Кинематическое и кинетостатическое исследование рычажных механизмовкомпрессоров
Построение плана механизма
Компрессоры подвижногосостава железных дорог Российской Федерации одноцилиндровые и многоцилиндровыесостоят из кривошипа (коленчатого вала) и присоединенных к нему структурныхгрупп (группы Ассура). Например, V-образный компрессор (рис.1), независимо от угла между осями цилиндров “α”состоит из кривошипа 1, шатунов 2 и 4, ползунов (поршней) 3 и 5. С точки зренияструктуры этого механизма он состоит из механизма 1го класса 1го порядка (звено1) двух структурных групп 1го класса, 2го порядка 2 модификации (рис.2).
Присоединением ккривошипу еще одной структурной группы можно получить 3х цилиндровый механизм(звенья 6 и 7 по рис.1).
Кинематический расчетмеханизма компрессора сводится к расчету параметров движения звеньев, входящихв состав указанных групп. При этом алгоритм определения этих параметров будетодним и тем же для каждой группы независимо от положения звеньев в механизме.
Для кинематического расчетамеханизма задается его кинематическая схема с указанием размеров звеньев,положение кривошипа в рассматриваемый момент времени и скорость его вращения.
План механизма(кинематическая схема) для выполнения расчетов графоаналитическим методомстроится с использованием масштаба.
При расчете механизмовчасто изменяют так называемый масштабный коэффициент КL, равный отношению, действительныхразмеров звеньев к размерам на чертеже, т.е.
/>
Например: действительнаядлина кривошипа LOA= 0.05м,отрезок ОА, изображающей его на чертеже, примем ОА=25мм.
Масштабный коэффициент КL при этом будет равен
КL=0.05/25=0.002 м/мм,
т.е. в 1мм чертежасодержится 2мм действительного размера. Фактически это масштабуменьшения 1:2.
Иногда при построениикинематической схемы механизма необходимо определить недостающие размерызвеньев. Пусть, например, задано λ=LOA/LAB (параметр механизма), тогда длина LAB при заданном LOA и λ определится из соотношенияLAB=LOA/ λ.
Разделив размеры всехзвеньев на принятый масштабный коэффициент, найдем отрезки, изображающие их начертеже.
/>
Для выбора заданногоположения кривошипа траектория точки А (окружность) разбивается на 12равных частей от начала отсчета, в качестве которого чаще всего принимаетсяположение точки А на линии ОВ. Отсчет положений точки А (почасовой или против часовой стрелке) производится в зависимости от заданногонаправления вращения кривошипа.
Положение точек Ви С на линии ОВ и ОС находим методом «засечек» циркулем,установленным в точку А и содержащим размер звеньев АВ и АС,в принятом масштабе. На звеньях АВ и ВС необходимо указатьположение их центров масс (в соответствии с заданием).
Размеры прямоугольников,изображающих поршни компрессора 3 и 5 не должны соответствовать ихдействительным размерам и выбираются произвольно как условное изображениепоступательно движущихся звеньев.
Определение скоростейзвеньев с помощью плана скоростей
Обычно принимается чтокривошип вращается с постоянной угловой скоростью. Линейная скорость точки Акривошипа, как известно, определяется из соотношения:
VА=ω1LOA, [м/с], (2)
где ω1-угловаяскорость вращения кривошипа, которую определим по формуле
ω1=(2πn1)/60= πn1/30 [с-1]. (3)
Здесь n1-число оборотов кривошипа в мин.
Вектор скорости точки,движущейся по какой-либо траектории всегда направлен по касательной ктраектории в этой точке. В нашем случае вектор скорости в точке Анаправлен по касательной к окружности в точке А, т.е. перпендикулярен крадиусу ОА. Из произвольной точки PV на плоскости проводим отрезок PVа произвольной длины, который будет в масштабе КV (масштабный коэффициент скорости)изображать скорость точки. Величина КV будет равна:
КV=VA/РVa[(м/с)/мм], т.е. масштабный коэффициентпоказывает сколько единиц скорости содержится в одном миллиметре отрезка РVa.
Далее определяем скоростьточки В, принадлежащей одновременно звеньям 2 и 3. Звено 2совершает сложное плоско-параллельное движение. В сложном движении скоростьточки В определим в соответствии с векторным уравнением:
/>
где /> - вектор скорости точки В
/> - вектор скорости точки А
/> - вектор скорости точки Вотносительно А.
В векторном уравнении (4)скорость точки А известна по величине и по направлению (подчеркнутодвумя линиями), скорости VB и VAB известны только по направлению. Скорость точки Внаправлена по линии ОВ (движение ползуна-поршня 3 по направляющим),вектор скорости точки В относительно точки А будет направленперпендикулярно отрезку АВ как к радиусуокружности описываемой точкой В в ее относительном движении вокруг точкиА. в соответствии с этим из точки PV проводим луч параллельный линии ОВ,а из точки «a» отрезка PVа луч, перпендикулярный АВ. Пересечение этихлучей в точке «в» определяет отрезок PVв, который в принятом масштабе изображает скоростьточки В, а отрезок «ав» изображает скорость точки Вотносительно точки А.
Направление векторов этихскоростей должно соответствовать уравнению (4), а их величина определяется изсоотношений:
/>
/>
Аналогичным образомопределяются скорости точки "С" и точки "С"относительно точки "А". Положение точек S2и S4(центров масс звеньев) на планескоростей определяется в соответствии с условие подобия: их расположение наплане скоростей подобно расположению на схеме механизма. Так, например, еслиточка S2 находится на одной трети отрезка"АВ", то точка S2 на плане скоростей будет также находиться на одной трети отрезка "ав".Соединив точки S2 и S4 с полюсом плана скоростей получимвекторы скоростей этих точек, а величина скоростей определится из соотношений:
/>
/>.
Построенный планскоростей для механизма компрессора позволяет определить угловые скоростизвеньев 2 и 4 в их вращательном движении.
Как уже говорилось,отрезок плана скоростей ав (вектор) обозначает скорость точки "В"относительно точки "А". Разделив величину скорости VBA на действительную длину звена АВполучим угловую скорость звена 2, т.е.
ω2=|Vва|/lAB[с-1]
Для определениянаправления угловой скорости ω2 необходимо вектор скоростиVBA приложить к точке "В"(см. рис 1.). Нетрудно убедиться, что звено 2 при этом будет вращаться противчасовой стрелки.
Угловую скорость звена 4и ее направление определим аналогичным образом :
ω4 =|Vса|/lAC[с-1]
Построение планаускорений
Построение планаускорений так же начинаем со звена 1. В общем случае ускорение точки "А",лежащей на кривошипе определится из векторного уравнения:
/>
где аАn -нормальное (центростремительное)ускорение, точки "А"
аАt-тангенциальное ускорение точки"А".
так как кривошипвращается с постоянной угловой скоростью аАt=0.
Центростремительноеускорение точки "А" определим по формуле:
аАn= ω12lОА=VА2/lОА [м/с2] .
Для построения планаускорений из произвольной Pапроводим луч произвольной длины ( но не менее 100 мм) параллельнокривошипу. Зная величину ускорения аАnи длину отрезка Paa' (мм) определим масштабный коэффициентускорений Ка.
Ка=|аАn| / Paa' [(м/с2)/мм].
Ускорение точки«В» в сложном движении шатуна определим в соответствием с векторнымуравнением :
/>
В уравнении (5) имеется 3неизвестных по величине параметра при известном их направлении (подчеркнуты)одной линией. Для графического решения уравнения (5) необходимо определитьвеличину одного из неизвестных параметров, в частности величину нормальногоускорения точки "В" относительно точки "А" :
аВАn=|Vва|2/lав[м/с2]
Вектор ускорения аВАn направлен от точки "В"к точке "А" параллельно шатуну АВ. Величина отрезкаизображающего ускорение аВАn определим из соотношения:
а'n'=| аВАn|/Ка [мм]
Определив величинуускорения аВАn и отложив на чертеже отрезок а’n’ решаем уравнение (5) графически. Для этого из точки Ра(полюса плана ускорений) проводим луч, параллельный линии ОВ, которыйсоответствует направлению вектора ускорения точки "В", допересечения с направлением вектора тангенциального ускорения аВАt.
Полученная фигураявляется решением уравнения (5); направление векторов на этой фигуре (планускорений) должны соответствовать уравнению (5).
Величину искомыхуравнений определяем умножением соответствующих отрезков плана ускорений намасштабный коэффициент ускорений:
аВАt=Ка·n'в ;
аВА=Ка·ав;
аВ= Ка·Рав;
На плане ускорений, также как на плане скоростей определяем положение точек S2 и S4 в соответствии с теоремой подобия,после чего находим величину ускорений центров масс шатунов 2 и 4.
аS2=Ka·Pa S2 ;
аS4= Ka·PaS4 ;
Для звеньев 4 и 5 искомыеускорения определяем аналогичным образом в соответствии с уравнениями:
/> ;
аСАn=(VCA2)/lAC;
а'm'=| аCАn|/Ка;
аСАt=Ka·m'c;
аСА =Ka·a'c;
аС=Ka·PaC;
аS4=Ka·Pa S4.
Величина и направлениелинейных ускорений характерных точек для звеньев 2 и 4 показана на рис. 4. Планускорений позволяет определить величину и направление угловых ускоренийшатунов.
Угловое ускорение шатуна2:
ε2=( аВАt)/lАВ [с-2]
угловое ускорение шатуна4:
ε4=( аСАt)/lАС [с-2]
Направление этихускорений определяется по направлению тангенциальных ускорений, приложенных всоответствующих точках (см.Рис.1 и рис.4).
Планы скоростей иускорений позволяют определить характер движения звеньев механизма. Приодинаковом направлении скорости и ускорения звенья движутся ускоренно, приразном направлении – замедленно.
В нашем случае: звено-1движется равномерно (по условию), звено 2-ускоренно, звено 3-замедленно, звено4- замедленно, звено 5-ускоренно.
Необходимо отметить, чтокинематический анализ механизма необходимо осуществлять за цикл, который вданном механизме соответствует полному обороту кривошипа.
В предположении, чтокинематические параметры механизма не изменяются скачкообразно, их определяютдля восьми, двенадцати и более положений кривошипа в зависимости от условийпоставленной задачи.
В этом случае планмеханизма, планы скоростей и ускорений строятся для каждого из этих положений.
/>
Кинетостатическийрасчет механизма
Кинетостатическим, вотличии от статического, называется расчет механизма с учетом сил инерции.Целью кинетостатического расчета является определение сил, действующих назвенья механизма, реакций в кинематических парах и затрат энергии, необходимойдля приведения механизма в движении и выполнения им работы в соответствии с егоназначением.
Для выполнениякинематического расчета необходимо иметь:
— планы скоростей иускорений для заданного положения звеньев механизма;
— величину масс подвижныхзвеньев и моменты их инерции (для звеньев, совершающих вращательное движение);
— закон изменения силыполезного сопротивления при работе механизма.
Кинетостатический расчетначинается с выделения из механизма групп Ассура, являющихся статически определимойсистемой. Вначале рассматривается группа, к которой приложена сила полезногосопротивления. В рассматриваемом здесь примере безразлично с какой группыначинать расчет. Вместе с тем, для расчета группу необходимо изобразить начертеже в таком положении, в котором она находится в механизме с соблюдением масштаба(допускается увеличить размеры звеньев с изменением масштаба изображения).
Для выделенной группыопределяем действующие на ее звенья силы (рис 5).
Сила тяжести шатуна G2=m2g(H)
Сила тяжести поршня G3=m3g(Н)
Сила инерции шатуна Pu2=m2аS2 [H]
Сила инерции поршня Pu3=m2аВ [H]
Силы инерции приложены вцентре масс и направлены против вектора ускорения центра масс.
К звену 2 необходимо ещеприложить момент сил инерции
Мu2= — IS2·ε2 [H·м]
который направленпротивоположно направлению углового ускорения ε2, о чем свидетельствует знак «минус»в правой части уравнения. Неизвестную реакцию со стороны отброшенного звеназаменяем произвольно направленными составляющими R12nи R12t, величина которых и их истинноенаправление определяется в процессе выполнения расчета.
Реакция R63со стороны направляющих поршня 3 (стенок цилиндра)является геометрической суммой силы нормального давления Nи силы трения F, направленной противоположнонаправлению относительной скорости. Реакция RG3отклонена от силы N на величину угла φ (угол трения), тангенскоторого равен коэффициенту трения f. При расчетах механизмов принимают f=0,1 (полусухое трение), следовательно φ=arctgf≈6°
Реакция в точке "В",где осуществляется соединение шатуна с поршнем является внутренней силой и невлияет на равновесие сил, действующих на эту группу.
/>
Силу полезногосопротивления Рс определяем с помощью индикаторной диаграммы всоответствии с процессом, происходящим в цилиндре компрессора (всасывание,сжатие, нагнетание).
После определения сил иприложения их к звеньям составляем условие равновесия в векторной диаграмме
/> (6)
Уравнении (6) содержит 3неизвестных величины, направления которых заданы. Для решения уравнения (6)необходимо определить величину одного из неизвестных.
Исходя из существующейсхемы действии сил на группу 2-3 удобно определить реакцию R12t из уравнения моментов сил,действующих на звено 2 относительно точки "В". Для составленияуравнения моментов необходимо обозначить на чертеже 5 плечи сил в мм, адля перевода их в действительные размеры механизма умножить на масштабныйкоэффициент Kl.Знак момента сил выбирается произвольно. Примем в нашем случае положительноенаправление моментов против часовой стрелки.
R12t·lAB -Pu2hu2Kl-Mu2+G2h2Kl=0, (7)
Из уравнения (7) находим:
R12t=(Pu2hu2Kl+Mu2-G2h2Kl)/lAB[Н]
После определения R12tрешаем уравнение (6) графически. Дляэтого выбираем масштабный коэффициент построения плана сил KP[Н/мм], который показывает, сколько единицсилы содержится в одном миллиметре отрезка, изображающего вектор этой силы начертеже. Величина масштабного коэффициента КР выбираетсяпроизвольно исходя из возможности размещения плана сил на имеющейся площадичертежа.
Разделив численныезначения сил на выбранный масштабный коэффициент КР найдемвеличину отрезков-векторов, изображающих эти силы на чертеже.
Далее строим план сил,откладывая последовательно отрезки- векторы сил на чертеже (рис.6), параллельнодействующим силам. Для удобства определения реакции в точке "В"необходимо группировать силы, действующие на одно звено.
После построения планасил определяем неизвестные силы:
R12n=КР·fn[Н]
R12=КР·еn[H]
R63=КР·n Rf[H]
Для определения реакции вточке «В» замыкаем вектор «cn» силы, действующие на звено 3. при этом так жезамыкаются силы, действующие на звено 2, но направление вектора «cn» изменяется на противоположное.
Далее определяются силы, действующиена кривошип 1 (коленчатый вал). Направление реакций в кинематической паре «0»R12tиR12n выбираем произвольно, реакция R21 равнаR12, но направлена в противоположнуюсторону (рис.7)
Уравнение равновесия силдействующих на звено 1 решается графически без дополнительных расчетов (рис.8).Масштабный коэффициент построения плана сил выбирается произвольно, вчастности, он может быть равен масштабному коэффициенту плана сил для группы2-3.
/> (8)
/>
Величина реакции RG1=КР·Pfв[Н]
Для соблюдения равновесиязвена 1 к нему необходимо приложить момент МУР, который посути уравновешивающий все силы и моменты, действующие на группу 2-3.
МУР=-R12·h21·Kl[Нм]
Аналогичным образомстроятся планы сил для второй группы, состоящей из звеньев 4-5. В результате назвено 1 будет действовать еще одна сила R41, а уравновешивающий момент долженуравнвешивать результирующий момент от сил R21и R41.
После построения планасил и определения уравнивающего момента можно определить мощность двигателя N необходимого для приведения механизмав движение по формуле:
Мдв=9550·(N(кВт))/n1(9)
Где Мдв — момент двигателя, равный эквивалентному уравнивающему моменту за весь цикл;
n — число оборотов кривошипа.
Из формулы (9) следует
N=(Mдв· n1)/9550 [кВт]
Определение силполезного сопротивления при расчете механизма
компрессора
Силы полезногосопротивления, действующие на механизм компрессора определяются с помощьюиндикаторной диаграммы, характеризующей изменения давления воздуха в цилиндреза цикл, соответствующий повороту кривошипа на 360°.
Изменения давления вцилиндре характеризуются следующими данными (таблица).
Таблица 1.
SB/ SBmax 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Pi/Pimax при всасывании 1,0 0,3
Pi/Pimaxпри сжатии 1,0 1,0 1,0 0,55 0,38 0,27 0,18 0,12 0,08 0,04
Здесь: SBmax – максимальный ход поршня; дляцентрального кривошипно-ползунного механизма SBmax=2r1
где r1 — радиус кривошипа.
SB — перемещение поршня от крайнегоположения в соответствии с происходящим в цилиндре процессом(всасывание илисжатие).
Pi — давление в цилиндре компрессора врассматриваемый период, мПа.
Pimax -максимальное давление воздуха вкомпрессоре (эта величина задается).
Для построения индикаторнойдиаграммы в системе координат ХОУ (рис. 8) по оси "Х” откладываемперемещение поршня SBmax, которое делим на десять равных частей. По оси "У”в произвольном масштабе откладываем величину давления в цилиндре в мПа.
В соответствии с таблицейпри SB/SBmax=0, величина давления в цилиндре компрессора равна егомаксимальному значению; при SB/SBmax=0,1 давление в цилиндре равно 0,3 Pimax, а при SB/SBmax=0,2 давление Pi=0. Отложив на графике полученные значения Pi получим кривую 1, характеризующую изменениедавления оставшегося в цилиндре воздуха при движении поршня в режимевсасывания. Следует отметить, что давление оставшегося воздуха будет создаватьдвижущую силу действующую в направлении движения поршня.
При дальнейшем движениипоршня в цилиндре будет создаваться разряжение и произойдет всасывание воздуха(прямая 2).
На схеме механизма (см. рис.1)режим всасывания соответствует движению поршня 3 от точки "В"к точке “O”, поршня 5 – от точки С кточке “O”.
При движении поршня вобратном направлении происходит сжатие воздуха в цилиндре; величина давленияизменяется в соответствии с кривой 3, построенной на основании данных таблицы1. Так, например, перемещение поршня на одну десятую хода (от 1,0 до 0,9)увеличивает давление до 0,04Pmax, перемещение от 0,9 до 0,8 увеличивает давление до 0,08Pimaxи т.д. Откладывая полученные такимобразом значения давления воздуха в цилиндре на графике, получим кривую 3(сжатие воздуха в цилиндре). Максимальное давление воздуха достигается при
SB/ SBmax=0,2 после чего происходит его нагнетаниев резервуар (линия 4).
Для определения силыдавления воздуха на поршень компрессора с использованием индикаторной диаграммынеобходимо на плане механизма или аналитически определить перемещение поршня отего крайнего положения в соответствии с происходящим в компрессоре процессом(всасывание или нагнетание). Например, для поршня 3 (см.рис.1) перемещение приего сжатии воздуха от точки В' до точки В соответствует поворотукривошипа из положения 7 в положение 12. Разделив величину перемещения поршняна величину хода поршня получим 0,9. При отсчете по кривой 3 справа налево(сжатие) найдем величину давления в цилиндре Pi, мПа. Действующую на поршень силуопределим по формуле:
Pc=P2Sn,
Где Sn — площадь поршня, Sn=(π dц2)/4 ,
Или Pc= (Pi·(π dц2)/4)106 [H]
Где dц — диаметр цилиндра в метрах.
/>Геометрическийсинтез зубчатого зацепления
Одним изосновных достоинств зубчатых механизмов является их компактность при передачебольшой мощности. Для уменьшения геометрических размеров зубчатых колес имеханизма в целом используют зубчатые колеса с минимальным числом зубьев.Однако при изготовлении зубчатых колес с числом зубьев меньше 17 происходитподрез эвольвентной части зуба. Во избежания подрезания профиля зуба режущийинструмент при изготовлении зубчатых колес отодвигается от заготовки(положительное смещение). Изготовленные таким образом зубчатые колеса сосмещением имеют большую прочность и устойчивость к износу, но меньшийкоэффициент перекрытия.
Величина смещенияинструмента «а» определяется из соотношения
a=xm ,
где х — коэффициентсмещения,
m — модуль зубчатого колеса.
Правильно выбранныйкоэффициент смещения обеспечивает получение необходимых свойств игеометрических параметров зубчатой передачи. В связи с этим при выборекоэффициентов смещения необходимо пользоваться рекомендациями, попроектированию зубчатых передач с заданными свойствами.
Так, например, длясиловых передач общего назначения при выборе коэффициентов смещения можнопользоваться рекомендациями, приведенными в таблице 2.
Таблица 2.
Z1 и Z2
Х1
Х2
Z1,2≥30
Z1=14-20
Z2≥50
0,3
-0,3
Z1=10÷30
Z2≤30
0,5
0,5
Z1= 10…30
Z2≥ 32
0,5
Z1=5…9
Z2≤ 30
Х1=0,03(30-z1)
Х2=0,03(30-z2)
В специальной литературеимеются рекомендации по выбору коэффициентов смещения при проектированиизубчатых передач с различными свойствами [ ].
Выбор коэффициентовсмещения можно осуществить также по так называемым блокирующим контурам [ ].
После выборакоэффициентов смещения х1 и х2 при заданных числах зубьевz1 и z2 и модуля зацепления m определяем основные размеры зубчатыхколес и качественные характеристики зацепления.
Коэффициент суммысмещений
Х∑=х1+х2
Угол зацепления αw
inv αw=inv α+2((x1+x2)/(z1+z2)tgα
где α=20º;
угол αw находят по таблицам эвольвентной функции
Диаметры делительныхокружностей
d1=mz1
d2=mz2
Диаметры основныхокружностей
dв1=d1cosα
dв2=d2cosα
Делительное межосевоерасстояние
a=(m(z1+z2))/2
Межосевое расстояниепередачи со смещением
aw=a(cosα)/ cosαw
коэффициентвоспринимаемого смещения
у=(аW-a)/m
Коэффициентуравнительного смещения
∆у=х∑-у
Радиусы начальныхокружностей
rw1=r1(cosα)/ cosαw
rw2=r2(cosα)/ cosαw
Контрольная проверка
aw=rw1+rw2
Радиусы вершин зубьев
ra1=m((z1/2)+ha*+x1-∆y)
ra2=m((z2/2)+ha*+x2-∆y)
Радиусы окружностейвпадин зубьев
rf1=m((z1/2)-ha*+x1-с*)
rf2=m((z2/2)-ha*+x2-с*)
Высота зуба
h=ra1-rf1
Толщина зубьев поделительной окружности
S1=m((π/2)+2x1tgα)
S2=m((π/2)+2x2tgα)
Угол профиля точки поокружности вершин
αa1=arccos(rв1/ra1)
αa2=arccos(rв2/ra2)
Толщина зубьевпо окружности вершин
Sa1=m(cosα/cosαw)[(π/2)+x1tgα-z1(invαa1-invα)
Sa2=m(cosα/cosαw)[(π/2)+x2tgα-z2(invαa2-invα)
Толщина зубьев поокружности вершин должна быть больше или равна 0,4m.
Коэффициент торцовогоперекрытия
εα=(z1/2π)(tgαa1-tgα)+(z2/2π)
Допустимые значениякоэффициента торцового перекрытия
εα≥1,2
на основании выполненныхрасчетов вычерчивается зацепление 2х зубчатых колес с определением активнойлинии зацепления и активной части профилей зубьев (рис. 9)
На одном из зубчатыхколес вычерчивается станочное зацепление зубчатой рейки и нарезаемого колеса суказанием размеров рейки и величины смещения.
/>
/>
Литература
1. Теория механизмов и механика машин.Под ред Фролова К.В.
м. Наука 2004.
2. С.А. Попов, Г.А.Тимофеев Курсовоепроектирование по теории механизмов и машин. м.1999.
3. Щепетильников В.А., Солодилов В.Я.Геометрический синтез зубчатых колес внешнего зацепления со смещением. м.2001.