Министерство образования Российской Федерации
Архангельский государственный технический университет
Факультет промышленной энергетики ПТЭIII-2
Кафедра теплотехники
Реферат
Распределение температуры по сечению балки.
Руководитель работы: С.И. Осташев
Студент Шафоростов А.В.
Архангельск
2009
Содержание
Задание
Расчетраспределения температуры по сечению балки явным методом
Расчет распределения температуры по сечению балки неявнымметодом
Списоклитературы
Задание
Необходимо нагреть груз прямоугольного сечения. Теплота с помощьюнагревателя подводится с одной из сторон. Нагреватель должен работать до тех пор,пока температура противоположной стороны не достигнет заданного значения Tk. Первоначально груз имел температуру Tн. Остальные 3 поверхности окружены воздухом с температуройT∞. Коэффициент теплоотдачи от этих поверхностейα. Температура нагревания TS.
Сколько времени должен работать нагреватель, чтобы минимальнаятемпература на противоположной стороне бруса составила Tк.Расчёты выполнить явным и неявным методом.
/>
распределение температура сечение балка
Расчет распределения температуры по сечению балки явнымметодом
Методика численного решения задач нестационарной теплопроводностианалогична рассмотренной методике решения задач стационарной теплопроводности. Прирешении нестационарных задач для каждого узла необходимо дополнительно учесть аккумулированиеэнергии — в материале, величина которой определяется теплофизическими свойствамиматериала. Принцип метода заключается в определении температуры в узле в моментвремени τ+Δτ, зная температуру в этом узле и в соседних узлах в предыдущиймомент времени τ, поэтому этот метод и называется явным.
Чтобы решить задачу нестационарной теплопроводности численнымметодом необходимо знать начальное распределение температуры в твердом теле (временныеграничные условия). Обычно в качестве такого условия тело рассматривают изотермичным,а температуры во всех узлах — равными начальной температуре тела. Затем, после расчетавсех температур в момент времени Δτ процесс повторяют и рассчитывают температурв момент времени 2Δτ. Эту процедуру повторяют до тех пор, пока не будетдостигнут момент времени, для которого требуется знать распределение температуры.
Следует также иметь в виду, что для выделения единственностирешения дифференциального уравнения в частных производных вводят дополнительныеусловия, при этом:
1. для избежания противоречивости в условиях постановки задачиубеждаются в решении данной задачи при рассматриваемых условиях путем доказательстватеоремы существования решения.
2. для исключения получения бесчисленного множества решений такжеубеждаются в единственности решения при рассматриваемых условиях путем доказательстватеоремы о единственности решения.
3. для исключения противоречивости решения проверяют задачу наустойчивость. Устойчивой называется задача математической физики, в которой придостаточно малом изменении аргумента наблюдается сколь угодно малое изменение решения.Из изложенного следует, что в данном методе выбор расстояния между узламиΔxи временного интервала Δτ не является произвольным. В противном случаерешение не будет устойчивым, а следовательно можно получить результаты, противоречащиеосновным законам термодинамики.
Явные разностные уравнения баланса и критерии устойчивости длядесяти узлов поверхности балки имеют следующий вид:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
где Bi=α·Δx/λ — число Био, где a — коэффициенттеплоотдачи от среды к омываемой поверхности, Вт/ (м К);
Δх — шаг по пространству, м;
λ — коэффициент теплопроводности материала стенки, Вт/(м-К);
Принимаю Δх=0,05 м (см. рис.1), тогда критерий: Био Bi=84·0,05/69,2=0,06069. Принимаю Δτ=5,248с, тогда критерийФурье: Fo=69,2·5,248/ (0,052·465·7860) =0,03974. Условие устойчивости,удовлетворяющее всем десяти уравнениям: Fo (l+Bi)
Условие выполняется, решаем уравнения.
Распределение температуры по сечению балки. Время Температура, град С, в узле 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 54 54 54 54 54 54 54 54 54 54 5,248 72,367 72,521 72,521 72,521 72,367 53,691 53,846 53,846 53,846 53,691 10,5 89,185 89,558 89,564 89,558 89,185 54,882 55,17 55,177 55,17 54,882 15,74 104,65 105,28 105,3 105,28 104,65 57,315 57,733 57,749 57,733 57,315 20,99 118,93 119,85 119,9 119,85 118,93 60,77 61,324 61,356 61,324 60,77 26,24 132,16 133,4 133,47 133,4 132,16 65,063 65,766 65,817 65,766 65,063 31,49 144,48 146,03 146,14 146,03 144,48 70,037 70,905 70,979 70,905 70,037 36,74 155,98 157,85 158 157,85 155,98 75,56 76,609 76,711 76,609 75,56 41,98 166,75 168,94 169,14 168,94 166,75 81,519 82,766 82,901 82,766 81,519 47,23 176,88 179,39 179,65 179,39 176,88 87,819 89,279 89,452 89,279 87,819 52,48 186,43 189,26 189,57 189,26 186,43 94,379 96,066 96,282 96,066 94,379 57,73 195,46 198,6 198,97 198,6 195,46 101,13 103,06 103,32 103,06 101,13 62,98 204,02 207,47 207,9 207,47 204,02 108,02 110,2 110,51 110,2 108,02 68,22 212,16 215,9 216,4 215,9 212,16 114,99 117,43 117,8 117,43 114,99 73,47 219,91 223,95 224,51 223,95 219,91 122,01 124,71 125,15 124,71 122,01 78,72 227,32 231,63 232,26 231,63 227,32 129,05 132,02 132,51 132,02 129,05 83,97 234,4 238,99 239,68 238,99 234,4 136,06 139,31 139,87 139,31 136,06 89,22 241,18 246,04 246,8 246,04 241,18 143,03 146,56 147, 19 146,56 143,03 94,46 247,69 252,81 253,64 252,81 247,69 149,95 153,75 154,45 153,75 149,95 99,71 253,95 259,32 260,22 259,32 253,95 156,79 160,86 161,64 160,86 156,79 105 259,97 265,59 266,55 265,59 259,97 163,53 167,89 168,74 167,89 163,53 110,2 265,77 271,63 272,66 271,63 265,77 170,18 174,81 175,74 174,81 170,18 115,5 271,36 277,47 278,56 277,47 271,36 176,72 181,62 182,63 181,62 176,72 120,7 276,77 283,1 284,26 283,1 276,77 183,14 188,32 189,4 188,32 183,14
/>
И так из результатов расчёта явным методом следует, что следуетработать 73,47 сек, чтобы минимальная температура на противоположной стороне балки(узлы 6 и 10) была равна Tк=122˚С.
Расчет распределения температуры по сечению балки неявнымметодом
Основной недостаток явного численного метода состоит в том, чторазностные уравнения баланса энергии для каждого узла должны удовлетворять критериюустойчивости. Чтобы удовлетворять критерию устойчивости в практике приходится выбиратьочень маленький шаг по времени, и это приводит к значительному возрастанию объёмарасчётов. Рассмотрим другой метод, который является устойчивым при любых значенияхчисел Bi и Fo.Суть его заключается в том, что уравнение баланса, полученное для явного метода,модифицирует, выражая через температуру в момент времени τ+Δτ. Вэтом методе разностные уравнения необходимо записывать для всех узлов, поэтому методполучил название неявного. Данный метод в математике называют методом использованиялевых производных, т.к. производная по времени опраксимируется разностью. Очевидно,что существенное преимущество неявного метода — это отсутствие критериев устойчивости,а недостаток — необходимость решения системы алгебраических уравнений (в отличиеот неявного метода в явном можно решать разностные уравнения отдельно для каждогоузла).
1. (1+2Fo· (2+Bi)) · (T1) τ+Δτ-2·Fo· (1/2· (T6) τ+Δτ + (T2) τ+Δτ + Bi·T∞ + 1/2·Ts) — (T1) τ =0
2. (1+4Fo) · (T2)τ+Δτ — Fo· ( (T1) τ+Δτ + (T3) τ+Δτ + (T7) τ+Δτ + Ts) — (T2) τ =0
3. (1+4Fo) · (T3)τ+Δτ — Fo· ( (T2) τ+Δτ + (T4) τ+Δτ + (T8) τ+Δτ + Ts) — (T3) τ =0
4. (1+4Fo) · (T4)τ+Δτ — Fo· ( (T3) τ+Δτ + (T5) τ+Δτ + (T9) τ+Δτ + Ts) — (T4) τ =0
5. (1+2Fo· (2+Bi)) · (T5) τ+Δτ-2·Fo· (1/2· (T10) τ+Δτ+ (T4) τ+Δτ + Bi·T∞+ 1/2·Ts) — (T5)τ =0
6. (1+4Fo· (1+Bi)) · (T6) τ+Δτ — 4·Fo· (1/2· (T1) τ+Δτ + 1/2· (T7) τ+Δτ + Bi·T∞) — (T6) τ =0
7. (1+2Fo· (2+Bi)) · (T7) τ+Δτ-2·Fo· (1/2· (T6) τ+Δτ+1/2· (T8)τ+Δτ+Bi·T∞+ (T2) τ+Δτ) — (T7)τ =0
8. (1+2Fo· (2+Bi)) · (T8) τ+Δτ-2·Fo· (1/2· (T7) τ+Δτ+1/2· (T9)τ+Δτ+Bi·T∞+ (T3) τ+Δτ) — (T8)τ =0
9. (1+2Fo· (2+Bi)) · (T9) τ+Δτ-2·Fo· (1/2· (T8) τ+Δτ+1/2· (T10)τ+Δτ+Bi·T∞+ (T4) τ+Δτ) — (T9)τ =0
10. (1+4Fo· (1+Bi)) · (T10) τ+Δτ — 4·Fo· (1/2· (T5) τ+Δτ + 1/2· (T9) τ+Δτ + Bi·T∞) — (T10) τ =0
1.95-0.460.000.000.00-0.230.000.000.000.00 120,21
0.231.92-0.230.000.000.00-0.230.000.000.00 119,6
0.00-0.231.92-0.230.000.000.00-0.230.000.00 119,6
0.000.00-0.231.92-0.230.000.000.00-0.230.00 119,6
0.000.000.00-0.461.950.000.000.000.00-0.23 120,21
0.460.000.000.000.001.98-0.460.000.000.00 1,23
0.00-0.460.000.000.00-0.231.95-0.230.000.00 0,61
0.000.00-0.460.000.000.00-0.231.95-0.230.00 0,61
0.000.000.00-0.460.000.000.00-0.231.95-0.23 0,61
0.000.000.000.00-0.460.000.000.00-0.461.98 1,23
шаг по пространству — 0.05
шаг по времени — 30.00
начальная температура — 54.0
Распределение температуры по сечению балкиВремя Температура, град С, в узле 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 54 54 54 54 54 54 54 54 54 54 30 129,13 130,78 130,98 130,78 129,13 75,75 76,88 77,04 76,88 75,75 60 184,96 188,34 188,84 188,34 184,96 107,37 109,88 110,28 109,88 107,37 90 228,22 233,21 234,06 233,21 228,22 141,71 145,64 146,44 145,64 141,71 120 262,88 269,29 270,5 269,29 262,88 175,23 180,64 181,83 180,64 175,23 150 291,32 298,98 300,53 298,98 291,32 206,32 213,14 214,73 213,14 206,32 180 315,07 323,81 325,68 323,81 315,07 234,35 242,48 244,46 242,48 234,35 210 335,14 344,82 346,98 344,82 335,14 259,23 268,53 270,87 268,53 259,23 240 352,23 362,73 365,15 362,73 352,23 281,08 291,43 294,11 291,43 281,08 270 366,87 378,08 380,72 378,08 366,87 300,17 311,44 314,42 311,44 300,17 300 379,45 391,27 394,11 391,27 379,45 316,78 328,86 332,1 328,86 316,78 330 390,28 402,63 405,64 402,63 390,28 331,2 343,98 347,45 343,98 331,2 360 399,62 412,43 415,59 412,43 399,62 343,69 357,1 360,77 357,1 343,69
/>
И так из результатов расчёта неявным методом следует, что следуетработать 73,47 сек, чтобы минимальная температура на противоположной стороне балки(узлы 6 и 10) была равна Tк=122˚С.
Список литературы
1. Лекции “Моделирование процессов теплообмена”.