КУРСОВАЯработа
Расчет напряжений деформаций визотропном теле по заданному тензору напряжений
1. Исходные данные
1. Задан следующий тензор напряжений:
/>МПа.
2. Направляющие косинусы площадки, покоторой нужно вычислить напряжения, равны:
/>.1.1 Определениеинвариантов напряженного состояния
Инвариантом называется величина, независящая отсистемы координат. В частности, напряженное состояние в любой точке являетсяинвариантом, несмотря на то, что составляющие тензора в разных системахкоординат, т.е. напряжения, действующие по координатным площадкам, различны.Однако, имеются выражения, составленные из напряжений по координатнымплощадкам, которые остаются постоянными в любой системе координат. Этивыражения и называются инвариантами напряженного состояния в точке илиинвариантами тензора напряжений.
/> (1)
1.2 Определение главныхнапряжений
Главными напряжениями называются нормальныенапряжения, действующие по площадкам, где отсутствуют касательные напряжения.Координатные оси, являющиеся нормалями к таким площадкам, называются главнымиосями тензора напряжений, а сами площадки – главными площадками.
Главные напряжения определяются из кубичногоуравнения:
/> (2)
Подставляя численные значения инвариантов тензоранапряжений из(1), получаем:
/>
/>
Кубические уравнения общего вида могут иметькомплексные корни, уравнения для определения главных напряжений и главныхдеформаций всегда имеют три действительных корня. Решать их можно по-разному.
1. Можно сначала определить подборомодин из корней уравнения, а затем разложить левую часть уравнения (2) на двасомножителя: линейный двучлен и квадратный трехчлен. После этого из решенияквадратного уравнения определяются два оставшиеся корня.
2. Существует и аналитический способрешения, для этого используются формулы Кардано.
Воспользуемся вторым способом.
Пусть задано кубическое уравнения:
/> (3)
После подстановки
/> (4)
получим кубичное уравнение (приведенное):
/> (5)
Здесь /> и /> вычисляются по формулам:
/> (6)
Формулы Кардано для случая уравнения с тремядействительными корнями имеют вид:
/> (7)
/> (8)
Далее с помощью подстановки(4) в (3) находим корниисходного уравнения.
Решим наше уравнение (2):
/> (9)
Подстановка (4) с новыми обозначениями получает вид:
/>. (10)
Здесьизменен знак второго слагаемого подстановки потому, что/>.
Подставляя (10) в (9) получим уравнение аналогичное(5):
/> (11)
Здесь коэффициенты /> и/> вычисляются по формулам(6):
/>
Далее по формулам (7) находим:
/>
По формулам (8) находим корни уравнения (5):
/>
Учитывая (10), находим корни исходного уравнения (9),являющимися главными напряжениями:
/> (12)
В соответствии с правилом индексации главныхнапряжений введены обозначения: /> -алгебраически максимальное напряжение; /> -алгебраически среднее (минимаксное) напряжение; /> -алгебраически минимальное напряжение.
Величины /> и /> вычислялись с точностью дотретьего знака после запятой для того, чтобы в дальнейшем при решении системуравнений, в которых от /> зависятвеличины коэффициентов, избежать возможных больших погрешностей, есливстретятся малые разности больших величин.
Тензор напряжений в главных осях имеет вид:
/>.1.3 Определениеположения главных осей тензора напряжений
Положение главных осей тензора напряжений определяетсяматрицей направляющих косинусов:
/> (13)
Здесь первая строка матрицы представляет направляющиекосинусы главной оси, по которой действует напряжение />; вторая строка — направляющие косинусы главной оси, по которой действует напряжение />; третья строка — направляющиекосинусы главной оси, по которой действует напряжение />. Все направляющие косинусызадаются в исходной (старой) системе координат, показанной на рис. 1
Направляющие косинусы главных осей находятся изсистемы уравнений:
/> (14)
при условии
/> (15)
Здесь /> -направляющие косинусы главной оси тензора напряжений, вдоль которой действуетнапряжение />.
В теории упругости (1) доказывается, что определитель,составленный из коэффициентов при неизвестных (/>)системы уравнений (13), равен нулю. Следовательно, три уравнения в (13) являютсялинейно зависимые: одно уравнение (любое) является следствием двух других.Поэтому для определения направляющих косинусов /> любойглавной оси нужно одно из уравнений удалить (любое) и к двум оставшимсядобавить уравнение (14). Решив полученную систему трех уравнений с тремянеизвестными, найдем направляющие косинусы />,соответствующие главному напряжению />.Положение оставшихся двух осей находят аналогично.
Нужно иметь в виду, что каждый из направляющихкосинусов получается с двумя знаками. Знаки соответствуют повороту осей почасовой стрелке или против часовой стрелки. При этом главные оси занимают однои то же положение, но направлены в противоположные стороны.
При определении положения главных осей нужно оставитьодну систему знаков, конкретизировав при этом направления осей.1.3.1 Вычисление направляющих косинусов />
Для определения направляющих косинусов />, соответствующих оси,вдоль которой действует напряжение />,подставим в (14) и (15) />; приэтом из (14) возьмем первые два уравнения (можно взять любые два):
/>(16)
Сначала найдем отношения между направляющимикосинусами; для этого систему уравнений приведем к виду:
/> (17)
Решая подсистему, состоящую из первых двух уравнений,получим:
/>. (18)
Подставляя эти выражения в третье уравнение (17),найдем:
/>, (19)
откуда
/>.
На этом этапе решения задачи можно у /> выбрать любой знак. Примем/>. Подставляя это значение в(18), получим:
/>. (20)
Углы, которые составляет первая главная ось тензоранапряжений с исходными осями координат, находятся вычислением функции /> от />:
/>./>
Вычисление />
Подставляя в (14) и (15) /> ииспользуя те же два уравнения из (14) (можно и другие), получим:
/>(21)
Решая эту систему уравнений в той жепоследовательности, как и в п. 3.2.1, получим:
/>.
Здесь по-прежнему знак у /> принятположительным, а знаки остальных направляющих косинусов определились решением подсистемыиз первых двух уравнений (21).
Углы, которые составляет вторая главная ось сисходными осями координат, пока вычислять не будем. Может оказаться, чтоопределитель матрицы направляющих косинусов будет равен -1, чтосоответствует левой системе координат. Для тог, чтобы получить правую системукоординат, нужно будет у одной из осей поменять знаки направляющих косинусов.1.3.2 Вычисление />
Подставляя в (14) и (15) /> ииспользуя те же уравнения, получим:
/>(22)
Решая эту систему, получим:
/>.
Соответствующие углы равны:
/>.
1.4 Проверкаправильности вычисления главных напряжений и положения главных осей тензоранапряжений
Проверка правильности вычисления главных напряжений
Для проверки правильности вычисленных главныхнапряжений определим инварианты тензора напряжений:
/>
Как видим, инварианты получились такими же, как и ввыражениях (1). Этот результат также подтверждает вывод о том, что напряженноесостояние в точке нагруженного тела является инвариантным объектом.
Проверка правильности вычисления положения главныхосей тензора напряжений
Проверка правильности вычисления положения главныхосей тензора напряжений основана на свойствах матрицы направляющих косинусов(13). Она относится к ортогональным матрицам и обладает следующимисвойствами:
1. Определитель ортогональной матрицыравен единице.
2. Сумма квадратов элементов,входящих в каждую строку (столбец) равна единице.
3. Если рассматривать каждую строкуматрицы как вектор-строку, а каждый столбец – как вектор-столбец, то скалярныепроизведения двух разных векторов-строк (векторов-столбцов) равны нулю.
Воспользуемся первым свойством ортогональных матриц.
Подставив в (13) вычисленные направляющие косинусы,получим;
/>. (23)
Определитель этой матрицы равен единице:
/>.
Так как определитель получился равным 1, тосистема координат – правая. Поэтому знаки направляющих косинусов остаются безизменения.
/>.
Соответствующие углы будут равны:
/>.1.5 Вычисление максимальных касательных напряжений, полного,нормального и касательного напряжений по заданной площадке
Вычисление максимальных касательных напряжений
В теории упругости доказывается, что максимальныекасательные напряжения действуют по двум взаимно перпендикулярным площадкам,расположенным под /> к главнымплощадкам, по которым действуют главные нормальные напряжения /> и/>.
/>
/>
Рис.1. Максимальные касательные напряжения
Вычисление полного, нормального и касательногонапряжений по площадке с заданными направляющими косинусами
Направляющие косинусы нормали /> к заданной площадке равны:
/>
Проекции полного напряжения, действующего на заданнойплощадке, на координатные оси найдем по формулам:
/> (24)
/>
/>
Полное напряжение на этой площадке найдем по формуле:
/>/>.
Нормальное напряжение по этой площадке определим,спроектировав координатные составляющие на нормаль к площадке:
/>.
Касательное напряжение на этой площадке найдем потеореме Пифагора (см. рис. 2):
/>.
/>
Рис.2. Полное нормальное и касательное напряжения, действующие по заданной площадке