Задача 17.
Определитесреднюю урожайность картофеля в регионе по данным о:
а) посевнойплощади и валовом сборе;
б) посевнойплощади и урожайности;
в) валовомсборе и урожайности.
Объясните,как определена форма средней величины.Область Посевная площадь, тыс.га
Валовой сбор,
тыс. т
Урожайность,
ц/га А 139,80 2055 147 Б 102,34 1484 145 В 63,29 981 155
а)при определении средней урожайности картофеля в регионе по данным о посевной площади и валовом сбореиспользуем формулу средней арифметической
/>
w (x*f) – валовый сбор;
fi – площадь.
Х ср =(20550+14840+9810)/ (139,80+102,34+63,29)= 148
б) по данным по посевной площади и урожайностииспользуем формулу средней арифметической взвешенной:
/>
xi –урожайность пообласти;
fi – посевная площадь по области.
Х ср=(139,80*147+102,34*145+63,29*155)/(139,80+102,34+63,29)= 148
в)по данным о валовом сборе и урожайностииспользуем среднюю гармоническую взвешенную:
/>
хi – урожайность;
w – валовый сбор.
Х ср =(20550+14840+9810)/(20550/147+14840/145+9810/155) = 148
Задача 27.
Вцелях изучения затрат времени на изготовление одной детали рабочими заводапроведена 10%-ная случайная бесповторная выборка, в результате которой полученоследующее распределение деталей по затратам времени:Затраты времени на одну деталь, мин. Число деталей, шт. До 20 10 От 20 до 24 20 От 24 до 28 50 От 28 до 32 15 Свыше 32 5 Итого 100
1.На основании этих данных вычислите: средние затраты времени на изготовлениеодной детали, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициентвариации.
2.Свероятностью 0,954 определить:
а) предельнуюошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидаются средниезатраты времени на изготовление одной детали на заводе;
б) необходимуючисленность выборочной совокупности, чтобы предельная ошибка выборки при определениисредних затрат времени не превышала 1 минуты.
Решение:
Для расчетов составимтаблицу.
Затраты времени на одну деталь, мин., х i Середина интервала
Число деталей,
fi
х i*fi
(xi — xср)
(xi — xср)2
(xi — xср)2* fi
До 20 10 18 180 -7,3 53,29 532,9 20 — 24 20 22 440 -3,3 10,89 217,8 24 — 28 50 26 1300 0,7 0,49 24,5 28 — 32 15 30 450 4,7 22,09 331,35 Свыше 32 5 32 160 6,7 44,89 224,45 Итого 100 2530 131,65 1331
1) средние затраты времени на изготовление одной детали рассчитаем по формуле среднейарифметической взвешенной, предварительно выбрав середину интервала веса:
/>
/> =2530/100═ 25,3
Средние затраты времени на изготовление одной детали составили 25,3 мин.
2) дисперсию исреднее квадратическое отклонение рассчитаем по формулам:
— дисперсия
σ2= ((xi — xср)2* fi) / Σ fi
σ2= 1331/100 =13,31
— среднее квадратическое отклонение
σ= √σ2 = √ 13,31 = 3,65
3) коэффициентвариации рассчитаем по формуле
ν =σ / хср *100%
ν =3,65/ 25,3 * 100 = 14 (%)
ν =14 %
Коэффициентвариации показывает однородность выборки. Если он ниже 35%, выборка однородная,как и в данном случае.
4) Рассчитаем свероятностью 0,954 предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, вкоторых ожидаются средние затраты времени на изготовление одной детали на заводе.Используем для расчета формулу средней ошибки выборочной средней
μ х = √σ2х /n (1-n/N),
где σ2х – дисперсия изучаемого признака,
n — численность выборки,
N — число единиц вгенеральной совокупности,
n/N = 0,1 (десятипроцентное).
μ х = √σ2х /n (1-n/N) = √13,31/ (100*(1-0,1)) = 0,3
Предельная ошибка выборкирассчитывается по формуле
∆ х = t *μ х,
где t – коэффициент доверия, привероятности 0,954 равен 2
∆ х = t *μ х = 2*0,3=0,6
Итак, средние затраты времени наизготовление одной детали находится в пределах
хср±∆ х,или 25,3 ± 0,6 или от 24,7 до 25,9 мин.
б) необходимуючисленность выборочной совокупности, чтобы
предельная ошибка выборки при определении средних затрат времени не
превышала 1 минуты, рассчитаем по формуле:
/>
n = ( 22*13,312*1000)/ ( 12 * 1000+22*13,312) = 414
Численностьвыборочной совокупности, где предельная ошибка выборки при определении среднихзатрат времени не превышает 1 минуты составит 414 деталей.
Задача 37.
Имеютсяданные о среднедушевых доходах населения области за 1993-2002 гг. (тыс. руб.) всопоставимых ценах:Год 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 Доход ы 100 117 128 154 163 150 132 144 158 164
Требуетсявыявить основную тенденцию среднедушевых доходов населения области 1993-2002гг.:
1) методомсглаживания рядов динамики с помощью скользящей трехзвенной средней;
2) методоманалитического выравнивания ряда динамики по уравнению прямой;
3) Используярезультаты п.2, дайте прогноз на 2003 год.
4) Охарактеризуйтеза 1993-2002 гг. среднегодовой абсолютный прирост и темп прироста доходов.
Решение.
1) выявимтенденцию методом сглаживания рядов динамики с помощью скользящей трехзвеннойсредней по формуле:
/>
Год 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 Доходы 100 117 128 154 163 150 132 144 158 164 115 133 148 156 148 142 145 155
2) выявим тенденциюметодом аналитического выравнивания ряда динамики по уравнению прямой вида:
/> =а+ b*t
Произведем необходимыевычисления в таблице, обозначив время t.
t
У
t*У
t2
/>
1 100 100 1 91
2 117 234 4 100
3 18 54 9 109
4 154 616 16 117
5 163 815 25 126
6 150 900 36 134
7 132 924 49 143
8 144 1152 64 151
9 158 1422 81 160 10 164 1640 100 169
ИТОГО
55
1300
7857
385
1300 среднее 5,5 130,0 785,7 38,5
Решим систему уравненийвида:
/> а*n+ b ∑t= ∑у
а∑ t+ b ∑ t2= ∑у* t
/>Подставим рассчитанные значения
10 *а +b*55 = 1300
a*55+b*385 =7857
Рассчитаем параметры а, b по формулам
b=/>
а = />;
b =(10*7857-55*1300)/(10*385-55*55)= 8,5697
а = 130-8,5697*5,5 = 82,8667
Рассчитанное уравнениерегрессии имеет вид
Уt = 82,8667+8,5697*t
Для проверки егоправильности рассчитаем выравненные значения у.
∑/>=∑ у, следовательно,уравнение рассчитано верно.
Представим графическиполученные выше расчеты.
Прогноз на 2003 годсоставит:
У11 =82,8667+8,5697*11=177
4) Среднегодовойабсолютный прирост за 1993-2002 гг. рассчитаем по формуле:
∆ср = (Уn-У1) / (n-1)
∆ср = (164-100)/9=7
Среднегодовой темп ростарассчитаем по формуле
n -1________
Тр (ср) =√ Yi /Y1 *100%
10 -1________
Тр (ср) =√ 164 /100*100% = 105,1
Задача 47.
Имеютсяследующие данные:Товар
Цена за 1 кг в
базисном периоде, руб. Продано, т Индивидуальные индексы цен Базисный период Отчетный период А 0,50 1200 1500 1,01 Б 1,20 4200 6300 0,85 В 2,45 2000 2500 0.97
Рассчитайте:
а) индексфизического объема реализации;
б) индексцен и индекс товарооборота.
Разложитеобщую сумму прироста товарооборота по факторам. Сделайте выводы.
Вычислим:
а) индекс физического объемареализации по формуле
/>= 1350/1312,5=1,029, или 102,9 %
Уpq = (0,5*1500+6300*1,2+2500*2,45)/(1200*0,5+4200*1,2+2000*2,45)=
=14435/10540=1,3695
Физический объемреализации увеличился на 36,95 %.
б) Индексцен рассчитаем поформуле
Y р = ∑ р0q1*iр / ∑ р0q1
Y р = (0,5*1500*1,01+6300*1,2*0,85+2500*2,45*0,97)/(1500*0,5+6300*1,2+2500*2,45)
=13125/14435 = 0,909, или90,9%
В среднем цены снизилисьна 9,1 %.
Индекстоварооборотарассчитаем по формуле
/>
= (0,5*1500*1,01+6300*1,2*0,85+2500*2,45*0,97)/(1200*0,5+4200*1,2+2000*2,45)=
= 13125/10540=1,245, или 124,5 %
Товарооборот по тремвидам увеличился на 24,5 %.
Прирост товарооборотавсего составил:
13125-10540 = 2585
Изменение за счетувеличения физического объема:
14435-10540=3895
Изменение за счетснижения цен:
13125-14435 = -1310
ИТОГО: 3895-1310 = 2585
Задача 57.
Имеютсяследующие данные о реализации сельскохозяйственных продуктов на колхозныхрынках двух городов в сентябре месяце:Город Товар Продано, т Средняя цена за 1 кг, д. е. 1994 1995 1994 1995 А Мясо 70 61 10,0 15,0 Картофель 180 162 1,2 2,5 Б Мясо 30 27 1,0 2,0 Картофель 282 300 0,7 2,0
1. Длягорода «А» определите:
1)индекс товарооборота;
2)общий индекс цен на проданные товары (среднее изменение
цен);
3)общий индекс физического объема товарооборота (количества
проданных товаров);
Покажитевзаимосвязь исчисленных индексов.
2. Длядвух городов вместе (по картофелю) вычислите:
индексцен переменного состава (изменение средней цены);
индексцен постоянного состава (среднее изменение цен);
индексструктурных сдвигов.
Решение:
Произведем дополнительныерасчеты и представим в таблицеНаименование товаров Продано, т Средняя Цена, д.е. Объем продаж в ценах базисного года Объем продаж в ценах отчетного года обозначение q0 q1 р0 р1 р0 q0 р0 q1 q0 р1 q1 р1 Мясо 70 61 10,0 15,0 700 610 1050 915 Картофель 180 162 1,2 2,5 216 194,4 450 405
ИТОГО
916 804,4 1500 1320
1.1) Индекс товарооборотадля города «А» рассчитаемпо формуле
/>= 1320/916=1,441, или 144,1 %
Товарооборот по обоимвидам в связи с увеличением цен увеличился на 44,1%.
2)общий индекс цен на проданные товары (среднее изменение цен)
рассчитаем по формуле
Y р = ∑ р1q1 / ∑ р0q1
Y р =1320 /804,4=1,641, или 164,1%
В среднем ценыувеличились на 64,1 %.
3)общий индекс физического объема товарооборота (количества
проданных товаров)по формуле
/> = 804,4/916=0,878, или 87,8 %
В среднем объем снизилсяна 12,2 %.
Взаимосвязь индексовисчисляется: Y рq = Y р * Y q
Y рq = 1,641*0,878=1,441
2. Длядвух городов вместе (по картофелю) вычислим:
Индексцен переменного состава (изменение средней цены) рассчитаем по формуле
Yпер.сост. = ∑ р1q1 : ∑ р0q0
∑q1 ∑q0
Yпер.сост. = ((2,5*162+2*300)/(162+300))/((1,2*180+0,7*282)/(180+282))=2,431
Индексцен постоянного состава (среднее изменение цен);
Yпост.сост. = ∑ р1q1 : ∑ р0q1
∑q1 ∑q1
Yпост.сост. = ((2,5*162+2*300)/(162+300))/((1,2*162+0,7*300)/(162+300))=2,485
Индекс структурныхсдвигов рассчитаем по формуле
Y стр.сдв. = ∑ р0q1: ∑ р0q0
∑q1 ∑q0
Yстр.сост. =((1,2*162+0,7*300)/(162+300))/((1,2*180+0,7*282)/(180+282))= 0,978