Изучение прямолинейного движения тела на машине Атвуда

Федеральное Агентство по образованию

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Кафедра физики

ОТЧЕТ

Лабораторная работа по курсу «Общая физика»

ИЗУЧЕНИЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ

НА МАШИНЕ АТВУДА

Преподаватель Студент группы 645-1

___________ /____________. / __________ / ____________ /

___________20__ г. __________ 20__ г.

20__

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ


Целью работы является изучение закона прямолинейного ускоренного движения тел под действием сил земного тяготения с помощью машины Атвуда.

2. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДИКИ ЭКСПЕРИМЕНТА


С/>
хема экспериментальной установки на основе машины Атвуда приведена на рис.2.1.

На вертикальной стойке 1 крепится легкий блок 2, через который перекинута нить 3 с грузами 4 одинаковой массы. В верхней части стойки расположен электромагнит, который может удерживать блок, не давая ему вращаться. На среднем кронштейне 5 закреплен фотодатчик 6. На корпусе среднего кронштейна имеется риска, совпадающая с оптической осью фотодатчика. Средний кронштейн имеет возможность свободного перемещения и фиксации на вертикальной стойке. На вертикальной стойке укреплена миллиметровая линейка 7, по которой определяют начальное и конечное положения грузов. Начальное положение определяют по нижнему срезу груза, а конечное — по риске на корпусе среднего кронштейна.

Миллисекундомер 8 представляет собой прибор с цифровой индикацией времени. Регулировочные опоры 9 используют для регулировки положения экспериментальной установки на лабораторном столе.

Принцип работы машины Атвуда заключается в том, что когда на концах нити висят грузы одинаковой массы, то система находится в положении безразличного равновесия. Если на правый груз положить перегрузок, то система грузов выйдет из состояния равновесия и начнет двигаться.

3. ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

Средние значения времени t > и квадрата времени t2> прохождения грузом с перегрузом пути S:

/>

(3.1)
/>
(3.2)

Абсолютная суммарная погрешность измерения времени прохождения пути S:

/>(3.3)

Абсолютная случайная погрешность измерения времени прохождения пути S:

σсл(t) = t(, n)  S(t); (3.4)

где t(, n) — коэффициент Стьюдента


Стандартная абсолютная погрешность измерения времени:

/>

(3.5)

где

ti — времени прохождения пути при i –ом измерении ( i =1. …, n),

n – число измерений, t > — среднее значение времени прохождения пути.

Абсолютная суммарная погрешность косвенного измерения квадрата времени прохождения пути S:


σ(t2) = 2 t> σ(t) (3.6)

Абсолютная погрешность косвенного измерения корня квадратного из расстояния:

/>
(3.7)


Угловой коэффициент экспериментальной прямой:

 =/> (3.8)

Величина ускорения, определяемого из линеаризованного графика:

a = 22

(3.9)

А/>бсолютную случайную погрешность ускорения сл(a) рассчитываем методом наименьших квадратов.

Рассчитываем параметры линеаризованного графика

(y = f(x) = Ax + B
) и случайные абсолютные погрешности параметров.

/>

Расчет производится по формулам: (3.10)

к/>уда входят следующие величины:


(3.11)

где n– число экспериментальных точек.

Абсолютная случайная погрешность определения углового коэффициента: сл(β):

/>
(3.12)

где вспомогательная величина:

/>
(3.13)

Абсолютная случайная погрешность ускорения:

(a) = 4 

(

) (3.14)

4. РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ИХ АНАЛИЗ.

Измеренные значения и результаты их обработки приведены в таблице 4.1.
Результаты измерений

Таблица 4.1




S1 = 36, см

S2 = 31, см

S3 = 26, см

S4 = 21, см

S5 = 16, см

Номер измере­ния

/>= 6, см1/2

/>=

5,568

, см1/2

/>= 5,099, см1/2

/>= 4,583, см1/2

/>= 4, см1/2




t, c

t2, c2

t, c

t2, c2

t, c

t2, c2

t, c

t2, c2

t, c

t2, c2

1

4,857

23,59

4,534

20,56

4,396

19,32

3,756

14,11

3,348

11,21

2

4,991

24,91

4,793

22,97

4,384

19,22

3,958

15,67

3,350

11,22

3

5,184

26,87

4,734

22,41

4,089

16,72

3,661

13,40

3,185

10,14

4

5,066

25,66

4,485

20,12

4,208

17,71

3,985

15,88

3,246

10,54

5

5,084

25,85

4,520

20,43

4,364

19,04

3,975

15,80

3,260

10,63

t >, c

5,036

4,614

4,288

3,868

3,278

t2 >, c2

25,36

21,30

18,40

14,97

10,75

Средние значения времени t > и квадрата времени t2> прохождения пути S, приведенные в таблице 4.1, рассчитаны по выражениям 3.1 и 3.2 (число точек измерения n=5 ).

Для первой точки измерения (S1 = 36 см):

Стандартную абсолютную погрешность измерения времени рассчитываем по формуле 3.5 для числа измерений n=5:

Δt1= t1−1 = 4,857−5,036 = -0,179 с; Δt12 = (-0,179)2 = 0,032 с2;

Δt2= t2−1 = 4,991−5,036 = -0,045 с; Δt22 = (-0,045)2 = 0,002 с2;

Δt3= t3−1 = 5,184−5,036 = 0,148 с; Δt32 = (0,148)2 = 0,022 с2;

Δt4= t4−1 = 5,066−5,036 = 0,030 с; Δt42 = (0,030)2 = 0,001 с2;

Δ/>t5= t5−1 = 5,084−5,036 = 0,048 с; Δt52 = (0,048)2 = 0,002 с2;


№

измерения

№ опыта

t, с

Δt, с

Δt2, с2

, с

S(t), с

σ(t), с

σ(t2), с2

1

1

4,857

-0,179

0,032

5,036

0,055

0,118

1,189

2

4,991

-0,045

0,002

3

5,184

0,148

0,022

4

5,066

0,030

0,001

5

5,084

0,048

0,002

t1= 5,036± 0,118, с

2

6

4,534

-0,080

0,006

4,614

0,063

0,130

1,200

7

4,793

0,179

0,032

8

4,734

0,120

0,014

9

4,485

-0,129

0,017

10

4,520

-0,094

0,009

t2= 4,614± 0,130, с

3

11

4,396

0,108

0,012

4,288

0,063

0,130

1,120

12

4,384

0,096

0,009

13

4,089

-0,199

0,040

14

4,208

-0,080

0,006

15

4,364

0,076

0,006

t3= 4,288± 0,130, с

4

16

3,756

-0,112

0,013

3,868

0,071

0,148

1,145

17

3,958

0,090

0,008

18

3,661

-0,207

0,043

19

3,985

0,117

0,014

20

3,975

0,107

0,012

t4= 3,868± 0,148, с

5

21

3,348

0,070

0,005

3,278

0,032

0,071

0,466

22

3,350

0,072

0,005

23

3,185

-0,093

0,009

24

3,246

-0,032

0,001

25

3,260

-0,018

0,0003

t5= 3,278± 0,071, с
Абсолютная случайная погрешность измерения времени прохождения пути определяется по формуле 3.4. При доверительной вероятности =0,9 и числе измерений n =5 коэффициент Стьюдента t(, n) = 2,1:

σсл(t)1 = 2,1*0,055 = 0,116 c ;
Результаты расчетов погрешностей

прямых и косвенных измерений времени и квадрата времени.

Таблица 4.2
Абсолютную систематическую приборную погрешность измерения времени определяем как половину цены наименьшего деления секундомера:

σсис(t) = 0,0005 с ;

Абсолютная суммарная погрешность измерения времени прохождения пути по формуле 3.3 :

/>


Так как величина σсис(t) много меньше величины σсл(t)1 (σсис(t) = 0,0005 с сл(t)1 = 0,116 c), то в дальнейшем будем считать, что σ(t)1 ≈ σсис(t)1 .

Абсолютная суммарная погрешность косвенного измерения квадрата времени прохождения пути рассчитываем по формуле 3.6 :

σ(t2)1 = 2×5,036×0,116 = 1,168 с2 ;

Результаты измерений записываем в виде t > ±  σ(t) :

t1= 5,036±0,116 с.
Результаты расчетов случайной, приборной и общей погрешности измерений времени и квадрата времени приведены в таблице 4.2.

Абсолютную погрешность измерения расстояния определяем как половину цены деления линейки:

σ(S) = 0,05 см ;

Абсолютная погрешность косвенного измерения корня квадратного из расстояния по формуле 3.7:

/>


Для остальных точек измерений (при других значениях S) расчет проводится аналогично.

Результаты расчетов приведены в таблицах 4.2 и 4.3.

Таблица 4.3.

n/n

S, см

σ(S), см

/>, см0,5

σ(/>). см0,5

, c

()2, c2

()/>, cсм0,5

1

36

0,05

6

0,004

5,036

25,36

30,22

2

31

0,05

5,568

0,005

4,614

21,29

25,69

3

26

0,05

5,099

0,005

4,288

18,39

21,87

4

21

0,05

4,583

0,006

3,868

14,96

17,73

5

16

0,05

4

0,006

3,278

10,75

13,11



130

 

25,25

 

21,08

90,75

108,6

МНК

S6




S2




S1

S4

S3


На основании данных, приведенных в таблицах 4.2, 4.3 строим графики зависимостей S= f1(t)( рис. 4.1.)и S= f2(t2)( рис. 4.2.), на графиках наносим доверительные интервалы.

/>
Рисунок 4.1. Зависимость пройденного пути S от времени t.

/>
Рисунок 4.2. Зависимость пройденного пути S от квадрата времени t2.

На рис.4.3. представлен линеаризованный график />= f3(t) зависимости квадратного корня />пройденного пути от времени t.

/>


Рисунок 4.3.Зависимость />от времени t.

На графике (рис. 4.3)видно, что прямая пересекает доверительные интервалы для всех экспериментальных точек.

Определим из графика угловой коэффициент прямой по формуле 3.8:

граф = 5 / 8,3 = 1,19 см0,5/с;
Величину ускорения определим по формуле 3.9:

aграф = 2×(1,19)2 = 2,83 см/с2 ;

По методу наименьших квадратов (МНК) рассчитаем параметр  линеаризованного графика />= 

t

и случайную абсолютную погрешность параметра сл(
).
По формулам 3.11, используя данные таблицы 4.3, определяем значение величин S1−S6 для расчета по МНК (число точек n =5):


S1= 21,08 c; S4= 90,75c2;

S2 = 25,25 см1/2; S6 = 130 см;

S3 = 108,6 cсм1/2; S5 = 5×90,75−(21,08)2 = 9,4c см1/2.

По формуле 3.10 определим параметр  линеаризованного графика:
 = (5×108,6 − 21,08 ×25,25) / 9,4 = 1,14 см1/2/c.

Угловой коэффициент прямой  = 1,14 см1/2/c.


Значение вспомогательной величины S0по формуле 3.13:
S0 = 130/ 3 – (25,252+ 1,14 2×9,4 ) / 15 = 0,01 см.

По формуле 3.12 определим погрешность вычисления углового коэффициента прямой:

() = (5×0,012 /9,4)0,5= 0,01 см1/2/c .


Величина ускорения по формуле 3.9 :



a = 2×1,142 = 2,6 см/с2.

Абсолютная случайная погрешность ускорения по формуле 3.14 :

(a) = 4×1,14×0,01 = 0,046 см/с2 .

Получаем:

a = (2,6 ±  0,046) см/с2 = (2,6 ±  0,046)×10-2 м/с2 .


5. ВЫВОДЫ


В результате проделанной работы мы смогли в пределах погрешностей измерений построить линеаризованный график зависимости />. Все точкив этой зависимостиукладываются на прямую в пределах их погрешностей.

Подтвердили справедливость закона прямолинейного ускоренного движения тел под действием сил земного тяготения с помощью машины Атвуда:

при равноускоренном движении с нулевой начальной скоростью справедливо выражение S = at2/2 ,

где S – путь пройденный телом за время движения t,

a – ускорение движения.
В ходе работы определена величина ускорения и сделана оценка ее погрешности:

a = (2,46 ±  0,23)  10-2 м/с2 .

6. ОТВЕТЫ НА КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

6.1.
Какие силы действуют на груз с перегрузом во время движения?
 
Сила тяжести и сила натяжения нити. 

6.2.
Запишите уравнения движения для  каждого из грузов
.
 
Уравнения движения грузов имеют вид: 
(M+m)g –T1=(M+m)a1 
Mg –T2 =Ma2. 
А так как нить не растяжима, то а1=;-а2; если блок невесом, то Т1=Т2. 
Данные уравнения получены путем составления основного уравнения динамики для первого и второго грузов. 

6.
3.
Причина, по которым теоретические выводы не совпадают с результатами измерений.
 
Погрешности измерений физических величин  (случайные и погрешности прибора) приводят к несовпадению теоретических результатов и результатов эксперимента 

6.4.
Каким образом из линеаризованного графика можно оценить систематическую погрешность измерения времени.
 
Систематическая погрешность приводит к тому, что прямая не будет проходить из начала координат. Величина отклонения от начала координат – систематическая погрешность. 

6.
5.
 
Укажите физические допущения, используемые при теоретическом анализе движения грузов.
 
Блок и нить невесомы, нить нерастяжима, сила трения отсутствует.