Министерствообразования Украины
Донбасскийгорно-металлургический институт
Кафедра Общей иприкладной физикиКурсовая работа
на тему:Теорема Нётер
выполнил:
студентгруппы ПФ-99Антропов Иван Иванович
руководитель:
доценткафедры ОПФ
МургаВ.В.
Алчевск 2001
Содержание
Введение. 3
1. Асимптотическая аддитивность интегралов движения.Формулировка теоремы Нётер. 4
2. Доказательство теоремы Нётер. 6
3. Некоторые замечания относительно теоремы Нётер. 11
Вывод. 12
Список использованной литературы/>
/>Введение
Всякое равенство вида /> называетсяинтегралом движения. Для замкнутой системы с nстепенями свободы всего существует /> независимыхинтегралов движения. Если считать /> вуравнениях движения новыми переменными, не зависящими от />, то полный набор уравненийдвижения запишется в виде
/>, (1)
причем длязамкнутой системы время здесь войдет только в виде явно выписанныхдифференциалов. Поэтому исключая из этих уравнений dt,мы получим /> уравнений, не содержащихвремени. Их интегрирование приведет к /> интеграламдвижения.
/>1. Асимптотическаяаддитивность интегралов движения. Формулировка теоремы Нётер.
Среди всех интегралов движения особое значение имеют аддитивные илиасимптотически аддитивные интегралы движения, для которых существуетспециальное название – законы сохранения. Если рассмотреть две системы,находящиеся очень далеко друг от друга, то физически очевидно, что процессы водной системе совсем никак не должны влиять на движение другой. Поскольку, сдругой стороны ничто не мешает нам рассматривать две такие системы как двечасти, I и II, единой общей системы, то мы приходим к условиюасимптотической аддитивности, который заключается в следующем: если некотораясистема (I + II)разделяется на две подсистемы таким образом, что минимум расстояния междуматериальными точками разных подсистем />,то ее функция Лагранжа распадается на сумму функций Лагранжа обеих подсистем:
/>. (2)
Законы сохранения имеют глубокое происхождение, связанное синвариантностью описания механической системы относительно некоторой группыпреобразований времени и координат. Существует теорема Нётер, утверждающая, чтодля системы дифференциальных уравнений, которые могут быть получены какуравнения Эйлера из некоторого вариационного принципа, из инвариантностивариационного функционала относительно однопараметрической непрерывной группыпреобразований следует существование одного закона сохранения. Если группасодержит l параметров, то из инвариантностифункционала будет следовать существование lзаконов сохранения.
Наличие входящих в требуемую теоремой Нётер группу преобразованийсимметрии зависит от природы физической системы. Для рассматриваемых замкнутыхсистем действие должно быть инвариантным относительно семипараметрическойгруппы преобразований – зависящего от одного сдвига по времени, зависящих оттрех параметров пространственных сдвигов и зависящих от трех параметроввращения пространства. В соответствии с этим у всякой замкнутой системы должнысуществовать 7 сохраняющихся величин, отвечающих указанным преобразованиям.Если система такова, что она допускает еще и другие преобразования симметрии,то сохраняющихся величин может оказаться больше.
/>2. Доказательствотеоремы Нётер
Точно сформулируем и докажем теорему Нётер.
Рассмотрим некоторую систему, описываемую функцией Лагранжа
/>. (3)
Форма уравнений Лагранжа-Эйлера, получаемых из вариационного принципа стакой функцией Лагранжа, инвариантна относительно преобразований вида />, а также и относительноболее общих преобразований
/> (4)
включающихзамену независимой переменной. Однако конкретный вид для нового выражения длядействия, как функционала новых координат, зависящих от нового времени, можетпретерпеть при таком изменении любые изменения.
Теорема Нётер интересуется только тем случаем, когда таких изменений непроисходит.
Итак, будем считать, что мы ввели совокупность зависящих от (дляпростоты) одного параметра lпреобразований /> обобщенныхкоординат и времени.
/>
Используя (4),получим:
/> (5)
Пусть преобразования /> такие,что
/> (6)
т.е. образующиходнопараметрическую группу. Рассмотрим бесконечно малое преобразование,отвечающее параметру />.
Тогда
/> (7)
Собственно вариации обобщенных координат, происходящие прирассматриваемом преобразовании, – это разность значений /> новых координат в некоторыймомент нового времени и значений старых координат /> всоответствующий момент старого времени, т.е.
/>. (8)
Наряду с ними удобно ввести в рассмотрение вариации формы
/> (9)
зависимостикоординат от времени, которые отличны от нуля, даже если наше преобразованиезатрагивает только время, а не координаты.
Для любой функции справедливо соотношение:
/>.
Тогда между двумя введенными видами вариаций есть соотношение, котороеможно получить следующим образом: вычтем из (8) уравнение (9), получим:
/>,
примем во внимание, что
/>,
тогда имеем:
/> (10)
Вариации без звездочек, относящиеся к одному значению аргумента,перестановочны с дифференцированием по времени
/>,
в то время, как для вариаций со звездочками это, вообще говоря,неверно.
Соответствующие два вида вариаций можно ввести и для любой динамическойпеременной. Например, для функции Лагранжа
/> (11)
причем
/> (12)
где /> включаетдифференцирование как по явно входящему времени, так и по времени, входящемунеявно, через координаты и скорости.
Потребуем теперь, чтобы интеграл действия не менялся бы при нашемпреобразовании, – это и есть тот исключительный случай, который требуетсяусловием теоремы, – т.е. чтобы было
/>, (13)
где Т' – та же область интегрирования, что и Т вовтором интеграле, но выраженная через новые переменные. Тогда подставив (11) в(13), получим
/> (14)
Выражаем в (15) /> через /> (11) и учитывая соотношение
/>,
переходя к интегрированию по t вместоt', получим:
/>
Учитывая, что
/>,
получим:
/> (15)
Но
/> (16)
Найдем дифференциал
/>,
отсюда
/> (17)
Подставив (17) в (16), получим:
/>
Под знакомпервой суммы стоит уравнение Лагранжа, т.е.
/>
Тогда имеем:
/> (18)
Подставимполученное значение вариации функции Лагранжа в (15), имеем:
/>
Из (10) выразим /> через /> и />:
/>
Тогда вариациядействия
/>
/> (19)
Мы должны потребовать равенства этой вариации нулю. В силу произвольностиобласти интегрирования Т из равенства нулю интеграла следует равенствонулю подынтегрального выражения, т.е. мы приходим к тому, что необходимым идостаточным условием инвариантности действия относительно преобразования (7)служит удовлетворение уравнения
/>.
Заменим /> и />, используя соотношения (7)и (8), имеем:
/>
Вынесем l за скобки и разделим на нее обе частиуравнения. Окончательно получим необходимое условие:
/> (20)
Другими словами, из инвариантности действия относительно (7) мы получилито следствие, что величина
/> (21)
остаетсяпостоянной во времени. Это и есть точное утверждение теоремы Нётер.
/>3. Некоторые замечанияотносительно теоремы Нётер
1. Величина (21) еще не является динамической величиной – кромеобобщенных координат, скоростей и времени она зависит еще и от задающихпреобразований функций />. (21) станетдинамическим законом только тогда, когда сами задающие (7) функции будут(помимо параметров) зависеть только от />.
2. Обратим внимание на разный характер двух членов в (21). Первый из нихвключает саму функцию Лагранжа, поэтому обязательно перепутывает все степенисвободы системы и поэтому может обладать самое большое асимптотическойаддитивностью (2). Напротив, второй имеет явную форму суммы по отдельнымстепеням свободы. Таким образом, если преобразование, относительно которогодействие инвариантно, затрагивает время, то мы можем надеяться на сохранениетолько асимптотически аддитивной величины, если же преобразование меняет лишькоординаты, то сохраняться будет точно аддитивная величина.
/>Вывод
Таким образом, была сформулирована и доказанатеорема Нётер. Существенно то, что теорема Нётер позволяет, при заданном видефункции Лагранжа, найти аддитивные интегралы движения в виде явных функцийкоординат и скоростей, не интегрируя никаких уравнений, ведь в общем случаекаждый из интегралов движения находится только интегрированием системы, числоуравнений которой только на одно меньше полной системы уравнений движения.
Списокиспользованной литературы
1. МедведевБ.В. Начала теоретической физики. Механика. Теория поля. Элементы квантовоймеханики: Учебн. Пособие для вузов. – М.: Наука, 1977. – 496 с.
2. ЛандауЛ.Д., Лифшиц Е.М. Механика. Электродинамика: Краткий курс теоретической физики.Кн. 1. – М.: Наука, 1969 – 271 с.
3. РымкевичП.А. Курс физики [Для физ-мат фак. пед. институтов] Изд. 2-е, перераб и доп.М.: Высшая школа, 1975.
/>