Экзаменационныевопросы по курсу «Гидрогазодинамика»
1. Силы, действующие в жидкости
2. Методы изучения движения жидкости
3. Траектория, линия тока, трубка тока, струя
4. Градиент, дивергенция, циркуляция, вихрь
5. Основная теорема кинематики (первая теорема Гельмгольца)
6. Тензор скоростей деформации
7. Уравнение сплошности
8. Нормальное и касательное напряжение, действующие в движущейсяжидкости
9. Уравнение движения сплошной среды в напряжениях
10. Напряжения, действующие в идеальной жидкости
11. Уравнение движения идеальной жидкости (Эйлера)
12. Уравнение движения идеальной жидкости (Эйлера) в формеГромека
13. Теорема Бернулли
14. Основные понятия и определения потенциальных течений
15. Комплексный потенциал, комплексная скорость
16. Частные случаи плоских потенциальных течений
17. Безциркуляционное обтекание круглого цилиндра
18. Обобщенный закон Ньютона
19. Уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости(Навье-Стокса)
20. Подобие гидродинамических явлений
21. Критериальные уравнения. Критерии и числа подобия
22. Моделирование ГГД явлений
23. Ламинарное и турбулентное движение
24. Пограничный слой и его характерные толщины
25. Переход ламинарного ПС в турбулентный
1. Силы, действующие вжидкости
В жидкостях могутсуществовать только распределенные силы: массовые (объемные) и поверхностные.
1) Массовые силы действуют на каждуюточку выделенного объема τ и пропорциональны массе частиц. Например, силатяжести, центробежное ускорение, сила электростатического напряжения, силаКориолиса и т.д.
Массовые силыхарактеризуются вектором плотности массовых сил:
/> ,
который представляетсобой предел отношения главного вектора массовых сил к массе частицы пристремлении массы к нулю.
В проекциях накоординатные оси он может быть записан:
/>
X, Y, Z– проекции /> на координатные оси.
/>
2) Поверхностные силыхарактеризуются напряжениями:
/>
— это предел отношенияглавного вектора поверхностной силы, приложенного к /> и величине этой площадки пристремлении ее к нулю. Величина напряжения зависит от выбора направленияплощадки.
/>
/> — нормальное напряжение
/> - касательное напряжение
/>
2. Методы изучениядвижения жидкости
Существует два методаизучения движения жидкости: метод Эйлера и метод Лагранжа.
1. Метод Лагранжа: выделяется частицав движущейся жидкости и исследуется ее траектория в зависимости от координат ивремени.
/>/>/>(1) />(2)
a, b, c– это постоянные, которые определяют положение точки вначальный момент времени.
/>
2. Метод Эйлера: задаетсяметод распределения скорости в потоке в зависимости от координат и времени:
/>/>(3)
x, y, z–переменные Эйлера.
Чтобы определить скоростив какой-либо точке надо задать ее координаты. Поле ускорений потока можнополучить если продифференцировать систему (3):
/>/>
Получили систему,описывающую поле ускорений.
Локальные ускорения,показывающие как изменяется скорость в какой-либо точке потока с течением времени(/>).
Конвективные ускорения(все остальное в правой части), связанные с перемещением точки или среды (т.е.с конвекцией). Течение может быть стационарным или нестационарным (изменяетсяво времени). Для стационарных задач локальные ускорения равны нулю. Самыепростые течения стационарные, плоские и одномерные. Для стационарной и плоскойзадачи исследуется течение только по двум координатам. Еслирассматриваетсяодномерная стационарная задача, тогда: />
3. Траектория, линиятока, трубка тока, струя
Траектория – это линия,изображающая путь пройденный частицей за определенный промежуток времени.
Линия тока – этомгновенная векторная линия, в каждой точке которой в данный момент временикасательная по направлению совпадает с вектором скорости.
/>
В стационарных задачах линии тока итраектории совпадают, т.к. нормальная составляющая скорости к линии тока равнанулю, жидкость через линию тока не перетекает. В плоских течениях количествожидкости между двумя линиями тока в любых сечениях будет одинаково. Если линиитока приближаются, то скорость потока увеличивается, и наоборот. Через каждуюточку в потоке можно провести только одну линию тока, исключение составляютособые точки: критические точки. А и В – это критические точки. Поверхностьнепроницаемого тела – поверхность тока, а линии тока, расположенные наповерхности называется нулевыми линиями тока.
Если в жидкости провестизамкнутый контур и через каждую точку провести линию тока, получим поверхностьтока. Жидкость внутри поверхности называется трубкой тока. Через поверхностьтока жидкость не перетекает, следовательно через каждое сечение трубки токапроходит одно и то же количество жидкости. Если через каждую точку контурапровести траекторию, то часть жидкости, которая ограничена поверхностьютраектории называется струей. Струя совпадает с трубкой тока в стационарномтечении.
4. Градиент,дивергенция, циркуляция, вихрь
1. Градиент.
Рассмотрим действиевекторного оператора Гамильтона на скалярную функцию φ. Скалярная величина– это параметр, которому нельзя придать направление.
/>
Градиент скалярнойфункции – это вектор направленный по нормали к линии постоянного значения всторону возрастания функции и модуль его равен частной производной от функциипо направлению указанной нормали.
2. Дивергенция.
Рассмотрим скалярноеумножение векторного оператора и двух величин скорости:
/>
Дивергенция является скалярнойвеличиной, показывает расхождение вектора скорости, определяет законотносительного изменения объема. Например, если течение стационарное и жидкостьнесжимаемая, то при /> в жидкости отсутствуют источникиили стоки. При /> имеется источник, при /> имеется сток.Уравнение /> частоиспользуется для замыкания системы уравнений движения несжимаемой жидкости иявляется уравнением сплошности.
3. Циркуляция.
Характеризует интенсивностьвращательного движения жидкости.
Вычисляется, например, по контуру АВ:
/>
/>
/>
/> — элемент контура АВ
4. Вихрь вектораскорости.
Рассмотрим векторноепроизведение оператора на вектор скорости:
/>/>
/>
Рассмотрим вращение точкивокруг оси, проходящей через начало координат с угловой скоростью />.
/>
/>
/>
/>
/>
Если в жидкости />, это указываетна наличие вращающихся объемов, вихрей жидкости. Интерес представляют течениядля которых />,такие течения называются безвихревыми или потенциальными,. Т.к. в этом случаетсуществует потенциал вектора скорости φ, который связан с составляющимивектора скорости следующими соотношениями:
/>; />; />; />
5. Основная теоремакинематики (первая теорема Гельмгольца)
Из теоретической механикиизвестно, что скорость движения любой точки твердого тела складывается изпоступательного вместе с некоторым полюсом и вращательного движения вокруг оси,проходящей через этот полюс: />. Для жидкой частицы основнаятеорема кинематики гласит, что скорость движения любой точки жидкой частицыскладывается из скорости квазитвердого движения и деформационного. Квазитвердоесостоит из поступательного вращательного: />. Для доказательства рассмотримдвижение точки М с координатами x, y, z, которая находится в окрестности точки М0(x, y, z) и составляющая для точки М0скорости(u, υ, w), тогда раскладывая функцию скорости в ряд Тейлора и сохраняякомпоненты первого порядка малости, составляющие скорости для точки М можнозаписать:
/> />
Преобразуем первое уравнение. Дляэтого разноименные части представим следующим образом:
/>; />
/>
/>/>/>/> /> /> /> />
/>
— первая теоремаГельмгольца квазитвердое движение деформационное движение
6. Тензор скоростейдеформации
Компоненты />, входящие в скоростьдеформации, могут быть представлены в виде матрицы, которая называется тензоромскоростей деформации:
/>/>
/> - диагональные компоненты.
Тензор симметриченотносительно главной диагонали />
Рассмотрим диагональныекомпоненты. В жидкости выделим отрезок АВ длиной dx (отрезок на оси х). Рассмотрим перемещениеотрезка вдоль оси х. Скорости в точках А и В не равны. Через время dt отрезок займет положение />. Произошлалинейная деформация отрезка АВ на величину:
/>
Если разделим линейнуюдеформацию на длину отрезка:
/>
скорость линейнойдеформации – скорость растяжения или сжатия линейного отрезка расположенного наоси х в направлении оси х. Аналогично:
/>
скорости относительныхлинейных деформаций вдоль соответствующих осей. Сумма диагональных компонентопределяет дивергенцию вектора скорости, т.е.
/>
закон относительногоизменения объема.
Рассмотрим перемещениеотрезка АВ расположенного на оси х и длиной dx в направлении оси dy).
Ввиду малости угла
/>/>
угловая деформациялинейного отрезка в направлении оси у.
/>
скорость угловой деформацииили скорость скашивания в направлении оси у. Если отрезок расположить наоси у, то /> - скорость скашивания внаправлении оси х. /> — средняя скорость угловойдеформации в плоскости ху.
Таким образомнедиагональные компоненты характеризуют скорости скашивания или угловыхдеформаций в соответствующих плоскостях.
7. Уравнениесплошности
Уравнение сплошности –это уравнение закона сохранения массы:
/>
Выделим в жидкостиэлементарный объем /> с плотностью ρ.
Следовательно:
/>
/>/>
/>
Второй член полученного уравнениявыражает закон относительного изменения объема,. Т.е. дивергенцию.
Плотность в общем случаезависит от координат и времени: />
Поэтому:
/>
/>
/>
/>
уравнение сплошности(неразрывности).
Если течениестационарное, то уравнение упрощается: />
Если жидкостьнесжимаемая, т.е. />, то />
8. Нормальное икасательное напряжение, действующие в движущейся жидкости
Закон сохраненияколичества движения для неизолированной системы может быть записан в виде:
/>
где /> - главный векторколичества движения системы
/> - главный вектор внешнихсил, действующих на систему
В жидкости выделимэлементарный тетраэдр с гранями />, />, />, />. Индекс показываетперпендикулярно какой оси расположены грани, /> - наклонная грань. К гранямприложены соответствующие напряжения />, />, />, /> (не перпендикулярные граням).Масса тетраэдра />. На тетраэдр действуют массовые иповерхностные силы. Массовые характеризуются вектором плотности />, поверхностные –напряжениями.
/>
/>
/> - скорость центра инерции тетраэдра
/>
/> - третий порядок малости
/> - второй порядок малости
Членами третьего порядкамалости пренебрегаем.
/> />
/>/> и т.д.
пх
Получим связь напряжений,действующих на грани выделенного тетраэдра:
/>