Курсовой проект по Физике.
“Расщеплениеэнергетических уровней атома водорода в электрическом поле.”
Теория возмущений
Постановкавопроса
Лишь в очень немногихслучаях задачу о нахождении квантовых уровней системы (т.е. о нахождениисобственных значений и собственных функций оператора энергии Н) удается разрешить с помощью изученныхв математике функций. В большинстве проблем атомной механики таких простыхрешений не существует. Поэтому очень важен весьма обширный класс случаев, когдарассматриваемая задача может быть приближенно сведена к задаче, относящейся кболее простой системе, для которой собственные значения Е° и собственные функции j° известны. Такая возможностьпредставляется тогда, когда оператор энергии Н рассматриваемой системы мало отличается от оператора Н° более простой системы.
Точное значение слов «операторы малоотличаются» выяснится из дальнейшего. Сейчас мы укажем те случаи, которыеотносятся к кругу задач, могущих быть решенными приближенно. Допустим, что намизвестны волновые функции и квантовые уровни электронов, движущихся в атоме.Нас интересует, как изменятся квантовые уровни и волновые функции, если атомпоместить во внешнее электрическое или магнитное поле.
Достигаемые на опыте поляобычно малы в сравнении с внутриатомным кулоновским полем[1].Действие внешнего поля можно рассматривать как малую поправку или, как мы будетговорить, возмущение (этот терминзаимствован из небесной механики и применялся первоначально для обозначениявлияния одной планеты на орбиту другой). Таким же путем могут быть учтеныслабые взаимодействия электронов внутри атомов, например, магнитные, а в иныхслучаях даже и кулоновские. Общие методы решения подобных задач и составляютпредмет теории возмущений.
Мы ограничимся покарассмотрением таких случаев, когда оператор энергии Н обладает дискретным спектром. Пусть данный нам гамильтониан Н равен
Н = Н° + W. (66.1)
Добавок Wбудемрассматривать как малый и будем называть энергиейвозмущения (или иногда кратко ¾возмущением). Далее, мыпредполагаем, что собственные значения Е° оператора Н° и его собственные функции j° известны, так что
Н°j° = Е° j°. (66.2)
Наша задача заключается внахождении собственных значений Е оператора Н и его собственных функций. Эта задача, какмы знаем, сводится к решению уравнения Шредингера
Нj = Еj. (66.3)
Уравнение (66.3) отличаетсяот уравнения (66.2).одним членом Wj, который мы считаем малым.
Для приближенного решениязадачи методом теории возмущений пишут прежде всего уравнения (66.3) в такомпредставлении, в котором за основную переменную берут собственные значения Е° оператора Н , т.е. уравнение (66.2) берут в «Е°"-представлении. Еслипервоначально оператор Н (66.1) и вместе с тем уравнение (66.3) даны,как это чаще всего и будет, в координатном представлении, но нужно от этогопредставления перейти к «Е°"-представлению.Напомним этот переход. Будем всюду явно писать только одну координату х (в случаенадобности под хможно разуметь любое число переменных так же, как и под значком nуволновой функции j можно разуметь ряд квантовых чисел). Пусть вкоординатном представлении ("х-представление) собственные функции оператора Н° будут j° (х). Разложим искомую функцию j(х) по функциям j° (х):
j(х) = Sс j° (х). (66.4)
Тогда совокупность всехс есть не что иное, как функция j в «Е°"-представлении.
Подставляя (66.4) вуравнение (66.3), умножая его на j°*(х) и интегрируя по х, получим
SН с = Ес , (66.5)
где Н есть матричный элементоператора Н в «Е°"-представлении:
Н = Ij°* Hj° dx. (66.6)
Матрица, образованная из элементов Н , есть оператор Н в «Е°"-представлении. Имеяв виду (66.1) и (66.2), получаем
H = Ij°* (H°+ W) j°dx=
= Ij°* H°j°dx+ Ij°* Wj°dx= E°d + W (66.6')
где W есть матричный элемент энергии возмущения в«Е°"-представлении:
(66.7)
Матрица, образованная из элементов W , есть оператор Wв этом же представлении. Подставляя (66.6') в (66.5), получим
(66.8)
Перенося все члены налево, находим
(66.9)
где nиmпробегают все значения, которыми нумеруются функции невозмущеннойсистемы j.
Пока мы никак не использовали предположение о малости W, и уравнение (66.9) справедливо точно.Задача теории возмущения заключается в том, чтобы использовать предположение омалости величин W . Чтобы явно выразить степень малости W, положим
(66.10)
где l¾малый параметр. При l=0оператор Н переходит в Н .Тогда уравнение (66.9) запишеится в виде
(66.11)
Это уравнение мы будет решать по степеням l, считая lмалой величиной. При l=0из (66.11) получается просто уравнение (66.2) в «Е°"-представлении:
(66.12)
имеющее решение
(66.13)
При малых значениях lестественноожидать, что решения уравнений (66.11) будут близки к решениям уравнений(66.12), т.е. к (66.13). Это предположение мы может выразить явно, еслипредставим собственные функции с уравнения (66.11) и его собственные значенияЕ в виде рядов по степеням малогопараметра l:
(66.14)
и
(66.15)
При l=0 (66.14) и (66.15)переходит в (66.13), причем Е должно равняться Е . Оказывается, чторешение уравнений (66.11) существенно зависит от того, вырождены ли состояниясистемы Н или нет. Если они вырождены, то каждомусобственному значению Е принадлежит несколько собственных функций j , если не вырождены, ¾то только одна функция. Этидва случая мы рассмотрим порознь. Возмущение в отсутствие вырождения
Пусть каждому собственномузначению Е невозмущенного уравнения (66.2) принадлежитлишь одна собственная функция j , соответственно ¾одна амплитуда с . Подставим в уравнение (66.11) ряда (66.14) и (66.15) и соберем члены содинаковыми степенями параметра l
(67.1)
Это представление уравнения (66.11) позволяет легко решить его методомпоследовательных приближений. Мы получим нулевое приближения, если положим l=0; тогда получаем
m= 1,2,3,…, k, … (67.2)
Это ¾уравнение для невозмущеннойсистемы Н . Пусть нас интересует, как меняетсяуровень Е и собственная функция j поддействием возмущения W.Тогда из решений (67.2) мы берем k-е:
(67.3)
т.е. все с =0,кроме с =1.
Решение (67.3) мы будемназывать решением в нулевом приближении.Это решение мы подставляем в уравнение (67.1) с тем, чтобы найти следующее,первое приближение. Подстановка дает
(67.4)
где через 0(l ) обозначены члены порядка l ивыше. Ограничиваясь первым приближением, мы должны считать эти члены малыми иотбросить их. Тогда получаем
(67.4')
Если мы возьмем из этих уравнений уравнение номера m= k, то получим
(67.4'')
Отсюда находим поправку к Е первого приближения:
(67.5)
Из уравнений c m= kнаходим поправки камплитудам c , именно, если m = k, то (67.4') дает
(67.4''')
Отсюда
(67.6)
Найдем теперь второе приближение; для этого следует учесть члены с l .Подставим первое приближение (67.5) и (67.6) в (67.1), тогда
(67.7)
где через 0(l ) обозначены члены порядка l и выше.Пренебрегая этими членами, получим уравнения для определения Е и c (второе приближение). При этом уравнениеномера m= kполучается в виде
(67.7')
Отсюда находим поправку к энергии во втором приближении:
(67.8)
Из уравнений с m= k найдем c :
(67.9)
Эту процедуру можнопродолжать и дальше, переходя ко все более и более высоким приближениям. Мыограничимся вторым приближением и выпишем результат. Согласно (66.14), (66.15)и (67.3), (67.5), (67.6), (67.8) и (67.9) имеем
(67.10)
(67.11)
Из этих формул видно, чтопредположение о малости оператора Wвсравнении с Н означает малость отношения
(67.12)
при выполнении этого условия поправочные члены в (67.10) и (67.11) малы, исобственные значения Е оператора Hи его собственные функции с (k)близки к собственным значениям и собственным функциям оператора Н . Условия (67.12) ¾это условие применимоститеории возмущений. На основании (66.10) это условие может быть записано также ввиде
(67.13)
где W суть матричные элементы операторавозмущения.
Пользуясь (66.4) и (67.6), атакже (67.5), мы можем написать наше решение в "х"-представлении:
(67.14)
(67.15)
Из последней формулы видно, что поправкак уровням в первом приближении равна среднему значению энергии возмущения вневозмущенном состоянии (j ).
Из условия пригодностиметода теории возмущения (67.13) непосредственно видно, что успех приближенногорасчета зависит от того, какой именно квантовый уровень мы рассчитываем. Так,например, в кулоновском поле разности энергий соседних уровней выражаютсяформулой
При малых n эта величина может быть гораздобольше W . Для больших же n она стремится к нулю, как 1/n , и условие (67.13) можетоказаться несоблюденным. Поэтому метод теориивозмущений может быть пригодным для расчета поправок нижних квантовых уровней инепригодным для расчета поправок для высоких квантовых уровней. Этообстоятельство нельзя не иметь в виду при приложении теории возмущений к конкретным проблемам.
Второе, что следуетотметить, ¾это некоторые особыеслучаи, когда условие (67.13) соблюдено и тем не менее квантовые состояниясистем Hи H радикально отличаются. Дело в том, чтоэнергия возмущения W может оказаться такого вида, что существенноизменит асимптотическое поведение потенциальной энергии U(x).Допустим, что к гармоническому осциллятору приложено возмущение W= lx . Уравнение Шредингера в этом случае имеетвид
(67.16)
При l=0 мы имеем уравнение для гармоническогоосциллятора, имеющего дискретный спектр энергии E = (n+ ). Матричные элементы возмущения
W = l(x )
при малом lмогут быть как угодно малыв сравнении с E ¾E = (m¾n). Тем не менее при всяком lуравнение (67.16) имеет непрерывный спектр,и только при l=0 оно имеет дискретныйспектр собственных значений. Действительно, потенциальная энергия U(x) = + lx имеетвид, приведенный на рис. 50. При всяком значении Е для больших отрицательных x, U(x)
Спрашивается, какой смыслимеют в этом случае приближенные функции j(x) иуровни Е , которые мы может вычислить из j и Е методом теории возмущения, пользуясьмалостью параметра l? Оказывается, что при малыхlнайденныеметодом теории возмущения функции
j (х) отличаютсятем, что они велики вблизи потенциальной ямы U(x)ималы вне ее. На рис. 51 повторена кривая потенциальной энергии U(x) (см. рис. 1) и, кроме того, нанесен квадратмодуля волновой функции j(x) . Рис. 51, а соответствует случаю, когда E= E E . Если же энергия Eне равна E , то волновая функция j (x) нарастает вдали от потенциальной ямы U(x)(см.рис.51, б). В первом случае мы можемсказать, что частицы находятся около положения равновесия x= 0,так сказать, «в атоме», а во втором случае они находятсяпреимущественно вне его, бесконечно далеко. Стационарность состояний можетполучиться лишь в том случае, если существуют волны, как уходящие вбесконечность, так и приходящие из нее, так что поток частиц через поверхность,окружающую атом, равен нулю. Такой случай представляется малоинтересным. Чащеприходится иметь дело со случаем, когда имеются лишь уходящие волны. Тогдастационарных состояние не существует вовсе. Если требовать, чтобы имелись лишьуходящие волны, то находимые методом теории возмущения функции j (x) описывают поведение частиц лишь в течение неочень большого времени t.Однако на самом деле это время может быть очень велико, и оно тем больше, чемменьше значение параметра l. Такого рода состояния j(x)исоответствующие им уровни Е мы будет называть квазистационарными.
Возмущение при наличии вырождения
В большинстве важных вприложениях задач приходится встречаться со случаем вырождения, когда вневозмущенной системе (H )собственному значению E= E принадлежит не одно состояние j , а несколько j , j …, j …., j . Если теперь действует некоторое возмущение W, то без специальногоисследования нельзя сказать, какая из функций j будет являться нулевым приближением ксобственным функциям оператора H= Y + W. В самом деле, вместо рядафункций j …, j …., j , принадлежащих собственному значению E , могут быть взяты функции j , j …, j …., j , получающиеся из первых линейнымортогональным преобразованием:
(68.1)
(68.2)
Функции j , будучи линейными комбинациями функций j , будут также решением уравнения Шредингера
(68.3)
принадлежащим собственному значению E , и при добавочном условии (68.2) будутортогональными, если функции j ортогональны.Функции j суть поэтому также возможные функциинулевого приближения, но неизвестно, какие коэффициенты a следует взять, чтобы получить правильноенулевое приближение.
Для решения этого вопросаобратимся к уравнению (66.9). Нам,однако, следует теперь его несколько модифицировать, уточнив обозначения. Приналичии вырождения собственные функции оператора имеют по крайней мере дваиндекса (n, a). Поэтому в этом случае(66.4) следует написать подробнее, заменяя индекс nна два: n, a. Тогда мы получим
(68.4)
Соответственно этому уравнение (66.9) получится (заменяя nна n, a, mна m, b) в виде
(68.5)
где
(68.6)
есть матричный элемент энергии возмущения и получается из (66.7) увеличениемчисла квантовых чисел, нумерующих состояния. E есть энергия m-гоквантового уровня для невозмущенной задачи. Эта энергия от квантового числа aне зависит (вырождение).
Допустим, что мы теперьжелаем найти квантовый уровень возмущенной системы E, близкий к E, исоответствующие собственный функции j (x). Ограничимся решением этойзадачи в первом приближении для уровней и в нулевом приближении для функций.
В отсутствии вырождения мыполагали для функций нулевого приближения, что они просто совпадают сневозмущенными. Соответственно этому в нулевом приближении c = 1, а остальные равны 0. Этого нельзясделать при наличии вырождения, ибо, отбрасывая в нулевом приближениивозмущение W, мы получим из (68.5)
это дает c = 0 для E= E , но при это не одно c , а все принадлежащие собственному значению E , именно, c для b= 1, 2, …, . Таким образом, в нулевом приближении неодна амплитуда, а целая группа отлична от нуля. Поэтому правильным нулевымприближением для функций k-го уровня будет
(68.7)
В этом приближении мы возьмем из уравнений (68.5) те, которые содержат неравные нулю c . Это будут уравнения