ІДЕАЛЬНА ОПТИЧНА СИСТЕМА
1. Поняття про ідеальну оптичну систему. Кардинальні елементи
Під ідеальною оптичною системою розуміють таку систему, що будь-яку точку простору предметів зображує стигматично, тобто вона не порушує гомоцентричності широких пучків променів, що проходять крізь неї, у межах великої області простору. Теорія ідеальної оптичної системи має чисто геометричний характер. Вона є окремим випадком більш загальної геометричної задачі про перетворення одного простору в інший, котрий називають колінеарним перетворенням. Кожній безлічі точок одного простору відповідає безліч точок в іншому просторі, яке можна назвати зображенням першого. В основі колінеарної відповідності лежать такі розуміння:
— кожній точці простору предметів відповідає тільки одна точка в просторі зображень; ці дві точки є сполученими;
— будь-якій прямій лінії простору предметів відповідає тільки одна сполучена з нею пряма лінія у просторі зображень.
Таким чином, будь-якій площині простору предметів відповідає тільки одна сполучена площина в просторі зображень. У сполучених площинах, що перпендикулярні оптичній осі, зберігається строга подоба.
Виберемо в предметній площині Q, перпендикулярної до осі, предмет у вигляді лінійного відрізка у (рис. 1). Зображенням цього предмета буде відповідний відрізок у'. Відношення розміру зображення до розміру предмета називають лінійним збільшенням ідеальної системи:
b = у¢/у.(1)
Для даної пари сполучених площин Q, Q', перпендикулярних до оптичної осі, лінійне збільшення є постійним і не залежить від розміру предмета. Для іншої пари сполучених площин лінійне збільшення матиме інше значення. Якщо b 0 — зображення пряме. Лінійне збільшення визначає масштаб зображення. Теорія ідеальної центрованої оптичної системи була розроблена Гаусом, тому її часто називають оптикою Гауса.
/>
Рисунок 1- До знаходження лінійного збільшення оптичної системи
Рисунок 2- Кардинальні точки оптичної системи
Перейдемо до визначення понять кардинальних (основних) елементів ідеальної оптичної системи. Для цього представимо оптичну систему, що складається з ряду поверхонь, у якій lі k (рис. 2) є першою й останньою поверхнями, і розглянемо три характерних положення предметної точки і її зображення.
1. Світна точка А знаходиться на оптичній осі в нескінченності. Її зображення буде в точці F', що називають заднім фокусом оптичної системи. Площина, що проходить крізь задній фокус і перпендикулярна оптичній осі, називається задньою фокальною площиною оптичної системи. Ця площина є зображенням нескінченно вилученої площини. Пучок променів, що виходить з нескінченно вилученої точки на оптичній осі, приходить в оптичну систему у вигляді пучка, рівнобіжного оптичній осі. Отже, задній фокус володіє тою властивістю, що крізь нього проходить усякий промінь, що входить в оптичну систему паралельно оптичній осі. Якщо предметна точка В (рис. 3, а), вилучена в нескінченність, знаходиться поза оптичною віссю, то промені, що виходять з цієї точки, утворять похилий пучок рівнобіжних променів. Цей пучок по виходу з оптичної системи збирається в сполученій точці В', що знаходиться поза оптичною віссю, у задній фокальній площині QF.
2. При переміщенні предметної точки А праворуч точка А' (див. рис. 2) переміщатиметься також праворуч і видалиться в нескінченність. У цьому випадку точка А переміститься в точку F. Точку F на оптичній осі в просторі предметів, сполучений з нескінченно вилученою точкою оптичної осі в просторі зображень, називають переднім фокусом оптичної системи. Площина QF, що перпендикулярна оптичній oci і минаює через передній фокус, називають передньою фокальною площиною. Передня фокальна площина сполучена з нескінченно вилученою площиною простору зображень. Отже, пучок променів, що виходить з будь-якої точки В передньої фокальної площини Qp(крім переднього фокуса), виходить із системи похилим пучком рівнобіжних променів (рис. 4, б). Усякий промінь, що входить в оптичну систему через передній фокус, виходить із системи паралельно її оптичної осі.
/>
Рисунок 2- Схема для знаходження властивостей фокальних площин
3. Виберемо пари сполучених і перпендикулярних оптичній осі площини, у яких лінійне збільшення дорівнює плюс одиниці (див. рис. 2). Ці площини називають передньою і задньою головними площинами. Точки їхнього перетинання з оптичною віссю називають передньою Н і задньою Н' головними точками. Тому, що лінійне збільшення в головних площинах дорівнює +1, то будь-який відрізок в одній площині зображується рівним і однаково розташованим відрізком в іншій площині. Звідси випливає, що вхідний і вихідний промені перетинають відповідні головні площини на рівних висотах h.
Відстань HF від передньої головної точки Н до переднього фокуса F є передньою фокусною відстанню оптичної системи, а відстань H'F' від задньої головної точки Н' до заднього фокуса F' — задньою фокусною відстанню. Фокусні відстані позначають відповідно fі f¢. Їх відраховують від головних точок.
Якщо оптична система знаходиться в однорідному середовищі, наприклад у повітрі (n = n' = 1), то f' = -f, тобто заднє і переднє фокусні відстані рівні за абсолютним значенням. У загальному випадку при n' ¹n
-f/f = n/n'.(2)
Оскільки n > 0 і n' > 0, тo фокусні відстані оптичної системи завжди мають різні знаки. Як правило, для характеристики оптичної системи використовують задню фокусну відстань, тому, якщо f' > 0, то система вважається позитивною, якщо f
/>
Рисунок 3- Схема для знаходження фокусних відстаней: а)- заднього, б)- переднього
Фокуси, фокальні площини, головні площини, головні точки і фокусні відстані називають кардинальними елементами оптичної системи.
Положення фокусів і головних площин визначають шляхом розрахунку чи графічної побудови ходу променів, паралельних оптичній осі, у прямому і зворотному напрямках (рис. 4). Як випливає з рис. 4, при висоті h падіння променів у прямому і зворотному ході одержуємо такі формули для визначення фокусних відстаней:
f' = h/tgsk¢;
f = h/tgs2.
2. Залежності між положеннями і розмірами предмета і зображення. Кутове і подовжене збільшення
Уведення кардинальних елементів дозволяє легко визначити положення і розмір зображення графічним способом. Для цього необхідно побудувати хід двох променів, що виходять з однієї позавісьової точки В предмета АВ (рис. 5). Проведемо один промінь паралельно оптичній осі, а інший — крізь передній фокус F. На перетинанні цих променів у просторі зображень буде знаходитиметься зображення В' предметної точки В. З подібності трикутників випливає, що
— у'/у = -f/-z= z'/f¢.
Звідси можна одержати формулу Ньютона: яку можна одержати, підставивши в (3) z і z', виражені через а й а' згідно з рис. 5.
Відрізки а й а', що визначають положення предмета і зображення щодо відповідних головних площин, знаходяться з формули відрізків:
/>
Рисунок 4- Схема для виводу формули кутового збільшення і формули кутів
Рисунок 5- Схема для знаходження продольного збільшення
zz¢ = ff¢.(3)
f'/a' + f/a = 1, (4)
При f' = -f формула (4) приймає вигляд
l/a' — l/a = 1/f'. (5)
Лінійне збільшення bможе бути виражене завдяки відрізкам z, z' і f':
b= -f/z = -z/f'. (6)
Якщо у формулі (6) z і z' замінимо на а — f та а' — f', одержимо
/>(7)
а' = (1 — b)f'. (8)
При n = n' відрізок а = (1 — b) f'/b.
Якщо відстань між площинами предмета і зображення дорівнює L, а між головними точками />, то при заданих L, /> і b у випадку, якщо n = n', матимемо, що
f' = -(L-/>)b/(1-b)2; (9)--PAGE_BREAK--
a' = -(L-/>)b/(1-b); (10)
a = -(L-/>)/(1-b). (11)
Лінійне збільшення через відрізки а й а' визначають за формулою
b = -fa¢/f'а = na'/n'a. (12)
Наведені вище формули (3)-(12) при відомих вихідних даних дозволяють знайти положення (відрізки z', а') і розмір зображення (y').
Уведемо поняття ще про два збільшення оптичної системи.
Кутовим збільшенням оптичної системи називають відношення тангенсів кутів, утворених сполученими променями з оптичною віссю:
y = tg s'/tg s. (13)
З рис. 6 випливає, що
g = а/а'. (14)
Використовуючи формули (12) і (14), одержимо, що
g = />. (15)
Формула (15) установлює зв'язок між кутовим і лінійним збільшеннями.
Точки предмета і зображення, що лежать на оптичній осі, для яких g= +1. називаються вузловими точками оптичної системи. З формули (15) видно, що вузлові точки збігаються з головними (b= +1) у тому випадку, якщо оптична система знаходиться в однорідному середовищі. У цьому випадку сполучені промені, що проходять крізь головні точки Н і Н', рівнобіжні один одному.
Подовжнім збільшенням aоптичною системою називають відношення розміру зображення нескінченно малого відрізка, розташованого уздовж оптичної осі, до розміру цього відрізка:
a= dz'¤dz.
Продиференціюємо формулу Ньютона (3) по zі z'. Після множення і розподілу знайденого вираження на ff' і заміни відносин z'/f' і f/z через bодержимо, що
а = -(f'/f) b2. (16)
На підставі виразів (15) і (16) можна записати:
gb = -f/f; (17)
ga = b. (18)
Рівняння (18) установлює зв'язок між трьома збільшеннями b, gі a. При f' = -f
gb= 1; (19)
a= b2.(20)
3. Побудова і розрахунок ходу променів крізь ідеальну оптичну систему
У практичній роботі конструкторів оптичних приладів досить широко використовуються властивості кардинальних елементів і основні математичні залежності ідеальної оптичної системи. Графічне розв’язання задач дозволяє найбільш наочно знайти оптимальний варіант. Чотири способи побудови ходу променів крізь позитивну і негативну оптичні системи зображено на рис. 8. Побудови виконані з припущень, що оптична система розташована в однорідному середовищі, тобто n= n', f = -f, а отже, вузлові N, N' і головні Н, Н' точки збігаються. Дамо деякі пояснення до рис. 8. Точки, загальні для заданого і допоміжного променів у передній фокальній площині, умовно позначені буквою C, а точки, загальні для тих же променів у задній фокальній площині, позначені відповідно через С'. Промені, що виходять із точок C, після проходження системи будуть рівнобіжними між собою. Якщо головні площини зливаються (система тонка), то побудови будуть простіші.
/>
Рисунок 7- Чотири способи побудування ходу променів крізь розташовану в однорідному середовищі оптичної системи
Часто оптичні системи складаються з великого числа окремих компонентів, що вилучений один від одного на значні відстані. У цьому випадку багато задач геометричної оптики зручніше розв’язувати шляхом розрахунку ходу променів. Наприклад, у центрованих оптичних системах положення зображення предмета, перпендикулярного до оптичної осі, можна визначити шляхом розрахунку променя, що проходить крізь вісьову точку А цей предмет. Положення променя, що виходить із точки А і падаючого на висоті h на оптичну систему (див. рис. 6), визначається кутом а з оптичною віссю. Знайдемо кут а'. Згідно з рис. 6 маємо
а = h/tg sіа' = h/tg s'.
Поставивши а й а' у формулу відрізків (4), після перетворення одержимо
tg s' = (-f/f¢) tg s+ hФ/n',
де Ф = n'/f' називають оптичною силою системи.
Останню формулу називають формулою кутів. У загальному вигляді для системи з декількох компонентів вона має такий вигляд:
tg sk+1= (-fk/f'k) tg sk+ hkФ/nk+1. (21)
У формулі (21) відношення -fk¢/f¢можна замінити відношенням показників переломлення, тоді
tg sk+1= />tg s+ hkФk/nk+1(22)
Якщо оптична система знаходиться в повітрі, то з (22) випливає, що
tg sk+1= tg sk+ hkФk. (23)
Висоти h падіння променів на компоненти залежать від кутів, а також від відстаней між цими компонентами:
hk+1= hk– dktg sk+1. (24)
Рівняння (24) називають формулою висот. Послідовно застосовуючи формули кутів і висот, можна розрахувати хід променів крізь ідеальну оптичну систему будь-якої складності.
4. Багатокомпонентні оптичні системи. Еквівалентна фокусна відстань
У практиці розрахунку оптичних систем велику роль відіграють двокомпонентні системи (рис. 9). Розглянемо дію такої системи за умови, що фокусні відстані компонентів і їхнє взаємне розташування відомі. Визначити положення фокальних і головних площин системи, що по своїй дії еквівалентна будь-якому числу заданих компонентів, можна шляхом розрахунку променів, рівнобіжних оптичний осі, у прямому і зворотному ході.
Послідовно застосовуючи формули кутів (21) і висот (24) для двокомпонентної системи, одержимо
tg s1= 0; tg s2= h1Ф1/n2;
h2= h1[1 -(Ф1/n2 )d]; продолжение
--PAGE_BREAK--
tg s= h1 [/>/>].
Еквівалентна фокусна відстань системи
f¢= h1/tg s3.
Тоді
/>
Рисунок 8- Система з двох компонентів
n3/f¢ = Ф1 + Ф2 — (Ф1Ф2/n2)d.
Відношення n3/f є оптичною силою Ф усієї системи, тому
Ф = Ф1 + Ф2 — (Ф1Ф2/n2)d. (25)
Відстань від другого компонента до еквівалентного заднього фокуса системи а'F¢= h3/tgs3, або
А¢F' = f¢[1-(Ф1/n2 )d], (26)
а відстань від цього компонента до задньої головної площини системи
а¢H¢= а'F¢— f¢. (27)
З розрахунку ходу променяв зворотному ході, тобто з права на ліво, відповідно до формул (21) і (24) одержимо, що
-n/f = Ф = Ф1 +Ф2– (Ф1Ф2/n2)d;
aF= f(1 — (Ф2/n2)d); (28)
aH = aF– f.
Якщо обидва компоненти оптичної системи знаходяться в однорідному середовищі, наприклад у повітрі, то
Ф = -1/f = 1/f¢= Ф1+ Ф2– Ф1Ф2d;
aF = f(1- Ф2d);
aH= aF— f;(29)
а¢F¢= f' (1 – Ф1d);
a¢H¢= a¢F¢— f¢.
Для трикомпонентної системи, усі компоненти якої знаходяться в повітрі, еквівалентну оптичну силу Ф і відрізок а¢F¢— визначають за такими формулами:
Ф = Ф1+ Ф2+ Фз — (Ф2+ Фз) Ф1d1— (Ф1+ Ф2— Ф1Ф2d1) Ф3d2;
a'F¢= (1/Ф) [1 – Ф1(d1+ d2) – Ф2d2(1 – Ф1d1)].
Якщо в розглянутій системі компонента стикаються (d1= d2= 0), то оптична сила
Ф = Ф1 + Ф2 + Фз,
а відрізок а¢F¢ дорівнює еквівалентній фокусній відстані системи f'.
Знайти параметри еквівалентної системи можна графічно шляхом побудови ходу променя, рівнобіжного оптичній осі, у прямому і зворотному напрямках.
5. Параксіальна область оптичної системи. Параксіальні і нульові промені
Реальні оптичні системи, що складаються зі сферичних і плоских заломлюючих і поверхонь, що відбивають, у загальному випадку не дають стигматичних зображень, тобто не задовольняють положенням ідеальної оптичної системи, Замість точкових зображень виходять кола розсіювання, Гомоцентричність пучка променів зберігається тільки за умови, що кути s і e, утворені реальними променями з оптичною віссю і з нормаллю до поверхні, нескінченно малі. При нескінченно малих кутах s, e, а отже, і s', e' справедливі такі вирази:
sin s/sin s' »s/s' = s'/s »const; (30)
для сферичної заломлюючої поверхні
n'/s' — n/s = (n' — n)/r: (31)
для плоскої заломлюючої поверхні
n'/s' — n/s = 0;(32)
для сферичної поверхні, що відбиває
l/s' + 1/s = 2/r. (33)
У виразах (30)-(33) відрізки s і s' визначають відповідно положення осьової предметної точки і її зображення щодо поверхні. Як видно з (30)-(33), відрізок s' залишається постійним для заданого відрізка s, тобто всі промені, що виходять із предметної точки під будь-якими, але малими кутами, після переломлення перетинаються в одній точці — точці зображення. Промені, що утворять малі кути s і s' з оптичною віссю і малі кути e й e' з нормаллю до заломлюючої поверхні, називають параксіальними променями, а область біля осі, усередині якої поширюються ці промені, — параксіальною областю. Кути s і s' для параксіальної області позначають a і a'. Співвідношення (31)-(38) називають рівняннями параксіальних променів і використовують для розрахунку ходу променів.
Для зручності виконання розрахунків вводиться поняття нульових променів. Нульовим променем називають фіктивний промінь, що переломлюється (віддзеркалюваний) так само, як і параксіальний, на поверхнях, але зустрічається з ними на кінцевих відстанях від оптичної осі і відтинає на оптичній осі ті ж відрізки, що і параксіальний промінь.
Шляхом розрахунку ходу нульового променя через оптичну систему визначають фокусні відстані і фокальні відрізки, а також положення зображення і лінійне збільшення системи для випадку, коли предмет знаходиться на кінцевій відстані.
Формули для розрахунку ходу нульового променя:
/>; (34)
1hk+1= hk– dktg sk+.1
З виразу (34) одержимо формулу радіуса:
/>
яку використовують для обчислення радіусів поверхонь при заданому ході променя. Для спрощення написання у формулах (34), (35) tg sрекомендується заміняти s.
6. Положення головних площин. Фокусні відстані заломлюючої поверхні в параксіальній області
У параксіальній області для реальних центрованих оптичних систем справедливі усі формули і положення ідеальної оптичної системи. Представимо малий предмет як би накладеним на поверхню в її вершини. Очевидно, що зображення цього предмета по положенню і розміру збігається із самим предметом. Отже, у вершині поверхні О (рис. 10) знаходиться сполучена пара сполучених точок, лінійне збільшення в який дорівнює одиниці, тобто, тут знаходяться співпадаючі головні точки заломлюючої поверхні. Головні площини збігаються і лежать у площині, дотичної до сфери в точці 0. Якщо предметну точку А переміщати уздовж оптичної осі так, щоб вона вилучилася в нескінченність, то точка А' збігається з заднім фокусом F' заломлюючої поверхні, тобто
s = -¥; s' = f'. (36)
Підставивши (36) у (31) і розв’язавши отриманий вираз відносно f', одержимо формулу для визначення задньої фокусної відстані заломлюючої поверхні:
f' = n'r/(n' — n). (37)
/>
Рисунок 9— Схема для знаходження фокусних відстаней сферичної поверхні радіусом r
При переміщенні точки А' уздовж осі в нескінченність сполучена точка А збігається з переднім фокусом F поверхні, тобто
s = f;s' = ¥. (38)
З огляду на вираз (38), з формули (31) знайдемо вираз для передньої фокусної відстані сферичної поверхні:
f = nr/(n'- п). (39)
Розділивши (37) на (39), одержимо
f'/f = n'/n.(40)
Цей важливий вираз записано тут для однієї заломлюючої поверхні, але воно справедливо і для будь-якої складної оптичної системи.