Задача 1.
С помощью селективного микровольтметра проводились многократныеизмерения в одинаковых условиях ЭДС, возникающей в антенне микровольтметра.Считая, что случайные погрешности имеют нормальный закон распределения,определить на основании заданного количества измерений:
1) действительное значение (среднее арифметическое />) измеряемой ЭДС;
2) среднеквадратическое отклонение погрешности измерения />;
3) максимальную погрешность, принятую для нормального законараспределения, />;
4) наличие грубых погрешностей (промахов) в результатах измерения;
5) среднеквадратическое отклонение результата измерения (среднегоарифметического значения) />;
6) доверительный интервал для результата измерения при доверительнойвероятности />;
7) имеется ли систематическая составляющая в погрешности измеренияЭДС, в качестве истинного значения принять расчетное значение ЭДС Ер
Исходные данные:№ измерения E, мкВ 1 24,3 2 24,9 3 24,66 4 25,74 5 27,82 14 25,64 15 28,5 16 25,5 17 28,0
Доверительная вероятность Рд = 0,95
Расчетное значение ЭДС Ер=24,28 мкВ
Решение:
9 наблюдений 1-5 и 14-17
Представим промежуточные расчеты в виде таблицы:№ п/п № измерения
Ei, мкВ
Ei -/>, мкВ
(Ei -/>)2, мкВ2 1 1 24,3 -1,81778 3,30432 2 2 24,9 -1,21778 1,48298 3 3 24,66 -1,45778 2,12512 4 4 25,74 -0,37778 0,14272 5 5 27,82 1,70222 2,89756 6 14 25,64 -0,47778 0,22827 7 15 28,5 2,38222 5,67498 8 16 25,5 -0,61778 0,38165 9 17 28,0 1,88222 3,54276 ∑ 235,06 0,00000 19,78036
1) Среднее значение ЭДС:
/> мкВ
2) Среднеквадратическое отклонение />погрешностислучайной величины E:
/>мкВ
3) Максимальная погрешность, принятая для нормального закона распределения,/>определяется по правилу 3сигм:
/>мкВ
4) Грубые погрешности (промахи): Грубыми погрешностями по критериютрех сигм считаем те измерения, которые отличаются от действительного значения />на величину, большую />
Нет измерений, для которых /> мкВ
Следовательно, грубых промахов нет — ни одно измерение неисключается
5) среднеквадратическое отклонение результата измерения />;
/>мкВ
6) доверительный интервал для результата измерения ЭДС придоверительной вероятности />= 0,95находим из условия, что E имеет распределение Стьюдента.
По таблице значений коэффициента Стьюдента находим значение:
/>
Доверительный интервал рассчитывается по формуле:
/>
7) Систематическая составляющая погрешности измерения ЭДС:
/> мкВ
погрешность измерения напряжение частота
Задача 2.
На выходе исследуемого устройства имеет место периодическоенапряжение, форма которого показана на рис. 1. Это напряжение измерялосьпиковым вольтметром (ПВ), а также вольтметрами средневыпрямленного (СВ) исреднеквадратического (СК) значений, проградуированных в среднеквадратическихзначениях синусоидального напряжения. Каждый из вольтметров имеет как открытый,так и закрытый вход.
Требуется определить:
1) среднее Ucp, средневыпрямленное Ucp.Висреднеквадратическое Ucp значения выходного напряжениязаданной формы;
2) коэффициенты амплитуды КА и формы Кфвыходного напряжения;
3) напряжения, которые должны показать каждый их трех указанныхвольтметров с открытым (ОТКР) или закрытым (ЗАКР) входом;
4) оценитьотносительную погрешность измерения всех вычисленных согласно п. 3 напряжений,если используемые измерительные приборы имеют класс точности δпри предельные значения шкалы UПР.Исходные данные E, мкВ
UПР, В 15
UМ, В 10 СВ ЗАКР СК ОТКР Рисунок ж ПВ ОТКР
δпр,% 2,5
/>
рис.1
m = 0
n = 4
/>мс
Решение:
1) Рассчитываем среднее значение напряжения:
/>
Определенный интеграл численно равен площади под треугольнойфункцией /> на интервалеинтегрирования:
/>
Следовательно,
/>
Cредневыпрямленное значение напряжения:
/>
Среднеквадратическое значение напряжения:
/>
2) Определяем коэффициенты формы и амплитуды напряжения:
/>
/>
3) рассчитываем градуировочные коэффициенты каждого вольтметра:
Пикового напряжения:
/>
/>
Средневыпрямленного напряжения:
/>
/>
Квадратичного напряжения:
/>
/>
При открытом входе вольтметр будет измерять весь сигнал:
/>
При закрытом входе вольтметр будет измерять сигнал с вычетомпостоянной составляющей, равной среднему значению:
/>
/>= 10В
/>
Вольтметр пикового напряжения. Вход открытый
/>В
Вольтметр средневыпрямленного напряжения. Вход закрытый
/>В
Вольтметр квадратичного напряжения. Вход открытый
/>В
4) Оцениваем относительную погрешность измерения
Вольтметр пикового напряжения:
/>%
Вольтметр средневыпрямленного напряжения:
/>%
Вольтметр квадратичного напряжения:
/>%
Задача 3.
В лаборатории имеетсяцифровой частотомер со следующими параметрами: частота опорного кварцевогогенератора 1 МГц + δ0, значение коэффициента деления частоты,определяющее время счета импульсов, можно изменять в пределах от 103до 107 ступенями, кратными 10. Требуется:
1. Построить в логарифмическом масштабе по f график зависимостиабсолютной погрешности измерения частоты fx в диапазоне от fмин до fмакспри заданном коэффициенте деления пд.
2. Выбрать допустимоезначение коэффициента деления частоты и определить соответствующее ему времясчета для измерения частоты f1, с суммарной погрешностью,не превышающей значения δfдоп.
Исходные данные
fмин , Гц 5
δfдоп, %
3,5*10-1
f1, мГц 0,5
fмакс , мГц 25
пд
107
δ0
4*10-6
Решение:
1. Относительная погрешность измерения определяется по формуле:
/>
Время счета импульсов определяется по формуле:
/>,
где f– частота опорногокварцевого генератора (1 МГц)
/>с
Отсюда относительная погрешность измерения:
/>
Абсолютная погрешность измерения определяется по формуле:
/>
Сводим промежуточные расчеты в таблицу:
Частота fx
Относительная погрешность δf
Абсолютная погрешность ∆f, Гц 5 Гц 2,00040000 0,1000200 10 Гц 1,00040000 0,1000400
100 Гц (102) 0,10040000 0,1004000
1 кГц (103) 0,01040000 0,1040000
10 кГц (104) 0,00140000 0,1400000
100 кГц (105) 0,00050000 0,5000000
1 МГц (106) 0,00041000 4,1000000
10 МГц (107) 0,00040100 40,1000000
25 Мгц (2,5∙107) 0,00040040 100,1000000
По результатам расчетов строим график в логарифмическом масштабе:
/>
Рисунок 1.График зависимости абсолютной погрешности от частоты
2. Определяем допустимоезначение коэффициента деления частоты
/>
/>
Находим из этого условия границу коэффициента деления частоты:
/>
Следовательно, необходимый коэффициент деления частоты должен бытьравен:
/>
Время счета:
/>с
Задача 4.
При проектировании оборудования осуществлялись прямые измеренияиндуктивности катушек L, емкости конденсаторов С, сопротивления резисторов г и R, предназначенных для изготовленияпараллельных колебательных контуров (рис. 4.1а). В зависимости от вариантатребуется определить один из следующих параметров колебательного контура:резонансную частоту f0, добротность Q, сопротивление Zoe, полосу пропусканияконтура по уровню 0,707 (-3 дБ) 2∆f0,7, а также оценить возможные погрешности этих параметров,обусловленные случайными погрешностями измерения элементов контура.
/>Рисунок а Найти Zoe L, мкГн 44 C, пФ 54 r, Ом 32 R, Ом -
±δL 3.2
±δC 0.4
±δr 1.4
±δR 2.5
Решение:
1. Требуется определить сопротивление Zoe:
Резонансная частота
/>
/>
/>
Сопротивление
/>
Погрешность
/>
/>
Задача5.
С помощью осциллографа методом калиброванной шкалы измеряетсямаксимальное значение напряжения в виде последовательности однополярныхпрямоугольных импульсов. Размах осциллограммы импульса равен h при коэффициенте отклонения, равном KОТК. Определить максимальное значение напряжения, относительную иабсолютную погрешности измерения, если погрешность калибровки шкалы и измеренияразмаха осциллограммы равны соответственно ±δК (%) и ±∆h(мм). Погрешностью преобразования, обусловленной нелинейностьюамплитудной характеристики осциллографа, пренебречь.
Можно ли использовать осциллограф с верхней граничной частотойполосы пропускания fвдля исследования данногонапряжения, если длительность импульса равна τн, а времянарастания фронта импульса равно τф = aτн?h, мм 54
δК, % 4
τн, мкс 20
fв, МГц 1.5 ∆h, мм 0.5
KОТК, В/см 1
a 0.01
Решение:
1. Амплитуду сигналаопределяем из соотношения:
/>
kо -коэффициентотклонения, В/дел.,
LА — размер амплитуды, вделениях,
/>В/см
Относительнаяпогрешность измерения амплитуды
/>
dkо — относительная погрешность коэффициента отклонения,
dВА — относительная визуальная погрешность.
/>см
2.Для того, чтобы осциллограф можно было использовать для исследования, полосапропускания должна удовлетворять соотношению:
/>
Следовательно,осциллограф использовать нельзя.