2.ОСНОВНI ЗАКОНИ ДИНАМIКИ.
1.ПЕРШИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА. ІНЕРЦІАЛЬНІ СИСТЕМИ ВІДЛІКУ.
Динамікавивчає рух тiл в зв`язку з силами, що на них діють. Сила, яка діє на тіло, є міроювзаємодії його з оточуючими тілами чи полями.
Основназадача динаміки полягає у визначенні положення тіла вдовільний момент часу за відомим початковим положенням тіла, його початковійшвидкості та силам, що діють на нього.
Воснові динаміки лежать три закони, сформульовані I. Ньютоном у 1687 р.
Першимзаконом Ньютона називають законінерції, який відкрив ще Г. Галілей. Згідно цього закону тіло, на яке не діютьiншi тiла, або перебуває в спокої, або рухається прямолінійно і рiвномiрно.Таке тіло називається вільним, а його рух — вільним рухом або рухом за iнерцiєю.
Вільнетіло є фізичною абстракцією. На практиці розглядають тiла, поставлені в такіумови, коли зовнiшнi дії на них по можливості усунені або практично компенсуютьодна одну.
Першийзакон Ньютона виконується не у всякій системі відліку (СВ). СВ, в якійвиконується перший закон Ньютона, називається iнерцiальною системою вiдлiку (IСВ),а сам закон називають законом iнерцiї. В класичній механiцi постулюється, що існуєСВ, в якій всі вiльнi тiла рухаються прямолiнiйно i рiвномiрно або знаходятьсяв стані спокою. Iнерцiальною СВ є геліоцентрична СВ (система Коперника). Їїцентр суміщений з Сонцем, а вiсi направленi на три вiддаленi зiрки. Нижче будепоказано, що будь-яка СВ, яка рухається відносно IСВ рiвномiрно i прямолiнiйно, теж є iнерцiальною. СВ, пов`язана з Землею, не є IСВ, проте відхилення вiдiнерцiальностi для багатьох задач мале i може не братись до уваги.
Отже,перший закон Ньютона стверджує, що існує СВ, в якій вільне тіло або знаходитьсяв спокої, або рухається рiвномiрно i прямолiнiйно.
ЗакониНьютона, про які мова йтиме нижче, справедливі лише в iнерцiальних системахвiдлiку.
2. МАСА ТА ІМПУЛЬС.
Властивістьтiл чинити опiр спробам привести їх у рух або змінити значення чи напрям їхшвидкостi називається iнертнiстю.
Мiраiнертностi тiла називається його масою.
Длякiлькiсного визначення маси введемо поняття ізольованої або замкненої системи.Це така система тiл, на яку зовнiшнi тiла (що не входять в систему) не чинять ніякоїдiї. Розглянемо ізольовану систему, що складається з двох м.т. Швидкості точокмалi порівняно з швидкістю світла (v i /> виражаєтьсяспiввiдношенням
m1D/>1= — m2 D />2, (2.1)
деm1 i m2 — сталi величини одного знаку, що залежать лишевiд самих м.т. системи. Вони називаються масами м.т.
Якщоввести еталон маси mет, то кiлькiсно масу можна визначити так:
/> (2.2)
Масаеталона називається кілограм ( кг ).
Розділивши(2.1) на />ti переходячи до границі при />t/>0, одержимо:
/> (2.3)
тобтоспiввiдношення мiж масами можна знаходити, порівнюючи прискорення тiл.
В(2.1) фігурує добуток маси м.т. на її швидкість />. Ця величина називається імпульсомтiла /> :
/> (2.4)
3.ДРУГИЙ І ТРЕТІЙ ЗАКОНИ НЬЮТОНА.
Удругому закону Ньютона говориться, що швидкість зміни імпульсу тiла дорівнює силі,яка на нього діє:
/> (2.5)
Рівняння(2.5) називають рівнянням руху тіла.
Замінимов (2.5) /> на/> Одержимо:
/>.
/>Вважатимемо m =const (при v
/>, /> або />. (2.6)
Прискорення,яке набуває тіло під дією сили, прямо пропорційне цій силі i оберненопропорційне масі тіла.
Перепишемо(2.5) наступним чином:
/> (2.7)
Проiнтегруємо(2.7) вiд моменту часу t1 до моменту часу t2 :
/>/>, або/>. (2.8)
Добутоксили на час її дiї /> (або/>) називається імпульсом сили.Рiвностi (2.7) та (2.8) — це теж другий закон Ньютона ще в одному виді:
Змінаімпульсу тiла дорівнює імпульсу сили, що діє на тіло.
Уточнимопоняття сили. Силою називають всіляку дію на дане тіло, яка надає йомуприскорення або викликає його деформацію. Якщо на тіло діє не одна сила, а декілька( />, />, ...), то в(2.5) замість /> треба підставити рiвнодiйну,тобто векторну суму всіх прикладених до тiла сил (рис.2.1):
/>
/> (2.9)
Рiвнiсть(2.9) є проявом принципу суперпозиції, в основі якого лежить принцип незалежностідії сил:
Кожнасила надає тiлу одне й те ж прискорення, незалежно вiд того, діють iншi сили натіло, чи нi.
Одиницеювимірювання сили в СI є ньютон ( Н ); 1 Н — це сила, що тiлу масою 1кг надаєприскорення 1 м/с2 : 1 Н = 1 (кг м)/с2 .
ВСГС — системі одиницею сили є дина: 1 дин = 1 (г·см)/с2.
1Н = 105 дин.
Позасистемноюодиницею сили є кiлограм — сила :
1кгс або 1кГ ; кГ = 9.8 Н.
/>Будь-яка дія тiл одного на друге носить характервзаємодії: якщо тіло 1 діє на тіло 2 з силою /> , то i тіло 2 в свою чергу діє натіло 1 з силою /> (рис. 2.2).
Третійзакон Ньютона стверджує, що сили, з якими тiла діють одне на одне, рiвнi зазначенням i протилежні за напрямом:/> (2.10)
4.ЗАКОН ЗБЕРЕЖЕННЯ ІМПУЛЬСУ
Перетворимо(2.1) наступним чином:
/>
/> або /> (2.11)
Назвемоімпульсом системи м.т. векторну суму iмпульсiв окремих м.т. системи: /> Одержимо:
/> (2.11')
Нагадаємо,що (2.1) було записано для ізольованої системи двох матеріальних точок.
Отже,повний імпульс ізольованої системи двох м.т. залишається сталим.
Цетвердження (i рівняння (2.11) чи (2.11')) називають законом збереження імпульсудля ізольованої системи двох м.т.
Розглянемотепер систему, що складається з N м.т. Для кожної м.т. запишемо рівняння руху(2.5):
/>
/>
/>
де/>-внутрiшнi сили, -/>зовнiшнi сили. Додамо ці рівняння,враховуючи, що внутрiшнi сили згідно третього закону Ньютона зустрічаютьсяпопарно i їх векторна сума дорівнює нулю:
/>;
/>
Вдужках стоїть імпульс системи м.т., тому:
/> (2.12)
(2.12)- це другий закон Ньютона для системи м.т.
Длязамкнутої системи /> тому /> і />
Імпульсізольованої системи м.т. зберігається, тобто залишається сталим в часі.
Імпульсзберігається i для незамкнутої системи, якщо />.
Якщосума зовнiшнiх сил не дорівнює нулю, але проекція цієї суми на деякий напрямок рівнанулю, то зберігається складова імпульсу в цьому напрямку (тобто проекція імпульсуна цей напрямок):
/> /> і />
Імпульссистеми м.т. може бутипредставлений у вигляді добутку сумарної маси системи м.т. на швидкість рухуцентра мас системи:
/> (2.13)
Центроммас системи називають таку точку C, положення якоїзадається радiус-вектором /> :
/> (2.14)
Длятвердого тіла:/>.
Продиференцiюємо(2.14) за часом i одержимо (2.13):
/> /> />
Підставимо(2.13) в (2.12) :
/>, або /> (2.15)
Центрмас системи м.т. рухається як матеріальна точка, маса якої дорівнює сумарній масівсієї системи, i на яку діє сила, що дорівнює геометричній сумі всіх зовнiшнiхсил, що діють на систему.
Цетвердження називають теоремою про рух центра мас.
Дляізольованої системи : /> />
Центрмас ізольованої системи або нерухомий, або рухається рiвномiрно i прямолiнiйно.
Якщопочаток вiдлiку помістити в центр мас (система вiдлiку залишиться iнерцiальною,оскільки /> ),то />, /> і />
Центрмас є точка простору, відносно якої повний імпульс ізольованої системи дорівнюєнулю.
5. РЕАКТИВНИЙ РУХ.
Розглянеморух тiла зі змінною масою. Мається на увазі не релятивістська залежність маситiла вiд швидкості, оскільки мова йтиме про відносно повільний рух тiл, а змінамаси тiла за рахунок втрати чи поповнення ним речовини.
Одинз прикладів такого руху — рух ракети. Ракета з великою швидкістю викидаєречовину (гази), діючи на неї з великою силою. Речовина, що викидається, зтакою ж, але протилежно направленою силою в свою чергу діє на ракету i надає їйприскорення в протилежному напрямі. Якщо зовнiшнiх сил немає, то імпульссистеми «ракета — викинута речовина» не змінюється з часом.
Розглянемозагальний випадок, коли на ракету діють зовнiшнi сили. Нехай m(t) — маса ракетив довільний момент часу t, а /> - її швидкість. Імпульс ракети вцей момент часу дорівнює />. Через час dt маса i швидкістьодержать прирости />/> i />. Імпульс ракети тепер дорівнює />. Імпульс газів,що утворилися за цей же час dt, дорівнює dmгаз/>газ, де dmгаз — маса газів, />газ — їх швидкість. Прирістімпульсу ракети дорівнює імпульсу рiвнодiйної зовнiшнiх сил (див. (2.12)):
(m+ dm)(/>+ d/>) + dmгаз/>газ — m/>= />dt.
Розкриємодужки:
m/>+ md/>+ />dm + dm·d/>+ dmгаз/>газ — m/>= />dt
Оскількиdt — мала величина ( dt /> 0 ), то dm·d/> — нескінченно малавеличина вищого порядку i її можна відкинути; dmгаз = — dm згіднозакону збереження маси. Після перетворень одержимо:
/>md/> — dm(/>газ -/>) =/>dt
Різниця/>газ-/>= />відн — це швидкість витікання газів відносно ракети; її називають швидкістю газовоїструмини (див.рис.2.3).
(Якщоракету взяти за нерухому СВ то слід вважати що оточуюче середовище рухається зішвидкістю /> />відн/>газ/>срр; />відн/>газ/>).
Отже:
/>=/>dt+/> (2.16)
Розділимо(2.16) на dt:
/> (2.17)
Заформою (2.17) співпадає з рівнянням другого закону Ньютона. Однак маса тут не постійна,а змінюється з часом. До зовнішньої сили /> додається член />, який носить назву реактивноїсили:
/> (2.18)
Якщомаса вiддiляється, то /> протилежнийвектору />відн; якщо маса приєднується, то /> > 0 i вектор /> співпадає занапрямком з />відн.
Рівняння(2.17) i еквівалентне йому рівняння (2.16) називають рівнянням руху точки iз змінноюмасою або рівнянням Мещерського (Мещерський I.В. (1859 — 1935)).
Якщо/> = 0, то з(2.16) одержимо:
/>/>
Нехайракета рухається в напрямку, протилежному />. Спроектуємо останню рiвнiсть на вісьOY (див. рис. 2.4):
mdv= — vвідн dm;
/> (2.19)
Будемовважати, що vвідн стала; тодi розв`язування рівняння (2.19)спрощується:
/>
/> (2.20)
ЗначенняC визначимо з початкових умов (якщо
v0= 0, то початкова маса дорівнює m0), якi пiдставимо в(2.20):
/>, звiдки />.
Такимчином: /> />
або />. Остаточно:
/> (2.21)
(2.21)називають формулою Ціолковського (К.Е. Цiолковський (1857-1935)).
(Застосування(2.21) до польотів космічних ракет дає наступні значення відношень/>. При vвідн=1км/c для v1=8 км/c матимемо /> що нереально (потрібні кращісорти палива). При vвідн=4 км/c /> (політ в одну сторону)).
6.ПРИНЦИП ВІДНОСНОСТІ ГАЛІЛЕЯ.
/>Розглянемо дві iнерцiальнi системивiдлiку — /> i/> (див.рис. 2.5). Нехай S — нерухома СВ, а S' — рухається відносно S зі сталою швидкістю/>. Дляпростоти вважатимемо, що /> направлена вздовж вiсi OX i вмомент часу t0= 0 осi координат систем /> i /> співпадали. Нехай в момент часу tрухома точка знаходиться в положенні M.
Тоді:/>.
Припустивши,що час в обох СВ однаковий (абсолютнiсть часу), тобто t=t´,одержимо:
/>, (2.22)
абов координатній формі:
/> (2.23)
(2.22)та (2.23) називають перетвореннями Галілея. Крім припущення про абсолютністьчасу тут використано також припущення про абсолютність довжин: в рiвняннi /> /> і /> вимірюються в різних СВS i S´. Ці припущення справедливілише при u
Візьмемопохідну вiд (2.22) по часу:
/> (2.24)
(2.24)- це класичний закон додавання швидкостей :
/>
Підчас розв`язування задач доводиться розглядати рух тiл відносно різних СВ. Прицьому ми будемо користуватися принципом незалежності рухiв, згiдно якому рухиданого тiла відносно різних СВ не залежать один вiд одного. Як приклад можнанавести рух тiл, одне з яких кинуто горизонтально, а друге вільно падає безпочаткової швидкості (див. рис. 2.6).
Візьмемопохідну вiд (2.24) по часу (врахуємо, що />):
/>
тобто: /> (2.25)
Отже,прискорення якого-небудь тiла в усіх СВ, які рухаються одна відносно іншоїпрямолiнiйно i рiвномiрно, одне й те ж. Тому якщо одна із систем iнерцiальна,то й iншi також будуть IСВ. Про рiвнiсть (2.25) говорять, що прискорення iнварiантневідносно перетворень Галілея. Можна показати, що сила є функцією тількиiнварiантних величин — рiзницi координат i рiзницi швидкостей точок, що взаємодіютьодна з одною. З цієї причини сила також iнварiантна відносно перетворень Галілея.
Томурівняння другого закону Ньютона в ІСВ S´має такий же вид, як i в S:
/>
Рівняннямеханіки Ньютона iнварiантнi відносно перетворень Галілея.
Цетвердження називається принципом вiдносностi Галілея.
Іншимисловами він звучить так:
всімеханiчнi явища в різних IСВ відбуваються однаково, внаслiдок чого ніякими механічнимидослідами неможливо встановити, чи нерухома дана СВ, чи вона рухаєтьсярiвномiрно i прямолiнiйно.