1.

           Пусть теперь  при малом, но фиксированном l. Тогда ,  и соотношение (20) примет вид:

и после сокращения на l имеем:

здесь . Вектор , как следует из рисунка 2, можно записать как в виде . Тогда

предыдущее выражение можно записать, как
.
Поскольку эта формула справедлива для любой ориентации поверхности, а следовательно, и

вектора , то имеем
                                                                                                                               (21)
         В граничном условии (21)  присутствует поверхностная плотность тока, избыточная по отношению к токам намагничивания. Если токи отсутствуют, то следует положить  =0. Учитывая, что , а  есть поверхностная плотность тока намагничивания, запишем формулу (21) в виде:

где .
           Используя уравнение (1) и проводя аналогичные рассуждения, получаем граничные условия для вектора  :

                                                                                                                                 (22)
           Таким образом, уравнения Максвелла (1) — (4) должны быть дополнены граничными условиями (18), (19), (21) и (22). Эти условия означают непрерывность тангенциальных составляющих вектора  (22) и нормальной составляющей вектора  (19) при переходе через границу раздела двух сред. Нормальная составляющая вектора  при переходе через границу раздела испытывает скачок, тангенциальная составляющая вектора , если имеются поверхностные токи (21).
             Ещё одно граничное условие можно получить, используя уравнение непрерывности (0) и уравнение (4), из которых следует:


Так как граничное условие (19) является следствием уравнения (2), то по аналогии находим:
                                                                                                                         (23)
Если же на поверхности раздела нет зарядов, поверхностная плотность которых зависит от времени, то из (18) и (23) следует непрерывность нормальных составляющих плотности тока:
.
Итак, граничные условия на поверхности раздела двух сред имеют вид:
;           

                                                                                                                                                              (24)

;            
где   — нормаль к границе раздела, направленная из среды 2 в среду 1, и должны выполняться в любой момент времени и в каждой точке поверхности раздела.
3. Уравнения Максвелла в системе уравнений магнитостатики и электростатики
         Так как на практике почти всегда приходится решать уравнения Максвелла (1) – (4) в кусочно-непрерывных средах, то граничные условия (24) следует рассматривать как неотъёмлемую часть уравнений Максвелла (1) – (4).

          В случае стационарных электрических и магнитных полей ( и)  система уравнений Максвелла (1) – (4) распадается на систему
уравнений электростатики:
                                           ,      ,                                          (25)
и уравнений магнитостатики:
                                          ,     ,     ,                                (26)
а граничные условия остаются те же.
4. Пример
         В качестве примера решения электростатических задач можно вычислить электрическое поле, создаваемое диэлектрическим шаром радиуса R, находящемся в однородном электрическом поле  . Уравнения электростатики в диэлектрике (25) при =0 имеют вид:
                                                   ,      ,                                                  (27)       
          Из этих уравнений следует, сто потенциал электростатического поля удовлетворяет уравнению
                                                                                                                                        (28)
причём  = -, -. В однородном диэлектрике =const, поэтому уравнение (27) переходит в обычное уравнение Лапласа  =0.

            Граничное условия (24), выражающее непрерывность вектора индукции, записывается следующим образом:
                                                                   при r=R                                                        (29)
Здесь – решение уравнения вне сферы, а – внутри сферы. Вместо граничного условия непрерывности тангенциальных составляющих электрического поля можно использовать эквивалентное ему условие непрерывности потенциала
                                                                         =                                                                   (30)

 

Это условие можно получить, рассматривая интеграл по контуру, изображенному на  рис. 2. Воспользовавшись теоремой Стокса и уравнением  , находим

Так как интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю, то это значит, что функция  непрерывна, откуда и следует условие (30). Из (30) очевидно так же, что

где элемент  направлен касательно к границе раздела. Из этого равенства следует, что тангенциальные компоненты вектора  также непрерывны.

          Для решения поставленной  задачи используем сферическую систему координат, полярная ось которой (ось z) совпадает с направлением напряжённости однородного внешнего электрического поля .

           Поскольку на достаточно большом удалении от диэлектрического шара электрическое поле не искажается наличием этого шара, то потенциал  должен удовлетворять условию
    при .
        Из соображений симметрии ясно, что потенциал не должен зависеть от азимутального угла, поэтому решение уравнения Лапласа запишем в виде разложения по полиномам Лежандра :

   ,

   .
Здесь потенциал нормирован так, чтобы  при . Так как  , то из условия на бесконечности находим .

          Воспользуемся теперь граничными условиями (29) и (30):


Приравнивая коэффициенты при одинаковых полиномах Лежандра, получаем
    =0    при (l=0),
         при (l=1),
       при (l>1).
Из этих уравнений находим
,   .
Все остальные коэффициенты равны нуля, если .
Таким образом, решение задачи имеет вид:


                                                                                                                     (30)


Используя формулу , вычислим вектор поляризации диэлектрической сферы


С помощью вектора поляризации формулы (30) можно записать в виде:
                                                                                                               (31)
                                                                                                                         (32) 
где   — объём сферы.

           Первые два слагаемых в (31) и (32) представляют собой потенциал однородного внешнего поля, создаваемого внешними источниками. Вторые – это потенциал электрического поля, создаваемого электрическим шаром, поляризованным внешним полем. Вне сферы – это потенциал диполя с дипольным моментом . Внутри сферы поляризованный шар создаёт однородное электрическое поле с напряжённостью
                                                                                                                   (33)
Полная напряжённость внутри шара
                                                                                                      (34)
Таким образом, электрическое поле внутри шара не зависят от радиуса шара и ослаблено на значение поля , которое называется деполяризующим полем. Возникновение деполяризующего поля есть частный случай явления экранировки внешнего поля связанными или свободными зарядами.
    продолжение
--PAGE_BREAK--


Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
Данный реферат Вы можете использовать для подготовки курсовых проектов.

Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме :

Пишем реферат самостоятельно:
! Как писать рефераты
Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов.
! План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом.
! Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач.
! Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты.
! Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ.

Читайте также:
Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре.