Министерство образования и науки Украины
Донбасская государственная машиностроительная академия
Кафедра электротехники и электрооборудования
Расчетно-графическая работа
Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях
Выполнил:
Проверил:
Краматорск
Задание
В заданных вариантах необходимо: для каждой цепи рассчитать токи и напряжения во время переходного процесса вызванного коммутацией — определить их аналитические выражения и построить временные графики i (t), u (t). Задачи решить классическим и операторным методами.
Задача №1
/>
U0=1000 В
R1=120 Ом
R2=50 Ом
R3=10 Ом
L=0.4 Гн
Рис. 1.
Решение задачи классическим методом
Составим уравнения по 1-му и 2-му законам Кирхгофа в дифференциальной форме для послекоммутационного режима.
/>
Составленную систему уравнений называют математической моделью динамического режима работы цепи.
Токи и напряжения до коммутации:
/>
Принужденные составляющие токов и напряжения
/>
Определим полные значения токов и напряжений в первый момент после коммутации. На основании первого закона коммутации:
/>
Свободные составляющие токов и напряжений в первый момент после коммутации.
/>
Составляем характеристическое уравнение и определяем показатель затухания:
/>
Постоянная времени переходного процесса
/>
7. Выражения для свободных токов и напряжений:
/>
8. Определяем постоянные интегрирования:
/>
9. Свободные токи и напряжения:
/>
10. Полные токи и напряжения во время переходного процесса
/>
11. Построим графики токов и напряжений во время переходного процесса:
График токаi1
/>
График токаi2
/>
График токаi3
/>
График напряжения на индуктивности ul
/>
Решение задачи операторным методом
/>
Рис.2.
Представим схему замещения цепи в операторной форме (рис.2) для после коммутационного режима.
Для расчета токов и напряжения U1в операторной форме используем метод непосредственногоприменения законов Кирхгофа. Составим уравнения по 1-му и 2-му законам Кирхгофа в операторной форме:
/>
Так как напряжение на индуктивности до коммутации было равно нулю, внутренняя ЭДС/>также равна нулю, в дальнейших расчетах ее не учитываем.
Из второго уравнения:
/>
Из третьего уравнения:
/>
Значения I2 (р) и I3 (р) подставим в первое уравнение:
/>
Выражение для тока первой ветви в операторной форме:
/>/>
Выражение для I1(р) получено в виде дроби, числитель и знаменатель которой полиномы.
/>
N (p) =150000 + 400р – полином числителя, где
М (р) = 23000р + 68p2 — полином знаменателя
Определяем корни полинома знаменателя:
23000p + 68p2 = p (23000 + 68p)
p1=0; p2=/>
Для перевода тока I2(р) из области изображений в область временных функций применяем формулу
/>
где N(р1) и N(р2) — соответственно значения полиномов числителя при корнях р1и р2М' (р1) и М' (р2) — значения производной от полинома знаменателя соответственно при корнях р1и р2. Полиномы числителя при корнях р1и р2:
N(р1) = 150000; N(р2) = 14706
Производная от полинома знаменателя:
М (р) = 23000 + 136p
Производная от полинома знаменателя при корнях р1и р2.
м' (р1) = 23000; М' (р2) = — 23000;
Ток i1 во время переходного процесса:
/>
Остальные токи и напряжения определим используя законы Ома и Кирхгофа
/>
При расчете операторным методом получены те же выражения для токов и напряжения как и при расчете классическим методом, что подтверждает правильность выполненного расчета переходного процесса.
Задача №2
/>
U0=160 B
R=80 Oм
L=0.8Гн
С=20*10-6 Ф
Рис 3.
Необходимо найти закон изменения токов во всех ветвях и напряжений ULиUC в зависимости от времени и построить графики.
Решение задачи классическим методом
Математическая модель динамического режима работы цепи для послекоммутационного режима:
/>
Решая данную систему дифференциальных уравнений, можно получить закон изменения токов и напряжений во времени в момент переходного процесса, не используя специальных методов. Доя упрощения решения системы воспользуемся классическим методом.
Токи и напряжения до коммутации.
/>
Принужденные значения токов и напряжений
/>
3. Полные значения токов и напряжений в первый момент после коммутации: />
/>
/>
3. Свободные значения токов и напряжений в первый момент после коммутации:
/>
Определим производные свободных токов и напряжений в момент времени непосредственно после коммутации, для чего составим систему уравнений, используя законы Кирхгофа.
/>
Производные от тока на индуктивности и напряжения на емкости:
/>
Отсюда
/>
Все полученные результаты занесем в таблицу:
i1
i2
i3
UL
uс
t = 0 +
1
1
80
t=∞
1
1
80
Iсв(0+)
-1
1
Uсв(0+)
80
-80
I’св(0+)
100
625
U’св(0+)
-58000
50000
Составим характеристическое уравнение (для послекоммутационного режима) и определим его корни:
/>
/>
Подставим численные значения параметров цепи:
/>
Решив квадратное уравнение получаем:
р1= — 282.461
р2= — 442.539
7. Определим постоянные интегрирования А1 и А2, и запишем выражения для токов и напряжений а) Для тока i1св:
/>