Застосування принципу можливих переміщень та принципу Даламбера до розв'язування задач

Міністерствоосвіти і науки України
Вінницькийдержавний педагогічний університет
іменіМихайла Коцюбинського
Інститутперспективних технологій, економіки і фундаментальних наук
 
Кафедрафізики

Затверджую:
Зав. каф.канд. фіз.-мат. наук,
доцентСолоненко В. І.
 
“_____”____________________ 200 ___ р.
 
УДК:535(075.8)
 
Застосуванняпринципу можливих переміщень та принципу Даламбера до розв’язування задач

Вінниця –2006

Зміст
Вступ
Розділ 1. Теоретичні відомості
1. 1.Принцип можливих переміщень і загальне рівняння механіки
1. 2.Принцип Даламбера
Розділ 2.Методика розв’язування задач
2. 1.Методика розв’язування задач за принципом можливих переміщень
2. 2. Методикарозв’язування задач за принципом Даламбера
Розділ 3.Приклади розв’язування задач
3. 1. Практичне застосування принципу можливих переміщень до розв’язування задач
3. 2. Практичне застосування принципу Даламбера до розв’язування задач
Висновок
Списоквикористаної літератури

Вступ
Принцип можливих переміщень і принципДаламбера є основними принципами аналітичної механіки, які дають змогурозв’язувати великий спектр задач сучасної техніки (авіація, космонавтика,машинобудування тощо)
На відміну від принципу геометричної статики принцип можливихпереміщень та принцип Даламбера є більш універсальними, оскільки можутьзастосовуватись до розгляду руху невільних механічних систем.
Як відомо, закони Ньютона містять всобі все необхідне для розгляду руху будь-яких механічних систем. Алеспочатку вони застосовувалися тільки для розгляду руху вільної матеріальної точки івільного твердого тіла до тих пір, поки не була додатково сформульована аксіомазв’язків. Для розгляду руху скованих систем Даламбер запропонував спеціальний принцип,що одержав назву принцип Даламбера. Цей принцип був сформульований в термінах «втрачених» рухів.
В даний час, коли вважається справедливоюаксіома зв'язків, рівняння руху скованої матеріальної точки єтакими ж, як і для вільної, тільки до тих, що діють на точку активним або заданим силамдодають сили реакцій зв’язків.
Сучасний вираз принципу Даламбера невідрізняється зазмістом від рівнянь руху матеріальної точки, але для багатьох завдань вонозручніше. Принцип Даламбера для вільної матеріальноїточки еквівалентний основному законудинаміки. Для скованої точки він еквівалентний основному закону разом заксіомою зв’язків.

Розділ 1. Теоретичнівідомості
 
1. 1. Принцип можливих переміщень ізагальне рівняння механіки
 
Можливими переміщеннями матеріальної си­стеминазиваються нескінченно малі переміщення точок системи, які допускаютьсяв’язями в певний, фіксований момент часу. Мож­ливі переміщення — це уявлюваніпереміщення, при розгляді яких сили вважаються незмінними, нестаціонарні в’язі- «зупиненими».
На відміну від можливих переміщень дійсніпереміщення не є уявлюваними, вони відповідають справжньому рухові точоксистеми у просторі та часі під дією сил, які, взагалі кажучи, зале­жать відчасу; нестаціонарні в’язі при розгляді дійсних переміщень вважаютьсянезупинними. Отже, при розгляді дійсних пере­міщень час не фіксується.
Надалі дійсне переміщення точки ми позначимочерез />, а мож­ливе – через/>.
Відомо, що нескінченно мала зміна функції, якавідбувається внаслідок зміни аргументу, є диференціалом цієї функції; коли жзміна функції відбувається внаслідок зміни виду самої функції, то така змінаназивається варіацією функції. Отже, дійсне перемі­щення /> можна розглядати якдиференціал функції />, аможливе /> - як варіацію цієїфункції.
Проекції можливого переміщення на координатні осіпозначимо через
/>.
Робота /> сили/> па можливомупереміщенні /> дорівнює:
/>.
Через те що при розгляді можливих переміщень часфіксують, то />.
Очевидно,що дійсне переміщення матеріальна система у кож­ному випадку має тільки одне, аможливих може мати кілька або навіть безліч. При стаціонарних в’язях дійснепереміщення можна розглядати як одне з можливих переміщень. При нестаціонарнихв’язях дійсні і можливі переміщення відрізняються.
Так, наприклад, якщо розглядати переміщення кільця,яке може ковзати по рухомому дроту, то дійсним перемі­щенням цього кільця будевектор />, а одним з можливихперемі­щень — вектор />. Справді,можливе переміщення за означенням — і це уявлюване переміщення, якевідбувається при «зупиненій» в’язі. Через те в даному випадку можливепереміщення буде виражене нескінченно малим вектором />, напрямленим по дотичнійдо дроту в початковому його положенні (положення І). Але за нескінченно малийпроміжок часу дріт переміститься в просторі з положення І в положення ІІ. Крімтого, кільце переміститься по дроту і з положення /> перейдев положення />. Тому дійсне переміщення. буде виражене нескінченно малим вектором />.
Ідеальними в’язями називаються в’язі, сума робітреакцій яких на будь-якому можливому переміщенні матеріальної системи дорівнюєнулеві.
Відзначимо, що з великим ступенем точності в’язі,які в багатьох випадках зустрічаються на практиці, можна вважати ідеальними. Наприклад,в’язі з добре змащеними або відполірованими поверхнями без великої помилкиможна розглядати як ідеальні.
Ідеальними в’язями також є абсолютно гладенькілінії (напрямні), ідеальні шарніри, підшипники, підп’ятники, абсолютно твердістержні, нерозтяжні абсолютно гнучкі нитки, абсолютно шорсткі поверхні, коли поних котяться тверді тіла без ковзання. Крім того, ідеальними в’язями можнавважати ремені і канати, перекинуті через шківи і блоки, коли вони не чинятьопору згину при намотуванні на шківи і блоки, не ковзають по їх поверхнях та нерозтягуються.
Якщо через /> позначити рівнодійну реакцій в’язей, прикладенихдо />тої точки системи, а через /> - проекції цієї сили накоординатні осі, то умову існування ідеальних в’язей можна подати так:
/>.
Принцип можливих переміщень полягає в тому, щодля рівнова­ги матеріальної системи з ідеальними в’язями необхідно ідостат­ньо, щоб сума робіт усіх заданих сил, прикладених до точок систе­ми, набудь-якому можливому її переміщенні дорівнювала нулеві:
/>
тут /> - задані сили,що діють на точки матеріальної системи.
Іноді написане вище рівняння називають рівняннямро­біт. Таких рівнянь можна скласти стільки, скільки матеріальна система маєнезалежних між собою систем можливих переміщень.
Застосування принципу можливих переміщень даєзмогу виклю­чити з розгляду реакції ідеальних в’язей, бо сума їх робіт на мож­ливихпереміщеннях системи дорівнює нулеві.
Застосування принципу можливих переміщень можнапоширити також на випадок наявності неідеальних в'язей і на випадок рухуматеріальної системи.
Щоб мати змогу застосувати принцип можливихпереміщень у випадку наявності сил тертя (випадок неідеальних в’язей), до­ситьперевести ці сили в розряд заданих сил, так що в рівнянні робіт сила /> буде рівнодійною всіх заданих сил і сил тертя,прикладених до />тої точкисистеми.
При застосуванні принципу можливих переміщень увипадку руху матеріальної системи слід згідно з принципом Даламбера до заданихсил і сил тертя /> приєднати силиінерції />. У цьому випадку принципможливих переміщень можна виразити так:
/>
або
/>
Отже, у випадку руху матеріальної системи зідеальними в'я­зями сума робіт усіх заданих сил і сил інерції на довільному мож­ливомупереміщенні дорівнює нулеві.
Це рівняння являє собою поєднання принципуможливих пере­міщень з принципом Даламбера і називається загальним рів­нянняммеханіки. Ця назва вказує на універсальність рів­няння, яке дає найзагальнішийметод розв'язування задач про рух невільної матеріальної системи.
Принцип можливих переміщень дуже зручнозастосовувати при вивченні рівноваги або руху системи тіл з ідеальними в’язями,бо при цьому виключаються з розрахунків реакції цих в’язей — внутрішні сили.
При розв’язуванні задач із застосуванням принципуможливих переміщень слід у кожному окремому випадку встановити, скількистепенів вільності має розглядувана матеріальна система, оскільки кількістьнезалежних між собою можливих переміщень /> точоксистеми дорівнює кількості її степенів вільності.
Щоб визначити зв'язок між залежними можливимиперемі­щеннями, які входять у загальне рівняння механіки, слід кори­стуватисякінематичними міркуваннями. Наприклад, коли розглядаються можливі переміщеннякінців незмінюваного відрізка, то ці переміщення пов’язані між собою напідставі теореми: проекції можливих переміщень кінців незмінюваного відрізка нанапрям цього відрізка рівні між собою.
Якщо вивчається матеріальна система, щоскладається з твердих тіл, частина яких або всі перебувають уплоскопаралельному русі, то для знаходження залежності між можливими переміщен­нямиокремих точок цих тіл можна в кожний даний момент роз­глядати цей рух якобертальний рух навколо миттєвого центра швидкостей і скористатися теоремою:можливі переміщення двох точок твердого тіла, яке перебуває уплоскопаралельному русі, відносяться, як їх віддалі від миттєвого центрашвидкостей. При цьому можливе переміщення кожної з точок тіла напрямлене нор­мальнодо прямої, яка сполучає дану точку з миттєвим центром швидкостей, в сторонумиттєвого обертання.
Іноді при розв'язуванні задач буває зручно записуватиприн­цип можливих переміщень у координатній формі:
/>
Загальне рівняння механіки в координатній формізаписується так:
/>
1. 2. Принцип Даламбера
 
При вивченні руху невільної матеріальної точки застосовуєтьсяпринцип Даламбера. Цей принцип дає можливість формальнорозглядатирівняння динаміки, як рівняння статики.
Цей принцип, який ми тут викладемо для вільноїматеріальної точки і для точки, рухомої по поверхні або по кривій, застосовнийдо будь-якого завдання динаміки. Він дозволить нам підвести підсумок всієїтеорії руху точки.
Принцип Даламбера можна сформулювати так:
Задані сили, прикладенідо матеріальної точки, і реакції в’язей зрівноважуються силою інерції.
Цей принцип у вигляді рівняння записується так:
/>
де /> -рівнодійна всіх заданих сил, прикладених до матеріальної точки, /> - рівнодійна реакційв'язей, а /> — сила інерції.
Сила інерції дорівнює добутку маси на прискоренняточки і напрямлена протилежно до напряму прискорення:
/>
Па підставі ІІІ закону Ньютона силаінерції є протидією по від­ношенню до сили, що надає матеріальній точціприскорення />, отже, сила інерціїприкладена не до самої рухомої точки, а до тих тіл, що надають цій точціприскорення />.
Таким чином, можна твердити, що сила інерції /> є головний вектор цілком реальнихсил, але рівновага, визначена рівнянням />,фіктивна, бо точка прикладання сили /> умовнопереноситься на матеріальну точку.
У випадку, коли рух точки задано в натуральнійформі, силу інерції зручно розкласти на дві складові — нормальну /> і тан­генціальну />:
/> і />;
напрями сил /> і/>, відповідно протилежнінапрямам нормального і тангенціального прискорень матеріальної точки.
З допомогою принципу Даламбера особливо ефективнорозв’я­зується пряма задача динаміки, в якій за відомим законом рухуматеріальної точки треба визначити сили, що діють на неї.
Розглянемо матеріальну точку М масою т,що знаходиться під дією сил, рівнодійнаяких R має проекції Rx, Ry, Rz. Рівняння руху цієїточки можуть бути написані так:
/>
Розглядатимемо разом з векторами, якіпредставляють додатки до точки М сили, вектор МIз проекціями /> Цейвектор,чисельно рівний відношенню маси на прискорення і направлений протилежноприскоренню, називається силою інерції, хоча це жоднимчином не буде силою, прикладеній до крапки. Тоді рівняння виражають так, щогеометрична сума векторів MR і MI рівна нулю, або, що в кожен момент часу існуєрівновага між силою інерції і силами, дійсно прикладеними до точки.
Через X, У, Zми позначимопроекції заданих сил.
Щоб написати, що існує рівновага між силами, якідіють на точку і силою інерції, досить написати, що на всіх можливихпереміщеннях /> допущених зв'язками,існуючими у момент t, сума робіт заданих сил (X, Y, Z) і сили інерції />рівна нулю:
/>
Слід розрізняти три випадки:
1. Вільна точка./> довільні. Якщозастосовується довільна система координат q1, q2, q3, то, замінюючи q1, q2, q3варіаціями />, одержимо:
/>
де /> довільні.
Підставляючи /> врівність (1) і прирівнюючи результат до нуля при довільних />, одержимо рівнянняруху.
2. Точка на поверхні. Нехай
/>
є рівняння поверхні, яка для спільностіпередбачається рухомою. Даючи змінному /> певнезначення, ми бачимо, що /> повиннізадовольняти умові
/>
що виражає, яке можливе переміщення допускаєтьсязв'язком існуючий в момент />. Якщовиразити координати точки поверхні у функціях двох параметрів, то одержимо
/>
і співвідношення (1) повинне мати місце, які б небули /> і />. Таким чиномвийдуть рівняння руху.
3. Точка на кривій.Нехай
/>
-          рівняння кривої. Величини /> повиннізадовольняти дві умови
/>
Допустимо, що координати точки кривої виражені уфункції одного параметра:
/>
Тоді найбільш загальне переміщення на кривій вположенні, яке вона займає у момент />, вийде,якщо дати величині /> приріст />. Тому маємо:
/>
і рівняння (1), після скорочення на множник />, прийме вигляд
/>

Розділ 2. Методика розв’язування задач
 
2. 1. Методика розв’язування задач запринципом можливих переміщень
 
При застосуванні принципу можливих переміщень дорозв'я­зування конкретних задач можна рекомендувати додержувати такоїпослідовності дій:
1.        Визначити систему матеріальних точок або тіл, рух яких необхіднорозглянути.
2.        Визначити число степенів вільності цієї системи.
3.        Визначити характер в’язей, які накладені на дану мате­ріальнусистему, тобто визначити, чи є ці в'язі ідеальними, чи ні. В останньому випадку,як було вказано вище, сили тертя слід віднести до заданих сил.
4.        Якщо деякі з реакцій в'язей, які здебільшого виклю­чаються зрозгляду внаслідок їх ідеальності, необхідно визначній, то в цьому випадку,мислено відкидаючи в’язь, заміняють її реак­цією і, переводячи реакцію в розрядзаданих сил, застосовують принцип можливих переміщень. При цьому в’язі, реакціїяких необхідно визначити, по черзі відкидають так, щоб у рівняння входилатільки одна невідома сила. Якщо необхідно визначити реакцію шарніра, то їїрозкладають по напрямах осей координат і після цього визначають спочатку однускладову, а потім іншу. Щоб визначити горизонтальну складову, шарнір слідзамінити ротком на горизонтальній площині, а не відкидати в’язь повністю, бореакція має ще й вертикальну складову, яка на можливому у цьому випадкугоризонтальному переміщенні роботи не створює і, таким чином, буде виключена звідповідного рівняння. Після цього аналогічним способом визначають вертикальнускладову, замінивши шарнір котком на вертикальній площині.
5.        Скласти схему заданих сил, прикладених до точок матеріаль­ноїсистеми.
6.        Надати системі одного з можливих переміщень. При виборі цьогопереміщення, якщо система має кілька степенів вільності, слід простежити затим, щоб з рівняння не були виключені елементи, які необхідно визначити, і щобрівняння мало найбільш простий вигляд.
7.        Показати напрями переміщень окремих точок матеріальної системи, дояких прикладені задані сили.
8.        Визначити роботу заданих сил на відповідних можливих переміщенняхі скласти рівняння на підставі принципу можливих переміщень. Очевидно, що такихрівнянь можна скласти стільки, скільки степенів вільності має дана матеріальнасистема.
9.        Встановити залежність між можливими переміщеннями точок системи івизначити, таким чином, можливі переміщення всіх точок системи у функції віднезалежних одне від одного можливих переміщень, виходячи з міркувань, вказанихвище.
В результаті цього виходить система рівнянь, кількістьяких відповідає кількості степенів вільності матеріальної системи. Ви­ключившиз цих рівнянь незалежні одне від одного можливі переміщення внаслідок їхдовільності, можна визначити шукані сили або інші величини.
 
2. 2. Методика розв’язування задач за принципомДаламбера
При розв’язуваннізадач за допомогою принципа Даламбера слід дотримуватись такої послідовностівиконання дій:
1.        Визначити систему матеріальних точок або тіл, рух яких необхіднорозглянути.
2.        Визначити число степенів вільності цієї системи.
3.        Скласти схему заданих сил, прикладених до точок матеріаль­ноїсистеми.
4.        Надати системі одного з можливих переміщень. При виборі цьогопереміщення, якщо система має кілька степенів вільності, слід простежити затим, щоб з рівняння не були виключені елементи, які необхідно визначити, і щобрівняння мало найбільш простий вигляд.
5.        Показати напрями переміщень точок матеріальної системи, до якихприкладені задані сили.
6.        Визначити роботу заданих сил на відповідних можливих переміщенняхі скласти рівняння на підставі принципу Даламбера.
7.        Встановити залежність між можливими переміщеннями точок системи івизначити, таким чином, можливі переміщення всіх точок системи у функції віднезалежних одне від одного можливих переміщень.
В кінцевомувипадку виходить система рівнянь, після обробки яких можна визначити шуканівеличини.

Розділ 3. Приклади розв’язування задач
 
3. 1. Практичне застосування принципу можливихпереміщень до розв’язування задач
 
/>Задача 1. На маховичок колін­частогопреса (рис.1)діє пара сил з моментом М. Вісь маховичка має на кінцях гвинтову різьпротилежних на­прямів з відстанню Н і проходить че­рез дві гайки,шарнірно прикріплені до двох вершин стержньового ромба з сто­роною а. Верхнявершина ромба закріп­лена нерухомо, нижня — прикріплена до горизонтальної плитипреса. Визначити силу тиску преса Р на стискуваний кут при вершині ромбадорівнює 2х.
Позначимочерез
/>
швидкість поступального руху гайки, а через
/>
кутову швидкість обертання маховичка. Тодіпараметр гвинта ви­значається співвідношенням:
/>
звідки
/>
Якщо р=const, то />. При повному обертімаховичка (/>) поступальне переміщеннягайки дорівнює s= h відстані гвинта. Тоді />.
Нехтуючи роботою сил тертя між гвинтом і гайками,а також між платформою і напрямними пазами, будемо вважати відповідні в'язіідеальними. Щодо опори в точці D, то вона згідно з умовоюзадачі є нерухомою і її реакція роботи не виконує.
Реакцію N стискуваногопредмета, яка за модулем дорівнює шуканому тискові преса Р, переведемо врозряд заданих сил. Таким чином, ми будемо розглядати рівновагу матеріальної системи(механізму преса), яка знаходиться під дією заданих сил і реакцій ідеальнихв'язей — в даному випадку під дією обертального моменту М і сили N= -P.
Принцип можливих переміщень у цьому, випадку даєзмогу записати:
/>,
де /> - можливе (вертикальне)переміщення горизонтальної плити преса, а /> - можливе обертальнепереміщення маховичка.
Вибираючи координатну систему, як показано нарис. 1, знаходимо:
/>.
Очевидно, що дана матеріальна система має одинстепінь вільності, що відповідає, наприклад, параметрові />, який цілком ви­значаєстан системи. Варіюючи функції /> і/>, дістанемо:
/>
Тут /> єможливе переміщення гайки.
Щобзнайти залежність /> від />, скористаємося співвідно­шенням/>, на підставі якого:
/>
(/> і /> мають різні знаки,оскільки додатна робота моменту М викликає переміщення гайки увід’ємному напрямі осі Ох).
Підставимо тепер знайдені вирази для /> і /> у рівняння робіт:
/>
або
/>
Оскількиможливе переміщення /> довільне, то
/>
звідки
/>
/> Задача 2. Відцентровий регуляторобертається з сталою кутовою швидкістю /> 1/сек(рис. 2). Знайти залежність між куто­вою швидкістю регулятора і кутом /> відхилення йогостержнів від вертикалі, якщо муфта ваги /> кгвідтискається вниз пружиною з жорсткістю с кг/см, яка знаходитьсяпри /> у недеформованому стані ізакріплена верхнім кінцем на осі регулятора. Вага куль дорівнює Р2 кг;довжина кожного стержня дорівнює l см; осі підвісустержнів віддалені від осі регулятора на а см; вагою стержнів і пружининехтуємо.
Мислено видаляючи пружину, заміняючи її реакцію Fі вва­жаючи рештув’язей ідеальними, розглянемо рух відцентрового регулятора під дією заданихсил: сил ваги /> куль Аі В та сили ваги /> муфти,при цьому силу пружності пружини Fтакож приєднуємодо числа заданих сил.
Вибравши координатну систему, як показано на рис.2, впровадимо у розгляд відцентрові сили інерції I куль і складемозагальне рівняння механіки:
/>
де /> -відповідні координати точок А і С; /> -можливі переміщення цих точок.
Легко бачити, що
/>
Дана матеріальна система (регулятор) має привідсутності обертання навколо вертикальної осі (нами впроваджено відцентровісили інерції I куль) один степінь вільності, який визначається кутом />. Надаючи регуляторовіможливого переміщення />, діста­немо дляточок А і С можливі переміщення, варіюючи координати цих точок,виражені у функції від кута />:
/>
Сили інерції визначаються за формулою:
/>
Сила пружності пружини дорівнює:
/>
Рівняння робіт (загальне рівняння механіки) маєвигляд:
/>
Внаслідок довільності /> маємо:
/>
звідки
/>
Задача 3. До шарніра В шарнірногочотиристоронника /> прикладенавертикальна сила R. Ланка ВС жорстко з’єднана з диском, центр якого знаходитьсяв точці В; до диска по дотичній прикладена горизонтальна сила /> (механізм для підніманняпольового колеса плуга). Стержні мають довжину: /> інші дані /> показані на рис. 3. Нехтуючи вагою стержніві диска, а також тертям у шарнірах, визначити співвідношення між величинамисил RіSу показаному нарисунку положенні рівноваги.
/>Розглядуванаматеріальна система складається з диска, жор­стко з'єднаного з стержнем ВС (цейдиск з стержнем здійснюють плоский рух), і з двох стержнів СО і />. Нехтуючи тертям ушарнірних з'єднаннях ланок даного механізму і враховуючи не­рухомість шарнірів Оі />, будемо вважатив'язі ідеальними.
Оскільки швидкості точок В і С напрямленінормально до стерж­нів /> і СО, томиттєвий центр швидкостей диска знаходиться в точці О. Тому можливіпереміщення /> і /> точок В і Априкладання сил RіS мають напрями,відповідно нормальні до /> і/>. Вводячи длязручності кути /> і />, як показано на рис. 3, напідставі принципу можливих переміщень маємо:
/>
звідки
/>
Оскільки шарнірний чотирикутник /> маєодин стенінь вільності, то можливі переміщення />і/> залежать одне від одного.На підставі теореми про розподіл швидкостей маємо:
/>
Таким чином,
/>
Враховуючи, що
/>
остаточно дістанемо
/>
3. 2. Практичне застосування принципу Даламбера до розв’язування задач
 
/>Задача 1. Радіус кривизнив найнижчій точці дугоподібного моста (рис. 1) дорівнює />.Найбільший нерухомий тягар, який може витримати середина моста дорівнює Р. Знайти,при якій швидкості vтягаря вагою I, що рухається помосту, міст буде зруйновано. Припускаємо, що міст не деформується і що P>Q.
Розглянемо положення рухомого тягаря М вмомент проходження його через середину моста. На цей тягар діють сила ваги Q і реакція моста N. Для розв’язання задачізастосуємо принцип Даламбера. В цьому випадку сила інерції І має лишенормальну складову />:
/>.
На підставі принципу Даламбера
/>
звідки
/>.
Очевидно, міст не зруйнується, якщо />, тобто при
/>
або при
/>
Таким чином, міст зруйнується при умові:
/>
Відзначимо, що при вгнутому профілі моста тиск наміст з боку рухомого тягаря збільшується, а у випадку опуклого профілю — зменшується. Тому, враховуючи вимоги міцності споруди, вигід­ніше будуватимости з опуклим профілем.
Задача 2. Кулька О вагоюР = 0,5 кг, що лежить на го­ризонтальному столі, прив’язананиткою завдовжки АО = І = 1 м до нерухомої точки А (рис.).Кульці надана початкова швид­кість />=2 м/сек,напрямлена в площині стола перпендикулярно до напряму нитки. Знайтишвидкість кульки і натяг нитки через дві секунди після початку руху, якщокоефіцієнт тертя дорівнює k=0,1.
 />
На кульку діють сила ваги Р і реакції ниткиТ і стола N і F. Для розв'язання задачізастосуємо принцип Даламбера. Сила інерції I має дві складові- нормальну /> і тангенціальну />:
/> і />.
Оскільки нормальне прискорення /> кульки напрямленедо точки А, то сила інерції /> напрямленав протилежний бік. Сила тертя Fмає напрям, протилежнийшвидкості v, тому тангенціальне прискорення /> має напрям,протилежний напряму швидкості v. Отже, сила інерції />, має напрямшвидкості v.
На підставі принципу Даламбера
P+T+N+F+I=0,
або в проекціях на координатні осі:
/>
звідки
/>
Тангенціальне прискорення />, протилежнонапрямлене танген­ціальній складовій /> силиінерції, тому
/>
або
/>
звідки
/>
Враховуючи початкові умови (при />), знайдемо />. Отже,
/>
Таким чином, при t=2 сек., v=0,04 м/сек.. Натяг нитки вмомент t=2 сек. дорівнює:
/>
Задача 3. У кабініпідйомної машини під час піднімання зважують тіло М на пружинній вазі. ВагатіладорівнюєР = 5 кг; натяг пружини (показання пружинної ваги) дорівнює Т=5,1кг. Знайти прискорення кабіни.
На тіло М, розглядуване як матеріальнаточка, Діють, сила ваги Р і реакція пружини Т (рис. 3). В зв'язку з тим, що заумовою задачі T>P, то рух точки М приско­рений. Отже, прискорення /> напрямлене вгору.Відповідно до цього сила інерції /> напрямленавниз. Згідно з принципом Даламбера:
/>/>
або
/>
звідки
/>
Коли б ми, не знаючи, як насправді напрямленеприскорення /> точки М, напрямилийого вниз, а не вгору, тобто вважали б, що рух точки М сповільнений, тоз рівняння рівноваги сил Р, Т і І дістали б для /> від’ємне значення.Від’ємний знак при /> вказу­вав би нате, що в дійсності рух не сповільнений, а прискорений.

Висновок
Підчас написання даної курсової роботи були розглянуті теоретичні засади принципуможливих переміщень та принципу Даламбера і перевірені на прикладах.
Напідставісказаного, для знаходження рівняння руху матеріальної точки забудь-яких умов досить виразити, що має місце рівновага між всіма силами,прикладеними до точки, і силою інерції. Це можна зробити методами аналітичної статики.Можна, наприклад, застосувати принцип можливих переміщень або принципДаламбера. За допомогою цих принципів можна знаходити різні сили, які діють натіло. Для цього потрібно розрізняти серед сил, прикладених до точки, сили заданіі реакції зв'язків. При розв’язувані задач даними принципами, ми можемо використатиотримані нами дані в практичних цілях, наприклад, при будівництві мостів,різних конструкцій тощо.

Список використаноїлітератури
 
1.  Бать М. И., Джанелидзе Г. Ю., КельзонА. С. Теоретическая механика в примерах и задачах. – М.: Наука, 1991.
2.  Жирнов Н. И. Классическая механика:Учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогическихинститутов. – М.: Просвещение, 1980.
3.  Путята Т. В., Фрадлін Б. Н. Методикарозв’язування задач з теоретичноїмеханіки. – К.: Радянська школа, 1955.
4.  Сборник заданий для курсовых работ потеоретической механики, под ред. Яблонского. – М.: Высшая школа, 1985.
5.  Турбин Б. Теоретическая механика. –М.: Сельхоз Гиз, 1959.
6.  Блохинцев Д. И. Основы квантовоймеханики. – М.: Наука, 1976.
7.  Давыдов А. С. Квантовая механика. –М.: ГИФМЛ, 1963.
8.  Дирак П. Принципы квантовой механики.– М.: Наука, 1979.
9.  Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантоваямеханика: Курс теоретической физики. – М.: ГИФМЛ, 1963. – Т. III.
10.    Левич В. Г., Вдовин Ю. А., Мямлин В.А. Курс теоретической физики. – М.: ГИФМЛ, 1962. – Т. II.
11.    Месиа А. Квантовая механика. – М.:Наука, 1978. – Т. I, II.
12.    Мякишев Г. Я. Динамические истатистические закономерности в физике. – М.: Наука, 1973.
13.    Серова Ф. Г., Янкина А. А. Сборникзадач по теоретической физике. – М.: Просвещение, 1979.