МИНИСТЕРСТВООБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
ПОЛТАВСКИЙНАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Ю. Кондратюка
РЕФЕРАТ
ТЕМА: Внутренниесилы и напряжения, возникающие в поперечных сечениях бруса при растяжении исжатии
Выполнила: студентка V курса
Группа ЕФ145
Михайлова Виктория
Полтава2009
Подрастяжением, понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сеченияхбруса (стержня) возникают только нормальные силы, а все прочие внутренниесиловые факторы (поперечные силы, крутящий и изгибающий моменты) равны нулю.
/>
Обычнымявляется растяжение стержня силами, приложенными к его концам. Передача усилийк стержню может быть осуществлена различными способами, как это показано нарис. 15. Во всех случаях, однако, система внешних сил образует равнодействующуюР, направленную вдоль оси стержня. Поэтому независимо от условийкрепления растянутого стержня расчетная схема в рассматриваемых случаяхоказывается единой. Она показана на рис. 15, г.
Есливоспользоваться методом сечений, то становится очевидным, что во всех поперечныхсечениях стержня возникают нормальные силы N, равные силе Р (рис. 16),
/>
Сжатиеотличается от растяжения, формально говоря, только знаком силы N. Прирастяжении нормальная сила N направлена от сечения, а при сжатии — ксечению. Таким образом, при анализе внутренних сил сохраняется единство подходак вопросам растяжения и сжатия. Вместе с тем между этими двумя типаминагружения могут обнаружиться и качественные различия, как, например, приизучении процессов разрушения материалов или при исследовании поведения длинныхи тонких стержней, для которых сжатие сопровождается, как правило, изгибом.
/>
Рассмотримнапряжения, возникающие в поперечном сечении растянутого стержня. Нормальнаясила N является равнодействующей внутренних сил в сечении (рис. 17).Естественно предположить, что для однородного стержня внутренние силыраспределены по сечению равномерно. Тогда нормальное напряжение для всех точексечения будет одним и тем же:
/> (1.1)
где Р— площадь поперечного сечения.
/>
Понятно,что высказанное предположение о равномерном распределении внутренних сил впоперечном сечении справедливо лишь постольку, поскольку из рассмотренияисключаются особенности конкретно взятого стержня в связи с условиями егозакрепления на концах. Здесь руководствуются правилом, которое принято называтьпринципом Сен-Венана, по имени известного французского ученого прошлоговека. Принцип Сен-Венана является общим, но применительно к стержням он можетбыть сформулирован следующим образом. Особенности приложения внешних сил крастянутому стержню проявляются, как правило, на расстояниях, не превышающиххарактерных размеров поперечного сечения стержня. Это значит, исключениесоставляют тонкостенные стержни (см, гл. XI).
Что приизучении растянутого стержня достаточно принимать во внимание толькоравнодействующую внешних сил Р, не интересуясь особенностями приложениянагрузки. Для этого надо исключить из рассмотрения часть стержня, расположеннуюв зоне приложения внеших сил. На рис. 15 это как раз и показано. Отбрасываячасти стержня, примыкающие к его концам, получаем единую расчетную схему (рис.15, г), независимо от способа приложения внешних сил.
/>
Приведенныерассуждения могут быть отнесены также и к особым участкам стержня, содержащимрезкое изменение геометрических форм. Например, для ступенчатого бруса,показанного на рис. 18, следует исключить из рассмотрения зону скачкообразногоперехода от одного диаметра к другому и зоны, примыкающие к отверстиям. Во всехостальных участках напряжения в поперечных сечениях будут распределеныравномерно и определяются по формуле (1.1).
Дляоднородного, растянутого, нагруженного по концам стержня напряжения остаютсяпостоянными как по сечению, так и по длине, т. е. сохраняются неизменными длявсех точек объема, занимаемого телом. Такое напряженное состояние называется однородным.При однородном напряженном состоянии все точки тела находятся в одинаковыхусловиях. Понятие однородного напряженного состояния тесно связано с понятиемсплошной среды. Ясно, что распределение внутренних сил в реальных условиях неможет быть равномерным из-за неоднородности кристаллических зерен металла имолекулярного строения вещества. Поэтому, когда говорят о равномерномраспределении внутренних сил по сечению, имеют в виду распределение безмикроскопической детализации в пределах площадок, существенно превышающихразмеры сечений кристаллических зерен. Сделанная оговорка относится не только крастяжению и сжатию, но и вообще ко всем другим видам нагружения, которые будутрассмотрены в дальнейшем.
/>
Прирастяжении, однако, не всегда возникает однородное напряженное состояние. Так,например, у стержня с переменной площадью поперечного сечения (рис. 19, а) напряженияменяются по длине и напряженное состояние не однородно. То же самое имеет местои для стержня, нагруженного собственным весом (рис. 19, б).
Размерырастянутого стержня меняются в зависимости от величины приложенных сил. Если донагружения стержня его длина была равна /, то после нагружения она станетравной/>(рис.20).
ВеличинуА называют абсолютным удлинением стержня.
/>
Будемсчитать, что абсолютное удлинение и деформации связаны только с напряжениями,возникающими в стержне. В действительности имеются и другие факторы, влияющиена величину деформаций. Так, например, деформации зависят от температуры и отвремени действия нагрузки. Величина неупругих деформаций зависит от «истории»нагружения, т. е. от порядка возрастания и убывания внешних сил. Пока, однако,этих вопросов мы касаться не будем.
Посколькуу нагруженного стержня (рис. 20) напряженное состояние является однородным ивсе участки растянутого стержня находятся в одинаковых условиях, деформация епо оси стержня остается одной и той же, равной своему среднему значению подлине l:
/>
Эта величинаназывается относительным удлинением стержня.
Если быв стержне (рис. 20) возникало неоднородное напряженное состояние, деформация всечении А определялась бы путем предельного перехода к малому участкудлиной dzи тогда
/>
Заметим,что вследствие равномерного распределения напряжений по сечению удлинения длявсех элементарных отрезков аЬ (рис. 20), взятых на участке/>, оказываютсяодинаковыми. Следовательно, если концы отрезков до нагружения образуютплоскость, ТО и после нагружения стержня они образуют плоскость, но смещеннуювдоль оси стержня. Это положение может быть взято в основу толкования механизмарастяжения и сжатия и трактуется как гипотеза плоских сечений (гипотезаБернулли). Если эту гипотезу принять как основную, то тогда из нее, уже какследствие, вытекает высказанное ранее предположение о равномерностираспределения напряжений в поперечном сечении.
Впределах малых удлинений для подавляющего большинства материалов справедливзакон Гука, который устанавливает прямую пропорциональность междунапряжениями идеформациями:
/>
ВеличинаЕ представляет собой коэффициент пропорциональности, называемый модулемупругости первого рода. Модуль упругости является физической, константойматериала и определяется путем эксперимента. Величина Е измеряется в техже единицах, что и а, т. е. в кГ/см2. Для наиболее частоприменяемых материалов модуль упругости имеет следующие значения в кГ/см2:
/>
ЗаконГука является приближенным. Для некоторых материалов, таких, как, например,сталь, он соблюдается с большой степенью точности в широких пределах изменениянапряжений. В некоторых же случаях наблюдаются заметные отклонения от законаГука. Например, для чугуна и некоторых строительных материалов даже при малыхнапряжениях закон Гука может быть принят только в грубом приближении. В техслучаях, когда закон Гука явно не соблюдается, деформацию задают в виденекоторой нелинейной функции от напряжения
/>
с такимрасчетом, чтобы эта функция отвечала кривой, полученной из испытания материала.
Вернемсяк выражению (1.4) и заменим в нем о на />, а е на />Тогда получим
/>
Абсолютноеудлинение стержня на длине lбудет равно
/>
В томслучае, когда стержень нагружен только по концам, нормальная сила N = Р независит от г. Если, кроме того, стержень имеет постоянные размерыпоперечного сечения Р, то из выражения (1.5) получаем
/>
Прирешении многих практических задач возникает необходимость наряду с удлинениями,обусловленными напряжением/>учитывать также удлинения, связанные стемпературным воздействием. В этом случае пользуются способом наложения идеформацию е рассматривают как сумму силовой деформации и чисто температурнойдеформации:
/>
где а —коэффициент температурного расширения материала.
Дляоднородного стержня, нагруженного по концам и равномерно нагретого, получаем,очевидно,
/>
Такимобразом, силовая и температурная деформации рассматриваются как независимые.Основанием к этому служит экспериментально установленный факт, что модульупругости Е при умеренном нагреве слабо меняется с температурой, точнотак же как и величина а практически не зависит от напряжения/>Для стали это имеет местодо температуры порядка 300—400° С. При более высоких температурах необходимоучитывать зависимость/>
Рассмотримпримеры определения напряжений и перемещений в некоторых простейших случаяхрастяжения и сжатия.
Пример1.1. Требуется выявить закон изменения нормальных сил, напряжений и перемещенийпо длине ступенчатого стержня, нагруженного на конце силой Р (рис. 21, а),определить числовые значения наибольшего напряжения и наибольшегоперемещения, если/>Материал — сталь,
/> Поскольку сила Р велика,собственный вес стержня не имеет значения.
Изусловий равновесия любой отсеченной части стержня вытекает, что нормальная силаN в каждом сечении стержня численно равна внешней силе Р. Построимграфик изменения силы N вдоль оси стержня. Графики подобного рода называются в сопротивлении материалов эпюрами.Они Дают наглядное представление о законах изменения различных исследуемыхвеличин. В данном случаеэпюра нормальной силы представлена на рис. 21,б прямоугольником, поскольку/>На рисунке эпюра N заштрихована линиями,которые проведены в направлении откладываемой на графике величины N. Вданном случае значение силы N откладывается вверх, следовательно,штриховка проведена Вертикально.
/>
Для тогочтобы получить эпюру напряжений 0, надо ординаты эпюры N изменитьобратно пропорционально величине Р (рис. 21, е). Большее значение оравно
/>
Определим,на какую величину и (см) переместится каждое сечение стержня понаправлению силы Р. Перемещение/>сечения равно удлинению отрезка
Длиной /> Следовательно,согласно формуле (1.6)
/>
Такимобразом, на участке изменения/>перемещение и пропорционально г (рис.21, г). На втором участке стержня перемещение равно
/>
Зависимость/>также будетлинейной. Наибольшее перемещение имеет торцевое сечение стержня
/>
Пример1.2. Построить эпюры нормальных сил, напряжений и перемещений для свободноподвешенного цилиндрического стержня, нагруженного силами собственного веса (рис.22). Длина стержня /> площадь поперечного сечения Р, удельный весматериала/>Нормальнаясила в сечении/>равнавесу нижележащей части стержня: Следовательно, нормальная сила пропорциональна/>Эпюра. А вданном случае штрихуется горизонтальными линиями, поскольку величины N откладываютсяв горизонтальном направлении. Напряжение в сечении равно/>(см. эпюру на рис. 22).
/>
Перемещениеи в сечении г равно удлинению верхнего участка стержня.По формуле (1/>.5). Такимобразом, закон изменения и изображается квадратичной функцией /> Наибольшееперемещение /> имеетнижнее торцевое сечение/>
/>
Пример1.3.Колонна (рис.23) нагружена силой Р />/>Такими силами собственного веса.Требуется подобрать такой закон изменения площади поперечного сечения/>чтобы напряженияво всех сечениях были одинаковы и равны/>Построить эпюры нормальных сил, напряжений иперемещений.
Нарасстоянии г от торца нормальная сжимающая сила N равна
/>
Поусловию задачи
/>
/>откуда/>
Дифференцируяобе часта этого равенствапо г, получим />Или
/>
После интегрирования находим
/>
или/>
При/>следовательно,/>и тогда искомыйзакон изменения
площади Гпринимает вид/>
Построениеэпюр удобнее всего начинать с эпюры напряжения а, которое вдоль осиколонны по условию не меняется (рис. 23). Поскольку напряжение постоянно, топостоянным будет и относительное удлинение е. Поэтому перемещение и возрастаетпропорционально расстоянию от основания колонны.
Нормальнаясила в сечении/>равна
/>
Эпюра Лпоказана на рис. 2.3.
Рассмотреннаязадача относится к числу часто встречающихся в сопротивлении материалов задачна отыскание условий равнопрочное™. Если напряжение в некотором теле (в данномслучае в колонне) будет постоянно для всех точек объёма, такую конструкциюназывают равнопрочной. В подобных конструкциях материал используется наиболееэффективно.
/>
Пример1.4. Кронштейн АВС нагружен на конце силой Р (рис. 24). Требуетсяподобрать поперечное сечение стержней А В и ВС с таким расчетом,чтобы возникающие в них напряжения имели одинаковую заданную величину а. Приэтом угол/>долженбыть выбран из условия минимального веса конструкции при заданном вылетекронштейна/>
Изусловий равновесия узла В (рис. 24) находим нормальные силы в стержнях:
/>
Далееопределяем площади поперечного сечения стержней по величине заданногонапряжения о:
/>
Весконструкции кронштейна пропорционален объему
/>
Подставляядлины и площади стержней, находим
/>
ВеличинаVимеет минимум при
/>
Использованнаялитература
1. Феодосьев В. И.Сопротивление материалов. – 8-е изд., стереотип – М.:
Наука. Главная редакцияфизико –математической литературы, 1979. – 560 с.