Дипломнаяробота
Пояснительнаязаписка
«Кинетическиеуравнения Власова»
Студент группы Иванов И.И.
Руководитель работы ПересечанскийВ.М.
Заведующий кафедры «Математики»
Певнев В.Я.
2011
Утверждаю
Заведующий кафедрой
математики
Певнев В.Я.
«02» февраля2011 г.
Задание на дипломнуюроботу
студенту Иванову Ивану Ивановичупятого курса
1. Тема роботы: «Кинетическиеуравнения Власова»
Утверждена приказом
2. Срок сдачи студентом оконченнойработы
3. Содержаниепояснительной записки (перечень вопросов, которые подлежат рассмотрению): рассмотретьобщие понятия кинетических уравнений, рассмотреть и вывести кинетическиеуравнения Власова, решить и описать одномерную модельную задачу для уравненияВласова
Дата выдачи задания
Руководитель работыПересечанский В.М.
Задание к выполнениюпринял
Согласовано Утверждаю
Руководитель дипломнойработы Заведующий кафедрой
Пересечанский В.М. ПевневВ.Я.
2011г. 2011г.
Календарный пландипломной работы
студента Иванова ИванаИвановича
тема «Кинетическиеуравнения Власова»Содержание работы Срок исполнения (дата)
Отметка о выполнении
(дата)
1. Изучение литературы.
2. Анализ выбранной темы.
3. Обоснование актуальности темы.
4. Вопросы специального 1-го раздела
_-“- 2-го раздела
_-“- 3-го раздела
5. Устранение замечаний консультантов и руководителя.
6. Оформление пояснительной записки.
7. Предоставление работы на кафедру.
8. Предоставление работы на рецензию.
9. Предоставление работы на защитыв ГЭК
25.02
10.03
15.03
29.03
05.05
20.05
30.05
11.06
12.06
23.06
30.06
Выполнено.
Выполнено.
Выполнено.
Выполнено.
Выполнено.
Выполнено.
Выполнено.
Выполнено.
Выполнено.
Выполнено.
Выполнено.
Студент группы: Иванов И.И.
2011 г.
План
Перечень условных сокращений иаббревиатур
Введение
Глава 1 Кинетические уравнения: основные понятия
1.1 Кинетические уравнения типаБольцмана
1.2 Уравнения типа Власова
Глава 2 УравнениеВласова-Максвелла, Власова-Эйнштейна и Власова-Пуассона
2.1 Сдвиг плотности вдольтраекторий динамической системы
2.2 Уравнения геодезических и эволюция функции распределения на римановоммногообразии
2.3 Как ведет себя мерариманова пространства при преобразованиях
2.4 Вывод уравненияВласова-Максвелла
2.5 Схема вывода уравненияВласова-Эйнштейна
2.6 Система уравненийВласова-Пуассона для плазмы и электронов
Глава 3 Одномерная модельнаязадача для уравнения Власова
3.1 Условия
3.2 Постановка задачи
3.3 Математическая формализациязадачи
3.4 Алгоритм разложения решениясистемы по параметру ε
3.5 Операторы Власова порядка n
3.6 Общая формула для поправки к полю порядка n
3.7 Классическое и релятивистскоерешения уравнения Власова
Заключение
Список литературы
Перечень условныхсокращений и аббревиатур
ЭМП — Электромагнитноеполе
Введение
Кинетические уравненияописывают эволюцию функции распределения F(t,v.x) молекул или других объектов(электронов, ионов, звезд, галактик или галактических скоплений) по скоростям vи пространству х в момент времени t. Это означает, что число частиц в элементефазового объема dvdx есть F (t, v, x) dvdx.
Простейшее уравнение —уравнение свободного движения:
/> (1.1)
Цель данной дипломнойработы — рассмотреть и проанализировать основные кинетические уравненияВласова, и на их основании рассмотреть модельную одномерную задачу Коши дляуравнения Власова.
Глава 1 Кинетические уравнения: основные понятия
1.1 Кинетические уравнения типа Больцмана
Первым изученнымкинетическим уравнением было уравнение Больцмана. Оно учитывает процессыстолкновений добавлением интеграла столкновений в (1.1):
/> (1.2)
Интеграл столкновений J[F,F]— это квадратичный оператор, учитывающий парные столкновения частиц. Уравнение(1.2) было получено Максвеллом и Больцманом для вывода максвелловскогораспределения по скоростям, которое тогда только что было использовано дляобъяснения закона Менделеева – Клапейрона, который будет кратко рассмотрендалее.
Максвелловскоераспределение связано с одним из первых успехов уравнения Больцмана (1.2) —доказательством Н — теоремы.
Теоремаутверждает, что функционал
/>
дляуравнения Больцмана не возрастает: dH/dt
НеравенствоН-теоремы верно не всегда. Условие равенства нулю скорости роста энтропии дастмаксвелловское распределение, поэтому Н-теорема обосновывает не толькостационарность максвелловского распределения, но и стремление к нему,устойчивость этого распределения, а также 2-й закон термодинамики.
Однакоуравнение Больцмана писалось Максвеллом для более широких целей. ПрограммаМаксвелла состояла в том, чтобы получить уравнения сплошной среды — типауравнений Навье-Стокса — из уравнения Больцмана и тем самым получитькоэффициенты переноса — вязкости и теплопроводности — и их зависимость отмежмолекулярного взаимодействия. Ему это удалось для потенциала межмолекулярноговзаимодействия U(r) = r -4 (максвелловские молекулы), когда интегралстолкновений сильно упрощается. Достичь аналогичных результатов для другихпотенциалов не удалось ни Больцману[1],ни Гильберту. однако это сделали Чэпмсн и Энског[2]с помощью специальной схемы теории возмущений (метод Чэпмсна-Энскога). Ставкиздесь были очень высоки; такое решение давало бы (и дало: оно предсказалотермодиффузию) количественные предсказания в молекулярно-кинетической теории,которая в то время подвергалась критике (в полемику включились не толькоученые, например Мах и Авенариус, но и политики, например В.И. Ленин«Материализм и эмпириокритицизм». Чэпмсн и Энског «немного опоздали»:определение разными независимыми способами числа Авогадро с близкими ответамиубедило ученых, и страсти улеглись.
В нашевремя это уравнение со своими следствиями работает в нескольких направлениях.Одно из них — средние слои атмосферы. Высокие слои хорошо описываютсяуравнением свободного движения (1.1) — газ Кнудсена или свободный газ. Низкиеслои — уравнениями газодинамики, которые выводятся из уравнения Больцмана.Сопряжение хотя бы на ЭВМ верхних и низких слоев атмосферы — одна из актуальныхзадач[3]в связи с летательными аппаратами. Другое направление — химическая кинетика:моделирование смесей. Со всем этим связаны дискретные модели уравненияБольцмана
Широкоиспользуемым следствием уравнения Больцмана является уравнение переноса,описывающее рассеяние частиц на заданном фоне: это линейное уравнениеБольцмана. Такие уравнения используются для описания переноса нейтронов вядерных реакторах и переноса излучения в атмосфере, когда фотоны рассеиваютсясредой.
Предельнымслучаем уравнения Больцмана служит уравнение Ландау, когда наибольший вкладвносит сильное рассеянье вперед. Оно используется для описания плазмы.
Используютсятакже квантовые аналоги уравнения Больцмана — уравнения Улинга-Уленбека. Дляэтих уравнений стационарными распределениями вместо максвелловского оказываютсяраспределения Ферми-Дирака или Бозе-Эйнштейна.
Такимобразом, можно представить иерархию уравнений типа Больцмана в виде следующейсхемы:
/>
Схема 1
Линии свопросительными знаками означают, что соответствующие уравнения еще, можетбыть, не выведены (например, приближение Ландау для уравнения Улинга-Уленбека).
1.2 Уравнения типа Власова
Еслиуравнения типа Больцмана описывают короткодействующие взаимодействия, тоуравнения типа Власова описывают дальнодействие.
УравненияВласова или уравнения самосогласованного поля имеют вид:
/> (2.1)
Здесьсила f сама есть функционал от функции распределения, а уравнение (2.1) имеетвид уравнения сдвига вдоль характеристик. Простейший вид зависимости силы f отфункции распределения соответствует парному потенциалу взаимодействия К(х, у):
/> (2.2)
Такойвид взаимодействия дает систему уравнений Власова. Обычно говорят о системахуравнений «Власова плюс ещё кого-то» для того, чтобы различать виды взаимодействий.Бывают уравнения Власова-Пуассона, Власова-Максвелла, Власова-Эйнштейна иВласова--Янга--Миллса.
УравнениеВласова-Пуассона бывает двух видов — для гравитации и для плазмы: в обоихслучаях (2.2) заменяется на уравнение Пуассона действием оператора Лапласа, приусловии, что К (х, у) — фундаментальное решение оператора Лапласа. Такимобразом, К сеть потенциал единичного заряда в трехмерном случае, нити — водномерном случае и плоскости — в двумерном.
Если вгравитационном случае мы заменяем взаимодействие по Ньютону на взаимодействиепо Эйнштейну, то получаем уравнение Власова-Эйнштейна.
Если вслучае плазмы мы заменяем электростатику на электродинамику, то получаемуравнения Власова-Максвелла. Если у нас сохраняется не заряд, а векторнаявеличина (изотопический заряд или цвет), то вместо электромагнитных4-иотснциалов мы должны взять матрицы, и получаем уравнения Янга-Миллса. Такиеуравнения дают принятую в настоящее время теорию объединенного электрослабого исильного взаимодействия. Таким образом, все уравнения чипа Власова даютследующую иерархию:
/>
Схема 2
Даннаяиерархия дает нам примеры захватывающих романов между математикой и различнымичастями естествознания. Отдельные главы этого романа будут описаны вдальнейшем. Будут изучены следующие основные подстановки в уравнение Власова.
Уравнениединамики N тел как следствие уравнения Власова: подстановка в виде суммыдельта-функций. Подстановка в виде интегралов от дельта-функций и лагранжевыкоординаты. Примеры: осцилляторы и антиосцилляторы, экспоненциальноеразбегание, две гамильтоновы структуры. Эйлеро—Лагранжевы координаты игидродинамическая подстановка, N-слойная и континуум-слойная гидродинамика.Примеры: расширяющаяся Вселенная, перехлесты и границы гидродинамическогоописания.
Энергетическаяподстановка, когда функция распределения зависит только от энергии. В этомслучае уравнение (2.1) удовлетворяется, а (2.2) переходит в нелинейноеуравнение для потенциала. Это уравнение аналогично уравнениям Бернулли дляуравнения Эйлера. И уравнения типа Власова по своей судьбе аналогичны уравнениямЭйлера: их частные случаи стали появляться раньше, чем были написаны самиуравнения Власова. При этом в той же самой энергетической подстановке, выражающейзакон сохранения энергии. В приложениях это были плазменный диод (диодЛенгмюра), уравнение Дебая для электролитов и уравнение Лэна-Эмдена вгравитации. В математике такое уравнение еще раньше было изучено в геометрии иназывается уравнением Лиувилля. В двумерном случае оно имеет огромную группусимметрии (конформная группа).
Глава 2 Уравнение Власова-Максвелла, Власова-Эйнштейна и Власова-Пуассона
Вторую главу дипломахотелось бы посвятить непосредственно выводу или/и обоснованию системыуравнений Власова-Максвелла. Эта системауравнений выписана А.А.Власовым в работах[4],и широко используется для описания плазмы. Уравнения Власова—Эйнштейнаобосновываются аналогично, и я только коротко остановлюсь на них. Под названиемуравнений Власова-Максвелла разные исследователи понимают разные уравнения.Наиболее популярно уравнение с нерелятивистской зависимостью скорости отимпульса для функции распределения. Важно связать это уравнение с классическимлагранжианом, чтобы, с одной стороны, надежно иметь «правильное» уравнение, а сдругой — понимать характер сделанных приближений. Далее, при выводе уравненияВласова-Максвелла будет приведён кратчайший, видимо, путь, связывая слагранжианом электромагнетизма. Т.к. процесс вывода уравнения Власова-Максвеллаявляется неоднозначным, то перед этим необходимо представить вспомогательныепункты. В 2.1 будет рассмотрено как обосновываются уравнения для функциираспределения частиц, сдвигаемых вдоль траекторий произвольной динамическойсистемы хi = Xi(x). А далее изучается уравнение Эйлера-Лафанжа для случая,когда действие есть длина, а также обосновывается выбор функции распределения впеременных х, р (пространство-импульсы).
2.1 Сдвиг плотности вдоль траекторий динамической системы
Рассмотрим произвольнуюдинамическую систему, т.е. систему нелинейных дифференциальных уравнений в k-мерномпространстве:
хi = Xi(x), i = 1,…,k (1.1)
Пусть мыраскидали частицы с какой-то начальной плотностью f(0, x), а в момент времени tэта плотность есть f(t, x), так что число частиц в области G
/>
Каковаэволюция f(t, x)?
Покажем,что соответствующее уравнение имеет вид (по повторяющимся верхним и нижниминдексам предполагается суммирование):
/> (1.2)
Способ 1. Метод />-функций.
Рассмотримфункцию распределения N частиц, сдвигающихся по траекториям этой системы:
/>
где длякаждого l функция xi(t) удовлетворяет уравнениям (1.1). Тогда, дифференцируя повремени, получаем
/>
С другойстороны, имеем
/>
Складываяполученные выражения, находим, что уравнения (1.2) для такой функцииудовлетворяются. При взятии дивергенции воспользовались формулой
/>
Дляпроизвольной функции f равенство (1.2) получается переходом к пределу при аппроксимацииее суммой />-функций(в слабом смысле).
Способ 2. Баланс частиц.
Скоростьроста частиц в области G есть
/> (1.3)
Этоследует из того, что на малом участке границы ds количество вылетевших за времяdt частиц есть f ds dt(X,n), так как все вылетевшие частицы заметают цилиндр соснованием ds и стороной X dt, а поэтому высотой (X, п) dt. Знак минус беретсяпотому, что нормаль — внешняя, и считаются вылетевшие частицы, тогда как слевав (1.3) стоит скорость роста числа частиц в области G. Преобразуя в правойчасти (1.3) интеграл из поверхностного в объемный по формуле Стокса, мы получимуравнение (1.2), проинтегрированное по области G, а отсюда в силупроизвольности G — и само уравнение (1.2).
Перепишемуравнение (1.2) в виде
/> (1.4)
ЕслиdivX = 0, то левая часть (1.4) — это полная производная f(t,x) пo времени.
Вывод. Уравнение для функции распределениячастиц, сдвигающихся вдоль траекторий динамической системы (1.1), имеет вид(1.2).
2.2 Уравнения геодезических иэволюция функции распределения на римановом многообразии
Рассмотримметрику gijdxidxj в пространстве Rn, x/>Rn, gij(x)-n2 функций. Этоозначает, что длина кривой определяется формулой:
/> (2.1)
ауравнение геодезических получается из принципа наименьшего действия (принципанаименьшей длины). Если, более обще, действие записывается в виде S = />dt, гдеL—лагранжиан, то уравнения Эйлера-Лагранжа даются варьированием сфиксированными концами траекторий:
/>
Получаемуравнения Эйлсра-Лагранжа:
/>
В случаегеодезических L = /> имеем
/> (2.2)
Функционалдлины инвариантен относительно замены t = /> для любой гладкой функции />, и то жесвойство имеют уравнения (2.2).
Этим свойствоминогда распоряжаются так, чтобы максимально упростить уравнения. Выберем[5]в качестве параметра />длину линии (интервал, собственноевремя) s: ds =/>, после деления на ds получим /> = 1, иуравнения (2.2) превращаются в
/> (2.3)
Последниесовпадают с уравнениями Эйлера-Лагранжа для действия с лагранжианом
/>
Преобразуемих к виду
/> (2.4)
Здесь gki— матрица, обратная gij а /> называются символами Кристоффеля.
Запишемуравнения (1.2) для функции распределения f(х, v, s) по пространству искоростям (с длиной .s вместо времени) для уравнения (2.4), как это показано впредыдущем параграфе:
/> (2.5)
Последнийчлен в левой части соответствует тому, что система (2.4) имеет дивергенцию,отличную от нуля. Переход к бездивергентному виду можно осуществить двумяспособами.
Способ 1. Переход к переменным координата-импульс и гамильтонов формализм.
Введемстандартным образом импульсы.[6]Если L = (gijxixj)/2 (этот лагранжиан дает те же уравнения движения, что и(2.1)), то импульсы pi = = dL/dxi= gijxj, а гамильтониан Н = pivi — L = (pipgij)/2.Тогда уравнения (2.3) приобретают гамильтонов вид
/>
Упражнение
Показать,что для любой гамильтоновой системы дивергенция равна нулю.
Решение
/>
Получаемуравнения для функции распределения f(s, х, р) по координатам и импульсам (1.2) ввиде
/> (2.6)
Эгоуравнение имеет вид
df/ds + {Н, f} = 0, где {Н, f} — скобкаПуассона:
/>
Способ 2.Переход к инвариантной мере в пространстве координаты-скорости.
Пусть g —определитель матрицы gij. Вместо f в (2.5) введем новую функцию распределения
F{x,v,s) = F(x,v,s)/g.
Упражнение
Показать,что для новой функции распределения уравнение эволюции бездивергентно и имеетвид
/>
Решение
Воспользуемсяоперацией дифференцирования определителя. При этом второе слагаемое в (2.5)преобразуется следующим образом:
/>
В (a)используется тождество
/>
Дляновой функции распределения число частиц записывается в виде
/>
Поэтому gdxdv есть инвариантная мера: F не растет, т.е. полная производная от неё естьноль, и поскольку число частиц сохраняется, то мера g dxdv сохраняется тоже.
Вывод. В качестве переменных в функциираспределения можно брать импульсы или скорости, а в качестве времени — времяили интервал s. Для простоты уравнений брали интервал, который в теорииотносительности называется собственным временем[7].Возможность выбрать s в качестве параметра означает синхронизацию собственноговремени различных частиц. С этим связан парадокс близнецов. Тот из них, чейинтервал (собственное время) меньше, т.е. который «двигался больше»,оказывается младше. Поэтому использование s хотя формально и возможно, ноделает затруднительным интерпретацию результатов.
2.3 Как ведет себя мера римановапространства при преобразованиях
Пустьпроведена замена координат хк = f (/>). Как преобразуется при этомметрика? Имеем:
/>
Поэтому /> где J — этоdet (дxi/д/>),Отсюда следует, что так как dx = |J|d/>, то /> = />, т.е. />—инвариант преобразований.
Дифференцируяпо параметру, имеем />, а поэтому dV=|J|dv. Отсюдаследует, что g dxdv = />/> - инвариантная мера, где каждыйиз сомножителей инвариантен при преобразованиях.
Вывод. В качестве переменных функциираспределения удобно брать импульсы. В качестве параметра /> возьмем время, вкачестве переменных функции распределения — t (время), х (пространственнаякоордината), р(импульсы): f= f(t,x,p).
2.4 Вывод уравнения Власова-Максвелла
Системауравнений Власова-Максвелла описывает движение частиц в собственномэлектромагнитном поле. Стартуем с обычного действия для электромагнитного поля[8],действия Власова-Максвелла или Лоренца (по повторяющимся верхним и нижниминдексам идет суммирование):
/>
/> (4.1)
/>
где Sрозначает действие частиц (particles), Sf — действие полей (fields), Sp-f —действие частиц-полей (particles-fields).
Здесь аозначает сорт частиц, отличаемый по массе mа и заряду еa, q нумеруетчастицы внутри сорта, />(q.t) (/>= 0,1.2,3; q =1,...,Na; a=1… r)— 4 координаты q-й частицы copтa a, Au(x) — потенциал, /> — электромагнитныеполя, /> -метрика Минковского: />, т.е. диагональная матрица с 1 напервом месте и (-1) на остальных. Варьирование проводим специальным способом:сначала получаем движение частицы в поле, потом поля с заданными движениямичастиц. Однако для частиц мы перейдем к функциям распределения, что и дастискомую систему уравнений.
1.Варьирование Sp + Sp+f по координатам />(q.t)) даст уравнение движениязарядов в поле. Перепишем /> для метрики Минковского (вдальнейшем греческие индексы />, /> пробегают четыре значения: /> = 0,1,2,3;латинские i,j —три: i = 1,2,3):
/>
где Lp, —лагранжиан частиц.
Здесь /> (i = 1,2,3) —трехмерный квадрат скорости, и мы учли, что х° = ct и вынесли с2 из-под корня.Проварьируем это выражение (опуская а):
/>
ВарьируемSp-f (снова опускаем а):
/>
/>
Отсюдаиз условия /> =0 получаем уравнение движения заряженной частицы в поле:
уравнениебольцман власов динамический модельный
/>
где />
2. Уравнение для функции распределенияполучается как уравнение сдвига вдоль траекторий полученной динамическойсистемы движения зарядов в поле. Видно, что удобно взять функцию распределения oтимпульсов, а не от скоростей. При этом надо выразить скорости через импульсы:
/>
Обозначая/> получаем/> = />Отсюда находимуравнение для функции распределения fa(x,p,t) (аналог 1.4):
/> (4.2)
Здесь /> Использовано,что />
В этоуравнение записано для ионов и электронов в следующем виде:
/> (4.3)
Здесь fi(t,р, х) — функция распределения ионов по пространству и импульсам в моментвремени t (i в (4.3) — первая буква слова ion. а не индекс), fе(t, р, х) — функцияраспределения электронов, ze — заряд иона, (—е) — заряд электрона, [v, B] — векторноепроизведение. Не выписано выражение v через р, однако часто его берутклассическим: vаj = pj/ma, и тогда удобно записать уравнения через функциюраспределения f(t, v, х) по скоростям вместо импульса. В записи (4.3) v надобрать различными для электронов и ионов, т.е. (4.3) требует уточнения, где vi,а где vc вместо v, и каковы эти функции, как функции импульса vi(p) и vc(p).
3.Уравнение для полей. Используем функцию распределения вместо плотности. Сначаланадо переписать Sp-f через функцию распределения, совершив переход
/>
послечего Sp-f запишется в виде
/>
Теперьварьируем по потенциалам Аu(х):
/>
/>
Полагаем/> иполучаем
/> (4.4)
Система(4.2), (4.4) и есть система уравнений Власова-Максвелла.
Замечание1. Уравнения (4.4) являются второй парой уравнений Максвелла, а первая следуетиз равенств /> что записывается в эквивалентномвиде на языке дифференцирования кососимметрических тензоров /> Первая пара уравненийМаксвелла записывается в виде />
Замечание2. При выводе уравнений Власова-Максвелла по схеме Боголюбова мы должны были быстартовать с гамильтоновых систем с потенциалами Лиенарта-Вихерта(запаздывающие потенциалы). Для слабого релятивизма соответствующий лагранжианназывается лагранжианом Дарвина.
Замечание3. Можно таким же способом получить уравнения Вла-сова-Янга-Миллса, заменив вчетырех потенциалах Au числа на матрицы.
Вывод, Система уравнений Власова-Максвеллаполучается при варьировании действия электромагнетизма (действия Лоренца) спереходом к функции распределения. Уравнение для функции распределенияполучается как уравнение сдвига вдоль траекторий движения частиц.
2.5 Схема вывода уравнения Власова-Эйнштейна
Рассмотримдействие для частицы в гравитационном поле и для поля[9]:
/> (5.1)
Здесь R —кривизна; вариация но метрике производится переписыванием первого слагаемого вэйлеровых координатах:
/> (5.2)
Приэтом, как и в предыдущем параграфе, получается уравнение для полей. Варьируятраектории частиц в Sp в (5.1), получаем уравнение для их движения вгравитационном поле. Уравнение для функции распределения (как и в предыдущемпараграфе) сеть уравнение сдвига вдоль характеристик.
Вывод. Уравнения Власова-Максвелла иВласова-Эйнштейна получаются единообразным способом варьированиясоответствующих лагранжианов электромагнетизма и гравитации.
2.6 Система уравнений Власова-Пуассона для плазмы иэлектронов
Рассмотримсистему уравнений Власова-Максвелла в потенциалах Аu… Получаем волновую формурелятивистской системы уравнений Власова-Максвелла при условии дuАu = 0(лоренцова калибровка)[10]:
/>
/> (6.1)
/>
Здесьуравнения Максвелла преобразованы по
/>
Если мыперейдем к нерелятивистскому пределу, то va = p/ma. Обычно рассматриваютфункцию f(t,x,v) распределения по скоростям. Получим систему уравненийВласова-Пуассона:
/>
/> (6.2)
/>
Какправило п = 1 (электронная задача) или п = 2 (плазма, состоящая из ионов иэлектронов).
Глава 3 Одномерная модельная задача для уравнения Власова
Рассматривается модельнаяодномерная задача Коши для уравнения Власова. Уравнение описывает эмиссию сбесконечной плоскости монохроматического потока электронов в самосогласованномэлектрическом поле. Для гладких начальных данных строится явное выражение длязначения электрического поля в форме рядов Бюрмана-Лагранжа. После этого задачаопределения потока электронов сводится к решению линейного уравнения первогопорядка по характеристикам, как в релятивистском, так и в классическом случае.Далее производится суммирование построенных рядов и распространение полученныхдля решения исходной задачи формул и на негладкие начальные данные (получениеобобщённых решений).
3.1 Условия
Пусть радиационнаягенерация электромагнитного поля (далее – ЭМП) идёт в широком потоке быстрыхэлектронов, образующемся при рассеянии в среде ионизирующих частиц. В общемслучае ЭМП будет самосогласованным, то есть заметно влиять на динамику быстрыхэлектронов, а решение подобных трёхмерных задач в сложных средах требуетзачастую недоступного в настоящее время объема ресурсов ЭВМ. В ряде практическиважных случаев параметры потоков ионизирующих частиц и среды оказываютсятакими, что эффект согласования ЭМП и плотности тока быстрых электроновневелик. Его можно попытаться учесть как малое возмущение при определениизначений плотности тока и ЭМП. Другие моменты функции распределения быстрыхэлектронов в задачах радиационной генерации ЭМП как правило интереса непредставляют. Этот подход к трёхмерным задачам целесообразно исследовать врамках более простых дву- и даже одномерных постановок при определениинеобходимого набора функционалов от функции распределения[11].
Условия, в которыхпроисходит ионизирующее рассеяние, образование потоков заряженных частиц и ЭМП,создаются широким набором физических эффектов. Представляется очевидным, чтовсе они приводят к уменьшению ЭМП и фактора самосогласования. Например,столкновения быстрых электронов со средой уменьшает их направленную скорость. Втом случае, когда среда имеет исходное распределение электрофизическихпараметров, заметно отличающееся от вакуумного, ЭМП будет иметь заведомоменьшие значения напряженности электрического поля и магнитной индукции. Тоесть, адекватность методик, рассматривающих эффект согласования как малоевозмущение, целесообразно исследовать в рамках модельных задач, описывающихраспространение потоков электронов в вакууме.
Целью практической части работыявляется получение асимптотического разложения решения задачи о торможениипотока электронов собственным электрическим полем в одномерной вакуумной моделии преобразование его к виду, который интерпретируется в терминах рядовБюрмана-Лагранжа. При этом физически очевидно, что влияние поля на электроны втакой задаче заведомо завышено, что гарантирует применимость выводов осходимости получающихся разложений к решениям для реальных моделей.
Сформулированная проблемаимеет универсальный характер: анализ некоторых задач с реакторной тематикой –управление работой реактора, детальный учет эффекта выгорания и др. – приводитк необходимости рассматривать аналогичную ситуацию. Для описания поведенияреактора ищется его нейтронное поле N = N(t, r, v). Такаяинформация, разумеется, избыточна, но с помощью неё сравнительно простонаходить различные функционалы от уже найденного поля, значения которых ипредставляют практический интерес. В данном случае интерес представляетвеличина ЭМП – линейного функционала от электронного поля f = f(t, r, v),– которое само входит в систему Власова-Максвелла и, как будет рассмотрено далее,может в некоторых достаточно простых, но имеющих важные следствия, случаях бытьнайдено, минуя определение функции f(t, r, v), нахождение которойв дальнейшем сводится к решению классических задач с линейными уравнениямипервого порядка. В этом состоит определённая специфика системы Власова-Максвелла.
3.2 Постановка задачи
Модели ЭМП в задачах егорадиационной генерации строятся на основе уравнений Максвелла, содержащихроторы электрического и магнитного полей. Это связано с тем, что быстрыеэлектроны сами ионизуют среду, порождая вторичные электроны и ионы низкойэнергии. Концентрация вторичных заряженных частиц во много раз превышаетконцентрацию быстрых электронов. По этой причине вторичные электроны вматематических моделях рассматриваются отдельно. Источником ЭМП являетсясторонний ток быстрых электронов и проводимость слабоионизованного газавторичных заряженных частиц. Соответствие такой модели закону Гауссаобеспечивается уравнением непрерывности для системы всех заряженных частиц.
Рассмотрим эмиссиюмонохроматического потока электронов со всей плоскости xOy вдоль оси Oz ввакуум. Функция распределения электронов f(t, z, p) удовлетворяет одномерномууравнению Власова, записанному в импульсной, учитывающей релятивистскиеэффекты, форме:
/>
а входящее в него E –самосогласованное электрическое поле – закону Ампера:
/>, />.
Здесь и далее: с –скорость света;/>/>– скорость электрона; m0, re, e,– его масса покоя, классический радиус и заряд соответственно. Плоский потокзаряженных частиц порождает одну компоненту плотности электрического тока j(t, z):вдоль оси Oz. В условиях такой симметрии ненулевой является только Εz-компонентаЭМП. Остальные его компоненты равны нулю вследствие уравнений Максвелла иоднородных начальных данных: f(0, z, p) = 0, Ε(0, z) = 0.
Функция F(t) описываетинтенсивность эмиссии с плоскости, то есть число электронов, вылетающих сединицы площади поверхности в единицу времени. Как и в реальных моделях, длянеё выполнено условие F(0) = 0.
3.3 Математическая формализация задачи
В дальнейшем все функциивремени предполагаются, если не оговорено противное, продолженными нулем наинтервал (t r – на интервал (z
Задача, поставленная впредыдущем пункте, требует предварительного анализа, например, на предметсокращения числа входящих в основные уравнения параметров – то есть, какминимум, приведения их к безразмерному виду. Проводя эту стандартную ( t= tτ,r= rρ, p= pπ, f = f ̃φ(τ,ρ, π), F =F̃Φ(τ, ρ, π), E(t, r) = EΕ(τ, ρ), J = JJ(τ,ρ), Sext = Qext/Q) операцию, видим, что между масштабными – взволнованными– коэффициентами должны иметь место стандартные же соотношения, дабыбезразмерные уравнения не отличались по своей структуре от своих стартовыхразмерных аналогов. Таковыми являются: связь скорости и импульса (классическаяили релятивистская); r = vt, причем, естественнее всегда брать c – за масштабскоростей, а из t̃ и r̃ выбирать только одну.
В результате приходим кследующей системе соотношений, приводящих исходную систему к полностьюбезразмерному виду: один из параметров L = r̃, или T = t̃ являетсясвободным, L = cT, P = p̃ = m0v0. Функции, входящие в систему, имеютсвоими масштабными коэффициентами следующие величины: Q̃ = 2N/(LTP), f̃ = 2N/(LP), J̃= – |e|N/T, Ẽ = 4π|e|N, а единственныйпараметр, остающейся сомножителем перед Ε, – ε можно выразить какчерез начальные данные: ε = 4πreLN, так и через широко используемые (ωплаз)2= 4πrec2n – плазменную частоту и νист = 1/T – частоту источника: ε= υ0(ωплаз/νист)2.
Приведенная таким образомк безразмерному виду исходная система приобретает вид:
/> (1)
/> (2)
Первой задачей анализасистемы (1-2) будет получение явных формул для />путём разложения его в ряд постепеням ε, что сведёт дальнейшее решение уравнения (1) к решениюклассического уравнения первого порядка.
3.4 Алгоритм разложения решения системы по параметру ε
Далее, на первом этапеисследования, при получении формул для E(t, z), нам потребуются производныевсех порядков от временной компоненты источника F(t). Считаем, что она являетсядействительной аналитической функцией. Зависимость v = v(p) полагаеманалитической по тем же причинам: как классическая, так и квантовая её модели,разумеется, этим свойством обладают, а для построения решения удобнеерассматривать сразу общий случай υ = υ(π) произвольногодиффеоморфизма луча π > 0 на луч υ > 0 либо на интервал 0
Поиск начальногоприближения /> уравнения (1) приводит кформулам:
/>
Далее, не обговариваяспециально, удобно придерживаться следующих обозначений: χ = τ –ζ/υ, χ0 = τ – ζ/υ0, τ – (ζ –υ(τ – τ̃))/υ0 = χ̃0, χ̃ = χ.
Пусть />. Разложив по степеням εпроизведение εE φ’ и приравнивая, друг другу коэффициенты при всехпоследовательных степенях, получаем, как обычно, бесконечную серию уравнений,зацепленных каждое только заодно другое своими правыми частями –последовательными источниками частиц, испытавших данное число взаимодействий(соударений). Начальное уравнение цепочки (с S0 = Sext для φ0) ужевыписано. Основным для дальнейшего будет то, что левая часть у всех последующихуравнений одинакова. Правые части их имеют следующий вид: />. Тождественностьоператоров />,порождающих все уравнения, позволяет следующим образом записать их решения φn,в операторной форме: />, где />, а /> – это оператор сдвига похарактеристике (невозмущённого) уравнения переноса: ζ → ζ –υ(τ – τn+1). Далее Εm – это оператор умножения насоответствующую функцию, а />; таким образом в развёрнутойзаписи имеем соотношение />. В последней формуледифференцирования по dπ отмеченного υ = υ(π) НЕпроизводится.
На этом пути получаютсявесьма громоздкие явные выражения для поправок φn при малых n .
/>Из них дляJ1(τ, χ0) и Ε1(τ, χ0) получаются весьма простыевыражения: Подчеркнем, что простота полученных формул есть следствие того, чтодля данной задачи оператор обращения уравнений Максвелла /> – это просто интегрированиепо dτ от 0 до τ. В результате и все поправки высших порядковвыразятся как полиномы от τ с коэффициентами, зависящими только от Ε0(χ0)и её производных. Формула для Ε1(τ,χ0) уже выписана,
Ε2(χ0)=/>, а Ε3(χ0)=
/>
Далее естественно былопредположить, что и общая формула для поправки к Ε(τ,χ0) порядкаn будет иметь аналогичный вид:
Εn(τ,χ0) = />,
где /> – полином степени k от />, на чтоуказывает показатель степени υ0 в знаменателях его коэффициентов. То, чтополучатся именно полиномы, а не мономы, как при малых n, угадывается прианализе характера упрощений в полученных формулах при переходе от функциираспределения к току электронов; уже при n = 4 в коэффициент при />, войдёт суммаA />+ B /> с напереднеизвестными значениями A и B.
3.5 Операторы Власова порядка n
Обобщение полученных прималых n результатов на поправки к полю высших порядков проводится по той жесхеме явного вычисления, но требует дополнительных рассмотрений в новыхобозначениях. Например, наглядное, но нестрогое обозначение υ использованноевыше, естественно теперь заменить на уже введённые конструкции /> и />, обозначив их через /> и /> – и назвавсоответственно импульсным и скоростным операторами Власова (чьёуравнение и порождает данную модельную задачу) порядка n. Ещё раз подчеркнем,что в дискретном случае /> и /> будут отвечать за взаимодействиес электромагнитным полем частиц, уже n раз провзаимодействовавших с полем.
Записав с их помощьюначальный отрезок разложения поля Ε в ряд по ε, получаем следующеевыражение полного поля Ε через невозмущённое поле Ε0:
/>
Связь скобок – а в нихсоответственно по 2(n-1) слагаемых – в данной формуле с введенными в предыдущемразделе величинами Εq очевидна, но их внутренняя структура нетривиальна.Например, последнюю из них – Ε3 (и, как очевидно, все последующие) разбитьна q компонент можно как минимум двумя способами с различными смысловымиинтерпретациями слагаемых.
Во-первых, Εq = />, где индекс m соответствуетномеру φm от которого берётся производная по импульсу. В этом случаеполучаем:
/>
что означает различениевзаимодействий частиц с полями различных порядков (индексов). Во-вторых, то жеразложение пишется в симметричной форме:
/>, (3)
где учитывается толькообщее число взаимодействий частиц с полем.
Первая форма записиразложения позволяет последовательно находить интегральные соотношения междуразличными компонентами поля />: />, и так далее рекуррентно. Нообщую формулу для Εn получить этим путем затруднительно.
3.6 Общая формула для поправки к полю порядка n
Вторая форма записи разложения(3) позволит найти эту общую формулу. Рассмотрим операторный вид общей еёформы:
/>, (4)
и аналогично для φ, нобез оператора />, решающего систему Максвелла.
Заметим, что в каждойвнутренней сумме /> слагаемых, поскольку операторыВласова различных порядков не коммутируют. То есть, φn является суммой δ-функциии её n первых производных с соответствующими коэффициентами (в которые входят Ενдля ν=1,…,(n — 1) ). Такое представление одной из компонент решения задачи– φ, очевидно, плохо тем же, чем плохо представление решения произвольногоинтегрального уравнения через определители Фредгольма: своей необозримостью.Для того чтобы избегнуть подобной ситуации, надо упростить формулу (4) так,чтобы далее привести задачу определения φ к стандартной.
При упрощении формулы (4)коэффициенты, при последовательных степенях τk, зависящие от υ и еёпроизводных по dπ оказываются удовлетворяющими рекуррентному соотношению: /> = />/> + (n–1+k) />/>. Здесь оператор /> = />’/>+ />’’/>+… .
С учетом вычисленныхзаранее результатов по поправкам малых порядков это означает, что получившийсядля описания поправки порядка n многочлен с символической переменной /> совпадает сполиномом /> дляпроизводных от обратных функций. То, что порядок его смещен на единицу, вызванонеобходимостью снятия одного дифференцирования по dτ (в />). По той же причиневнутренняя его переменная – это не входящая в уравнение Власова (3) скорость υ,но интеграл от неё по импульсу, то есть энергия: ω = ω(υ). Посколькуупомянутые полиномы /> стандартно выражаются черезимеющие явную формулу полиномы Белла, приходим в итоге к одному из вариантовформулы Бруно.
Суммируя полученные привыводе формул (3-4) результаты, приходим к завершающей формуле (5) для записирешения системы (1-2) в замкнутом виде. Здесь и далее, как и ранее />, />, /> а сокращениезаписи суммы /> используется для обозначения еёпо всем разбиениям натурального параметра n: – /> :
/> (5)
Полезно сравнитьполученную для решения системы (1-2) формулу (5) с формулой Тейлора дляразложения сложной функции в степенной ряд, с использованием формулы Бруно для n-производнойсложной функции:
/>
3.7Классическоеи релятивистское решения уравнения Власова
Приведу два частныхслучая общей формулы (5), решающих задачу нахождения электрического поля E(τ,ζ), в классической (все производные, кроме первой, скорости по импульсуравны нулю) и релятивистской – υ2 = π2/(1+π2) ≡π2/ω2 – трактовках:
/> (6)
/> (7).
Здесь γ-2=1 –υ2, />,и далее по индукции />,
где m = n–k, Pm(υ) –многочлены Лежандра, c(n,k) = 2n-kk(m-1)!/n! а, следовательно, полиномы /> удовлетворяютдифференциальным уравнениям: (1-υ2)y" – 2(k+1) υ y' +(n–k)(n+k+1)y = 0
Формулу (5) можнозаписать и в несколько изменённом виде, а именно воспользоваться энергией ωвместо скорости υ, производные от E0 брать не по dτ, но по dζ ипровести еще одно дополнительное дифференцирование по dζ и индуктивносвернуть сумму по n при постоянном k. В результате получим упрощение ранееполученной формулы, аналогичное ряду Бюрмана-Лагранжа для пары функций ω(π)и Ε0(χ0) (здесь />):
/>
Ряды (6) и (7) и их общийслучай (5) формально не являются рядами Бюрмана-Лагранжа для вычислениязначений аналитической f(z) при заданной и также аналитической функции w = w(z). Требуемая для этого подстановка z = 0 приводит в силу граничных условий ктривиальному равенству: 0 = 0. Тем не менее, их (как и сами рядыБюрмана-Лагранжа) удаётся интерпретировать как решения уравнений z = z0 +w·f(z) при надлежащем выборе z, w, z0, f. Такая их трактовка весьма важна ввидуследующих двух обстоятельств.
Во-первых, ряд (5) вполнеможет оказаться расходящимся при достаточно больших значениях ε. Однако,решение исходной системы (1)-(2) обязано существовать и в этом случае.Классическим примером с аналогичной проблемой оценки Rсх является задачаКеплера.
А во-вторых, в настоящеевремя в связи с ростом возможностей ЭВМ уже нельзя однозначно говорить, чтолегче: представлять ли корень исследуемого уравнения (например, z = cosz) рядомБюрмана-Лагранжа или же напрямую решать данное уравнение. Грубо говоря, многиерасчётные формулы XIX – начала XX веков должны лучше читаться сейчас справаналево.
Заключение
I. Одномерное уравнениеВласова для плоского монохроматического потока электронов решено относительновходящего в него электрического поля. Решение (этой модельной, неустойчивойзадачи) получено в виде ряда по производным от степеней решения еёневозмущённого аналога:
/>
и свёрнуто до обычнойсуммы, аналогичной ряду Бюрмана-Лагранжа для ω, E0:
/>
Решение применимо дляаприорных оценок точности асимптотических методик решения трёхмерныхсамосогласованных задач радиационной генерации электромагнитного поля в сложныхсредах.
II. Задача (1)-(2) – системаВласова-Максвелла – может быть заменена эквивалентной ей системой уравнений: — E(τ,χ0) = E0(y(τ, χ0)), где для определения y(τ,χ0) служитНЕ дифференциальное уравнение — 2υ0·(χ0 – y) = ετ2E0(y) вклассическом, — 1 –εE0(y)·(y – χ0 + τ)/γ0 = (1 –2υ0ετE0(y)/γ0 + (ετE0(y)/γ0)2)0.5 врелятивистском и — υ0εE0(y)·(y – χ0 + τ) = ω(π0)– ω(π0 – ετE0(y)) в общем (ω = ω(π)) случаях.
III. Основным приложениемполученных формул (5-6), решающих систему Власова-Максвелла является, каксказано выше, анализ динамики быстрых электронов. Но это далеко не единственнаяобласть их возможного применения. Электронные ливни являются характерным примеромобщих ветвящихся случайных процессов, к анализу которых при наличии обратныхсвязей – нелинейное слагаемое в уравнении Власова – можно применять полученныерезультаты. В частности, описание процесса сохранения и уничтожения сведений(исторических источников) формализуется системой, аналогичной рассмотренной(1-2), в которой, однако, роль пространственной переменной z играет древностьисточника. Полученное (неустойчивое!) её решение (5) достаточно хорошоописывает (то же неустойчивую!) модель с широко известной формулой: «у историинет сослагательного наклонения».
Список литературы
1. ВласовА.А. О вибрационных свойствах электронного газа ЖЭТФ 8 (3),1938
2. В.Гинзбург, Л. Ландау, М. Леонтович, В. Фок О несостоятельности работ А.А.Власова по обобщенной теории плазмы и теории твердого тела. ЖЭТФ 3, 1946
3. Н.С. Келлин и др.Об одномерной модельной задаче для уравнения Власова I. М., препринт ИПМ РАН №67, 2003.
4. Больцман Л.,Лекции по теории газов. – М.Ж Гостехиздат, 1956
5. Коган М.НДинамика разреженного газа. – М., Наука. 1960
6. Владимиров В.С.Уравнения математической физики.- М., Наука 1967
7. Зельдович Я.б.,Мышкис А.Д., Механика сплошной среды. — М.: Наука. 1973
8. Н.С. Келлин. Условностационарные начально-краевые задачи в динамике реакторов, – М., ДАН СССР, т.293, № 2, 1987.
9. Веденяпин В.В.Кинетические уравнения Больцмана и Власова. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001
10. Козлов В.В. Кинетическое уравнениеВласова, динамика сплошных сред и турбулентность., Нелинейная динамика, 2010,Т6, №3
11. Э. Камке. Справочник по обыкновеннымдифференциальным уравнениям. М., ИЛ, 1951.