РЕФЕРАТ
На тему:
«Кинематика материальной точки»
Москва, 2010
Введение
Кинематика - это раздел физики, посвящённый математическому описанию движения без анализа причин, приводящих к его возникновению или изменению. Причиной изменения или возникновения движения является сила, а сила по II-у закону Ньютона связана с массой. Поэтому для того, чтобы исключить из рассмотрения силу достаточно не рассматривать массу. При этом кроме силы из рассмотрения выпадают многие механические понятия: импульс, энергия, момент импульса. А что остаётся, то и рассматривается в кинематике. Таким образом, кинематику можно было бы назвать механикой без массы.
Самый простой объект, способный двигаться - это материальная точка: тело, размеры которого пренебрежимо малы в условиях данной физической задачи. Движением материальной точки называется смена её положения с течением времени. Поэтому первое кинематическое понятие, с которым мы сталкиваемся - это положение.
1. Вектор положения
Положение чего угодно невозможно задать само по себе. Всё находится относительно чего-то. Значит, мы должны сначала установить начало отсчёта (точку О), а это невозможно сделать по-другому, кроме как поставив туда какое-либо материальное тело (тело отсчёта). И от этого «главного» тела уже можно проводить геометрические векторы, соединяющие начало отсчёта с тем или иным положением материальной точки.
Геометрическим вектором называется направленный отрезок, соединяющий положения двух материальных точек.
Геометрический вектор, соединяющий тело отсчёта с материальной точкой, называется вектором положения материальной точки.
При задании положения материальной точки относительно тела отсчёта последнее по определению считается неподвижным. Поэтому все возможные векторы положений начинаются из одной точки и называются радиус-векторами />.
Совокупность всех возможных радиус-векторов образует пространство.
Смена начала отсчёта приводит к изменению всех радиус-векторов. Каким образом? Ответ зависит от системы постулатов, которыми мы собираемся пользоваться. Классическая механика, которую мы в основном и изучаем, использует постулаты Галилея-Ньютона.
Если положение материальной точки М относительно тела отсчёта в точке О обозначить />, относительно другого тела отсчёта в точке О' обозначить />, а геометрический вектор, соединяющий точки О и О', обозначить />, то наблюдатель в точке О будет видеть три геометрических вектора: />, /> и />.
Пусть другому наблюдателю в точке О' нет дела ни до чего, кроме материальной точки М. В дальнейшем системе отсчёта с нелюбопытным наблюдателем будет отводиться «второстепенная» роль. В противовес этому система с наблюдателем, который видит всё, будет считаться «основной». В общем, наблюдатель О' видит только один вектор />. Как соотносится геометрический вектор />, видимый в пространстве О' с геометрическим вектором />, видимым в пространстве О? Ответ на этот вопрос даёт первый постулат Галилея: геометрические векторы в разных системах отсчёта одинаковы. Т.е. />. Тогда предыдущий рисунок можно переделать так:
И правило сложения векторов по треугольнику позволяет записать соотношение между тремя векторами:
/>.
В соответствии с этим соотношением можно находить положения в «основной» системе отсчёта, зная их во «второстепенной». Такое преобразование радиус-векторов будем называть обратным преобразованием Галилея. Соответственно, прямое преобразование позволяет находить положения во «второстепенной» системе отсчёта, зная их в «основной»:
/>
В дальнейшем какая-либо величина в «основном» пространстве будет называться «абсолютной», во «второстепенном» пространстве - «относительной», а та, через которую они связаны, - переносной. Значит
/>-«абсолютный» радиус-вектор;
/>-«относительный» радиус-вектор;
/>- переносный радиус-вектор.
Итак, в соответствие с первым постулатом Галилея смена начала отсчета приводит к изменению пространства, которое описывается преобразованием Галилея. Это означает, что пространство относительно.
2. Траектория движения
Используя понятие радиус-вектора, движение можно описать функциональной зависимостью />, где t - время. Поскольку положение относительно, то и движение относительно. Относительны и все понятия, связанные с ним. Первым из таких понятий мы рассмотрим траекторию.
Траекторией называется совокупность положений, пройденных телом в процессе движения.
Тело не может в один и тот же момент времени находиться в разных положениях. Поэтому траектория представляет собой линию, и при этом линию непрерывную. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и криволинейное движение. Если криволинейная траектория лежит в одной плоскости, то движение называется плоским.
Если траектория представляет собой пространственную кривую, то в каждой точке траектории можно ввести понятие соприкасающейся плоскости.
Соприкасающейся плоскостью в какой-либо точке траектории М называется предельное положение плоскости, проходящей через три точки N, M, P этой траектории, когда точки N и P неограниченно приближаются (стремятся) к точке М.
Через три точки, не лежащие на одной прямой можно прости окружность и при том единственную. Поэтому для любой точки криволинейной траектории можно ввести понятие соприкасающейся окружности.
Соприкасающейся окружностью в какой-либо точке траектории М называется предельная окружность, проходящая через три точки N, M, P этой траектории, когда точки N и P неограниченно приближаются (стремятся) к точке М.
Центром и радиусом кривизны траектории в точке М называется центр и радиус кривизны окружности, соприкасающейся с траекторией в точке М. Очевидно, что в случае пространственной траектории соприкасающаяся окружность лежит в соприкасающейся плоскости. Прямолинейную траекторию можно считать траекторией с бесконечным радиусом кривизны.
Орт - это вектор, не обладающий физической размерностью (безразмерный), модуль которого равен единице. Любой вектор можно представить как произведение модуля на орт. Например, радиус-вектор:
/>
Значит, орт любого вектора равен частному от деления вектора на его орт:
/>.
Нормалью траектории /> в точке М называется орт, направленный из точки М в центр кривизны траектории в точке М.
Ортом касательной /> в точке М называется орт, касательный к соприкасающейся окружности в точке М и направленный по движению.
Ясно, что />.
Перемещением называется вектор изменения положения или вектор разности между последующим положением и предыдущим:--PAGE_BREAK--
/>
В случае, если ни один отрезок траектории не проходился материальной точкой дважды, то путь или путевая координата S(t) - это длина траектории от точки начала движения к данному моменту времени.
Отметим две точки на траектории: M с радиусом-вектором /> и N с радиусом-вектором />.
Тогда для перемещения /> и приращения пути DS всегда справедливо:
/>
(равенство выполняется в случае прямолинейной траектории). При этом
/>
В случае криволинейной траектории элементарным перемещением /> и приращением пути dS называются такие, для которых с заданной наперёд точностью выполняется
/>/>
Очевидно, что
/>,
т.е. />.
Итак, мы имеем связь между элементарными перемещением и приращением пути:
/>
3. Скорость и ускорение движения
Средней скоростью движения называется отношение перемещения к промежутку времени, в течение которого произошло перемещение:
/>.
Средней путевой скоростью называется отношение приращения пути к промежутку времени, в течение которого было пройдено это приращение:
/>.
Т.к. />, то />.
Мгновенной скоростью движения называется предел средней скорости при стремлении промежутка времени к 0:
/>.
Мгновенной путевой скоростью называется предел средней путевой скорости при стремлении промежутка времени к 0:
/>.
Элементарным промежутком времени dt называется промежуток времени, для которого с заданной наперёд точностью и средняя, и средняя путевая скорость совпадают с соответствующими мгновенными скоростями.
Элементарным перемещением />в произвольном случае назовём перемещение, произошедшее за элементарный промежуток времени dt. Элементарным приращением пути dS в произвольном случае назовём приращение, пройденное за элементарный промежуток времени dt.
Пользуясь языком высшей математики, мы можем сказать, что мгновенная скорость движения или просто скорость движения является первой производной радиус-вектора по времени, а путевая скорость является первой производной по времени путевой координаты.
/>; />.
Для того чтобы элементарное перемещение в произвольном случае совпадало с элементарным перемещением для криволинейной траектории нужно, чтобы точности вычисления соотношений
/>; /> и />
совпадали. Об этом всегда можно условиться. Поэтому мы всегда будем считать, что для элементарного промежутка времени />, следовательно, />, т.е.
/>.
Итак,
/>.
Т.е. модуль скорости движения совпадает с путевой скоростью. Конечное приращение пути по определению
/>
/>.
По определению ускорением материальной точки называется первая производная по времени скорости движения, т.е. вторая производная по времени радиус-вектора:
/>.
Итак,
/>
Первое слагаемое связано только со скоростью изменения величины скорости движения. Т.к. эта часть полного ускорения направлена по касательной, то она называется касательным ускорением />.
Второе слагаемое связано только с изменением направления скорости движения. Изобразим два положения материальной точки на траектории, разделённые элементарным приращением пути dS, и соответствующие орты касательной /> и />. Соединим положения с центром кривизны траектории в точке dS.
Малый угол da между радиусами совпадает с углом между ортами касательной как острые углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Из второго рисунка видно, что /> направлен перпендикулярно />, т.е. по орту нормали, а его величина
/>,
следовательно,
/>.
Угол da связан с элементарным приращением пути dS=R×da, где R – радиус кривизны траектории. Отсюда />. Подставим:
/>.
Тогда вторая часть полного ускорения имеет вид: продолжение
--PAGE_BREAK--
/>.
Т.к. эта часть ускорения направлена по нормали, то она называется нормальным ускорением.
Сведём все формулы вместе:
/>
/>
4. Относительность скорости движения
Мы уже пользовались понятием системы отсчёта, хотя делать этого не имели права. Из всех атрибутов системы отсчёта был введён только один: начало отсчёта. Другой атрибут – часы, находящиеся в начале отсчёта. Пусть двое часов находились в одной системе отсчёта, а потом «разошлись» по разным. Находясь в одном месте, они были синхронизованы. Как повлияет на их показания относительная скорость? Ответ на это опять зависит от выбора системы постулатов. В механике Ньютона-Галилея «работает» второй постулат Галилея: об абсолютности промежутков времени. Согласно этому постулату, если часы были синхронизованы, то их относительная скорость не влияет на их показания. Вспомним обратное преобразование Галилея для радиус-векторов: />. Возьмём элементарные изменения (дифференциалы) от обеих частей этого равенства.
/>.
Поделим это равенство на элементарный промежуток времени по часам «основного» наблюдателя, в течение которого произошли элементарные перемещения, равенство останется верным:
/>.
В соответствие со вторым постулатом Галилея dt=dt', где dt' – промежуток времени по часам «второстепенного» наблюдателя, в течение которого материальная точка переместилась относительно него на />. Значит, можно записать:
/>.
Это обратное преобразование скорости по Галилею:
/>.
Прямое преобразование скорости:
/>
5. Система координат
Для количественного описания движения в пространстве необходимо введение координат точки, т.е. совокупности чисел, однозначно определяющей положение материальной точки относительно начала отсчёта. Это возможно только в случае введения третьего атрибута системы отсчёта: системы координат. Теперь можно дать определение системы отсчёта: системой отсчёта называется система координат, в начале которой находится тело отсчёта, снабжённое часами.
В одномерном пространстве для задания «адреса» материальной точки достаточно одного числа, в двумерном пространстве – двух чисел, в трёхмерном – трёх чисел. Способов введения адресации – не один. Например, на плоскости можно задать полярную систему координат (угол, длина радиус-вектора), в пространстве сферическую (длина радиус-вектора, азимутальный угол и угол горизонта). Мы остановимся на подробном рассмотрении системы координат, связанной с разложением радиус-вектора.
Известно, что любой вектор может быть представлен как сумма трёх векторов, направленных по трём наперёд заданным направлениям, не лежащим в одной плоскости.
/>.
Здесь /> – совокупность ортов, задающих направления. Она называется базисом системы отсчёта. /> – совокупность координат радиус-вектора в этом базисе. Т.к. вектор по трём избранным направлениям раскладывается однозначно, то однозначно и определение координат точки пространства.
Рассмотрим операцию скалярного умножения двух векторов /> и /> (например, радиус-векторов точек пространства А и В):
/>
=/>
Всего девять слагаемых. Т.к. />, то сумма диагональных элементов совсем проста: />. Все остальные (перекрёстные члены) кроме произведения координат содержат множители типа
/>.
Выражение скалярного произведения /> можно существенно упростить, если выбрать углы />. В этом случае говорят, что базис системы координат ортогональный. Только в ортогональном базисе
/>,
т.к. /> и все перекрёстные члены равны 0. Именно в силу простоты записи скалярного произведения ортогональный базис является предпочтительным.
Впервые ортогональную систему координат (СК) ввёл Р. Декарт, и она называется декартовой. Только в декартовой СК
координаты вектора являются его проекциями на соответствующую ось:
/>;
докажем это для первой координаты:
/>
координаты вектора связаны с его модулем соотношением Пифагора:
/>,
т.к. /> в соответствие с выражением скалярного произведения в декартовой системе.
Существуют традиционные обозначения декартовой СК.
Ось
Обозначение координаты
Обозначение орта
1
r1=х
/>
2
r2=у
/>
3
r3=z
/>
Таким образом, разложение радиус-вектора в декартовой СК будет иметь вид:
/>.
Векторную функцию движения /> можно заменить тремя скалярными зависимостями, которые называются законами движения: x(t), y(t), z(t).Законы движения содержат всю информацию о движении. Т.е. если известны законы движения, то можно ответить на любой вопрос, касающийся движения материальной точки. продолжение
--PAGE_BREAK--
Скорость.
/>
Таким образом, проекции вектора скорости равны производным соответствующих законов движения.
Ускорение.
/>.
Таким образом, проекции вектора ускорения равны вторым производным законов движения.
А как найти касательное и нормальное ускорения? Они являются результатом разложения вектора полного ускорения по направлениям касательной и нормали:
/>.
Касательный орт и орт нормали являются осями двумерного ортогонального базиса. Т.е. алгебраическое значение касательного ускорения представляет собой проекцию полного ускорения на орт />:
/>.
Но касательный орт можно выразить через вектор скорости:
/>.
Следовательно,
/>.
Тогда легко получить:
/>.
А найдя нормальное ускорение, легко найти радиус кривизны:
/>
Заключение
Подведем некоторые итоги. Материальная точка представляет собой ключевую физическую модель. На примере этой модели рассматриваются очень многие физические явления. Описав движение материальной точки, можно затем перейти и к описанию движения твердого тела, но не наоборот.
Основными понятиями кинематики материальной точки являются понятия положения точки, ее скорости и ускорения. Но все эти понятия не имеют смысла вне системы отсчета, включающей в себя систему координат и часы.
Важнейшую роль в кинематике материальной точки играют векторная алгебра и принцип относительности движения.
Сложное движение материальной точки всегда можно разложить на составляющие, причем не однозначно: по координатам, на касательное и нормальное движение, прямолинейное и вращательное.
Литература
Мякишев Г.Я. Физика – 10. Механика. – М.: Дрофа. 2002.
Мякишев Г.Я., Синяков А.З. Физика – 10. Молекулярная физика. Термодинамика. – М.: Дрофа. 2002.
Мякишев Г.Я., Синяков А.З., Слободков Б.А. Физика – 10–11. Электродинамика. – М.: Дрофа. 2002.
Мякишев Г.Я., Синяков А.З. Физик – 11. Колебания и волны. – М.: Дрофа. 2002.
Демков В.П., Третьякова О.Н. В помощь поступающим в ВУЗы. Физика. Механика. – М.: Издательство МАИ, 1996.
Калашников Н.П., Смондырев М.А. Основы физики. Т.1. /> М.: Дрофа, 2003
Калашников Н.П., Смондырев М.А. Основы физики. Упражнения и задачи. /> М.: Дрофа, 2004.
Касаткина И.Л. Репетитор по физике. Т.1. /> Ростов н/Д: Феникс, 2002.
Новодворская Е.М., Дмитриев Э.М. Сборник задач по физике с решениями для втузов. /> М.: ООО Издательство «Мир и Образование», 2003.