Костромская Государственная Сельскохозяйственная Академия
Кафедра: " Детали машин"
Методическое пособие и задачи для самостоятельного решения покурсу «ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА»
Раздел: «Сопротивление материалов»
Тема: РАСЧЕТ ВАЛА ПРИСОВМЕСТНОМ ДЕЙСТВИИ ИЗГИБА И КРУЧЕНИЯ ПОГИПОТЕЗАМ ПРОЧНОСТИ.
Составил: доцент Комаров Н.В.
Кострома 2003
Для решения задания необходимоусвоить тему: «Гипотезы прочности и их применение», т.к в задачахрассматриваются совместные действия изгиба и кручения и расчет производится сприменением гипотез прочности.
Условие прочности в этом случаеимеет вид
sэкв = Мэк в/ Wz £[s]
Мэк в — такназываемый эквивалентный момент
По гипотезе наибольшихкасательных напряжений (III — гипотеза прочности)
Мэк в III = (Ми2 + Тк2)1/2
По гипотезе потенциальнойэнергии формоизменения (V — гипотезе прочности)
Мэк в V = (Ми2 + 0.75 Тк2)1/2
В обеих формулах Т — наибольшийкрутящий момент в поперечном сечении вала Ми — наибольший суммарныйизгибающий момент, его числовое значение равно геометрической сумме изгибающихмоментов, возникающих в данном сечении от вертикально и горизонтальнодействующих внешних сил, т.е.
/>
1. Привести действующие на валнагрузки к его оси, освободить вал от опор, заменив их действия реакциями ввертикальных и горизонтальных плоскостях
2. По. заданной мощности Р иугловой скорости w определить вращающиемоменты действующие на вал.
3. Вычислить нагрузки F1, Fr1,F2, Fr2 приложенныек валу.
4. Составить уравненияравновесия всех сил, действующих на вал, отдельно в вертикальной плоскости иотдельно в горизонтальной плоскости и определить реакции опор в обеихплоскостях.
5. Построить эпюру крутящихмоментов.
6. Построить эпюру изгибающихмоментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях (эпюры Mzи My).
7. Определить наибольшеезначение эквивалентного момента:
Мэк в III = (Мz2+ My2 + Тк2)1/2 или
Мэк в V = (Мz2+ My2 + 0.75 Тк2)1/2
8. Приняв sэк в = [s] определить требуемый осевой моментсопротивления
Wz= Мэк в/[s]
9. Учитывая, что для брусасплошного круглого сечения
Wи= p*dв3/32» 0.1* dв3
определяем диаметр его d по следующей формуле:
d ³ (32* Мэк в / p*[s]) 1/3 » (Мэк / 0.1 [s]) 1/3
Пример: Для стальноговала постоянного поперечного сечения с двумя зубчатыми колесами, передающегомощность Р = 15 кВт при угловой скорости w=30 рад/с, определить диаметр вала по двум вариантам:.
а) Используя, III -гипотезу прочности
б) Используя, V- гипотезу прочности
Принять [s] =160МПа, Fr1= 0.4 F1, Fr2= 0.4 F2
Составляем расчетную схему вала:Т1=Т5, где Т1 и Т2 — скручивающиепары, которые добавляются при параллельном переносе сил F1и F2 на ось вала
Определяем вращающий моментдействующий на вал:
Т1 = Т2 =Р/w = 0,5*103 Нм = 0,5 кНм
Вычисляем нагрузку приложенную квалу
F1 =2*T1/d1 = 2*0.5*103/0.1 = 104 H =10kH
F2 =2*T2/d2 = 2*0.5*103/0.25 = 4*103 H= 4kH
Fr1= 0.4*103 = 4 kH Fr2 = 0.4*4 = 1.6 kH
Определяем реакции опор ввертикальной плоскости YOX (рис б)
åMa = — Fr1AC — Fr2 AD + RBY*AB = 0
RBY= Fr1 AC + Fr2 AD / AB = 4*0.05 + 1.6*0.25/0.3 = 2 kH
åMB = — RAY*AB+ Fr1*BC + Fr2*DB = 0
RAY= Fr1*BC + Fr2*DB / AB = 4*0.25 + 1.6*0.05/03 = 3.6 kH
Проверка:
åY = RAY — Fr1 — Fr2 + RBY= 2-4-1.6+3.6 = 0
åY = 0, следовательно RAY иRBY найдены правильно
Определим реакции опор вгоризонтальной плоскости ХОZ (рис б)
åMA = F1AC — F2 AD — RBz*AB = 0
RBz= F1 AC — F2 AD / AB = 10*0.05 — 4*0.25/0.3 = — 1.66 kH
Знак минус указывает, чтоистинное направление реакции RBzпротивоположно выбранному (см. рис. б)
åMB = RAz*AB- F1*CB + F2*DB = 0
RAz= F1*CB — F2*DB / AB = 10*0.25 — 4*0.05/0.3 = 7.66 kH
Проверка:
åZ = RAz — F1 + F2 — RBz= 7.66-10+4-1.66 = 0
åZ = 0, следовательно реакции RAzи RBz найдены верно.
Строим эпюру крутящих моментов Т(рис в).
/>
Определяем ординаты и строимэпюры изгибающих моментов Mz в вертикальнойплоскости (рис. г и д) и Мy — в горизонтальной плоскости.
МCz = RAy*AC = 3.6*0.05 = 0.18 kHм
МDz = RAy*AD — Fr1*CD = 3.6*0.25 — 4*0.2 = 0.1 kHм
МCy = RAz*AC = 7.66*0.05 = 0.383 kHм
МDy = RAz*AD — F1*CD = 7.66*0.25 — 10*0.2 = — 0.085kHм
Вычисляем наибольшее значениеэквивалентного момента по заданным координатам так как в данном примере значениесуммарного изгибающего момента в сечений С больше, чем в сечении D, то сечение С и является опасным. Определяем наибольшийсуммарный изгибающий момент в сечении С.
Ми С = (МСz2 + MCy2)1/2 = (0.182 + 0.3832) 1/2 = 0.423 kHм
[МиD = (МDz2 + MDy2) 1/2= (0.12 + 0.0852) 1/2 = 0.13 kHм]
Эквивалентный момент в сечении Cпо III и V гипотезе прочности
Мэк в III = (Мz2+ My2 + Тк2)1/2 = (0182+ 0.3832+0.52) 1/2=
= 0.665 kHм
Мэк в V = (Мz2+ My2 + 0.75 Тк2)1/2 =
= (0.182+0.3832+0.75*0.52)1/2 = 0.605 kHм
Определяем требуемые размерывала по вариантам III и Vгипотез прочности.
dIII= (Мэк в III / 0.1*[s]) 1/2 = (0.655*103/0.1*160*106)1/2 =
= 3.45*10-2 (м) = 34.5(мм)
dVI= (Мэк в V / 0.1*[s]) 1/2 = (0.605*103/0.1*160*106)1/2 =
= 3.36*10-2(м) = 33.6 (мм)
Принимаем диаметр вала согласностандартного ряда значений d=34 мм
Из условия прочности рассчитатьнеобходимый диаметр вала постоянного поперечного сечения, с двумя зубчатымиколёсами, предающего мощность Р, при заданной угловой скорости.
Принять [s] =160МПа, Fr1= 0.4 F1, Fr2= 0.4 F2 (Все размеры указаны на рисунках)№ задачи вариант
Р, кВт w, рад/с № задачи вариант
Р, кВт w, рад/с 6 22 1 3 25 1 8 36 1 8 48 2 10 40 2 10 50 3 9 30 3 12 40 4 3 45 4 22 24 5 20 50 5 20 60 6 12 68 6 20 22 7 5 20 7 9 36 8 3 50 8 8 42 9 12 48 9 15 35 2 10 30 3 5 40 1 20 80 1 6 36 2 15 45 2 7 35 3 12 38 3 12 24 4 14 18 4 15 15 5 8 42 5 12 32 6 10 45 6 9 42 7 18 22 7 10 45 8 25 40 8 7 21 9 5 42 9 20 36 4 5 18 5 20 45 1 10 18 1 19 38 2 12 30 2 21 15 3 24 30 3 18 26 4 6 24 4 15 18 5 12 52 5 16 50 6 3 15 6 8 30 7 15 45 7 7 20 8 19 50 8 10 24 9 20 25 9 13 48 № задачи вариант
Р, кВт w, рад/с № задачи вариант
Р, кВт w, рад/с 6 4 35 7 16 40 1 20 15 1 30 50 2 18 20 2 28 42 3 16 18 3 20 38 4 30 24 4 15 20 5 25 30 5 18 30 6 22 28 6 22 30 7 15 18 7 27 35 8 8 24 8 24 28 9 10 12 9 4 20 8 12 38 9 40 70 1 15 42 1 30 50 2 10 32 2 32 38 3 20 50 3 25 42 4 23 18 4 12 32 5 14 24 5 28 34 6 16 20 6 20 35 7 24 15 7 10 20 8 26 25 8 14 30 9 6 48 9 35 40
/>