Лабораторнаяработа № 6
ТелешовойЕлизаветы, гр. 726,Решение задачи о ранце методомветвей и границ.1. Постановказадачи.
1929 год. В США великая депрессия, введен сухойзакон. Страна просто задыхается без спиртного. В этот сложный момент группаинициативных граждан под руководством Аль Капоне решает помочь родной стране.Ими планируется поставка алкогольной продукции из Ливерпуля в Штаты. Благодарные сограждане из 5крупных городов США готовы платить большие деньги за тонну спиртного: 2000долл. в Бостоне, 3000 в Детройте, 2500 в Вашингтоне, 3200 в Нью-Йорке и 1800долл в Чикаго. Все 5 городов находятся на разном расстоянии от порта, кудаприбывает груз: Бостон – 250 миль, Детройт – 300 миль, Вашингтон – 500 миль,Нью-Йорк –100 миль и Чикаго – 600 миль. Требуется выбрать города, в которыхможно получить максимальную прибыль от продажи спиртного. При этом суммарноерасстояние от этих портов до порта с грузом не должно превышать 1000 миль.2. Решениезадачи.
Данная задача является задачей о ранце вида:
, (1)
где критерием является функция
(2)
которая может быть устремлена и к максимуму, и кминимуму.
Для начала составим следующую математическую модель:
Пусть – j-тый город, откуда соответственно j-тый город будет разгружаться алкогольная продукция, то
;
Целевой функцией иликритерием будет являться максимальная благодарность сограждан:
Далее отбираем порты поприоритетности, т.е. в порядке убывания отношения
(3); (2); ; (1); (5).
После этого определяемначальный план следующим образом: пусть наибольшее, иследовательно продажа спиртного в Нью-Йорке даст наибольшую прибыль принаименьших затратах, которые зависят от расстояния. Вычитая из суммарногорасстояния расстояние до порта мыполучим расстояние, которое разделяется между остальными городами, т.е.:
,
Аналогично рассуждая, далее получаем:
,
,
В последнем случае оставшееся после других городоврасстояние меньше 500 миль, поэтому будет дробным:
Таким образом, начальный опорный план:
Значение целевой функции:
Но обязательно целое.Поэтому чтобы определить, чему все же равен
;–целая часть критерия при существующем опорном плане.
;– значениекритерия при целочисленном опорном плане, т.е.
Множество D, которому принадлежит имеет Разделим его на 2 подмножества, такие что:
;
— здесь
здесь
1) Анализ множества D1.
Поскольку целевая функция иограничения будут иметь вид:
Строим новый опорный план:
,
,
,
Т.к. будет дробным:
Таким образом, новый опорный план:
;
, при
2) Анализ множества D2.
Поскольку целевая функция иограничения будут иметь вид:
=> .
Строим новый опорный план:
,
,
Т.к. будет дробным:
Таким образом, новый опорный план:
;
, при
3) Отсев неперспективного подмножества.
Так как и больше Rec, то оба подмножестваможно считать перспективными, но поскольку D2. Разделим егона 2 подмножества, такие что:
;
— здесь
здесь
4) Анализ множества D3.
Поскольку целевая функция иограничения будут иметь вид:
.
Строим новый опорный план:
,
,
Т.к. будет дробным:
Таким образом, новый опорный план:
;
, при
5) Анализ множества D4.
Поскольку целевая функция иограничения будут иметь вид:
=> .
Строим новый опорный план:
,
Т.к. будет дробным:
Таким образом, новый опорный план:
;
, при
6) Отсев неперспективного подмножества.
Так как и больше Rec, то оба подмножестваможно считать перспективными, но поскольку D3. Разделим егона 2 подмножества, такие что:
;
— здесь
здесь
7) Анализ множества D5.
Поскольку целевая функция иограничения будут иметь вид:
.
Строим новый опорный план, очевидно: ограничение выполняетсявсегда.
;
, при
8) Анализ множества D6.
Поскольку целевая функция иограничения будут иметь вид:
D
D1
D2
D3
D4
D5
D6 .
Ограничение несовместное, поскольку даже при оно не выполняется. Следовательномножество D6 несуществует.
Таким образом, оптимальным планом данной задачибудет: 3. Постановка задачи омногомерном ранце.
В связи с тем, что спиртное стало хорошо раскупаться, Аль Капоне решилувеличить поставки. Но чтобы мирно спящее ФБР не дай бог не проснулось, былорешено осуществлять поставки через три разных порта на восточном побережье.Цены на спиртное в пяти вышеуказанных городах не изменились, расстояние же отних (в милях) до портов указано в следующей таблице:
Бостон
Детройт
Вашингтон
Нью-Йорк
Чикаго
Порт 1
250
300
500
100
600
Порт 2
100
200
700
400
300
Порт 3
500
400
300
550
150
Вовсех трех случаях суммарное расстояние от порта до городов не должно превышать1000 миль. Требуется решить тот же самый вопрос: в какие города выгоднеепоставлять продукцию?4. Решениезадачи о многомерном ранце (вручную).
Задача о многомерном ранцеимеет следующую математическую модель:
, (3)
где критерием является функция
(4)
От задачи об одномерномранце она отличается наличием нескольких ограничений. Таким образом,математическая модель:
Пусть – j-тый город, откуда соответственно j-тый город будет разгружаться алкогольная продукция, то
;
Целевой функцией иликритерием будет являться максимальная благодарность сограждан:
Решим задачу оценки критерия для каждого ограниченияв отдельности. Пусть множество относится к первомуограничению,
1) Анализ множества .
(3); (2); ; (1); (5).
Определяем начальный план:
,
,
,
В последнем случае оставшееся после других городоврасстояние меньше 500 миль, поэтому будет дробным:
Таким образом, начальный опорный план:
;
2) Анализ множества .
; ; ; ; (4).
Определяем начальный план:
,
,
,
В последнем случае оставшееся после других городоврасстояние также равно 300 миль, поэтому будет целым:
Таким образом, опорный план:
;
3) Анализ множества .
; 2); 3); ; (1).
Определяем начальный план:
,
,
,
В последнем случае оставшееся после других городоврасстояние меньше 550 миль, поэтому будет дробным:
Таким образом, опорный план:
;
4) Вычисление верхней и нижней границ.
Вычисляем верхнюю границу:
; – третье ограничение более жесткое, далее будем исследоватьопорный план .
Определяем опорные планы для третьего ограничения:
a) ,
,
Впоследнем случае оставшееся после других городов расстояние равно 50 миль,поэтому . Такимобразом:
б) ,
,
Впоследнем случае оставшееся после других городов расстояние равно 100 миль,поэтому . Такимобразом:
в) В этом случае
Вычисляем нижнюю границу:
;
;
;
5) Ветвление множества D.
;
— здесь
здесь
6) Анализ множества D1.
a) Определяем начальный пландля
,
,
Впоследнем случае оставшееся после других городов расстояние меньше 500 миль,поэтому будет дробным:
Таким образом, новыйопорный план:
;
б)Определяем начальный план для
,
,
,
Впоследнем случае оставшееся после других городов расстояние меньше 700 миль,поэтому будет дробным:
Таким образом, новыйопорный план:
;
в)Определяем начальный план для
,
,
,
Впоследнем случае оставшееся после других городов расстояние меньше 100 миль, поэтому будет дробным:
Таким образом, новыйопорный план:
;
г) Вычисление верхней инижней границ.
Вычисляем верхнюю границу:
; – первое ограничение более жесткое.
Определяем опорные планы дляпервого ограничения:
– В этом случае
– ,
,
Впоследнем случае оставшееся после других городов расстояние равно 450 миль, поэтому. Такимобразом:
– ,
,
Впоследнем случае оставшееся после других городов расстояние равно 100 миль, поэтому . Такимобразом:
Вычисляемнижнюю границу:
Т.к. ;
;
7) Анализ множества D2.
Поскольку
=>;
a) Определяем начальный пландля
,
,
В последнемслучае оставшееся после других городов расстояние меньше 500 миль, поэтому будет дробным:
Таким образом, новыйопорный план:
;
б)Определяем начальный план для
,
,
,
Таким образом, новыйопорный план:
;
в)Определяем начальный план для
,
Впоследнем случае оставшееся после других городов расстояние меньше 400 миль, поэтому будет дробным:Таким образом, новый опорный план:
;
г) Вычисление верхней инижней границ.
Вычисляем верхнюю границу:
; – третье ограничение более жесткое.
Определяем опорные планы длятретьего ограничения:
– ,
В последнем случаеоставшееся после других городов расстояние равно 50 миль, поэтому Такимобразом:
– ,
,
Впоследнем случае оставшееся после других городов расстояние равно 50 миль,поэтому . Такимобразом:
– В этомслучае
Вычисляемнижнюю границу:
Т.к. ;
;
8) Отсев неперспективного подмножества.
Так как и больше Rec, то оба подмножестваперспективные, но поскольку
;
— здесь
здесь
9) Анализ множества D3.
Поскольку
a) Определяем начальный пландля
,
,
Впоследнем случае оставшееся после других городов расстояние меньше 600 миль,поэтому будет дробным:
Таким образом, новыйопорный план:
;
б)Определяем начальный план для
,
,
Впоследнем случае оставшееся после других городов расстояние меньше 700 миль,поэтому будет дробным:
Таким образом, новыйопорный план:
;
в)Определяем начальный план для
,
Впоследнем случае оставшееся после других городов расстояние меньше 350миль, поэтому будет дробным:
Таким образом, новыйопорный план:
;
г) Вычисление верхней инижней границ.
Вычисляем верхнюю границу:
; – третье ограничение более жесткое.
Определяем опорные планы длятретьего ограничения:
– ,
,
Впоследнем случае оставшееся после других городов расстояние равно 100 миль,поэтому . Такимобразом:
– ,
,
Впоследнем случае оставшееся после других городов расстояние равно 300 миль, поэтому . Такимобразом:
– В этом случае
Вычисляемнижнюю границу:
;
Т.к. ;
10) Анализ множества D4.
Поскольку
=> ;
a) Определяем начальный пландля
,
Впоследнем случае оставшееся после других городов расстояние меньше 500 миль,поэтому будет дробным:
Таким образом, новыйопорный план:
;
б)Определяем начальный план для
,
,
Таким образом, новыйопорный план:
;
в)Определяем начальный план для
В этомслучае оставшееся после других городов расстояние меньше 150 миль, поэтому будет дробным:
Такимобразом, новый опорный план:
;
г) Вычисление верхней инижней границ.
Вычисляем верхнюю границу:
; – третье ограничение более жесткое.
Определяем опорные планы длятретьего ограничения:
Очевидно, что поскольку
Вычисляемнижнюю границу:
Т.к. ;