Много тысячелетий назад люди наверняка замечали, чтобольшая часть предметов падает все быстрее и быстрее, а некоторые падаютравномерно. Но как именно падают эти предметы — этот вопрос никого не занимал.Откуда у первобытных людей должно было появиться стремление выяснить, как илипочему? Если они вообще размышляли над причинами или объяснениями, то суеверныйтрепет сразу же заставлял их думать о добрых и злых духах. Мы легкопредставляем, что эти люди с их полной опасности жизнью считали большую часть обычныхявлений «хорошими», а необычные — «плохими».
Все люди в своем развитии проходят много ступенейпознания: от бессмыслицы суеверий до научного мышления. Сначала людипроделывали опыты с двумя предметами. Например брали два камня, и даваливозможность им свободно падать, выпустив их из рук одновременно. Затем сновабросали два камня, но уже в стороны по горизонтали. Потом бросали один камень всторону, и в тот же момент выпускали из рук второй, но так, чтобы он простопадал по вертикали. Люди извлекли из таких опытов много сведений о природе.
Рис.1
По мере своего развития человечество приобретало нетолько знания, но и предрассудки. Профессиональные секреты и традицииремесленников уступили место организованному познанию природы, которое шло отавторитетов и сохранилось в признанных печатных трудах.
Это было началом настоящей науки. Людиэкспериментировали повседневно, изучая ремесла или создавая новые машины. Изопытов с падающими телами люди установили, что маленький и большой камни,выпущенные из рук одновременно, падают с одинаковой скоростью. То же самоеможно сказать о кусках свинца, золота, железа, стекла, и т.д. самых разныхразмеров. Из подобных опытов выводиться простое общее правило: свободноепадение всех тел происходит одинаково независимо от размера и материала, изкоторого тела сделаны.
Между наблюдением за причинной связью явлений итщательно выполненными экспериментами, вероятно, долго существовал разрыв.Интерес к движению свободно падающих и брошенных тел возрастал вместе сусовершенствованием оружия. Применение копий, стрел, катапульты и еще болеезамысловатых «орудий войны» позволило получить примитивные и туманные сведенияиз области баллистики, но они принимали форму скорее рабочих правилремесленников, нежели научных познаний, — это были не сформулированныепредставления.
Две тысячи лет назад греки формулировали правиласвободного падения тел и дали им объяснения, но эти правила и объяснения былималообоснованны. Некоторые древние ученые, по-видимому, проводили вполнеразумные опыты с падающими телами, но использование в средние века античныхпредставлений, предложенных Аристотелем (примерно 340 г. до н.э.), скореезапутало вопрос. И эта путанница длилась еще много столетий. Применение порохазначительно повысило интерес к движению тел. Но лишь Галилей (примерно в 1600г.) заново изложил основы баллистики в виде четких правил, согласующихся спрактикой.
Великий греческий философ и ученый Аристотель,по-видимому придерживался распространенного представления о том, что тяжелыетела падают быстрее, чем легкие. Аристотель и его последователи стремилисьобъяснить, почему происходят те или иные явления, но не всегда заботились отом, чтобы пронаблюдать, что происходит и как происходит. Аристотель весьмапросто объяснил причины падения тел: он говорил, что тела стремятся найти своеестественное место на поверхности Земли. Описывая, как падают тела, он высказалутверждения вроде следующих: «… точно также, как направленное вниз движениекуска свинца или золота или любого другого тела, наделенного весом, происходиттем быстрее, чем больше его размер...», «… одно тело тяжелее другого, имеющеготот же объем, но движущегося вниз быстрее...». Аристотель знал, что камнипадают быстрее, чем птичьи перья, а куски дерева — быстрее, чем опилки.
В XIV столетии группа философов изПарижа восстала против теории Аристотеля и предложила значительно болееразумную схему, которая передавалась из поколения в поколение ираспространилась до Италии, оказав двумя столетиями позднее влияние на Галилея.Парижские философы говорили об ускоренном движении и даже о постоянномускорении, объясняя эти понятия архаичным языком.
Великий итальянский ученый Галилео Галилей обобщилимеющиеся сведения и представления и критически их проанализировал, а затемописал и начал распространять то, что считал верным. Галилей понимал, чтопоследователей Аристотеля сбивало с толку сопротивление воздуха. Он указал, чтоплотные предметы, для которых сопротивление воздуха несущественно, падают почтис одинаковой скоростью. Галилей писал: «… различие в скорости движения ввоздухе шаров из золота, свинца, меди, порфира и других тяжелых материаловнастолько незначительно, что шар из золота при свободном падении на расстояниив одну сотню локтей наверняка опередил бы шар из меди не более чем на четырепальца. Сделав это наблюдение, я пришел к заключению, что в среде, полностьюлишенной всякого сопротивления, все тела падали бы с одинаковой скоростью».Предположив, что произошло бы в случае свободного падения тел в вакууме,Галилей вывел следующие законы падения тел для идеального случая:
1. Все тела при падениидвижутся одинаково: начав падать одновременно, они движутся с одинаковойскоростью
2. Движение происходит с«постоянным ускорением»; темп увеличения скорости тела не меняется, т.е. закаждую последующую секунду скорость тела возрастает на одну и ту же величину.
Существует легенда, будтоГалилей проделал большой демонстрационный опыт, бросая легкие и тяжелыепредметы с вершины Пизанской падающей башни (одни говорят, что он бросалстальные и деревянные шары, а другие утверждают, будто это были железные шарывесом 0,5 и 50 кг). Описаний такого публичного опыта нет, и Галилей,несомненно, не стал таким способом демонстрировать свое правило. Галилей знал,что деревянный шар намного отстал бы при падении от железного, но считал, чтодля демонстрации различной скорости падения двух неодинаковых железных шаровпотребовалась бы более высокая башня.
Итак,мелкие камни слегка отстают в падении от крупных, и разница становится темболее заметной, чем большее растояние пролетают камни. И дело тут не просто вразмере тел: деревянный и стальной шары одинакового размера падают не строгоодинаково. Галилей знал, что простому описанию падения тел мешает сопротивлениевоздуха. Обнаружив, что по мере увеличения размеров тел или плотностиматериала, из которого они сделаны, движение тел оказывается более одинаковым, можно на основе некоторогопредположения сформулировать правило и для идеального случая. Можно было быпопытаться уменьшить сопротивление воздуха, используя обтекание такогопредмета, как лист бумаги, например.
Но Галилей мог лишьуменьшить его и не мог устранить его полностью. Поэтому ему пришлось вести доказательство,переходя от реальных наблюдений к постоянно уменьшающимся сопротивлением воздуха к идеальномуслучаю, когда сопротивление воздуха отсутствует. Позже, оглядываясь назад, онсмог объяснить различия в реальных экспериментах, приписав их сопротивлениювоздуха.
Вскорепосле Галилея были созданы воздушные насосы, которые позволили произвестиэксперименты со свободным падением в вакууме. С этой целью Ньютон выкачалвоздух из длинной стеклянной трубки и бросил сверху одновременно птичье перо изолотую монету. Даже столь сильно различающиеся по своей плотности тела падалис одинаковой скоростью. Именно этот опыт дал решающую проверку предположенияГалилея. Опыты и рассуждения Галилея привели к простому правилу, точносправедливому в случае свободного падения тел в вакууме. Это правило в случаесвободного падения тел в воздухе выполняется с ограниченной точностью. Поэтомуверить в него, как в идеальный случай нельзя. Для полного изучения свободногопадения тел необходимо знать, какие при падении происходят изменениятемпературы, давления, и др., то есть исследовать и другие стороны этогоявления. Но такие исследования были бы запутанными и сложными, заметить ихвзаимосвязь было бы трудно, поэтому так часто в физике приходитсядовольствоваться лишь тем, что правило представляет собой некое упрощениеединого закона.
Итак, еще ученые Средневековья и Возрождения знали отом, что без сопротивления воздуха тело любой массы падает с одинаковой высотыза одно и тоже время, Галилей не только проверил опытом и отстаивал этоутверждение, но и установил вид движения тела, падающего по вертикали:«… говорят, что естественное движение падающего тела непрерывно ускоряется.Однако, в каком отношении происходит, до сих пор не было указано; насколько язнаю, никто еще не доказал, что пространства, проходимые падающим телом водинаковые промежутки времени, относятся между собою, как последовательныенечетные числа». Так Галлилей установил признак равноускоренного движения:
S1:S2:S3:… = 1:2:3:… (приV0= 0)
Таким образом, можно предположить, что свободноепадение есть равноускоренное движение. Так как для равноускоренного движенияперемещение рассчитывается по формуле , то если взять три некоторые точки 1,2,3 черезкоторые проходит тело при падении и записать:
(ускорение при свободномпадении для всех тел одинаково), получится, что отношение перемещений приравноускоренном движении равно:
S1:S2:S3= t12:t22:t32
Это еще один важный признак равноускоренногодвижения, а значит и свободного падения тел.
Ускорение свободного падения можно измерить. Еслипринять, что ускорение постоянно, то его довольно легко измерить, определивпромежуток времени, за который тело проходит известный отрезок пути и,воспользовавшись опять же соотношением a=2S/t2. Постоянное ускорение свободного падения обозначают символом g.Ускорение свободного падения знаменито тем, что оно не зависит от массыпадающего тела. Действительно, если вспомнить опыт знаменитого английскогоученого Ньютона с птичьим пером и золотой монетой, то можно сказать, что онипадают с одинаковым ускорением, хотя у них разные массы.
Измерения дают значение g, равное 9,8156 м/с2.
Вектор ускорения свободного падения всегда направленпо вертикали вниз, вдоль отвесной линии в данном месте Земли.
И все же: почему тела падают? Можно сказать,вследствие гравитации или земного притяжения. Ведь слово «гравитация»латинского происхождения и означает «тяжелый» или «весомый». Можно сказать, чтотела падают потому, что они весят. Но тогда почему тела весят? И ответить можнотак: потому, что Земля притягивает их. И, действительно, все знают, что Земляпритягивает тела, потому, что они падают. Да, физика не дает объяснениятяготению, Земля притягивает тела потому, что так устроена природа. Однако,физика может сообщить много интересного и полезного о земном тяготении. ИсаакНьютон (1643-1727) изучил движение небесных тел — планет и Луны. Его не разинтересовала природа силы, которая должна действовать на Луну, чтобы придвижении вокруг земли она удерживалась на почти круговой орбите. Ньютон такжезадумывался над несвязанной, казалось бы, с этим проблемой гравитации.Поскольку падающие тела ускоряются, Ньютон заключил, что на них действует сила,которую можно назвать силой тяготения или гравитации. Но что вызывает эту силутяготения? Ведь если на тело действует сила, значит она вызывается со стороныкакого-либо другого тела. Любое тело на поверхности Земли испытывает действиеэтой силы тяготения, и где бы тело ни находилось, сила, действующая на негонаправлена к центру Земли. Ньютон заключил, что сама Земля создает силутяготения, действующую на тела, находящиеся на ее поверхности.
История открытия Ньютоном закона всемирноготяготения достаточно известна. По легенде, Ньютон сидел в своем саду и обратилвнимание на падающее с дерева яблоко. У него неожиданно возникла догадка о том,что если сила тяготения действует на вершине дерева и даже на вершине гор, то,возможно, она действует и на любом расстоянии. Так мысль о том, что именнопритяжение Земли удерживает Луну на ее орбите, послужила Ньютону основой, скоторой он начал построение своей великой теории гравитации.
Впервые мысль о том, что природа сил, заставляющихпадать камень и определяющих движение небесных тел, — одна и та же, возниклаеще у Ньютона-студента. Но первые вычисления не дали правильных результатовпотому, что имевшиеся в то время данные о расстоянии от Земли до Луны былинеточными. 16 лет спустя появились новые, исправленные сведения об этомрасстоянии. После того, как были проведены новые расчеты, охватившие движениеЛуны, всех открытых к тому времени планет солнечной системы, комет, приливы иотливы, теория была опубликована.
Многие историки науки в настоящее время считают, чтоНьютон выдумал эту историю для того, чтобы отодвинуть дату открытия к 60-мгодам 17 века, тогда как его переписка и дневники указывают на то, чтопо-настоящему он пришел к закону всемирного тяготения лишь около 1685 г.
Ньютон начал с определения величины гравитационноговзаимодействия, с которым Земля действует на Луну путем сравнения ее свеличиной силы, действующей на тела на поверхности Земли. На поверхности Землисила тяготения придает телам ускорение g =9,8м/с2.Но чему равно центростремительное ускорение Луны? Так как Луна движется поокружности почти равномерно, ее ускорение может быть рассчитано по формуле:
a = g2/r
Путем измерений можно найти это ускорение. Оно равно
2,73*10-3м/с2. Если выразитьэто ускорение через ускорение свободного падения g вблизи поверхности Земли, тополучим:
Таким образом, ускорение Луны, направленное к Земле,составляет 1/3600 ускорения тел вблизи поверхности Земли. Луна удалена от Землина 385000 км, что превышает приблизительно в 60 раз радиус Земли, равный 6380км. Значит Луна в 60 раз дальше от центра Земли, чем тела, находящиеся наповерхности Земли. Но 60*60 = 3600! Из этого Ньютон сделал вывод, что силатяготения, действующая со стороны Земли на любые тела уменьшается обратнопропорционально квадрату их расстояния от центра Земли:
Сила тяготения~ 1/r2
Луна, удаленная на 60 земных радиусов, испытываетсилу гравитационного притяжения, составляющую всего лишь 1/602 =1/3600 той силы, которую она испытывала бы, если бы находилась на поверхностиЗемли. Любое тело, помещенное на расстоянии 385000 км от Земли, благодаряпритяжению Земли приобретает то же ускорение, что и Луна, а именно 2,73*10-3м/с2.
Ньютон понимал, что сила тяготения зависит не толькоот расстояния до притягиваемого тела, но и от его массы. Действительно, силатяготения прямо пропорциональна массе притягиваемого тела, согласно второмузакону Ньютона. Из третьего закона Ньютона видно, что когда Земля действуетсилой тяготения на другое тело (например, Луну), это тело, в свою очередь,действует на Землю с равной по величине и противоположно направленной силой:
Рис. 2
Благодаря этому Ньютон предположил, что величинасилы тяготения пропорциональна обеиммассам. Таким образом:
где m3 — масса Земли, mT — массадругого тела, r — расстояние от центра Землидо центра тела.
Продолжая изучение гравитации, Ньютон продвинулсяеще на шаг вперед. Он определил, что сила, необходимая для удержания различныхпланет на их орбитах вокруг Солнца, убывает обратно пропорционально квадрату ихрасстояний от Солнца. Это привело его к мысли о том, что сила, действующаямежду Солнцем и каждой из планет и удерживающая их на орбитах, также являетсясилой гравитационного взаимодействия. Также он предположил, что природа силы,удерживающей планеты на их орбитах, тождественна природе силы тяжести, действующейна все тела у земной поверхности (о силе тяжести мы поговорим позже). Проверкаподтвердила предположение о единой природе этих сил. Тогда если гравитационноевоздействие существует между этими телами, то почему бы ему не существоватьмежду всеми телами? Таким образом Ньютон пришел к своему знаменитому Законувсемирного тяготения, который можно сформулировать так:
Каждая частица во Вселеннойпритягивает любую другую частицу с силой, прямо пропорциональной произведениюих масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Эта силадействует вдоль линии, соединяющей эти две частицы.
Величина этойсилы может быть записана в виде:
где и — массы двухчастиц, — расстояние междуними, а — гравитационнаяпостоянная, которая может быть измерена экспериментально и для всех тел имеетодно и то же численное значение.
Этовыражение определяет величину силы тяготения, с которой одна частица действуетна другую, находящуюся от нее на расстоянии . Для двух не точечных, нооднородных тел это выражение правильно описывает взаимодействие, если — расстояние между центрами тел.Кроме того, если протяженные тела малы по сравнению с расстояниями между ними,то мы не намного ошибемся, если будем рассматривать тела как точечные частицы (как это имеетместо для системы Земля — Солнце).
Еслинужно рассмотреть силу гравитационного притяжения, действующую на даннуючастицу со стороны двух или нескольких других частиц, например силу, действующуюна Луну со стороны Земли и Солнца, то необходимо для каждой парывзаимодействующих частиц воспользоваться формулой закона всемирного тяготения,после чего векторно сложить силы, действующие на частицу.
Величинапостоянной должна быть оченьмала, так как мы не замечаем никакой силы, действующей между телами обычныхразмеров. Сила, действующая между двумя телами обычных размеров, впервые былаизмерена в 1798г. Генри Кавендишем — через 100 лет после того, как Ньютонопубликовал свой закон. Для обнаружения и измерения столь невероятно малой силыон использовал установку, показанную на рис. 3.
Два шарика закреплены на концах легкого горизонтальногостержня, подвешенного за середину к тонкой нити. Когда шар, обозначенный буквойА, подносят близко к одному из подвешенных шаров, сила гравитационногопритяжения заставляет закрепленный на стержне шар сдвинуться, что приводит кнебольшому закручиванию нити. Это незначительное смещение измеряется с помощьюузкого пучка света, направленного на зеркало, укрепленное на нити так, чтоотраженный пучок света падает на шкалу. Проделанные ранее измерениязакручивания нити под действием известных сил позволяют определить величинусилы гравитационного взаимодействия, действующей между двумя телами. Прибортакого типа применение в конструкции измерителя силы тяжести, с помощьюкоторого можно измерить весьма небольшие изменения силы тяжести вблизи горнойпороды, отличающейся по плотности от соседних пород. Этот прибор используетсягеологами для исследований земной коры и разведки геологических особенностей,указывающих на месторождение нефти. В одном из вариантов прибора Кавендиша двашарика подвешиваются на разной высоте. Тогда они будут по разному притягиватьсяблизким к поверхности месторождением плотной горной породы; поэтому планка принадлежащей ориентации относительно месторождения будет слегка поворачиваться.Разведчики нефти заменяют теперь эти измерители силы тяжести инструментами,непосредственно измеряющими небольшие изменения величины ускорения силы тяжестиg о которых будет сказано позже.
Кавендиш не толькоподтвердил гипотезу Ньютона о том, что тела притягивают друг друга иформула правильно описывает эту силу. Поскольку Кавендиш мог с хорошей точностьюизмерить величины , емуудалось также рассчитать величину постоянной . Внастоящее время принято считать, что эта постоянная равна
Схема одного из опытов по измерению показана на рис.4.
К концам коромысла весов подвешены два шарикаодинаковой массы. Один из них находится над свинцовой плитой, другой — под ней.Свинец (для опыта взято 100 кг свинца) увеличивает своим притяжением весправого шарика и уменьшает вес левого. Правый шарик перевешивает левый. Повеличине отклонения коромысла весов вычисляется значение .
Открытиезакона всемирного тяготения по праву считается одним из величайших триумфов науки. И, связываяэтот триумф с именем Ньютона, невольно хочется спросить, почему именно этомугениальному естествоиспытателю, а не Галилею, например, открывшему законысвободного падения тел, не Роберту Гуку или кому-либо из других замечательныхпредшественников или современников Ньютона удалось сделать это открытие?
Делоздесь не в простой случайности и не в падающих яблоках. Главным определяющимбыло то, что в руках Ньютона были открытые им законы, применимые к описаниюлюбых движений. Именно эти законы, законы механики Ньютона, позволили с полнойочевидностью понять, что основой, определяющей особенности движения, являютсясилы. Ньютон был первым, кто абсолютно ясно понимал, что именно нужно искатьдля объяснения движения планет, — искать нужно было силы и только силы. Одно изсамых замечательных свойств сил всемирного тяготения, или, как их частоназывают, гравитационных сил, отражено уже в самом названии, данном Ньютоном: всемирные.Все, что имеет массу — а масса присуща любой форме, любому виду материи, — должно испытывать гравитационные взаимодействия. При этом загородиться отгравитационных сил невозможно. Для всемирного тяготения нет преград. Всегдаможно поставить непреодолимый барьер для электрического, магнитного поля. Ногравитационное взаимодействие свободно передается через любые тела. Экраны изособых веществ, непроницаемых для гравитации, могут существовать только ввоображении авторов научно-фантастических книг.
Итак,гравитационные силы вездесущи и всепроникающи. Почему же мы не ощущаемпритяжения большинства тел? Если подсчитать, какую долю от притяжения Землисоставляет, например, притяжение Эвереста, то окажется, что лишь тысячные долипроцента. Сила же взаимного притяжения двух людей среднего веса при расстояниимежду ними в один метр не превышает трех сотых миллиграмма. Так слабыгравитационные силы. Тот факт, что гравитационные силы, вообще говоря гораздослабее электрических, вызывает своеобразное разделение сфер влияния этих сил.Например, подсчитав, что в атомах гравитационное притяжение электронов к ядруслабее, чем электрическое в раз, легко понять, что процессы внутри атома определяются практическиодними лишь электрическими силами. Гравитационные силы становятся ощутимыми, апорой и грандиозными, когда во взаимодействии фигурируют такие огромные массы,как массы космических тел: планет, звезд и т.д. Так, Земля и Луна притягиваютсяс силой примерно в 20 000 000 000 000 000 тонн. Даже такие далекие от насзвезды, свет которых годы идет от Земли, притягиваются с нашей планетой ссилой, выражающейся внушительной цифрой, — это сотни миллионов тонн.
Взаимноепритяжение двух тел убывает по мере их удаления друг от друга. Мысленнопроделаем такой опыт: будем измерять силу, с которой Земля притягиваеткакое-либо тело, например, двадцатикилограммовую гирю. Первый опыт пустьсоответствует таким условиям, когда гиря помещена на очень большом расстоянииот Земли. В этих условиях сила притяжения (которую можно измерять с помощьюсамых обыкновенных пружинных весов) практически будет равна нулю. По мереприближения к Земле появится и будет постепенно возрастать взаимное притяжение,и, наконец, когда гиря окажется на поверхности Земли стрелка пружинных весовостановится на делении «20 килограммов», поскольку то, что мы называем весом,отвлекаясь от вращения земли, есть ни что иное, как сила, с которой Земляпритягивает тела, расположенные на ее поверхности(см. ниже). Если же продолжитьэксперимент и опустить гирю в глубокую шахту, это уменьшит действующую на гирюсилу. Это видно хотя бы из того, что если гирю поместить в центр земли,притяжение со всех сторон взаимно уравновесится и стрелка пружинных весовостановится точно на нуле.
Итак,нельзя просто сказать, что гравитационные силы убывают с увеличением расстояния- нужно всегда оговаривать, что сами эти расстояния при такой формулировкепринимаются много большими, чем размеры тел. Именно в этом случае правсформулированный Ньютоном закон о том, что силы всемирного тяготения убываютобратно пропорционально квадрату расстояния между притягивающимися телами.Однако остается неясным, что это — быстрое или не очень быстрое изменение срасстоянием? Означает ли такой закон, что взаимодействие практически ощущаетсялишь между ближайшими соседями, или же оно заметно и на достаточно большихрасстояниях?
Сравнимзакон убывания с расстоянием гравитационных сил с законом, по которомууменьшается освещенность по мере удаления от источника. Как в одном, так и вдругом случае действует один и тот же закон — обратная пропорциональностьквадрату расстояния. Но ведь мы видим звезды, находящиеся от нас на такихогромных расстояниях, пройти которые даже световой луч, не имеющий соперников вскорости, может лишь за миллиарды лет. А ведь если до нас доходит свет от этихзвезд, значит должно, хотя бы очень слабо, чувствоваться их притяжение.Следовательно, действие сил всемирного тяготения простирается, непременноубывая, практически на неограниченные расстояния. Радиус их действия равенбесконечности. Гравитационные силы — это дальнодействующие силы. Вследствиедальнодействия гравитация связывает все тела во вселенной.
Относительная медленность убывания сил с расстоянием накаждом шагу проявляются в наших земных условиях: ведь все тела, будучиперемещенными с одной высоты на другую, меняют свой вес крайне незначительно.Именно потому, что при относительно малом изменении расстояния — в данномслучае до центра Земли — гравитационные силы практически не изменяются.
Высоты, на которых движутся искусственные спутники, ужесравнимы с радиусом Земли, так что для расчета их траектории учет изменениясилы земного притяжения с увеличением расстояния совершенно необходим.
Итак, Галилей утверждал, чтовсе тела, отпущенные с некоторой высоты вблизи поверхности Земли будут падать содинаковым ускорением g (еслипренебречь сопротивлением воздуха). Сила, вызывающая это ускорение называетсясилой тяжести. Применим к силе тяжести второй закон Ньютона, рассматривая вкачестве ускорения a ускорение свободногопадения g. Таким образом, действующую на тело силу тяжестиможно записать как:
Fg=mg
Эта сила направлена вниз, кцентру Земли.
Т.к. в системе СИ g = 9,8, то сила тяжести, действующая на тело массой 1кг, составляет .
Применим формулу законавсемирного тяготения для описания силы тяжести — силы тяготения между землей ителом, находящимся на ее поверхности. Тогда m1заменится на массу Землиm3, а r — на расстояние до центраЗемли, т.е. на радиус Земли r3. Таким образом получим:
Где m — массатела, находящегося на поверхности Земли. Из этого равенства следует, что:
Иными словами ускорениесвободного падения на поверхности земли g определяется величинами m3 и r3.
На Луне, на других планетах,или в космическом пространстве сила тяжести, действующая на тело одинаковоймассы, будет различна. Например, на Луне величина g представляетвсего лишь одну шестую g на Земле, и на тело массой 1кг действует сила тяжести, равная всего лишь 1,7 Н.
До тех пор, пока не былаизмерена гравитационная постоянная G, масса Земли оставаласьнеизвестной. И только после того, как G была измерена, с помощьюсоотношения удалось вычислить массу земли. Это впервые проделал сам ГенриКавендиш. Подставляя в формулу ускорение свободного падения значение g=9,8м/с ирадиуса земли rз=6,38·106 получаем следующее значение массы Земли:
Для силы тяготения,действующей на тела, находящиеся вблизи поверхности Земли, можно простопользоваться выражением mg. Если же необходиморассчитать силу притяжения, действующую на тело, расположенное на некоторомотдалении от Земли, или силу, вызываемую другим небесным телом(например Лунойили другой планетой), то следует использовать значение величины g,вычисленное с помощью известной формулы, в которой r3и m3должны быть заменены на соответствующее расстояние и массу, можно такженепосредственно воспользоваться формулой закона всемирного тяготения.Существует несколько методов очень точного определения ускорения силы тяжести.Можно найти g просто взвешиванием стандартного груза на пружинныхвесах. Геологические весы должны быть удивительны — их пружина изменяетрастяжение при добавлении нагрузки меньше чем в миллионную долю грамма.Превосходные результаты дают крутильные кварцевые весы. Устройство их впринципе несложно. К горизонтально натянутой кварцевой нити приварен рычаг,весом которого нить слегка закручивается:
Для тех же целей применяетсяи маятник. Еще недавно маятниковые способы измерения g былиединственными, и лишь в 60-е — 70-е гг. Их стали вытеснять более удобные иточные весовые методы. Во всяком случае, измеряя период колебанияматематического маятника, по формуле можно найти значение gдостаточно точно. Измеряя на одном приборе значение g в разных местах, можносудить об относительных изменениях силы тяжести с точностью до миллионныхдолей.
Значения ускорениясвободного падения g в разных точках Земли несколько различаются. Изформулы g = Gm3 можно увидеть, что величина g должнабыть меньше, например, на вершинах гор, чем на уровне моря, посколькурасстояние от центра Земли до вершины горы несколько больше. Действительно,этот факт установили экспериментально. Однако формула g=Gm3/r32 не даетточного значения g во всех точках, так как поверхность земли неявляется в точности сферической: на ее поверхности не только существуют горы иморя, но также имеет место изменение радиуса Земли на экваторе; крометого, масса земли распределена неоднородно; вращение Земли также влияетна изменение g.
Однако свойства ускорениясвободного падения оказались сложнее, чем предполагал Галилей. Выяснить, чтовеличина ускорения зависит от широты, на которой его измеряют:
Величина ускорениясвободного падения меняется также с высотой над поверхностью Земли:
Вектор ускорения свободногопадения всегда направлен по вертикали вниз, а вдоль отвесной линии в данномместе Земли.
Таким образом, на одной итой же широте и на одной и той же высоте над уровнем моря ускорение силытяжести должно быть одинаковым. Точные измерения показывают, что весьма частовстречаются отклонения от этой нормы — аномалии тяготения. Причина аномалий состоитв неоднородном распределении массы вблизи места измерения.
Как уже было сказано, силатяготения со стороны большого тела может быть, представлена как сумма сил,действующих со стороны отдельных частиц большого тела. Притяжение маятникаЗемлей есть результат действия на него всех частиц Земли. Но ясно, что близкиечастицы вносят наибольший вклад в суммарную силу — ведь притяжение обратнопропорционально квадрату расстояния.
Если вблизи места измерениясосредоточены тяжелые массы, g будет больше нормы, вобратном случае g меньше нормы.
Если, например, измерить g нагоре или на самолете, летящем над морем на высоте горы, то в первом случаеполучится большая цифра. Также выше нормы величина g на уединенных океанскихостровах. Ясно, что в обоих случаях возрастание g объясняется сосредоточениемдополнительных масс в месте измерения.
Не только величина g, но инаправление силы тяжести может отклоняться от нормы. Если подвесить груз нанитке, то вытянутая нить покажет вертикаль для этого места. Эта вертикаль можетотклониться от нормы. «Нормальное» направление вертикали известно геологам изспециальных карт, на которых по данным о значениях g построена «идеальная»фигура Земли.
Произведем опыт с отвесом уподножия большой горы. Грузик отвеса притягивается Землей к ее центру и горой — в сторону. Отвес должен отклониться при таких условиях от направлениянормальной вертикали. Так как масса Земли много больше массы горы, то такие отклоненияне превышают нескольких угловых секунд.
«Нормальная» вертикальопределяется по звездам, так как для любой географической точки вычислено, вкакое место неба в данный момент суток и года «упирается» вертикаль «идеальной»фигуры Земли.
Отклонения отвеса приводятиногда к странным результатам. Например, во Флоренции влияние Апеннин приводитне к притяжению, а к отталкиванию отвеса. Объяснение может быть одно: в горахесть огромные пустоты.
Замечательный результат даютизмерения ускорения силы тяжести в масштабе материков и океанов. Материкизначительно тяжелее океанов, поэтому, казалось бы, значения g надматериками должны быть больше. Чем над океанами. В действительности же значенияg, вдоль одной широты над океанами и материками, в среднем одинаковы.
Объяснение опять -таки лишьодно: материки покоятся на более легких породах, а океаны — на более тяжелых. Идействительно, там, где возможны непосредственные изыскания, геологиустанавливают, что океаны покоятся на тяжелых базальтовых породах, а материки-на легких гранитах.
Но сразу же возникаетследующий вопрос: почему тяжелые и легкие породы точно компенсируют различиевесов материков и океанов? Такая компенсация не может быть делом случая,причины ее должны коренится в устройстве оболочки Земли.
Геологи полагают, чтоверхние части земной коры как бы плавают на подстилающей пластичной, то естьлегко деформируемой массе. Давление на глубинах около 100 км должно быть всюдуодинаковым, так же как одинаково давление на дне сосуда с водой, в котором плаваюткуски дерева разного веса. Поэтому столб вещества площадью 1 м2 отповерхности до глубины 100 км должен иметь и под океаном и под материками одинаковыйвес.
Это выравнивание давлений(его называют изостазией) и приводит к тому, что над океанами и материкамивдоль одной широтной линии значение ускорения силы тяжести g неотличается существенно. Местные аномалии силы тяжести служат геологическойразведке, цель которой- найти залежи полезных ископаемых под землей, не роя ям,не копая шахт.
Тяжелую руду нужно искать втех местах, где g наибольшее. Напротив, залежи легкой солиобнаруживают по местным заниженным значениям величины g. Измерить g можно сточностью до миллионных долей от 1 м/сек2.
Методы разведки при помощимаятников и сверхточных весов называют гравитационными. Они имеют большоепрактическое значение, в частности для п