Рассчётно-графическая работа С-7
«Определение реакции опор твёрдого тела»
Cилы, кН
Размеры, см
Q
G
a
b
c
R
r
5
3
20
15
10
30
40
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>
/>/>
/>
/>
/>/>
Результаты вычислений приведены в таблице:
Силы, кН
RA
RB
xA
zA
xB
zB
3,56
3,36
3,53
0,67
-2,41
2,33
При нахождении />получилось, что значение составляющей по оси />отрицательно. Это значит, что при расставлении действующих на данную систему сил было выбрано неверное направление. В итоге правильное построение будет выглядеть следующим образом:
/>
«Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям её траектории».
Уравнения движения
t1,c
x=x(t)
y=y(t)
/>
/>/>
2
1. Скорость
В общем случае для пространственной системы координат будем иметь:
/>=>/>
Для нашего случая уравнения для составляющих по осям координат будут иметь следующий вид:
/>
После дифференцирования получим:
/>
Найдём полную скорость точки в момент времени />:
/>
2. Ускорение
В общем случае для пространственной системы координат будем иметь:
/>=>/>
Для нашего случая уравнения для составляющих по осям координат будут иметь следующий вид:
/>
После дифференцирования получим:
/>
Найдём полное ускорение точки в момент времени />:
/>
С другой стороны ускорение можно найти по формуле:
/>, где />
тангенциальное ускорение (касательная составляющая полного ускорения), а />нормальная составляющая полного ускорения, которые можно найти по формулам:
/> ,
где />— радиус кривизны траектории в искомой точке. --PAGE_BREAK--
/>-0,0058 при />=2 с.
Тогда />найдётся по формуле:
/> />
Подставив значения, получим:
/>
Найдём уравнение движения точки. Для этого выразим из второго уравнения переменную времени (/>) и подставим полученное выражение в первое уравнение:
/>
Получившееся уравнение (/>) является гиперболой.
Найдём начальное положение точки. Для этого подставим в уравнения значение />.
/>
Чтобы определить в какую сторону происходит движение необходимо подставить в уравнение движения время, отличное от />(например />).
/>
движение происходит по левой ветви гиперболы в направлении, указанном на рисунке.
/>
Расставим на графике движения векторы скорости, ускорения и векторы полной скорости и ускорения:
/>, />
/>,/>
/>,/>
/>,/>
/>,/>
/>,/>
/>,/>
/>,/>
/>,/>
0,1875
3
3,0059
-0,0938
-0,0058
0,094
0,0938
96,12
/>
Дано:
/>
m1= m
m2= 2m
m3= 9m
R3= 0,3 м продолжение
--PAGE_BREAK--
i3ξ= 0,2 м
α= 30
f= 0,12
δ = 0,25 см
s = 1,5 м
Найти:
V1= ?
Решение:
По теореме об изменении кинетической энергии системы:
/>
/>/>/>(т.к. система состоит из абсолютно твердых тел и нерастяжимых нитей)
Кинетическая энергия системы равна:
/>
/>/>/>
/>/>
/>
/>
/>
/>
Сумма работ внешних сил:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>м/с
Интегрирование дифференциальных уравнений
Д-1 вар. 9
/>Лыжник
Vв
/>h
d
/>
Дано
a=15°; ; ƒ=0,1 τ=0,3 ;β=45α
h=42 β
Найти Va, Vв
Решение
mX=SXi 1 Fтр=fN
mX=Gsina-FcoпрN=Gcosa
/>mX=Gsina-fGcosa
X=gsina-fgcosa
X=(g(sina-fcosa) t+ C1
X=(g(sina-fcosa)/2) t2+ C1t+ C2
При нормальных условиях: t=0 x=0
X=Vв X= C2=0; C1=Va
X=g (sina-fcosa) t+ C1X= (g (sina-fcosa)/2) t2+С1*t
X=VвX=L
Vв=g(sinα-ƒ*cosα)τ+Va2
L= ((g(sinα-ƒ*cosα)τ)/2)τ +С1*t
Рассмотрим движение лыжника от точки В до точки С, составим дифференциальное уравнение его движения.
Mx=0 my=0
Начальные условия задачи: при t=0
X0=0 Y0=0
X0=Vв*cosα; Y0=Vв*sinα
Интегрируем уравнения дважды
Х=C3 Y=gt+C4 2
X= C3t+ C5 Y=gt /2+C4t+C6
при t=0
X=C3; Y0=C4
X=C5; Y0=C6
Получим уравнения проекций скоростей тела.
X=Vв*cosα, Y=gt+Vв*sinα продолжение
--PAGE_BREAK--
и уравнения его движения
X=Vв*cosα*t Y=gt /2+Vв*sinα*t
Уравнение траектории тела найдем, исключив параметр t из уравнения движения получим уравнение параболы.
Y=gx /2(2Vв*cosα) + xtgα
Y=h x=d h=tgβ*d d=h/tgβ
Найдём Vв из уравнения 2 2 2
Y=gx /2(2Vв*cosα) + xtgα
Vв=18м/с и найдём Va
Vв=g(sinα-ƒ*cosα)τ+Va
Va=11,3м/с
Ответ: Va=11,3м/с Vв=18м/с
Задание Д.3
Исследование колебательного движения материальной точки
Дано:
/>
Найти: Уравнение движения
Решение:
/>
Применим к решению задачи дифференциальное уравнение движения точки. Совместим начало координатной системы с положением покоя груза, соответствующим статической деформации пружины, при условии что точка В занимает свое среднее положение />. Направим ось /> вниз вдоль наклонной плоскости. Движение груза определяется по следующему дифференциальному уравнению:
/>,
где />-сумма проекций на ось /> сил, действующих на груз.
Таким образом
/>
Здесь />,
где /> — статическая деформация пружины под действием груза; />-перемещение точки прикрепления нижнего конца пружины, происходящее по закону />/>.
Статическую деформацию пружины /> найдем из уравнения, соответствующего состоянию покоя груза:
/>
т.е. />
Откуда />
Дифференциальное уравнение движения груза примет вид:
/>
или после преобразования
/>
Разделив все члены уравнения на />получим:
/>
Введем обозначения:
/>
/>
Получаем, что />
Имеем неоднородное уравнение
/>,
где /> — общее решение, соответствующего однородного уравнения;
/>— частное решение данного неоднородного уравнения.
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
/>
Частное решение неоднородного уравнения:
/>
Общий интеграл
/>
Для определения постоянных интегрирования найдем, кроме ого, уравнение для />:
/>
и используем начальные условия задачи.
Рассматриваемое движение начинается в момент />, когда деформация пружины является статической деформацией под действием груза.
Таким образом, при />
/>
Составим уравнения />и />для />:
/>
Откуда />
Тогда уравнение движения груза примет вид:
/>
Ответ: />
Применение теоремы об изменении количества движения к исследованию движения механической системы.
Дано:
/>/>
Найти: Скорость />.
Решение:
/>
На механическую систему действуют внешние силы: /> — сила сухого трения в опоре А; /> — силы тяжести тел 1, 2 и 3; />-сила нормальной реакции в точке А; />-реактивный момент в опоре В.
Применим теорему об изменении количества движения механической системы в дифференциальной форме. В проекциях на оси координат
/>, (1)
где /> — проекции вектора количества движения системы на оси координат; /> — суммы проекций внешних сил на соответствующие оси.
Количество движения системы тел 1, 2 и 3
/>(2)
где />
/>. (3)
Здесь /> — скорости центров масс тел 1, 2, 3; /> — соответственно переносные и относительные скорости центров масс.
Очевидно, что
/>(4)
Проецируя обе части векторного равенства (2) на координатные оси, получаем с учетом (3) и (4)
/>(5)
где /> — проекция вектора /> на ось />;
/>
Проекция главного вектора внешних сил на координатные оси
/>(6) продолжение
--PAGE_BREAK--
Знак « — » соответствует случаю, когда />, а знак «+» — случаю, когда />.
Подставляя (5) и (6) в (1), получим
/>(7)
Выразим из второго уравнения системы (7) величину нормальной реакции и подставим ее в первое уравнение. В результате получим
/>при />; (8)
/>при />. (9)
где
/>
Рассмотрим промежуток времени />, в течении которого тело 1 движется вправо />. Из (8) следует, что
/>,
где С- постоянная интегрирования, определяемая из начального условия: при />
/>.
При /> скорость тела 1 обращается в ноль, поэтому />.
Найдем значения /> и />:
/>
/>
Т.е. />, />. Значит, тело при /> начинает двигаться в обратном направлении. Это движение описывается дифференциальным уравнением (9) при начальном условии: />; /> (10)
Интегрируя (9) с учетом (10), получим, при />
/>(11)
При /> получим из (11) искомое значение скорости тела 1 в момент, когда
/>/>.
Точное решение задачи. Воспользовавшись методикой, изложенной выше, получим дифференциальное уравнение движения тела 1:
/>при /> (12)
/>; при />, (13)
где />
Из (12) и учитывая, что />получаем, при />
/>
откуда /> или />
Из (13) и учитывая, что /> получаем, при />
/>
При /> находим
/>
Ответ:/>/>.