ЗАНЯТИЕ 21. Арифметические и логические операции в языке Си. 1.1. Арифметические операции. 1.2. Логические операции. 1.3. Условный оператор и логические операции.2. Системы счисления: двоичная, восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная системы счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую. 3. Задачи.http://www.topcoder.com/tc: SRM 195 (Rounder), SRM 311 (EscapeFromRectangle), SRM 318 (BiggestRectangleEasy), SRM 325 (SalaryCalculator). 1. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ ^ 1.1. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИОсновными арифметическими операциями являются: сложение (‘+’), вычитание (‘-‘), умножение (‘*’) и деление (‘/’). Порядок выполнения операций в выражении соответствует их приоритету. Операции с одинаковым приоритетом в выражении выполняются слева направо. Операция деления (‘/’) выполняется согласно типу ее операндов. Если оба операнда являются целыми числами, то деление будет целочисленным. Если один из операндов является вещественным, то и результат будет вещественным. Например, пусть переменная x имеет целочисленный тип, а y действительный тип. Следующая таблица демонстрирует результаты деления для различных операндов: операция результат x = 7 / 3; x = 2 y = 7 / 3; y = 2.000000 y = 7.0 / 3; y = 2.333333 y = (double)7 / 3; y = 2.333333 Рассмотрим второй пример. При выполнении операции присваивания значения выражения переменной, сначала вычисляется значение выражения, а потом оно присваивается переменной. Поскольку операнды во втором примере являются целыми, то результатом деления 7 / 3 будет 2. Потом целочисленное значение 2 преобразовывается в действительное значение 2.000000 и присваивается действительной переменной y. В четвертом примере перед выполнением операции деления происходит преобразование типа делимого из целого в вещественный. Поэтому деление будет производиться без потери точности.Пример 1.1.1. Найти среднее арифметическое двух целых чисел a и b. Результатом вычисления выражения (a + b) / 2 может быть действительное число. Поэтому деление должно выполняться с сохранением точности. А для этого один из операндов необходимо преобразовать в действительный тип. Например, результат можно вычислить так: res = (a + b) / 2.0. Программа имеет вид:#include int a,b;double res;void main(void) { scanf("%d %d",&a,&b); res = (a + b) / 2.0; printf("%lf\n",res); }Операция вычисления остатка в Си обозначается символом ‘%’. При этом остаток при делении отрицательного числа на положительное является отрицательным (хотя математически остаток при делении на число n должен лежать в промежутке от 0 до n – 1 включительно). Операция результат x = 6 % 3 x = 0 x = 8 % 3 x = 2 x = -6 % 3 x = 0 x = -8 % 3 x = -2 В языке Си при выполнении операций возможны синтаксические сокращения. Например, вместо i = i + 1 можно писать i++. Если – некоторая бинарная операция, то вместо i = i a можно писать i = a. Примеры сокращений приведены ниже в таблице: операция сокращение i = i + 1 i ++ i = i – 1 i -- i = i + a i += a i = i % a i %= a Пример 1.1.2. Временем будем называть пару h : m, где h обозначает количество часов, а m – количество минут. Известно, что в h1 : m1 начался дождь, а в h2 : m2 он закончился (0 h1, h2 23, 0 m1, m2 59). Необходимо вычислить, сколько времени (hres : mres) шел дождь. Известно, что дождь продолжался не более 24 часов. Если время h1 : m1 больше чем h2 : m2, то дождь начался в один день, а закончился на следющий. Например, если h1 : m1 = 23:50 и h2 : m2 = 13:20, то дождь длился 13 часов и 30 минут. Времени h : m соответствует h*60 + m минут, прошедших с полночи. Тогда можно утверждать, что дождь начался в time1 = h1 * 60 + m1 минут, а закончился в time2 = h2 * 60 + m2 минут. Разность между началом и концом дождя составляет timeRes = (time2 – time1 + 24 * 60) % (24 * 60) минут. Выделяем количество часов и минут из timeRes и выводим их на экран.#include int h1, h2, m1, m2, time1, time2, timeRes, hres, mres;void main(void) { h1 = 23; m1 = 50; h2 = 13; m2 = 20; time1 = h1 * 60 + m1; time2 = h2 * 60 + m2; timeRes = (time2 - time1 + 24 * 60) % (24 * 60); hres = timeRes / 60; mres = timeRes % 60; printf("%d:%d\n",hres,mres); }Упражнение 1.1.1. Имеются одинаковые коробки, каждая из которых вмещает m шаров. Сколько коробок требуется для упаковки n шаров?Упражнение 1.1.2. Рассмотрим условие предыдущей задачи. Сколько коробок будут полностью заполнены, если всего имеется n шаров, а каждая коробка вмещает m шаров?Упражнение 1.1.3. Пусть n – трехзначное число. Присвоить переменным a, b, c соответственно количество сотен, десятков и единиц числа n.^ 1.2. ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИСреди логических операций следует выделить операции ‘и’ (‘and’), ‘или’ (‘or‘), отрицание ‘не’ (‘not’) и сложение по модулю 2 (‘xor’). В языке Си логические операции обозначаются следующим образом: операция Обозначение в Си x and y x && y x or y x || y not x !x x xor y x ^ y Таблицы истинности логических операций приведены в следующих таблицах: x y x and y x y x or y x not x x y x xor y 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 Следует отметить также логическую операцию сравнения, обозначаемую в Си двумя знаками равенства. При этом выражение (x == y) эквивалентно !(x xor y). Операция называется операцией “сложение по модулю 2”, потому что x xor y = (x + y) mod 2. Логические операции подчиняются правилу Де-Моргана: not (x and y) = (not x) or (not y) или то же самое !(x && y) = !x || !yУпражнение 1.2.1. Составить таблицу истинности следющих функций: 1. Равенства: x = y; 2. Импликации: x y = (not x) or y^ 1.3. УСЛОВНЫЙ ОПЕРАТОР И ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИИспользуя логические операции, можно строить условные выражения. Например, реализуем на языке Си следующие задачи, в которых требуется написать выражения для условного оператора.Пример 1.3.1. Проверить, лежит ли значение переменной x в интервале (1; 5): if ((x > 1) && (x Пример 1.3.2. Проверить, лежит ли значение переменной x вне интервала (1; 5): if ((x = 5)) ...В языке Си нет булевого типа. Если значение переменной равно 0, то ее значение считается равным ‘ложь’ (иначе ‘истина’). Так, например, вместо выражения if (x == 0) ... можно писать if (!x) ... Выражение !x будет истинным, когда x будет ложным. А это возможно лишь в случае, когда x равно нулю.Пример 1.3.3. Записать условие того, что обе переменные x и y имеют значение 0: if ((x == 0) && (y == 0)) ... или то же самое if (!x && !y) ...Упражнение 1.3.1. Записать условие того, что переменная х принимает одно из значений множества S = {1, 3, 6}.Истинное выраженние считается равным 1, ложное выражение считается равным нулю.Пример 1.3.4. Присвоим целочисленным переменным значения логических выражений и выведем их.#include int i;void main(void) { i = (3 > 4); printf("%d\n",i); // 0 i = (3 printf("%d\n",i); // 1 }Пусть f(x) и g(x) – некоторые функции, p(x) – предикат. Расмотрим функцию: Функцию y(x) можно реализовать без использования структуры if … else … . Учитывая значения логических выражений, можно записать: y(x) = f(x) * p(x) + g(x) * (1 – p(x)) Записи 1 – p(x) и !p(x) эквивалентны.Пример 1.3.5. Вычислить значение функции: y(x) = #include double x, y;void main(void) { scanf("%lf",&x); y = (x + 1) * (x >= 0) + (x * x) * (x printf("%lf\n",y); }Пример 1.3.6. Вычислить значение функции знака числа: sgn(x) = Запишем функцию в виде: sgn(x) = 1 * (x > 0) + 0 * (x = 0) + (–1) * (x 0) – (x #include int x, y;void main(void) { scanf("%d",&x); y = (x > 0) - (x printf("%d\n",y); }^ 2. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯВ повседневной жизни мы пользуемся десятичной системой счисления, которая имеет 10 цифр: 0, 1, …, 8, 9. Каждое натуральное число n = можно представить в видеn = an * 10n + an-1 * 10n-1 + … + a1 * 10 + a0 Например, 123 = 1 * 102 + 2 * 101 + 3 * 100.В двоичной системе счисления пользуются лишь двумя цифрами: 0 и 1. В восьмеричной – цифрами от 0 до 7, а в шестнадцатеричной – цифрами от 0 до 9 и буквами от ‘A’ до ‘F’, которые соответствуют числам от 10 до 15. В следующей таблице показаны записи чисел от 1 до 16 в разных системах счисления: десятичная двоичная восьмеричная шестнадцатеричная 1 1 1 1 2 10 2 2 3 11 3 3 4 100 4 4 5 101 5 5 6 110 6 6 7 111 7 7 8 1000 10 8 9 1001 11 9 10 1010 12 A 11 1011 13 B 12 1100 14 C 13 1101 15 D 14 1110 16 E 15 1111 17 F 16 10000 20 10 Если b – основание системы счисления, то числу n, имеющему в ней запись , в десятичной системе соответствует числоn = an * bn + an-1 * bn-1 + … + a1 * b + a0 Примеры перевода чисел из разных систем счисления в десятичную: 1. 1111 из двоичной: 11112 = 1 * 23 + 1 * 22 + 1 * 21 + 1 = 1510 2. 16 из восьмеричной: 168 = 1 * 81 + 6 = 1410 3. FF из шестнадцатеричной: FF16 = 15 * 161 + 15 = 25510Для перевода из десятичной системы счисления в двоичную (восьмеричную, шестнадцатеричную, …) пользуются делением в столбик. При делении числа n на 2 под числом n записываем остаток от деления n на 2, под двойкой – частное. Процесс деления оканчиваем, когда частное станет равным 1. Далее следует записать последнее частное (единицу) и все остатки от деления в обратном порядке. Например, найдем двоичное представление числа 20: 20 2 0 10 2 0 5 2 1 2 2 0 1 Записав остатки в обратном порядке, получим: 2010 = 101002.Найдем шестнадцатеричное представление числа 511: 511 16 15 = F 31 16 15 = F 1 Из таблицы получим: 51110 = 1FF16.При умножении на 10 в десятичной системе счисления к числу приписывается справа 0. Например, 71 * 10 = 710. Аналогично при умножении на b числа n в b - значной системе счисления к числу n приписывается справа 0. Например: 5 * 2 = 10, в двоичной системе счисления: 1012 * 210 = 10102; 255 * 162 = 65280, в шестнадцатеричной системе счисления: FF16 * 1610 * 1610 = FF0016;Упражнение 2.1. Найти двоичное, восьмеричное и шестнадцатеричное представление десятичного числа 31.Упражнение 2.2. Найти двоичное представление следующих чисел: а) 22 + 24 б) 26 – 1 в) 3 * 823. ЗАДАЧИПри сдаче задач на Топкодере следует писать функцию – метод класса. Например, рассмотрим две достаточно простые задачи с объяснениями и реализацией.^ Матч 195, Округление (Rounder)Дивизион 2, Уровень 1Для заданного числа n найти ближайшее целое, которое делится на b. Если таких чисел несколько, то найти наибольшее.Класс: Rounder Метод: int round(int n, int b) Ограничения: 1 n 106, 2 b 500.^ Вход. Два числа n и b. Выход. Ближайшее целое к n, которое делится на b. Если n находится строго посредине двух чисел, делящихся на b, то вернуть наибольшее.Пример входа n b 5 10 4 10 100 3 49 7 ^ Пример выхода 10 0 99 49РЕШЕНИЕ Ближайшим к n целым, делящимся на b, будет число . Если n находится строго посредине двух чисел, делящихся на b, это значение будет наибольшим среди них. В языке Си выражение примет вид: (n + b / 2) / b * b. Класс Rounder и метод round имеют следующий вид:#include class Rounder {public: int round(int n, int b) { return ((n + (b / 2)) / b) * b; } };Заметим, что после объявления класса следует ставить точку с запятой. Методом называется функция, объявленная в классе. Функцию следует объявить публичной (public) для того чтобы ее можно было вызывать извне. Именно в таком виде следует сдавать задачу на Топкодере. Для тестирования метода следует написать функцию main. Она должна содержать создание экземпляра класса, вызов метода с конкретными входными данными и вывод результата. Для задачи Rounder функция main имеет вид:void main(void) { Rounder s; int res = s.round(123456,7); printf("%d\n",res); }^ Матч 325, Калькулятор зарплаты (SalaryCalculator)Дивизион 2, Уровень 1Работая в компании, за первые 200 часов работник получает зарплату в размере p1 долларов в час каждый месяц. За остальные часы до конца месяца ставка работника составляет p2 долларов в час. Вычислить, какое наименьшее количество часов должен работать работник в месяц, чтобы получить суммарную зарплату в salary долларов.Класс: SalaryCalculator Метод: double calcHours(int p1, int p2, int salary) Ограничения: 1 p1, p2 100, 1 salary 106.^ Вход. Ежемесячная зарплата работника в час за первые 200 часов и за последующие часы.Выход. Наименьшее количество часов должен работать работник в месяц, чтобы получить суммарную зарплату в salary долларов.^ Пример входа p1 p2 salary 10 15 1000 10 15 3000 82 8 12140 Пример выхода 100.0 266.6666666666667 148.0487804878049РЕШЕНИЕЗа 200 часов работник получит t = p1 * 200 долларов. Если эта сумма больше salary, то достаточно работать salary / p1 часов. Иначе следует отработать 200 часов с зарплатой p1 долларов в час, а остальное время с зарплатой p2 долларов в час. При этом количество часов, когда зарплата будет составлять p2 долларов в час, равна (salary – t) / p2.#include class SalaryCalculator {public: double calcHours(int p1, int p2, int salary) { int t = p1 * 200; if (t >= salary) return 1.0 * salary / p1; return 200 + 1.0 * (salary - t) / p2; } };Для тестирования функции calcHours следует написать функцию main. Напомним, что при сдаче задачи на Топкодере функцию main приводить не следует (следует сдавать только код класса).void main(void) { SalaryCalculator s; double res = s.calcHours(82,8,12140); printf("%lf\n",res); }^ Матч 311, Убежать из прямоугольника (EscapeFromRectangle)Дивизион 2, Уровень 1Вы находитесь в точке (x, y) внутри прямоугольника, нижний левый угол которого имеет координаты (0, 0), а правый верхний (w, h). Найти наименьшее расстояние, которое Вам следует преодолеть чтобы достичь границы прямоугольника.Класс: EscapeFromRectangle Метод: int shortest(int x, int y, int w, int h) Ограничения: 2 w, h 1000, 1 x w-1, 1 y h-1.^ Вход. Целочисленные координаты Вашего положения (x, y) и правой верхней вершины прямоугольника (w, h).Выход. Наименьшее расстояние, которое следует преодолеть для достижения границы прямоугольника.^ Пример входа x y w h 1 1 5 5 653 375 1000 1000 161 181 762 375 ^ Пример выхода 1 347 161РЕШЕНИЕНаходим расстояния от точки (x, y) до всех четырех сторон прямоугольника, которые соответственно равны x, y, w – x, h – y. Возвращаем наименьшее из этих значений.#include class EscapeFromRectangle {public: int shortest(int x, int y, int w, int h) { int res = x; if(y if(w - x if(h - y return res; } };Далее при разборах задач с Топкодера функцию main приводить не будем.^ Матч 318, Наибольший прямоугольник (BiggestRectangleEasy)Дивизион 2, Уровень 1У Джона есть n спичек, каждая из которых имеет длину 1. Он хочет составить из них прямоугольник наибольшей площади. Ломать спички нельзя. Джону не обязательно использовать все спички.Класс: BiggestRectangleEasy Метод: int findArea(int n) Ограничения: 4 n 10000.^ Вход. Количество спичек n, которое имеется в наличии у Джона. Выход. Наибольшая площадь прямоугольника, который может составить Джон при помощи имеющихся у него спичек.^ Пример входа n 11 5 7254 ^ Пример выхода 6 1 3288782РЕШЕНИЕЕсли одна из сторон прямоугольника равна x, то другую можно найти по формуле:y = (n – 2*x) / 2 Площадь полученного прямоугольника равна S(x) = x * (n – 2*x) / 2. Она будет наибольшей в такой точке x, в которой S’(x) = 0. Имеем: S’(x) = (n – 4*x) / 2 = 0, x = n / 4. То есть искомым прямоугольником будет квадрат. Если n не делится на 4, то выполняя целочисленные деления, получим правильный результат.#include class BiggestRectangleEasy {public: int findArea(int n) { int x = n / 4; int y = (n - 2 * x) / 2; return x * y; } };^ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ УПРАЖНЕНИЙУпражнение 1.1.1. Ответом будет значение выражения , которое на языке Си можно записать в виде (m + n – 1) / n.Упражнение 1.1.2. Ответом будет значение выражения , которое на языке Си можно записать в виде m / n.Упражнение 1.1.3. Следует выполнить следующие операции: a = n / 100; b = n / 10 % 10; c = n % 10;Упражнение 1.2.1. Таблицы истинности равенства и импликации имеют вид: x y x = y x y x y 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 Упражнение 1.3.1. Выражение имеет вид: if ((x == 1) || (x == 3) || (x == 6)) . . .Упражнение 2.1. 3110 = 111112, 3110 = 378, 3110 = 1F16.Упражнение 2.2.Ответами будут следующие значения: а) 22 + 24 = 101002 б) 26 – 1 = 1111112 в) 3 * 82 = 110000002