Кинематика

Кинематика
тема 1кинематика точки
1.1 предмет изучения
С самого рождения и на протяжении всей своей жизни мы встречаемся с движением материи. Простейшей формой движения материи является механика. В разделе «кинематика» мы будем изучать только одну сторону механического движения – геометрическую, т.е. мы будем изучать геометрию движения тела без учета его массы и сил, действующих на него. Механически движение в общем смысле будет изучаться в разделе «динамика».
Под движением в механике мы будем понимать перемещение данного тела в пространстве и времени по отношению к другим телам.
Для определения положения движущего тела вводится система отсчета, связанная с телом, условно принимаемым за неподвижное. Движение тела происходит в пространстве и времени. Мы будем рассматривать трехмерное эвклидо пространство. За единицу длины в нем принимается 1 метр. Время считается универсальным, т. е. не зависящим от выбранной системы отсчета. За единицу времени принимается 1 секунда. В задачах механики время принимается за независимую переменную. Все остальные кинематические величины (расстояния, скорости, ускорения и т.д.) являются функциями времени.
Прежде чем изучать движение его необходимо задать, т.е. описать каким-либо математическими формулами так, чтобы можно было узнать положение тела и все его кинематические характеристики в любой момент времени.
Основная задача кинематики заключается в том, чтобы по известному закону движения тела (или какой-либо его точки) найти все остальные
кинематические характеристики движения.
Изучение кинематики мы начнем с изучения движения простейшего тела – точки, т.е. такого тела, размерами которого можно пренебречь и рассматривать его как геометрическую точку.
1.2 Способы задания движения точки
Мы будем рассматривать три способа задания движения: векторный, координатный и естественный.
1.2.1 Векторный способ
Положение движущейся точки М определяется с помощью радиуса вектора />, проведенного из некоторого неподвижного центра О в эту точку (рис. 1.1). В процессе движения этот вектор изменяется по величине и направлению, т.е. является функцией времени. Зависимость
/>(1.1)
называется уравнением движения (или законом движения) в векторной форме. Линия, описываемая концом этого вектора называется траекторией движения.
/>

1.2.2 Координатный способ
С неподвижным центром О связывается неподвижная система координат ОХ у Z. Положение точки определяется тремя координатами: х, у, z (рис. 1.2). В процессе движения эти координаты изменяются, т.е. они являются функциями времени.
/>

Зависимости
х=f1(t); у=f2(t); z=f3(t) (1.2)
называются уравнениями движения точки в координатной форме. Эти уравнения являются одновременно параметрическими уравнениями траектории движения (параметром является t).
Чтобы получить уравнение траектории в явной форме, надо из уравнений (1.2) исключить параметр t.
1.2.3 Естественный способ
При естественном способе задания движения траектория заранее известна. На траектории выбирается начало отсчета (т. 0) и устанавливается положи-тельное и отрицательное направления отсчета.
Положение точки на траектории однозначно определяется криволинейной координатой S, измеряемой вдоль траектории. Зависимость
S = f(t) (1.3)
называется уравнением движения в естественной форме.
/>

1.2.4 Связь между способами задания движения
Координатный векторный способы связаны зависимостью:
/>(1.4)
где /> — единичные орты координатных осей.
Переход от координатного способа к естественному:
/>
здесь: />; />/>
(т.е. здесь и в дальнейшем производная по времени обозначается точкой над буквой).
1.3 Определение скорости и ускорение точки при векторном задании движения
Пусть точка за время /> переходит из положения М в положение М1, двигаясь вдоль траектории (Рис. 1.4) /> называется вектором перемеще-ния. /> — средняя скорость.
Например, вектор /> по хорде М М1. если уменьшать промежуток времени />, то хорда будет приближаться к касательной, а средняя скорость к мгновенной.
/>
Рис. 1.4
/>
/>(1.6)
Направлен вектор скорости по касательной к траектории.
Определение ускорения:
Пусть в положении Мскорость />, а в положении М1(через время />) скорость />. Приращение скорости />(рис. 1.5).
Среднее ускорение:
/>
Ускорение в данный момент
/>
/>(1.7)
Лежит вектор ускорения в плоскости, проведенных через касательной к траектории в двух бесконечно близких точках. Эта плоскость называется соприкасающейся или плоскостью главной кривизны.
1.4 Определение скорости и ускорения точки при координатном способе задания движения
при координатном способе задания движения:
/>(а)
с другой стороны:
/>(б)
Сравнивая (а) и (б) находим:
/>; />; />(1.8)
т.е. проекция вектора скорости на оси координат равны первым производным по времени от соответствующих координат.
Величина скорости:
/>(1.9)--PAGE_BREAK--
направление вектора скорости определяется с помощью направляющих косинусов, т.е. косинусов углов между вектором скорости и осями координат (рис. 1.6).
/>

/>(1.10)
Аналогично ищем ускорения:
/>
Сравнивая (в), (г), (д) находим:
/>(1.11)
Проекция ускорения равны первым производным по времени от соответствующих проекций скорости или вторым производным по времени от соответствующих координат.
Величина ускорения:
/>(1.12)
Направляющие косинусы:
/>; />; />; (1.13)
1.5 Определение скорости и ускорения точки при естественном задании движения
Пусть за время /> точка переместилась из положения М в положение М1, совершив перемещение />(рис. 1.17).
/>

величина скорости точки:
/>/>
/>(1.14)
Направлена скорость по касательной к траектории:
Найдем ускорение точки.
Пусть в положении М точка имеет скорость />(рис. 1.8).
Полное ускорение точки будет:
/>/>/>
Обозначим угол между касательными через /> (угол смежности). Спроецируем вектор ускорения /> на касательную />и нормам п.
/>
/>
/>

Найдем эти пределы, учитывая, что при />одновременно и /> и />.
/>
где ρ – радиус кривизны траектории в данной точке.
Подставив эти значения в ап получим:
/>
Т.о. величины касательного, нормального и полного ускорений определяется формулами:
/>/>/>/>
Касательное ускорение направлено по касательной к траектории (в сторону скорости при ускоренном движении и противоположно скорости – при замедленном) и характеризует изменение величины скорости.
Нормальное ускорение направлено по нормам к траектории к центру кривизны и характеризует изменение направления скорости.
1.6 Частные случаи движения точки
По виду траектории движение делится на прямолинейное и криволинейное. При прямолинейном движении ап= 0, т.к. ρ= ∞.
По изменению величины скорости движения делится на равномерные и неравномерные.
Движение называется равномерным, если величина скорости постоянна (V=const).
Закон равномерного движения:
S=S+Vt (1.18)
Движение называется равномерным, если величина касательного ускорения постоянна.
/>
Т.о. равномерное движение описывается двумя формулами:
/>(1.19)
Нормальное ускорение направлено от данной точки к оси вращения
Тема 2Простейшие движения тела
К простейшим движениям твердого тела относятся поступательное движение и вращательное движение вокруг неподвижной оси.
2.1 Поступательное движение твердого тела
Поступательным называется такое движение тела, при котором любой отрезок прямой проведенной в теле перемещается параллельно самому себе.
Это самое простое движение тела.
Оно описывается одной теоремой:
При поступательном движении тела все его точки описывают одинаковые, при наложении совпадающие траектории, и имеют одинаковые скорости и одинаковые ускорения.
Доказательство:
Проведем в теле произвольный отрезок АВ. При движении тела он остается параллельным самому себе (рис. 2.1). траектория точки А на величину АВ, т.е. они одинаковые.
/>

Проведем из неподвижного центра О радиусы-векторы точек А и В (/>), а также вектор /> из точки А в точку В.
Очевидно, что
/>
Продифференцируем это векторное равенство по времени, учитывая, что />.
/>; но />, значит
/>(2.1)
дифференцируя (2.1) по времени: />, получаем:
/>(2.2)
Так как точки А и В взяты произвольно, то все выводы справедливы для всех точек тела.
Следовательно, при поступательном движении тела его можно считать точкой и пользоваться формулами кинематики точки.
2.2 Вращение тела вокруг неподвижной оси
Вращательным называется такое движение тела, при котором хотя бы две точки, принадлежащие телу или жестко с ним связанные, во все время движения остаются неподвижными. Прямая, проходящая через эти две неподвижные точки называется осью вращения.    продолжение
--PAGE_BREAK--
Проведем через ось вращения две полуплоскости: неподвижную І и подвижную II, жестко связанную с телом и вращающуюся вместе с ним (рис. 2.2).
Положением тела будет однозначно определяться углом φ между этими полуплоскостями. Угол φ называется углом поворота. Измеряется он в радианах. Положительное направление φ – против часовой стрелки, если смотреть навстречу оси Z.
Зависимость
φ = φ(t) (2.3)
называется уравнением вращательного движения.
/>

Быстрота вращения характеризуется угловой скоростью ω. Средняя угловая скорость определяется как отношения приращения угла поворота ∆φ к промежутку времени ∆t, за который оно произошло.
/>
Угловая скорость в данный момент времени:
/>(2.3)
Вектор угловой скорости /> направлен по оси вращения в ту сторону, чтобы, глядя навстречу ему, мы видели вращение происходящей против часовой стрелки. Изменяется ω в радиан/сек. На производстве угловую скорость измеряют в об/мин. В этом случае она обозначается буквой «п».
Формула перехода:
/>(2.4)
Изменение угловой скорости характеризуется угловым ускорением ε, которая определяется как первая производная от угловой скорости или вторая производная от угла поворота по времени:
/>(2.5)
Направлен вектор /> также по оси вращения в сторону /> при ускоренном и противоположном /> при замедленном вращении. Единица измерения – 1Рад/с2.
2.3 Равномерное и равнопеременное вращение
Вращение называется равномерным, если угловая скорость постоянна, т.е. ω= const.
Закон равномерного вращения:
φ=φ+ωt(2.6)
Вращение называется равнопеременным, если угловое ускорение постоянно, т.е. ε= const.
Но />. Разделяя переменные и интеграции /> находим, что
/>(2.7)
Подставив сюда /> и еще раз интегрируя />, получим уравнение переменного вращения:
/>(2.8)
2.4 Скорости и ускорение точек вращающегося тела
пусть за время dt тело повернулось на угол dφ, а точка М, находящаяся на расстоянии R от оси вращения, получила перемещение dS=ч* dφ (рис. 2.3).
Тогда скорость точки
/>(2.9)
Направлен вектор скорости />по касательной к траекториям, т.е. по касательной к окружности радиуса R, центр которой лежит на оси вращения, а ее плоскость перпендикулярна оси вращения.
Найдем нормальное и касательное ускорение точки:
/>

/>
/>/>

Нормальное ускорение направлено от данной точки к оси вращения.
Касательное ускорение направлено по касательной к округлости, которую описывает точка и совпадает с направлением скорости при ускоренном вращении, а при немедленном – противоположно скорости.
Рассмотрим векторное произведение /> (рис. 2.4). Его модуль />, а направление совпадает с направлением скорости. Из этого делаем вывод, что вектор скорости:
/>(2.11)
взяв от этого выражения производную по времени, получим:
/>
Первое произведение по величине и направлению совпадает с касательным, а вторая – с нормальным ускорением.
Таким образом, касательная и нормальная составляющие вектора полного ускорения при вращательном движении определяется формулами:
/>(2.12)
/>

Отметим, что радиус-вектор /> точки М можно проводить из любой точки О1, лежащей на оси вращения (все точки оси вращения неподвижны) и что этот вектор постоянный по модулю (у него меняется только направление).
2.5 Простейшие передаточные механизмы
Передаточными называют механизмы, служащие для передачи вращения с одного вала на другой. К простейшим из них относятся: зубчатые, ременные, цепные и фрикционные. Схематическое изображение зубчатых и фрикционных механизмов показано на рис. 2.5а, а ременных и цепных на рис. 2.5.б.
Найдем скорость точки а: /> на колесе І и /> на колесе ІІ. Так как проскальзывание отсутствует, то />.
Отсюда:
/>(2.13)
т.е. угловые скорости обратно пропорциональны радиусом колес. Величина i1-2 называется передаточным отношением.
У зубчатых и цепных передач – передаточное отношение точное, у ременных и фрикционных – может быть проскальзывание. Ременные и цепные передачи позволяют передавать вращение на большие расстояния, чем зубчатые и фрикционные. С устройством передаточных механизмов, их изготовлением, расчетами и эксплуатацией вы познакомитесь в курсах «Теория механизмов и машин» и «Детали машин».
Тема 3Сложное движение точки
3.1 Основные определения
До сих пор мы рассматриваем движение точки в одной, неподвижной системе отсчета. Однако, часто встречаются случаи, когда точка движется по определенному закону в некоторой системе отсчета, которая, в свою очередь, перемещается относительно неподвижной системы отсчета. Такое движение точки называется сложным. Введем основные определения сложного движения точки.
Движение точки в подвижной системе отсчета называется относительным. Скорость и ускорение точки в этом движении называются относительными и обозначаются: /> (или />).
Движение точки вместе с подвижной системой называется переносным. Скорость и ускорение той точки М/ подвижной системы, в которой в данный момент находится движущаяся точка М, являются для данной точки переносной скоростью и переносным ускорением и обозначаются /> (или />).    продолжение
--PAGE_BREAK--
Движение точки относительно неподвижной системы отсчета называется абсолютным. Скорость и ускорение точки в этом движении называются абсолютными и обозначаются /> (или />).
Пусть точка М движется в подвижной системе отсчета охуz. Ее координаты х, у, zявляются функциями времени, а координаты х/, у/, z/ точки М/ подвижной системы, в которой в данный момент находится движущая точка М, являются константами. Но в любой момент времени
х = х/, у = у/, z= z/ (3.1)
Введем в рассмотрение радиусы-векторы, определяющие положение точек М и М/ в подвижной и неподвижной системах отсчета (рис. 3.1).
/>
/>— радиус-вектор, определяющий положение начала подвижной системы охуzв неподвижной системе отсчета о1х1у1z1.
/>=/> — радиус-вектор, определяющий положение движущейся точки М в подвижной системе отсчета. Он описывает относительное движение точки.
/>— радиус-вектор, определяющий положение точки М/ подвижной системы в этой же системе.
/>— радиус-вектор, определяющий положение точки М/ подвижной системы в неподвижной системе отсчета. Он описывает переносное движение точки.
/>— радиус-вектор, определяющий положение движущейся точки М в неподвижной системе отсчета. Он описывает абсолютное движение.
3.2 Теоремы о схождении скоростей и ускорений
Скорости и ускорения точки в различных движениях будем определять как первую и вторую производные по времени от соответствующих радиусов-векторов.
Относительную скорость и относительное ускорение находим как первую и вторую производные по времени от радиус-вектора />, считая единичные орты /> константами (в подвижной системе – они постоянны).
/>/>/>
Переносную скорость и переносное ускорение находим как первую и вторую производные по времени от радиус-вектора />, считая координаты х/, у/, z/ константами, а единичные орты – переменными.
/>
так как дифференцирование проведено, то мы можем воспользоваться равенствами (3.1), т.е. заменить х/ на х, у/ на у, z/ на z:
/>/>/>
Абсолютную скорость и абсолютное ускорение находим как первую и вторую производные по времени от радиус-вектора />, считая все величины переменными:
/>
Таким образом доказана теорема сложения скоростей:
Абсолютная скорость равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей.
/>(3.6)
находим абсолютное ускорение:
/>
где введено обозначение:
/>(3.7)
Величина />, определяемая равенством (3.7) называется поворотным ускорением или ускорением Кориолиса, по имени французского ученого, доказавшего теорему сложения ускорений:
Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме переносного, относительного и Кориолисов ускорений.
/>(3.8)
3.3 Ускорение Кориолиса, его величина направление и физический смысл
Рассмотрим ускорение Кориолиса, определяемое равенством (3.7). Если подвижная система движется относительно неподвижной поступательно (т.е. переносное движение поступательное), то единичные орты будут постоянны и по модулю и по направлению и их производные по времени будут равны нулю, следовательно и ускорение Кориолиса равно нулю.
Теорема о сложении ускорений при поступательном переносном движении будет выражаться равенством:
/>/>(3.9)
Рассмотрим переносное вращательное движение. Пусть подвижная система вращается вокруг оси О3 с угловой скоростью />(рис. 3.2). единичные орты /> можно рассматривать как радиус-векторы точек А, В и С соответственно. А производные по времени от радиус-векторов точек дают скорости точек.
/>

Следовательно:
/>; />; />(а)
с другой стороны, скорости точек А, В и С мы можем найти как во вращательном движении по формуле (2.11):
/>; />; />(б)
сравнивая (а) и (б) находим, что:
/>; />; />;(в)
Подставим эти значения в формулу (3.7)
/>
Таким образом ускорение Кориолиса равно удвоенному векторному произведению вектора угловой скорости переносного движения на вектор относительной скорости.
/>(3.10)
Его величина
/>(3.11)
/>

В соответствии с правилом векторного произведения ускорения Кориолиса направлено перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы /> и />, в ту сторону, чтобы, глядя навстречу ему, мы видим поворот вектора /> к вектору /> на меньший угол происходящим против часовой стрелки.
Другое правило: чтобы найти направление ускорения Кориолиса, надо вектор />спроецировать на плоскость, перпендикулярно оси переносного вращения, и полученную проекцию повернуть на 90о в сторону вращения. Эти и будет направление вектора />.
Физический смысл ускорения Кориолиса выясним на таком примере. Пусть круглая платформа вращается с постоянной угловой скоростью />, а по радиусу платформы двигается точка М с постоянной относительной скоростью Vч(рис. 3.3). В некоторый момент точка занимает положение Мо, а через промежуток времени /> положение М1. При этом произошло изменение относительной скорости за счет переносного движения (изменилось направление вектора />) и изменение переносной скорости за счет относительного движения (изменилась величина /> в результате удаления точки от оси вращения). Эти два изменения и характеризуются ускорением Кориолиса.    продолжение
--PAGE_BREAK--
Таким образом, ускорение Кориолиса характеризует изменение относительной скорости в результате переносного движения и изменение переносной скорости в результате относительного движения.
В общем случае движения формулы (3.8) удобнее использовать в таком виде:
/>(3.12)
Задача кинематики плоского движения твердого тела — найти характеристики движения самого тела и отдельных его точек. В данном задании к таким характеристикам относятся векторы угловой скорости и углового ускорения тела.
/>
/>Рис. 1
Основные формулы кинематики плоского движения твердого тела — векторные формулы, связывающие соответственно скорости и ускорения двух произвольных точек плоской фигуры, например, точек А и В (рис. 1)
/>B = />A + />BA = />A + />´/>;(1)
/>B= />A+ /> + /> = />A+ />×(/>´/>) + />× />;(2)
где />, />, — векторы угловой скорости и углового ускорения вращения плоской фигуры вокруг любой оси, например Az' перпендикулярной плоскости движения Oxyотносительно системы координат Ax'y'z', оси которой параллельны осям неподвижной системы координат Оxyz.На рис.1 оси Оz. и Аz' не изображены, так как считается, что они перпендикулярны к плоскости рисунка и направлены на наблюдателя, а плоскости Охyи Аx'y' совпадают с плоскостью рисунка.
Левые части выражений
/>BA = />´/>;/> =/>×(/>´/>) = />×/>BA; /> = />× />;
/>/>являются соответственно векторами скорости, нормального и касательного ускорения точки В относительно системы координат Ax'y'z'при вращении отрезка АВ в плоскости рисунка вокруг точки A, называемой в таком случае полюсом, с угловой скоростью />и угловым ускорением />. Индексы nи t, в выражениях />и />указывают, что эти векторы направлены соответственно по внутренней нормали и касательной в точке Bк окружности радиуса r= ABс центром в точке А. Модули упомянутых векторов находятся по формулам
½/>BA½ = />´ AB; ½/>½ = /> = />´ AB; ½/>½ = />´ AB;(3)
Векторы />BA, />, />лежат в плоскости движения плоской фигуры тела, причем ненулевые векторы />BA, />перпендикулярны отрезку AB, а ненулевой вектор /> направлен от точки В к точке А. Таким образом, для этих векторов всегда известны линии действия.
Поскольку модуль ускорения />может быть вычислен по формуле (3) через угловую скорость тела />, обычно известную к этапу нахождения ускорений, целесообразно в формуле (2) вектор />записывать вслед за известным вектором />А, т.е. перед вектором />.
Векторы />и />параллельны оси Оzи поэтому полностью определяются своими проекциями на эту ось
Модуль проекции равен модулю вектора />;/>, а знак проекции указывает на направление вектора. Например, если проекции векторов положительны (/>, то векторы />направлены так же, как и />, или ось Oz. Таким образом, при плоском движении тела задача нахождения векторов />сводится к задаче отыскания их проекций на ось Ozили Az'.    продолжение
--PAGE_BREAK--
Если />(рад) — угол между осью Ax' (Ох) и вектором />(рис. 1) и за положительное направление отсчета угла />для выбранной системы координат принято направление против хода часовой стрелки, то
/>/>рад/с; /> = />/>= />/>рад/с.(4)
О направлении векторов />и />судят по круговым стрелкам />и />согласно правилу: «круговая стрелка, направленная против хода стрелки часов, соответствует вектору, направленному так же, как ось Oz».
Из формул, использующих понятие МЦС (точка Р) на рис.2,
/>´ />; />B = />; />;
/>; />,(5)
следует, что в данный момент времени распределение скоростей точек тела при плоском движении таково, как если бы тело вращалось вокруг оси Рz с угловой скоростью />.
/>

/>
/>Если отсчитывать угол 90 от направления вектора скорости точки />Aк направлению АР от этой точки до МЦС, то направление отсчета угла совпадает с направлением круговойстрелки />. Этот факт можно использовать для определения направления вектора />.
Из формул, использующих понятие МЦУ (точка Qна рис. 3),
/>
/>;/>/>;(6)
/>,
следует, что в данный момент времени распределение ускорений точек тела при плоском движении таково, как если бы тело вращалось вокруг оси Qzс угловой скоростью />и угловым ускорением />.
Угол />отсчитывается от вектора ускорения какой-либоточки в направлении круговой стрелки />. При отыскании положения МЦУ по ускорениям двух точек, например по />и/>, под углом />к соответствующим ускорениям проводят лучи AQи BQ. Точка пересечения лучей (точка Q) является МЦУ плоской фигуры в данный момент времени.
Направления векторов />и />помимо формул (4) могут быть найдены из отдельных векторных формул
/>;/>;/>.(7)    продолжение
--PAGE_BREAK--
/>
Рис. 4
Чтобы избежать анализа расположения трех взаимно перпендикулярных векторов формул (7) при известных />, />, />направления />и />находят аналогично случаю вращательного движения тела вокруг неподвижной оси (рис. 4).
/>
/>Рис. 5
Кинематика плоского движения
катка радиуса R. при отсутствии скольжения по направляющей (в общемслучае криволинейной), имеет некоторые особенности вследствие того,что мгновенный центр скоростей катка (точка Р ) совпадает с точкой окружности касающейся направляющей (рис. 5). Поэтому при движении каткарасстояние от его центра (точкиА) до МЦС является неизменным во времени и равнымR.
AP(t) = const= R(8)
Свойство неизменности расстояния АР позволяет установить дополнительные соотношения, удобные для расчетов кинематических характеристик катка. Представим вектор скорости точки А с помощью:
а) формулы естественного способа задания движения точки
/>, где />— единичный вектор естественного трехгранника, касательный в точке Aк кривой ее движения; SA— криволинейная координата точки;
б) формулы (7) плоского движения тела
/>,
/>;
/>— орт оси Оz, перпендикулярной плоскости движения катка Qxy;j— угол, задающий направление какого-либо отрезка плоской фигуры катка. Ввиду произвольности выбора такого отрезка, обычно собственно отрезок, не указывают на рисунках, а изображают лишь круговую стрелку положительного направления отсчета угла j, называя его углом поворота катка.
Приравнивая правые части последних формул, имеем
/>.
Поскольку вектoр />коллинеарен результату векторного произведения
/>(/>^/>, />^/>), то
/>.
Откуда, используя свойство (8), получим формулы
/>, или />, (9)
справедливые для любого момента времени t.
В правой части формулы (9) берется знак "+", если при мысленном увеличении угла поворота катка jв направлении против хода стрелки часов наблюдается возрастание координаты SАцентра движущегося катка в положительном направлении ее отсчета, иначе берется знак "-".
Так, например, для случая отсчетов SА и j, изображенном на рис.5, в формуле (9) необходимо брать знак "-".
Дифференцируя и интегрируя по времени соотношения (9), придем к выражениям
/>, или />,(10),
а также />,
где С — некоторая константа, значение которой зависит от выбора начал отсчетов SАи j. Обычно принимают С=0, так как считают, что когда SА=0, jтакже равно нулю. Из произведения соответствующих частей формул (9), (10),
/>(11)
/>/>/>/>/>/>следует, что если векторы />, />сонаправлены, то сонаправлены и векторы />, />.
Таким образом, с помощью формул (1-4), (8-9) могут быть найдены характеристики векторов скоростей и ускорений точек, векторов угловых скоростей и ускорений звеньев механизма, а с помощью формул (5, 6), (11) осуществлена их проверка.
Нахождение кинематических характеристик движения (/>, />, />, />) при помощи векторных формул (1), (2) рекомендуется проводить следующим образом:
написать формулу (1) или (2) применительно к конкретным точкам рассматриваемого звена механизма. При этом в качестве полюса следует взять точку с известными кинематическими характеристиками движения;
установить, известны или неизвестны на данном этапе решения две независимые характеристики {проекции на две оси или модуль и направляющий угол) для каждого вектора, входящего в уравнение (1) или (2). Найти значения тех независимых характеристик векторов, которые могут быть установлены из условий движения звена без решения рассматриваемого векторного уравнения;
3) решить векторное уравнение графоаналитическим или аналитическим методом (метод проекций).