Содержание
1. Возникновение переходных процессов и законы коммутации
2. Способы получение характеристического уравнения
3. Особенности переходных процессов в цепях с одним реактивным элементом
4. Переходные процессы в цепях с двумя разнородными реактивными элементами
5. Временные характеристики цепей
6. Расчет реакции линейной цепи на входное воздействие произвольного вида с применением временных характеристик цепи
Список используемых источников
1. Возникновение переходных процессов и законы коммутации
Для изучения темы реферата необходимо знатьрасчет установившихся режимов, т.е. таких, когда все токи и напряжения либо постоянные, либо периодически повторяющиеся функции времени, но в любой схеме могут происходить подключения и отключения ветвей (происходит коммутация). Обозначают коммутацию: />. В линейных цепях коммутация считается идеальной, т.е.:
1) ключ представляет собой либо разрыв, либо провод;
2) длительность перехода из одного состояния в другое равна нулю. Момент времени сразу после коммутации обозначают />либо />, а момент времени непосредственно перед коммутацией соответственно обозначают />, />. После коммутации цепь стремится под действием источников схемы прийти к новому установившемуся режиму, но для этого ей требуется время. Процессы, происходящие в цепи после коммутации, называются переходными процессами.
Почему этот переход не может произойти мгновенно? Дело в том, что в цепи имеются элементы Lи C, в которых запасается определенная величина энергии WL=L/>2/2 и WC=Cu2/2 соответственно. В новом установившемся режиме будет другой запас энергии, и, т.к. скорость изменения энергии есть подводимая к элементу мощность, получается, что требуется конечное время на изменение этого запаса энергии (т.к. источников бесконечной мощности в реальной цепи нет). Из выражения для WLи WCи того факта, что в цепях не развивается бесконечная мощность, вытекают два фундаментальных условия, без которых невозможно рассчитать ни один переходной процесс – это законы коммутации.
Получим их:
/>,
т.к. P/>, L— конечное число, />L— конечное число, то />— скачка быть не может. Отсюда вытекает один из законов коммутации: ток в индуктивности не может измениться скачком, поэтому при коммутации: />. Дифференцируя dWC/dt, приходим ко 2-ому закону коммутации: напряжение на ёмкости не может измениться скачком, поэтому при коммутации: />. Т.к. />= L/>L, />, то можно использовать и такие функции: />, />.
Про остальные величины, в том числе и про скорость изменения любых токов и напряжений при коммутации заранее ничего не известно и их приходится рассчитывать. Т.к. и форма изменения токов и напряжений неизвестна, приходится использовать самые общие выражения: />, />. Тогда уравнения, описывающие цепь после коммутации, оказываются дифференциальными. В линейной цепи – это линейные дифференциальные уравнения (ЛДУ). Существуют различные методы решения таких уравнений, и соответственно различают различные методы расчета переходных процессов.
2 Способы получение характеристического уравнения
Классический метод
Классический метод основан на решении ЛДУ методом вариации произвольных постоянных. Любая система ЛДУ может быть сведена к одному уравнению n–ого порядка. В цепях по схеме после коммутации порядок определяется так: n= nL+ nC– nОК – nОС , где nL– число L; nC– число C; nОК– число особых контуров, т.е. таких, которые состоят только из емкостей и источников ЭДС; nОС – число особых сечений (в простейшем случае, это узлы схемы, к которым подключены только ветви с источником тока или с индуктивностями).
Решение уравнения представляют в виде суммы частного решения неоднородного уравнения (ЛНДУ) и общего решения линейного однородного дифференциального уравнения (ЛОДУ). Частное решение определяется видом правой части уравнения. В цепях в правой части уравнения стоят источники энергии схемы после коммутации. Физический смысл частного решения уравнения в цепях – это новый установившийся режим, к которому будет стремиться схема после коммутации под действием источников. Поэтому частное решение ЛНДУ называют принужденной составляющей режима. Общее решение ЛОДУ физического смысла не имеет. В противоположность принужденной составляющей, его называют свободной составляющей переходного процесса. Свободная составляющая записывается в виде суммы слагаемых, число и вид которых определяются корнями характеристического уравнения.
После записи решения необходимо рассчитать произвольные постоянные, вошедшие в выражение общего решения. Это можно сделать, если известны начальные условия. Начальные условия – это значения искомой функции времени и необходимого числа её производных по времени в начале переходного процесса, т.е. при t=0.
Все начальные условия делят на две группы:
— независимые начальные условия, это />L(0) и uC(0), которые находятся по законам коммутации, с помощью вычисленных ранее />L(0-) и uC(0-) в схеме до коммутации;
— все остальные начальные условия – зависимые. Их приходится искать из цепи после коммутации в переходном режиме по законам Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений при t=0 с помощью независимых начальных условий. Имея необходимое число начальных условий и рассматривая решение и его производные по времени в момент />, получают систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) из которой находят произвольные постоянные.
В соответствии с изложенным, порядок расчета переходного процесса классическим методом может быть таким:
1) рассматривают установившийся режим схемы до коммутации и находят />L(0-) и uC(0-);
2) рассматривают цепь после коммутации в новом установившемся режиме и находят принужденную составляющую переходного процесса;
3) тем или иным способом получают характеристическое уравнение и находят его корни в соответствии с которыми определяют вид свободной составляющей;
4) записывают решение в виде суммы принужденной и свободной составляющих.Если характеристическое уравнение n– ого порядка, то формируется система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) n— ого порядка, включающая (n-1) производную решения. Переписывают СЛАУ для />;
5) рассматривают цепь после коммутации в переходном режиме; рассчитывают необходимые начальные условия (ННУ);
6) подставляют ННУ в СЛАУ при />и находят произвольные постоянные;
7) записывают полученное решение.
Способы получения характеристического уравнения--PAGE_BREAK--
Существуют различные способы получения характеристического уравнения.
Если цепь описывается всего одним уравнением, то его алгебраизируют: d/dtзаменяют на p, />dtзаменяют на 1/p, правую часть обращают в ноль и получают характеристическое уравнение.
/>
/>
/>
/>
Если режим в цепи описывается системой из нескольких уравнений, то методом подстановки их сводят к одному и поступают точно также как описано выше (обычно так не делает).
Универсальный способ
Систему уравнений по законам Кирхгофа для цепи после коммутации алгебраизируют и составляют определитель системы, и приравняв его к нулю, получают характеристическое уравнение.
Воспользуемся этим способом.
Пусть схема после коммутации имеет вид:
/>
/>,,
/>
/>
Если в схеме нет управляемых источников и взаимных индуктивностей, то проще всего поступить так: в схеме после коммутации все источники заменить их внутренним сопротивлением, вместо индуктивности Lнаписать pL, вместо емкости Cнаписать />.
а) Если в полученной схеме нет ветви без сопротивления, томожно разомкнуть любую ветвь полученной пассивной схемы и относительно точек разрыва записать выражение для нахождения />.
б) Если в полученной схеме есть ветви без сопротивления, то размыкать надо именно ту ветвь, в которой ищется переходный ток или напряжение и относительно точек разрыва записывают />.
Характеристическое уравнение имеет вид:
/>.
Для рассмотренного выше примера получим:
/>
/>
Выражение для свободной составляющей содержит столько слагаемых, сколько есть корней, а слагаемые имеют такой вид:
а) каждому простому вещественному корню />соответствует слагаемое />.
Если два корня, то процесс апериодический.
б) двум комплексно-сопряженным корням: />и />соответствует A1ePx1 t+A2ePx2 t, где A1, A2– получаются комплексными числами, причем комплексно-сопряженными числами. Поэтому с помощью формулы Эйлера этот результат можно записать в другом виде (где не будет j): />.
По этому выражению не очень удобно строить графики. Используя формулы тригонометрии его можно преобразовать (либо в sin, либо в cos): Ce-/>tsin(/>ct+/>1)=De-/>tcos(/>ct+/>2) – затухающий во времени гармонический процесс – колебательный процесс.
в) среди корней есть mодинаковы[ (если таких корней два, то переходный процесс называется критическим).
/>
/>;
/>
Пример:Дано: E=40В, R1=R2=400 Ом, L=5Гн, C=5 мкФ. Найти />.
/>
1) В схеме до коммутации стоит постоянный источник, следовательно, ток в установившемся режиме постоянный.
t
/>
/>, />.
Если источник ЭДС синусоидальный, то эту часть задачи решают символическим методом.
2) Рассчитывают новый установившийся режим, находят принужденную составляющую.
t/>
Видно, что после коммутации в схеме есть только постоянный источник ЭДС и поэтому в принужденном режиме – постоянный ток.
/>
/>.
3) получают характеристическое уравнение
/>
/>
/>.
4) записывают решение продолжение
--PAGE_BREAK--
5) определяют начальные условия
Для схемы после коммутации записывают систему уравнений по законам Кирхгофа. Число этих уравнений больше, чем число неизвестных, однако при t=0, известны все iL(0) и uC(0), поэтому при добавлении этих независимых условий из полученной при t=0 системы можно найти все остальные зависимые начальные условия, например, методом подстановки.
При решении надо выразить значения токов и напряжений в момент t=0, их производные по времени в момент t=0 через параметры элементов схемы и независимые начальные условия.
Например, для нашей задачи:
/>
/>
В нашей задаче для расчета />надо найти 2 начальных условия, т.к. имеем 2 корня характеристического уравнения и 2 произвольные постоянные, поэтому надо знать />R(0) и />R(0).
Из (1):
/>,
Из (3):
/>/>
/>,
/>.
6) расчет произвольных постоянных
В нашем случае:
/>/>
При />:
/>
Тогда из (1) />
Из (3)/>(2)/>
Ответ: />, А.
3. Особенности переходных процессов в цепях с одним реактивным элементом
В таких цепях характеристическое уравнение будет первого порядка. Получить это уравнение можно, например, так:
По способу Zвх(p)=0, при этом схемы могут иметь вид:
/>
Рис (1) />, />,
Рис (2) />, />.
Видно, что корень характеристического уравнения получается отрицательным, т.е. с течением времени свободная составляющая />.
Ясно, что в разных схемах различными получаются величина А, величина />, но свободная составляющая всегда будет иметь вид затухающей экспоненты. Для таких функций вводятся специальная характеристика.
Постоянная времени цепи (τ) – есть интервал времени, за который амплитуда свободной составляющей уменьшается в eраз.
Воспользовавшись этим определением, можно найти τ таким образом так как />, то
/>.
В цепи: />, />
т.е. τ зависит только от параметров рассматриваемой цепи (τ не зависит от начальных условий и напряжений источника).
Используя понятие τ, можно условно ввести понятие длительности переходного процесса. Так как />, то
t
τ
3τ
5τ
/>
0,36
0,05
0,004
В соответствие с этой таблицей принимают, что переходный процесс длится />. К концу этого времени график переходного процесса практически сливается с принужденной составляющей.
Если известен график переходного процесса, из него можно найти τ.
Проще всего сделать так: на глаз определить, где кончается переходный процесс.
/>
Длительность переходного процесса делят на />. Это и будет τ.
— Из графика переходного процесса вычитают принужденную составляющую. Это будет график свободной составляющей. Задаются моментом времени t1 и находят из графика xсв(t1). Делят эту величину на eи получают xсв(t1+ τ). Находят на графике эту величину, из нее определяют время t2и затем находят τ как τ = t2— t1
/>
— τ есть величина под касательной к графику переходного процесса. Подкасательная – это проекция на ось времени от точки, в которой проведена касательная до точки пересечения этой касательной с асимптотой.
/>
Пример:Дано: />, />, />. Найти i(t), uc(t)
/>
1) t продолжение
--PAGE_BREAK--
i(0_)=0, uc(0_)=0,
2) t→∞
/>, />,
Должен существовать переходной процесс, в течении которого от источника энергия передается к конденсатору, а по проводам идет ток, заряжающий конденсатор.
/>
3)/>/>/>,
4) />; />,
/>,
/>, />/>/>, />
5) Расчет начальных условий.
/>
/>
/>
/>
Тогда из />получают />
6) />
/>, />
/>
Пример:Дано: />, />, />. Найти />.
/>
1) />
/>, />, />
2) Расчет принужденной составляющей.
В данном случае принужденный режим есть синусоидальный ток, поэтому расчет проведем символическим методом.
/>
/>, />
Переходят к мгновенному значению:
/>,
3) />; />, />
4) />
5) />
6) />,
/>
7) />
/>, />
График проще всего построить по этапам:
1) принужденная составляющая;
2) expсоответствует свободной составляющей суммы этих графиков.
4. Переходные процессы в цепях с двумя разнородными реактивными элементами
В этих цепях характеристическое уравнение имеет второй порядок, следовательно, будет два корня и две произвольные постоянные в свободной составляющей. Самое главное это то, что у квадратного уравнения есть 3 типа корней (вещественные различные, вещественные одинаковые и пара комплексно-сопряжённых), поэтому вид свободных составляющих в разных цепях получается различным. Рассмотрим возможные варианты на простейших примерах.
Пример:
/>
1) iL(0_) = 0, uc(0_)=0,
2) iпр= 0, uR пр= iпрR = 0
uCпр = E, uLпр = 0
3) Будем искать ток в цепи. Тогда надо иметь два начальных условия: i(0) и i΄(0).
Для цепи после коммутации:
/>, />
/>
/>/>/>
В данной схеме все 3 способа получения характеристического уравнения имеют одинаковую трудоёмкость.
/>, />,
/>,
/>.
В зависимости от величины подкоренного выражения получаются разные типы корней.
Если />, то подкоренное выражение равно нулю, и следовательно получим />. Из выражения (*) видно, что это получается при некотором «критическом» значении сопротивления />.
Если же R> Rкрто подкоренное выражение положительно, и получим два вещественных различных корня. Если R
1) R> Rкр(два вещественных различных корня) и тогда решение для тока запишется в виде:
/>, продолжение
--PAGE_BREAK--
/>,
и при t= 0 получаем два уравнения для расчёта произвольных постоянных:
/>
/>
Из (1): />, и подставляя в (2): />
График проще построить по частям (принуждённая составляющая и каждое слагаемое свободной составляющей, а затем сложить).
/>
Говорят, что это апериодический процесс.
Аналогично можно получить выражения и графики для напряжения на электродах:
/>
2) R = Rкр
/>
/>
/>
/>, />
/>
/>при />
Графики имеют в этом случае точно такой же вид, как и в предыдущем случае, но в первом случае процессы идут медленнее, чем во втором. Этот случай называется критическим переходным процессом.
3) R
/>
/>, />,
т.е. при α→ 0 ωcстремится к резонансной частоте данной цепи.
Решение запишется в виде:
/>(классический метод)
/>
/>
/>
(1) в (2): />
(1)/(3): />/>, из (3) />
/>
Видно, что в данном случае свободная составляющая представляет собой затухающую во времени синусоиду. Такой переходной процесс называется колебательным или периодическим, и график его проще построить так: симметрично относительно принуждённой составляющей строим график амплитуды свободной составляющей (график огибающей процесса), дальше в график огибающей вписывают синусоиду с её начальной фазой и периодом свободных колебаний.
/>
/>, />— коэффициент затухания,
/>— частота свободных колебаний.
/>
Рассматривать цепи более высокого порядка смысла нет, потому что у любого уравнения корни могут быть трёх видов, а для каждого типа корней мы свободную составляющую уже получили.
5. Временные характеристики цепей
Ранее мы рассматривали частотные характеристики, а временные характеристики описывают поведение цепи во времени при заданном входном воздействии. Таких характеристик всего две: переходная и импульсная.
Переходная характеристика
Переходная характеристика — h(t) — есть отношение реакции цепи на входное ступенчатое воздействие к величине этого воздействия при условии, что до него в цепи не было ни токов, ни напряжений.
Ступенчатое воздействие имеет график:
/>
1(t) – единичное ступенчатое воздействие.
/>
Иногда используют ступенчатую функцию, начинающуюся не в момент «0»:
/>
/>
Для расчёта переходной характеристики к заданной цепи подключают постоянный ЭДС (если входное воздействие – напряжение) или постоянный источник тока (если входное воздействие – ток) и рассчитывают заданный в качестве реакции переходный ток или напряжение. После этого делят полученный результат на величину источника.
Пример:найти h(t) для ucпри входном воздействии в виде напряжения.
/>
1) />,
2) />,
3) />, />,
/>
/>,
/>,
/>
Пример: ту же задачу решить при входном воздействии в виде тока
/>
1) />,
2) />,
3) />, />,
/>
/>,
/>,
/>
Импульсная характеристика
Импульсная характеристика — g(t) – есть отношение реакции цепи на входное воздействие в виде дельта — функции к площади этого воздействия при условии, что до подключения воздействия в схеме не было ни токов, ни напряжений.
δ(t) – дельта-функция, дельта-импульс, единичный импульс, импульс Дирака, функция Дирака. Это есть функция:
/>
Рассчитывать классическим методом g(t) крайне неудобно, но так как δ(t) формально является производной />, то найти её можно из соотношения g(t)=h(0)δ(t) + dh(t)/dt. продолжение
--PAGE_BREAK--
Для экспериментального определения этих характеристик приходится действовать приближённо, то есть создать точное требуемое воздействие невозможно.
На вход падают последовательность импульсов, похожих на прямоугольные:
/>
tф– длительность переднего фронта (время нарастания входного сигнала);
tи– длительность импульса;
К этим импульсам предъявляют определённые требования:
а) для переходной характеристики:
— tпаузыдолжно быть таким большим, чтобы к моменту прихода следующего импульса переходный процесс от окончания предыдущего импульса практически заканчивался;
— tидолжно быть таким большим, чтобы переходный процесс, вызванный возникновением импульса, тоже практически успевал заканчиваться;
— tфдолжно быть как можно меньше (так, чтобы за tсрсостояние цепи практически не менялось);
— Xmдолжна быть с одной стороны такой большой, чтобы с помощью имеющейся аппаратуры можно было бы зарегистрировать реакцию цепи, а с другой: такой маленькой, чтобы исследуемая цепь сохраняла свои свойства. Если всё это так, регистрируют график реакции цепи и изменяют масштаб по оси ординат в Xmраз (Xm=5В, ординаты поделить на 5).
б) для импульсной характеристики:
tпаузы– требования такие же и к Xm– такие же, к tфтребований нет (потому что даже сама длительность импульса tфдолжна быть такой малой, чтобы состояние цепи практически не менялось. Если всё это так, регистрируют реакцию и изменяют масштаб по оси ординат на площадь входного импульса />.
Итоги по классическому методу
Основным достоинством является физическая ясность всех используемых величин, что позволяет проверять ход решения с точки зрения физического смысла. В простых цепях удаётся очень легко получить ответ.
Недостатки: по мере возрастания сложности задачи быстро нарастает трудоёмкость решения, особенно на этапе расчёта начальных условий. Не все задачи удобно решать классическим методом (практически никто не ищет g(t), и у всех возникают проблемы при расчёте задач с особыми контурами и особыми сечениями).
/>
До коммутации />, />.
Следовательно, по законам коммутации uc1(0) = 0 и uc2(0) = 0, но из схемы видно, что сразу после замыкания ключа: E= uc1(0)+uc2(0).
В таких задачах приходится применять особую процедуру поиска начальных условий.
Эти недостатки удаётся преодолеть в операторном методе.
6. Расчет реакции линейной цепи на входное воздействие произвольного вида с применением временных характеристик цепи
Раньше мы рассматривали два вида входного воздействия:
1) xвх= δ(t)-на входе будет импульсная характеристика g(t);
2) xвх= 1(t)-переходная характеристика h(t).
При произвольном заданном виде входного воздействия, в линейной цепи тоже можно найти реакцию. Для этого годятся и g(t) и h(t) и передаточная функция H(p), но в зависимости от формы входного сигнала, сложности цепи и того математического аппарата, которым располагаешь, более удобно будет применить какую-то одну из этих характеристик.
Рассмотрим применение переходной характеристики h(t):
1) На входе действуют прямоугольным импульсом
/>
Воспользуемся принципом наложения и представим этот импульс в виде двух скачков Um1(t) и -Um1(t-tu).
Если нам известна переходная характеристика на h(t), то реакция на каждый скачок записывается очень просто Umh(t) и -Umh(t-tu) (h(t)=1-e-t/τ).
Вся реакция определяется сложением этих двух графиков.
Т.е. для 0≤t
2) Входной сигнал – функция, которая в некоторые моменты времени изменяется скачком, а между этими моментами постоянно.
/>
И в этом случае задача решается просто: раскладываем входной сигнал на совокупность скачков и записываем для каждого интервала времени свое выражение для реакции:
0≤t
10-3≤t
t≥2∙10-3 xвых=5∙h(t)+10∙h(t-10-3) -18∙h(t-2∙10-3).
Все такие задачи решаются с помощью h(t).
1) Входной сигнал в некоторый момент времени имеет скачки, а между
этими моментами времени плавно изменяется по тому-то закону (или вообще плавно изменяется без скачков).
/>
Представим себе, что этот сложный сигнал приближенном.б. составлен из нескольких скачкообразных воздействий (первое воздействие имеет амплитуду xвх(0) и возникает в момент t=0, второе воздействие возникает в некоторый момент t1и имеет амплитуду xвх(t1)-xвх(0)=∆xвх(t1), третий сигнал поступает в момент t2и имеет амплитуду ∆xвх(t2) и т.д.). Значит можно написать, что для некоторого момента t: продолжение
--PAGE_BREAK--
xвх(t)≈xвх(0)1(t)+∑∆xвх(tj)1(t-tj) (*).
В сумме учитывая все те ступеньки, которые возникли до нашего момента времени t. Если ступеньки брать помельче, выражение будет получаться поточнее, но все равно приближенно. Получим теперь точное выражение. В нашем случае:
xвых(t)≈xвх(0)h(t)+∑∆xвх(tj)∙h(t-tj) (**).
Известно, что ∆xвх(tj)/∆tj≈x(tj) и тогда (**) перепишется xвых(t)≈xвх(0)∙h(t)+∑xвх′(tj)∆tjh(t-tj). Уменьшая ∆tjдо dtjвместо суммы получим интеграл: (для удобства записи tj→λ)
/>
Если бы функция имела скачки не только в момент 0, но и в какие-то другие моменты. Пришлось бы для каждого интервала времени в котором функция непрерывна, записывать свои выражения отличающиеся друг от друга наличием реакции на скачки случившиеся до рассмотрения момента времени t.
Пример:Есть h(t)=0,5e-500t. Надо найти реакцию цепи на входное воздействие.
/>
Описывает входное воздействие аналитически. В нашем случае можно считать, что в интервале от 0 до 10-3Uвх1(t)=a+b∙t:
30=10+b∙10-3; a=10; b=2∙104.
Uвх2(t)=15+A∙e-t/τ; τ=8∙10-4 ; t/τ=10-3/8∙10-4 ;
Uвх2(t=10-3)=5=15+A∙e-1,25; A≈-30.
Теперь для каждого интервала времени записываем свое выражение:
≤t
/>
/>/>.
Берем интеграл, приводим подобные члены, строим графики. Но в рамках курса ТОЭ РГРТУ требуется ответ до состояния
t≥10-3
/>/>
/>
Применение импульсных характеристик
Известно, что
1) g(t)= />-1{H(p)},
2) xвых(p)=xвх(p)H(p),
3) />/>=/>,
Пусть />, />,
тогда />=/>-1/>=/> продолжение
--PAGE_BREAK--
Фактически это есть другая форма интеграла Дюамеля, которая может быть получена используя связь g(t) и h(t). Порядок применения получения выражения такой же, но при численном нахождении интеграла удобней использовать собственно интеграл Дюамеля.
Применение передаточной функции
Если известно H(p) и xвх(t), можно записать изображение xвх(p), вычислить xвых(p)=H(p)xвх(p) и перейти к оригиналу.
Особенно удобно применять H(p)тогда, когда xвх(t) имеет простой вид, позволяющий легко записать изображение xвх(p) либо сразу для всего сигнала, либо разложение его на более простые компоненты и воспользовавшись принципом положения.
Например:
xвх(t)=10e-100t
/>
/>
/>, />,
/>, />, />,
/>, />,
/>,
/>,
/>
/>
Этот входной сигнал можно представить в виде совокупности двух более простых. Тогда
1) Для0 ≤t
/>,
2) Дляt≥10-2, t
/>
3) />.
Теперь умножая на H(p) находим изображающие реакции и затем переходим к оригиналу.
Список используемых источников
1. Основы теории цепей. Учебник для вузов./ Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страхов.-5-е изд. перераб.-М.: Энергоатомиздат, 1989. 528 с.
2. В.П. Попов. Основы теории цепей. Учебник для вузов. -М.: Высшая школа, 1985. 496 с.
3. Теория электрических цепей: Методические указания к лабораторным работам / Рязан. гос. радиотехн. акад.; Сост.: С.М. Милюков, В.П. Рынин; Под ред. В.П. Рынина. Рязань, 2002. 16 с.,2004. 20 с. (№3282, №3624)
4. Электротехника и электроника: Методические указания к расчетно-графической работе / Рязан. гос. радиотехн. акад.; Сост. Г.В. Спивакова. Рязань, 2005. 16 с. (№3665)
5. М.Р. Шебес. Теория линейных электрических цепей в упражнениях и задачах. М.: Высшая школа, 1990. 528 с.
6. Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Нелинейные цепи: Учеб. для электротехн. спец. вузов. –2-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1986. –352 с.
7. Каплянский А.Е. и др. Теоретические основы электротехники. Изд. 2-е. Учеб. пособие для электротехнических и энергетических специальностей вузов. –М.: Высш. шк., 1972. -448 с.
8. Теоретические основы электротехники. Т. 1. Основы теории линейных цепей. Под ред. П.А. Ионкина. Учебник для электротехн. вузов. Изд. 2-е, перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1976. –544 с.