Курсовая работа
«Линейные электрическиецепи постоянного и синусоидального тока»
Задания Цель работы: Расчёт и исследование цепей постоянного и синусоидального тока.Определить:1) токи всех ветвей схемы,используя МКТ, МУП.2) ток в выделенной ветви,используя МЭГi, МЭГu.3) проверить балансмощностей4) привести схемы в EWB или Ms для измерения токов ветвей,напряжений на элементах.
Задание 1
/>
Дано:
R1 = 3 Ом, R2 = 10 Ом, R4 = 10 Ом, R5 = 5 Ом, R7 = 2 Ом,
J2 = 1A, E5 = 20B, E6 = 5B.
Задание 2
/>
Дано:
R2= 5 Ом, R3 = 10 Ом, R4 = 5 Ом, R5 = 5 Ом, R6 = 5 Ом, R7 = 5 Ом,
J4= 1 A, E1 = 10 B, E6 = 25 B.
Задача3
/>
Дано:
R1= 6 Ом, R2 = 3 Ом, R4 = 10 Ом, R5 = 1 Ом, R6 = 3 Ом, R7 = 3 Ом, R8 = 6 Ом,
J2= 1 A, E3 = 12 B, E4 = 24 B.
Задание 4
/>
Дано:
R1 = 220 Ом, R2 = 120 Ом, R3 = 150 Ом, R4 = 200 Ом, E1 = 10B, E3 = 15B,
f = 120МГц, C1 = 253 мкФ, C2 = 345 мкФ, L1 = 276 мГн, L2 = 138 мГн.
Линейныеэлектрические цепи постоянного тока
Теория, метод контурных токов
Нам даналинейная электрическая цепь. Задача, заключается в нахождении сначала контурныхтоков, затем и токов в ветвях. Сначала выбираем произвольно направления токов вконтурах, его можно выбрать по часовой стрелке и против часовой стрелки, но этоусловно, так как исходя из полученного в дальнейшем знака, мы будем судить онаправлении тока. Воспользуемся фундаментальными законами Кирхгофа. В частностипервый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, подтекающих к любому узлусхемы, равна 0. Применив закон к примеру (рис. 1) получаем системууравнений:
/>.
Выбираемдерево, которое включает в себя максимальное количество ветвей без источниковтока. Пусть это будут ветви, содержащие />.Затем выбираем контура, и выбираем обход контура. Воспользуемся вторым закономКирхгофа: алгебраическая сумма падений напряжений в любом замкнутом контуреравна алгебраической сумме ЭДС вдоль того же контура. Для выбранных намиконтуров составляем систему уравнений Кирхгофа:
/>
Возьмем токииз первого закона Кирхгофа и подставим их в уравнения из второго законаКирхгофа. Получим:
/>
Пояснимданную систему. Через каждый элемент протекает некоторый контурный ток: /> /> />. Значит падение напряженияна элементе обусловлено протеканием через него всех контурных токов, причемнапряжение от собственного контурного тока всегда берется со знаком плюс.Падения напряжений от остальных контурных токов берутся со знаком плюс, еслинаправления контурных токов совпадает с направлением рассматриваемого тока, и вобратном случае с минусом.
Затемзаписываем матрицу сопротивлений симметричную относительно главной диагонали. Вправой части мы записываем сумму ЭДС входящих в контур если направление ЭДСсовпадает с направлением обхода контура, то она со знаком «+», в противномслучае – со знаком минус. При переходе от токов ветвей к контурным токам первыйзакон Кирхгофа выполняется всегда.
Определяемколичество уравнений МКТ, по формуле:
/> (где N-число (узлов, ветвей,уравнений))
Если в цепиприсутствуют независимые источники тока, то число уравнений уменьшается наколичество источников токов:
/>. (где Nj – число источников тока)
Записываемуравнения МКТ в общем виде:
/>/>,
Получаемматричное уравнение по МКТ.
Запишемалгоритм записи уравнений по МКТ:
1) чертитсяграф;
2) выбираетсядерево;
3) выбираютсянезависимые контуры путем добавления хорд к ветвям дерева;
4) выбираютсянаправления контуров;
5) записываютсяуравнения по методу контурных токов числом, указанным выше;
6) определяютсяконтурные токи (решается система уравнений);
7) определяютсятоки во всех ветвях; обратим внимание на то, что через каждую хорду будетпротекать только контурный ток:
/> но />.
Получимсистему уравнений МКТ формально. Воспользуемся стандартной ветвью.
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Вспоминаем,что токи ветвей связаны с токами хорд следующим соотношением: />, откуда становится ясно,что наши контурные токи – это и есть />. Далее,
/>
Система быланеполная, но мы сменили базис и перешли к полной системе.
/> />
Отсюда можноопределить:
/>
/>
/>
/>
Уравнение /> и есть формальноеуравнение записи по МКТ. Здесь действительно учтены как независимые источникиЭДС, так и независимые источники тока. Количество уравнение получаетсяавтоматически. Также из уравнения /> становитсяясно, что формальная запись /> и /> выглядит следующимобразом:
/>
/>.
Задание 1
Принципиальнаясхема цепи выглядит следующим образом:
/>
Найдемколичество уравнений. Так как в цепи присутствуют независимые источники тока,то мы имеем:
/>
/>
Теперьвыберем независимые контуры. Пусть первый контур состоит из ветвей 1, 4, 5, ипо нему течет ток I11 по часовой стрелке. Пусть второй контур состоит из ветвей 2, 4,6, по нему течет ток I22 по часовой стрелке.
Запишемсистему уравнений по методу контурных токов:
/>
(R3+R4)*I11-R4*I22=-E6
(R1+R7+R4+R5)*I22-I11*R4– J1*R5=E5
/>15 * I11 – 5 * I22 = -5,
-5 * I11 + 15 * I22 = 15;
Решим системупо методу Крамера. Найдем определители:
D = />= 200, D22 = /> = 200, D11= />= 0.
Найдемконтурные токи:
I11 = D11/D= 0 A; I22 = D22/D= 1 A
Теперьпосчитаем токи во всех ветвях.
Через хордытекут только контурные токи, поэтому:
I3 = I22 = 0 A
I1 = I11 = 1 A
В ветви систочником тока течет ток, создаваемый этим источником:
I2 = J1 = 1A
Токи востальных ветвях найдем как сумму контурных токов, текущих по ним, с учетомзнаков:
I4= I22 – I11 = 1 A
I6= J1-I11 = -1 A
I5= I22 + J1 = 2 A
Проверка
1) Балланс мощностей:
E5*I5+ E6*I6 +J2*(U2+I2*R2) = I1^2*R1+I2^2*R2+I3^2*R3+I4^2*R4+I5^2*R5+I1^2*R7
40Вт = 40 Вт.
2) Проверка по первому законуКиргофа:
I1= I5 + I3;
I1= I2 + I4;
I4= I5 + I6;
I2+ I6 = I3;
Задание 2
Принципиальнаясхема цепи выглядит следующим образом:
/>
Найдемколичество уравнений. Так как в цепи присутствуют независимые источники тока,то мы имеем:
/>
/>
Теперьвыберем независимые контуры. Пусть первый контур состоит из ветвей 1 и 2, и понему течет ток I11 против часовой стрелки. Пусть второй контур состоит из ветвей 1и 3, по нему течет ток I22 против часовой стрелки.
Запишемсистему уравнений по методу контурных токов, учитывая J1:
/>(R3 + R6 +R5) * I11 – (R5+ R6) * I22 = – (R3 + R6) * J1 – E6 + E1
– (R5+ R6) * I11 + (R2 + R5 + R6 + R7) * I22 = R6 * J1 + E6
/>20 * I11 – 10 * I22 = -30
-10 * I11 + 20 * I22 = 30
Решим системупо методу Крамера. Найдем определители:
D = />= 300, D11 = /> = -300, D22= />= 300.
Найдемконтурные токи:
I11 = D11/D= -1 A; I22 = D22/D= 1 A
Токи в ветвяхнайдем как сумму контурных токов, текущих по ним, с учетом знаков:
I2= I7 = I22 = 1A
I6= – I11 + I22 – J1 = 1A
I5= I11 – I22 = -2 A
I4= J1 = 1A
I3= I11 + J1 = 0
I1= I11 = -1A
Проверка
1) Балланс мощностей:
I3*I3*R3+ I4*I4*R4 + I5*I5*R5 + I6*I6*R6 + I2*I2*(R2+R7) = E6*I6 + E1*I1 + J4 * U4,
5+ 5 + 20 + 10 = 25 – 10 + 25,
40= 40
2) Проверка по первомузакону Киргофа:
I4+ I1 = I3;
I6+ I3 = I2;
I4+ I5 + I6 = 0;
I1= I2 + I5;
Задание 3
Принципиальнаясхема цепи выглядит следующим образом:
2 />
Преобразуемданную схему. Ветвь 1 исключим. Позже ток в этих ветвях найдем через законКиргофа. Далее, найдем сопротивление, эквивалентное сопротивлению между узлами1 и 2 (участок схемы с ветвями 1, 5, 7, 8).
Rэ = 1/(1/R5 + 1/R4) = 8/3 (Ом)
И заменимэтот участок на одну ветвь с сопротивлением, равным Rэ. Получим следующуюсхему:
/>
Найдемколичество уравнений. Так как в цепи присутствуют независимые источники тока,то мы имеем:
/>
/>
Начертимграф. Пусть ветвь 1 составляет дерево./> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
2 /> /> />
I22
3
Теперьвыберем независимые контуры. Пусть первый контур состоит из ветвей 1, 4, 5, ипо нему течет ток I11 по часовой стрелке. Пусть второй контур состоит из ветвей 2, 4,6, по нему течет ток I22 по часовой стрелке.
Запишемсистему уравнений по методу контурных токов:
/>
I11*(R7+R3)– I22*R3 = E6 – E3
– I11*R3+ I22*(R2 + R3 + R4) = E3 + J1*R2
/>12*I11 – 4*I22=0,
32/3*I22 – 4*I11= 28;
Решим системупо методу Крамера. Найдем определители:
D = />= 112, D22 = /> = 336, D11= />= 112.
Найдем контурныетоки:
I11 = D11/D= 1 A; I22 = D22/D= 3 A
Теперьпосчитаем токи во всех ветвях.
I1=J1 = 1 A
I2=I22 – J1= 2 A
I3= I22 – I11 = 2 A
I4= – I22= -3 A
I6= I11 – J1 = 0 A
I7= I11 = 1 A
· Теория,метод узловых потенциалов
Возьмём дляпримера ПЭС изображённую на рисунке 2.В изображённой цепи есть 3 узла. Так каклюбая(одна) точка схемы может быть заземлена без изменения токораспределения вней, один из узлов схемы можно заземлить, то есть принять потенциал равным 0.Заземлим узел с потенциалом />. Попервому закону Кирхгофа для двух оставшихся узлов запишем систему уравнений:
/> />
Затемвоспользуемся обобщённым законом Ома для участка цепи, содержащего источникЭДС, позволяет найти ток этого участка по известной разности потенциалов наконцах участка цепи и имеющейся на этом участке ЭДС E. По обобщенному законуОма, запишем систему:
/> />
Подставим /> в /> и сгруппируем слагаемые содинаковыми потенциалами:
/>
– это иесть уравнения по МУП.
Уравненияимеют следующую структуру. Потенциал узла умножается на его собственнуюпроводимость /> – суммапроводимостей всех ветвей, сходящихся к узлу. Из этого произведения вычтемпотенциалы узлов, имеющие с рассматриваемым общие ветви, умножаем на взаимнуюпроводимость этих узлов (сумму проводимостей всех ветвей, которые находятсямежду этими двумя узлами). Потенциал узла, потенциал который мы приняли равнымнулю, в уравнения не входит. Матрица /> в общемслучае будет симметрична, на главной диагонали будут стоять собственныепроводимости узлов; эти элементы матрицы всегда будут иметь знак «плюс».Недиагональные элементы всегда будут иметь знак «минус». В правой частиуравнений – записывается алгебраическая сумма произведений источников ЭДС напроводимости соответствующих ветвей, причем это произведение берется со знаком«+», если ЭДС направлена к узлу, и со знаком «–», если от узла.
Теперь рассмотримслучай, когда в цепи будут присутствовать источники тока (рис 3). Проводимостьпервой ветви в этом случае будет равняться нулю, и первое уравнение будет выглядетьследующим образом:
/>,
источник токавписываем в правую часть со знаком «плюс», если он направлен к узлу и со знаком«минус» в противоположном случае. Количество уравнений не уменьшается, так как уравненияпо
МУП независят от изначально выбранных направлений токов в ветвях. Количествоуравнений по МУП рассчитываются по формуле:
/>.
Докажемправильность расстановки знаков, обратившись к стандартной ветви (рис 4).Рассмотрим схему, содержащую /> узлов,и рассмотрим стандартную ветвь, сначала без источника тока.
Здесь:
/>.
Значит
/>
Для любогоузла выполняется первый закон Кирхгофа (выбрасываем только собственный узел).
/>.
Учитываем,что узел /> к узлу никакого отношенияне имеет, его можно вынести за скобку:
/>.
Отсюда
/>,
суммапроводимостей всех ветвей, сходящихся к узлу, умноженная на потенциалсобственного узла, взятая со знаком «плюс», минус сумма произведенийпроводимостей между i-м и j-м узлом и потенциалов соответствующих узловравна взятой со знаком «минус» сумме произведений источников на проводимости.
Рисунок 5 Мы доказаливсе знаки на частном примере.
Теперь включимисточник тока (рис 5). В данном случае он будет вытекающим. С учетом егоналичия, уравнение по первому закону Кирхгофа будет выглядеть следующимобразом:
/>.
Полученныйрезультат также соответствует результату, полученному ранее для частногопримера.
Если мытеперь посмотрим на уравнение
/>,
где в /> могут входить какисточники тока, так и источники ЭДС, умноженные на проводимость, /> – собственныепроводимости, берутся со знаком «+», /> – взаимныепроводимости, берутся со знаком «–».
Получим этуже систему уравнений в стандартном виде, т.е. через стандартную ветвь. Длястандартной ветви:
/>.
Опираясь назакон Ома и записанные выше уравнения, получим:
/>.
Вспомним проредуцированную матрицу инциденций, умножим правую и левую часть на />:
/>
Сравниваемчисло уравнений и число неизвестных. Матрица /> даетнам N-1 уравнений, а число неизвестных – это число ветвей графа.Вспоминаем, что
/>
Подставляемэто в полученное ранее выражение:
/>
Свелиуравнение к полному. Получаем относительно />:
/>
Теперь можемнайти все необходимое:
/>,
/>
/>
/>
Замечание: Матрица /> не требует составлениядерева, поэтому вычислительный алгоритм для машин будет относительно простым.