Курсоваяработа на тему:
«Резонатор наоснове прямоугольного волновода »
Содержание
Введение
Прямоугольный объемный резонатор
Структура электромагнитного поля
Общая задача о собственныхколебаниях в прямоугольном объемном резонаторе
Понятие основного типа колебаний
Структура электромагнитного поля в прямоугольном резонаторе
Пример решения задачи
Вывод
Литература
Введение
В работе будетрассматриваться модель резонатора на основе прямоугольного волновода.
Прямоугольный резонатор –отрезок прямоугольного волновода, замкнутый с обоих концов проводящимипластинами (в работе – по координате z). В таком резонаторе могут возбуждаться Hmnp и Emnpтипы колебаний, где m, n, p – индексы, соответствующие числу полуволн, укладывающихсявдоль соответствующих стенок резонатора.
На простейшем примере будет рассмотрен метод, позволяющий рассчитатьрезонансную длину волны и структуру электромагнитного поля в объемномрезонаторе, образованном отрезком прямоугольного волновода.
Также будут изучены структураэлектромагнитного поля, общая задача о собственных колебаниях в прямоугольномобъемном резонаторе, будет определен основной типколебаний.
Прямоугольный объемный резонатор
На простейшем примере будет рассмотрен метод, позволяющий рассчитатьрезонансную длину волны и структуру электромагнитного поля в объемномрезонаторе, образованном отрезком прямоугольного волновода.
Рассмотрим отрезок прямоугольного волновода сечением />, ограниченный двумяметаллическими торцевыми поверхностями, которыерасполагаются в сечениях /> и /> (рис. 1).
/>
Рис.1. Прямоугольный объемный резонатор
Подобная замкнутая металлическая полость представляет собой прямоугольныйобъемный резонатор. Исследуем один из частных видов собственных колебанийданного резонатора, руководствуясь следующими соображениями. Пусть понеограниченно протяженному прямоугольному волноводу распространяется основнаяволна типа />,которую условно будем называть падающей. Эта волна движется в сторонувозрастания координаты z и характеризуется единственной y-йсоставляющей вектора напряженности электрического поляс комплексной амплитудой
/> (1)
Наличие торцевых плоскостей приводит к возникновению отраженной волны, длякоторой
/> (2)
где A — не известный пока амплитудный коэффициент.
Если учесть, что при />суммарное электрическое поле спроекцией /> должнообратиться в нуль из-за граничного условия на идеальном проводнике, то, какнетрудно видеть,/>. Отсюда, используя формулу Эйлерадля суммы двух экспоненциальных функций с мнимыми показателями, получим
/> (3)
Согласно данному равенству, рассматриваемый электромагнитный процессявляется двумерной стоячей волной, которая существует как по оси х, так и по оси z; вдоль координатыу напряженность электрического поля постоянна. Однако длина стоячей волны пооси z пока неопределена, поскольку никаких требований по отношению к продольному волновомучислу h пока непредъявлено.
Эти требования естественным образом вытекают из граничных условий надругой торцевой плоскости:
/> при z=l, (4)
откуда
/> (5)
где по-прежнему р— любое целое положительное число, исключая нуль.
Значение продольного волнового числа, удовлетворяющее равенству (5), будемназывать резонансным значением
/>. (6)
Отсюда легко перейти к резонансному значению длины волны в волноводе
/> (7)
а затем, воспользовавшись дисперсионным соотношением для волны типа />в прямоугольномволноводе
/>
вычислить резонансное значение длины волны генератора:
/> (12)
Таким образом, можно сделать определенные выводы:
1. Для прямоугольной полости с идеально проводящими стенками решенияуравнения Гельмгольца вида (3) существуют не при любом значении длины волны возбуждающегоисточника, а лишь при таких длинах волн, которые удовлетворяют резонансномуусловию (7).
2. Каждому допустимому значению целочисленного индекса р соответствуют своярезонансная длина волны и своя характерная структура пространственного распределениявекторов электромагнитного поля, представляющая собой тип колебаний впрямоугольном объемном резонаторе. В физике типы колебаний в резонаторах, как,впрочем, и типы волн в волноводах часто называют модами соответствующихраспределенных систем (от латин. modus — образ).
3. Типы колебаний в прямоугольном объемномрезонаторе можно классифицировать. Рассмотренная совокупность мод может бытьобозначена как />. Такая символикапоказывает, что поле в объемном резонаторе порождается волноводной волной типа />, а вдоль оси z укладывается р стоячих полуволн.
Структура электромагнитного поля
Удобнее всего проследить структуру поля в резонаторе на примере простейшеймоды />.Здесь, очевидно, пространственное распределение напряженности электрическогополя описывается формулой
/> (8)
где /> —произвольный амплитудный множитель. Магнитное поле в резонаторе находимнепосредственно на основании второго уравнения Максвелла
/>
из которого после подстановки (8) вытекают формулы для всех трех проекций:
/> (9)
резонатор объемный колебание
Необходимо обратить внимание на следующее важное обстоятельство: комплексныеамплитуды обеих проекций магнитного вектора содержат мнимые единицы, в то времякак комплексная амплитуда единственной отличной от нуля проекции электрическоговектора чисто действительна. Это говорит о том, что между мгновеннымизначениями напряженностей электрического и магнитного полей в резонаторесуществует сдвиг фаз по времени на угол 90°. Поэтому в объемном резонаторе, каки в любой другой электромагнитной колебательной системе, происходит непрерывныйобмен энергией между электрическим и магнитным полями. Дважды за периодсобственных колебаний всяэнергия электрического поля переходит в энергиюмагнитного поля и наоборот. Сказанное иллюстрируется мгновенными картинамираспределения силовых линий электромагнитного поля в объемном резонаторе стипом колебаний /> (рис. 2). Картины построеныдля различных моментов времени в пределах половины периода.
/>
Рис.2. Структура электромагнитного поля для колебаний
типа /> впоследовательные моменты времени
Отметим также, что среднее значение вектора Пойнтинга, образованногополями вида (8) и (9), тождественно равно нулю. Отсутствие усредненного потока энергии черезидеальный резонатор говорит об автономном, не зависящем от параметров внешнихустройств характере собственных колебаний в такой электродинамической системе.На языке теории электрических цепей энергию, запасенную в резонаторе, можноназвать реактивной энергией.
Общая задача о собственныхколебаниях в прямоугольном объемном резонаторе
Рассмотрим всю совокупность собственных колебаний различных типов взамкнутой полости прямоугольной формы с идеально проводящими стенками. Дляэтого вновь обратимся к рис. 1 и положим, что ось z является осьюстоячей волны, а в поперечной плоскости XOY устанавливается распределение поля, отвечающее волне типа Етп прямоугольного волновода. Как уже говорилось, резонансное значение длиныволны в волноводе зависит от целочисленного параметра /> – числа стоячих полуволн вдольпродольной оси резонатора: />. С другой стороны, величины /> и /> связаны общимдисперсионным соотношением
/> (10)
Поскольку волна типа Етп имеет критическую длину
/> (11)
из равенства (10) получаем формулу для расчета резонансной длины волныколебания типа Етпр в прямоугольномобъемном резонаторе
/> (12)
В практических расчетах часто используют также соответствующую резонанснуючастоту
/> (13)
Если допустить, что по прямоугольному волноводураспространяется волна типа Нтп,то аналогичным образом в замкнутой полости возникаютколебания типа Нтпр. Совершенно очевидно, что их резонансные длины волн и резонансные частотыопределяются выражениями (12) и (13).
Следует отметить, что в выражения (12) и (13) размеры />,/>и /> относящиеся к осям х,у и zсоответственно, входят совершенно равноправно.Поскольку известно, что некоторые индексы типов волн в волноводе могут бытьравны нулю, возникает вопрос о том, существуют ли резонаторные моды с индексом />.
Если />,то поле в резонаторе не меняется вдоль оси z.Обратимся к волноводной волне типа Етп. Здесь силовыелинии электрического вектора в продольном разрезе имеют конфигурацию,показанную на рис. 3адля случая п=1.Данный рисунок отвечает случаю, когда рассматриваемыйтип волны является распространяющимся, т. е. />. Если же значение />стремится к/>, то длина волны в волноводе стремится к бесконечности и силовые линии вектора напряженностиэлектрического поля приобретают вид «нитей», параллельных оси z (рис. 3б).
/>
Рис.3. К вопросу о существованииколебаний типа Emn0
В пределе при /> электрический вектор имеет лишь z-юсоставляющую и граничные условия на двух идеальнопроводящих торцевых стенках резонатора выполняются автоматически независимо отрасстояния /> между ними. Таким образом, моды типа Етп0 в прямоугольном объемном резонаторе возможны.
Обратимся теперь к колебаниям Н-типа. Здесь исходная волна типа Нтп в волноводе, по определению, имеет электрические векторы, лежащие лишь впоперечной плоскости. Если все составляющие векторов поля не будут менятьсявдоль оси z, как это должнобыть в случае резонаторной моды типа Нтп0, то поле в любой точке резонатора должно обратиться в нуль, посколькуграничные условия на стенках с координатами z=0и z=l выполняться немогут. Таким образом, в прямоугольном объемном резонаторе колебания типа Нтп0 физически не существуют.
Итак, классификация типов колебаний в прямоугольном объемном резонаторевключает в себя следующие этапы:
• одна из осей резонатора принимается запродольную ось регулярного прямоугольного волновода;
• устанавливается, какой тип волны, Етп или Нтп, существует в таком волноводе;
• определяется значение индекса р — число стоячихполуволн, которые укладываются между торцевыми стенками.
Следует заметить, что такой принцип классификации в значительной степениусловен, так как связан с произвольным выбором продольной оси регулярногопрямоугольного волновода. Чтобы уяснить это, обратимся к рис. 4а, на которомизображена уже знакомая картина силовых линий векторов электромагнитного полядля колебания типа Н101. Если теперьрезонатор повернуть в пространстве таким образом, чтобы ребро с размером /> былоориентировано вдоль оси у(рис. 4б), то этот же самый электромагнитный процессдолжен быть назван колебанием типа E110. Легко проверить,что резонансные длины волн для обоих названных типов колебаний одинаковы.
/>
Рис. 4. К вопросу об условномхарактере классификации типов колебаний в прямоугольном объёмном резонаторе
Понятие основного типа колебаний
На практике обычно стремятся к тому, чтобы при заданной резонанснойчастоте геометрические размеры колебательной системы были минимальными. Этогоудается достичь возбудив в резонаторе колебание основного (низшего) типа. Так принято называть моду с наибольшей резонансной длиной волны прификсированных размерах резонансной полости.
Индексы m, п, р для основного типаколебаний, очевидно, должны подбираться так, чтобы предельно уменьшитьзнаменатель в формуле (2). Ясно, что один из индексов при этом должен быть равеннулю, а два оставшихся — единице. Нулевой индекс соответствует той декартовойоси, вдоль которой ориентировано ребро с наименьшей длиной.
Следует отметить, что в объемных резонаторах могут существовать вырожденные моды, у которыхрезонансные длины волн совпадают, несмотря на то что структуры поля совершенноразличны. Примером могут служить колебания типов Е351 и Н135 в резонаторекубической формы.
Структура электромагнитного поля в прямоугольном резонаторе
Строгий подход к проблеме собственных колебаний электромагнитного поля взамкнутой полости прямоугольной формы с идеально проводящими стенками основанна поиске комплекснозначной функции />, которая удовлетворяетоднородному уравнению Гельмгольца
/> (14)
во всех внутренних точках резонатора. Это векторное уравнение естьсокращенная форма записи трех скалярных уравнений относительно декартовыхпроекций /> (символом а обозначены х, у или z):
/> (15)
Проведенное ранее исследование наводит на мысль о том, что средивсевозможных решений таких уравнений должны быть особо выделены функции видатрехмерных стоячих волн
/>~/>(16)
со всевозможными комбинациями трех гармонических сомножителей. Прямаяподстановка выражения (16) в уравнение (15) приводит к следующему выводу:уравнение Гельмгольца для резонатора имеет решение не при любом значениикоэффициента фазы />, а лишь в том случае, когда этотпараметр принадлежит дискретной совокупности, определяемой выражением
/> (22)
где m, n, p – положительныецелые числа, не равные нулю одновременно. Отсюда естественным образом вытекаетполученное ранее соотношение для расчета резонансных длин волн вида (12).
Теперь учтем, что на идеально проводящих стенках резонатора касательныесоставляющие электрического вектора должны обратиться в нуль. В развернутойформе это требование означает, что
/> при />
/> при /> (18)
/> при />
Равенства (18) позволяют конкретизировать допустимые решения и записать ихтак:
/> (19)
где А, В, С—не известные пока коэффициенты.
Далее следует принять во внимание то, что проекции электрического векторавнутри резонатора обязаны не только удовлетворять уравнению Гельмгольца (15),но и соответствовать векторному полю без источников, для которого
/> (20)
Подставив выражения (19) в формулу (20), приходим к выводу о том, чтомежду амплитудными коэффициентами должна существовать линейная связь
/> (21)
Будем рассматривать поле колебания типа Emnp, для которого /> или в соответствии со вторым уравнением Максвелла
/>
Отсюда получаем ещё одно уравнение связи
/> (22)
Решая систему алгебраическихуравнений (21) и (22) относительно неизвестных A и B,получаем
/> (23)
Итак, комплексные амплитуды проекцийвектора напряженности электрического поля для колебания типа Emnp в прямоугольном объёмном резонатореимеют вид
/> (24)
где С – произвольный амплитудныйкоэффициент.
Комплексные амплитуды декартовыхпроекций магнитного вектора
/> (25)
Проекции векторов электромагнитногополя для резонаторных мод типа Hmnpнаходят аналогичным способом.
Пример решения задачи
Определить, какова должнабыть длина /> закороченногос обоих концов отрезка прямоугольного волновода сечением />, если известно, что прирезонансной длине волны /> вдоль его оси укладывается тристоячие полуволны.
Решение
/>Дано: Резонансное значение длины волны генератора:
/>/>/> />
/>/>/> Отсюда />
Проверка единицизмерения:
/> />
Подставив исходныеданные, получим:
/>.
Ответ: />
Вывод
В работе рассмотренамодель резонатора на основе прямоугольного волновода, на простейшем примере рассмотренметод, позволяющий рассчитать резонансную длину волны и структуруэлектромагнитного поля в объемном резонаторе, образованном отрезкомпрямоугольного волновода.
Также изучены структураэлектромагнитного поля, общая задача о собственных колебаниях в прямоугольномобъемном резонаторе, определен основной типколебаний в прямоугольном резонаторе.
Также можно сделать определенные выводы:
1. Для прямоугольной полости с идеально проводящими стенками решенияуравнения Гельмгольца существуют не при любом значении длины волнывозбуждающего источника, а лишь при таких длинах волн, которые удовлетворяютрезонансному условию.
2. Каждому допустимому значению целочисленного индекса р соответствуют своярезонансная длина волны и своя характерная структура пространственногораспределения векторов электромагнитного поля, представляющая собой типколебаний в прямоугольном объемном резонаторе.
4. Типы колебаний в прямоугольном объемномрезонаторе можно классифицировать. Рассмотренная совокупность мод может бытьобозначена как />. Такая символикапоказывает, что поле в объемном резонаторе порождается волноводной волной типа />, а вдоль оси z укладывается р стоячих полуволн.
В окончании работы приведен пример решения типичной задачи по даннойтеме.
Литература
1. Баскаков С.И.Электродинамика и распространение радиоволн. – М.: «Высшая школа», 1992. –416с.
2. Баскаков С.И.Сборник задач по курсу «Электродинамика и распространение радиоволн». – М.:«Высшая школа», 1981. – 208с.
3. Лебедев В.И.Техника и приборы СВЧ.т.1. – М.: «Высшая школа», 1970. – 438с.
4. Говорков В.А.Электрические и магнитные поля. – М.: «Государственное энергетическоеиздательство», 1960. – 464с.
5. Справочник поволноводам. Под ред. Я.Н.Фельда. – М.: «Советское радио», 1952. – 432с.