Розробка тааналіз математичної моделі технологічного об'єкта із заданимипараметрами
1 Аналітичне моделюваннястатичного режиму
/>
Рис. 1
Розрахуватистатичну модель /> і побудувати статичнухарактеристику повітряного ресиверу для випадку ізотермічного розширення газу.
G1=25
G2=25
p0=6
p=2
p1=1,5
Визначимограниці об’єкту моделювання,його виходи і входи. У відповідності з математичною моделю маємо 1 вихіднувеличину – Р і 2 вхідні /> та />. Виличини Р0 і Р1 будемо вважатипостійними. Складемо рівняння математичного балансу.
/>
/>
Де /> та /> - коефіцієнтивитрати клапанів; /> та /> значення щільності газувідповідно для Р0 і Р1
/>
Це рівнянняє рівнянням статики, яке зв’язує вихідну величину Р зі вхідними /> та />.
Але вцьому рівняння присутні значення значення щільності газу /> та />, які для ізотермічногопроцесу повністю визначаються значеннями тиску Р0 і Р1.
І взв’язку з тим, щоР0, а значить, і /> являються постійнимивеличинами, тиск слід виразити через значення щільності.
Дляізотермічного процесу, який протікає при постійній температурі з рівняннямстану ідеального газу.
/>
Зцієї формули слідує, що при постійній температурі і незмінному значенні масигазу і його молярній масі М добуток тиску газу на його об’єм повинно залишатисяпостійною.
/>
Відомо, що :
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Значенняфункціональної залежності /> отримано в загальному вигляді.Перейдемо до чисельного представлення отриманої функціональної залежності. Дляцього визначаємо чисельне значення усіх необхідних величин ( основногостатичного режиму).
Таблиця 1
Значенняпараметрів ресивера в номінальному статичному режимі№ Назва параметру Позначення Розмірність Дані 1 Витрати повітря на вході G1 кг/год 20 2 Витрати повітря на виході G2 кг/год 20 3 Тиск повітря на вході P0 кг/см2 6 4 Тиск повітря в ресивері P кг/см2 4 5 Тиск повітря на виході P1 кг/см2 3 6 Ступінь відкриття вхідного клапану
/> - 0.4 7 Ступінь відкриття вихідного клапану
/> - 0.6 8 Температура повітря t оС 20 9 Щільність повітря
/> кг/см3
/> 10 Щільність повітря в ресивері
/> кг/см3
/> 11 Коефіцієнт витрати вхідного клапана
/>
/> 12 Коефіцієнт витрати вихідного клапана
/>
/> 13
Здовідника відомо, що /> при тиску і температури 200Сдорівнює /> кг/см2
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Отриманазалежність — статична модель об'єкта в явній формі, що відповідає поставленомузавданню. Розрахуємо характеристику />
/>
/>
/> Р кг/см2 3 0,1 3,116 0,2 3,386 0,3 3,7 0,4 4 0,5 4,269 0,6 4,5 0,7 4,698 0,8 4,866 0,9 5,008 1 5,128
2 Аналітичнемоделювання динамічного режиму
Отриматирівняння динаміки двохємкістного ресивера, схематично зображеного на рис.1.Визначальним параметром даного об’єкта є тиск Р3. Необхідно знайтизалежність:
/>, де /> ступіньвідкриття клапану на вхідному потоці; /> - витрати газу з ресивера,кг/год.
/>
Рис. 2. Розрахункова схемаоб’єкту моделювання
Основнийстатичний режим визначається такими значеннями параметрів
/>Н/см2; /> Н/см2; /> Н/см2; />кг/год />
Ємкостіресивера мають об’єм />; />
Наоснові матеріальних балансів складаємо рівняння статики для кожної із єкостей
/>
Витрати/> та /> потрібновиразити через залежності від відповідних значень тиску, та ступеню відкриттяклапану на вхідному потоці:
/>,
де /> та /> - коефіцієнтивитрати; /> та/> - цезначення щільності газу відповідно перед вхідним клапоном та у першій ємкості.
/>
Враховуючиакумулюючу здатність кожної з ємкостей, перетворимо рівняння статики нарівняння динаміки:
/>
Заумовою, що
/> та />,
Отримуємлнаступну систему диференційних рівнянь:
/>
Зробимоаналіз змінних, що входять у рівняння. Змінними є: />. Якщо />та /> будуть змінюватися, то навіть засталим значенням /> будуть змінюватися /> та />, а в зв’язку з тим, що /> - змінна, тозмінною буду і />. Таким чином, змінними в рівнянняхбудуть />.Рівняння, з врахуванням визначенних змінних, будуть нелінійними. Лінеаризуєморівняння розкладанням в ряд Тейлора.
/>
Врівняннях є залежні між собою змінні. Це тиск /> та щільність />, тиск /> та щільність />. Іходнозначана залежність буде визначатися законом розширення газу. Якщотеплообмін з навколішнім середовищем близький до ідеального та не дуже великийперепад тиску, можна прийняти ізотермічний закон розширення газу PV=RT. Тоді можна записати:
/>, />
Введемоумовне позначення />.
/>
Де />
/> /> />
Виключившиз рівнянь змінни /> та розділивши всі складовірівняння на коефіцієнт при />, отримаємо:
/>
Де /> /> /> /> />
/>; />; />;
/>; />; />;
Розмірністьвсіх додатків рівняння динамікт однакова, що є необхідною, хоч і не достатьньоюумовою стверджувати, що рівняння динаміки отримано вірно.
Визначимоіз статичних залежностей та з довідників значення величин />. Спочатку визначимо />. Тиск тащільність для незмінної температури знаходяться у такій залежності:
/>,
де /> - атмосфернийтиск, />Н/см2;
/> - абсолютнезначення тиску відповідно перед ресивером, у першій та другій ємкості, />; />; />.
Щільністьповітря ддля атмосферного тиску за довідником />кг/м3.
Враховуючивикладне вище, із залежності вирахуємо числові значення /> для основногостатичного режиму:
/>, />, />
Визначимочислові значення коефіцієнтів витрати />.
/> />
/> />.
Знайдемочислове значення виразу />, />/>.
Запишимозначення всіх констант та змінних в номінальному (початковому) режимі в табл.2.Користуючись значенням величин, записаних у табл. 2, знайдемо числові значенняпроміжних коефіцієнтів B, D, C та E.
/>; />; />; />.
Таблиця 2
Значенняпараметрів ресивера в номінальноу статичному режимі№ п.п Назва параметру Позначення Розмірність Числові значення 1. Тиск повітря на вході
/> Н/см2 80 2. Тиск повітря в першій ємкості
/> Н/см2 50 3. Тиск повітря в другій ємкості
/> Н/см2 16 4.
Витрати повітря (/>)
/> Кг/год 60 5. Об'єм першої ємкості
/> м3 3 6. Об'єм другої ємкості
/> м3 5 7. Ступінь відкриття клапану
/> - 0.5 8. Щільність повітря на вході
/> Кг/м3 11.9 9. Щільність повітря в перщій ємкості
/> Кг/м3 7.9 10. Щільність повітря в другій ємкості.
/> Кг/м3 3.42 11. Коефіцієнт витрати через клапан
/>
/> 6.35 12. Коефіцієнт витрати парубка між ємкостями
/>
/> 3.6 13.
/>
/> 0.133
Користуючисьрозрахованими значеннями В, D, C та Е, а також значеннями параметрів із таблиці 1, звикористанням залежностей обчислимо значення коефіціентів рівняння динаміки.
/> год2; />год; />/>; /> />; />/>.
Підставляючизначення коефіцієнтів у рівняння динаміки запишемо його у числовій формі
/>.
Церівняння є рівнянням динамікт ресивера відповідно до залежності />.
Знайдеморозв'язання рівняння
/>
увигляді />,де /> -вільна складова; /> - примусова складова.
Початковіумови приймемо нульовими: />
Керуючийвплив визначаємо наступним чином: />. Збурюючий вплив /> та його похіднуприймаємо нульовими. Харакеристичне рівняння диференційного рівняння має вид: />, />; />.
Такимчином вільна складова вирішення має наступний вид:
/>
де, С1та С2 – сталі інтегрування.
Примусоваскладова, у урахуванням того, що /> не залежить від часу, складе:
/>Н/см2
Длявизначення сталих інтегрування С1 та С2 складемо системуравняння з урахуванням початкових умов та того, що похідна від /> має наступний вид:
/>
Системарівнянь формується наступним чином:
/>
/>
Звідсимаємо:
/>
Розв'язання системи рівняннядозволяє отримати такі значення С1 та С2:
/>, />.
Такимчином, остаточно запишемо розв'язання рівняння
/>
Зацією формулою проведемо розрахунки />, результати яких наведені втаблиці.
/>
/>
/> 1 0,174 2 0,542 3 0,972 4 1,399 5 1,798 6 2,157 7 2,474 8 2,751 9 2,992 10 3,201