Муниципальное общеобразовательное учреждение Саврушская средняя общеобразовательная школа Похвистневский район Самарская областьРеферат по математике на тему:«Уравнения с двумя неизвестными в целых числах » Выполнили: Колесова Татьяна Староверова Нинаученицы 10 класса МОУ Саврушская СОШ Похвистневского района Самарской области.Руководитель: Ятманкина Галина Михайловна учитель математики.Савруха 2011СодержаниеВведение._______________________________________________3Глава 1. Теория уравнений с двумя переменными в целых числах. 1. Историческая справка _______________________________________5 1.1 Теоремы о числе решений линейных диофантовых уравнений___6 1.2 Алгоритм решения уравнения в целых числах_________________ 6 1.3 Способы решения уравнений_______________________________ 7Глава 2. Применение способов решения уравнений. 1. Решение задач_____________________________________________ 8 2.1 Решение задач с помощью алгоритма Евклида________________ 8 2.2 Способ перебора вариантов________________________________ 9 2.3 Метод разложения на множители___________________________ 9 2.4 Метод остатков__________________________________________ 12 2. Задачи экзаменационного уровня___________________________ 13 Заключение________________________________________________ 16 Список используемой литературы_____________________________ 17« Кто управляет числами,Тот управляет миром»Пифагор.Введение.Анализ ситуации: Диофантовы уравнения это актуальная в наше время тема, т. к. решение уравнений, неравенств, задач, сводящихся к решению уравнений в целых числах с помощью оценок для переменных, встречается в различных математических сборниках и сборниках ЕГЭ. Изучив разные способы решения квадратного уравнения с одной переменной на уроках, нам было интересно разобраться, а как решаются уравнения с двумя переменными. Такие задания встречаются на олимпиадах и в материалах ЕГЭ. В этом учебном году одиннадцатиклассникам предстоит сдавать Единый государственный экзамен по математике, где КИМы составлены по новой структуре. Нет части «А», но добавлены задания в часть «В» и часть «С». Составители объясняют добавление С6 тем, что для поступления в технический ВУЗ нужно уметь решать задания такого высокого уровня сложности.Проблема: Решая примерные варианты заданий ЕГЭ, мы заметили, что чаще всего встречаются в С6 задания на решение уравнений первой и второй степени в целых числах. Но мы не знаем способы решения таких уравнений. В связи с этим возникла необходимость изучить теорию таких уравнений и алгоритм их решения. ^ Цель: Освоить способ решения уравнений с двумя неизвестными первой и второй степени в целых числах.Задачи: 1) Изучить учебную и справочную литературу; Собрать теоретический материал по способам решения уравнений; Разобрать алгоритм решения уравнений данного вида; Описать способ решения. Рассмотреть ряд примеров с применением данного приема. Решить уравнения с двумя переменными в целых числах из материалов ЕГЭ-2010 С6.Объект исследования: Решение уравненийПредмет исследования: Уравнения с двумя переменными в целых числах.Гипотеза: Данная тема имеет большое прикладное значение. В школьном курсе математики подробно изучаются уравнения с одной переменной и различные способы их решения. Потребности учебного процесса требуют, чтобы ученики знали и умели решать простейшие уравнения с двумя переменными. Поэтому повышенное внимание к этой теме не только оправдано, но и является актуальной в школьном курсе математики. Данная работа может быть использована для изучения данной темы на факультативных занятиях учениками, при подготовке к выпускным и вступительным экзаменам. Мы надеемся, что наш материал поможет старшеклассникам научиться решать уравнения такого вида. ^ Глава 1. Теория уравнений с двумя переменными в целых числах.1. Историческая справка.Диофант и история диофантовых уравнений.Решение уравнений в целых числах является одной из древнейших математических задач. Наибольшего расцвета эта область математики достигла в Древней Греции. Основным источником, дошедшим до нашего времени, является произведение Диофанта – «Арифметика». Диофант суммировал и расширил накопленный до него опыт решения неопределенных уравнений в целых числах. История сохранила нам мало черт биографии замечательного александрийского ученого-алгебраиста Диофанта. По некоторым данным Диофант жил до 364 года н.э. Достоверно известно лишь своеобразное жизнеописание Диофанта, которое по преданию было высечено на его надгробии и представляло задачу-головоломку: «Бог ниспослал ему быть мальчиком шестую часть жизни; добавив к сему двенадцатую часть, Он покрыл его щеки пушком; после седьмой части Он зажег ему свет супружества и через пять лет после вступления в брак даровал ему сына. Увы! Несчастный поздний ребенок, достигнув меры половины полной жизни отца, он был унесен безжалостным роком. Через четыре года, утешая постигшее его горе наукой о числах, он [Диофант] завершил свою жизнь» (примерно 84 года). Эта головоломка служит примером тех задач, которые решал Диофант. Он специализировался на решении задач в целых числах. Такие задачи в настоящее время известны под названием диофантовых. Наиболее известной, решенной Диофантом, является задача «о разложении на два квадрата». Ее эквивалентом является известная всем теорема Пифагора. Эта теорема была известна в Вавилонии, возможно ее знали и в Древнем Египте, но впервые она была доказана, в пифагорейской школе. Так называлась группа интересующихся математикой философов по имени основателя школы Пифагора (ок. 580-500г. до н.э.) Жизнь и деятельность Диофанта протекала в Александрии, он собирал и решал известные и придумывал новые задачи. Позднее он объединил их в большом труде под названием «Арифметика». Из тринадцати книг, входивших в состав «Арифметики», только шесть сохранились до Средних веков и стали источником вдохновения для математиков эпохи Возрождения.1.1 Теоремы о числе решений линейного диофантового уравнения. Приведем здесь формулировки теорем, на основании которых может быть составлен алгоритм решения неопределенных уравнений первой степени от двух переменных в целых числах.Теорема 1. Если в уравнении , , то уравнение имеет, по крайней мере, одно решение.Теорема 2. Если в уравнении , и с не делится на , то уравнение целых решений не имеет.Теорема 3. Если в уравнении , и , то оно равносильно уравнению , в котором .Теорема 4. Если в уравнении , , то все целые решения этого уравнения заключены в формулах: где х0, у0 – целое решение уравнения , - любое целое число.1.2. Алгоритм решения уравнения в целых числах. Сформулированные теоремы позволяют составить следующий алгоритм решения в целых числах уравнения вида . Найти наибольший общий делитель чисел a и b, если и с не делится на , то уравнение целых решений не имеет; если и , то Разделить почленно уравнение на , получив при этом уравнение , в котором . Найти целое решение (х0, у0) уравнения путем представления 1 как линейной комбинации чисел и ; Составить общую формулу целых решений данного уравнения где х0, у0 – целое решение уравнения , - любое целое число.1.3 Способы решения уравненийПри решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие методы: 1. Способ перебора вариантов. 2. Алгоритм Евклида. 3. Цепные дроби. 4. Метод разложения на множители. 5. Решение уравнений в целых числах как квадратных относительно какой-либо переменной. 6. Метод остатков. 7. Метод бесконечного спуска. Глава 2. Применение способов решения уравнений 1. Примеры решения уравнений. 2.1 Алгоритм Евклида.Задача 1. Решить уравнение в целых числах 407х – 2816y = 33. Воспользуемся составленным алгоритмом. Используя алгоритм Евклида, найдем наибольший общий делитель чисел 407 и 2816: 2816 = 407·6 + 374; 407 = 374·1 + 33; 374 = 33·11 + 11; 33 = 11·3 Следовательно (407,2816) = 11, причем 33 делится на 11 Разделим обе части первоначального уравнения на 11, получим уравнение 37х – 256y = 3, причем (37, 256) = 1 С помощью алгоритма Евклида найдем линейное представление числа 1 через числа 37 и 256. 256 = 37·6 + 34; 37 = 34·1 + 3; 34 = 3·11 + 1 Выразим 1 из последнего равенства, затем последовательно поднимаясь по равенствам будем выражать 3; 34 и полученные выражения подставим в выражение для 1. 1 = 34 – 3·11 = 34 – (37 – 34·1) ·11 = 34·12 – 37·11 = (256 – 37·6) ·12 – 37·11 = – 83·37 – 256·(–12) Таким образом, 37·(– 83) – 256·(–12) = 1, следовательно пара чисел х0 = – 83 и у0 = – 12 есть решение уравнения 37х – 256y = 3. Запишем общую формулу решений первоначального уравнения где t - любое целое число.2.2 Способ перебора вариантов.Задача 2. В клетке сидят кролики и фазаны, всего у них 18 ног. Узнать, сколько в клетке тех и других?Решение: Составляется уравнение с двумя неизвестными переменными, в котором х – число кроликов , у – число фазанов:4х + 2у = 18, или 2х + у = 9.Выразим у через х : у = 9 – 2х.Далее воспользуемся методом перебора: х 1 2 3 4 у 7 5 3 1 Таким образом, задача имеет четыре решения.Ответ: (1; 7), (2; 5), (3; 3), (4; 1).^ 2.3 Метод разложения на множители.Перебор вариантов при нахождении натуральных решений уравнения с двумя переменными оказывается весьма трудоемким. Кроме того, если уравнение имеет целые решения, то перебрать их невозможно, так как таких решений бесконечное множество. Поэтому покажем еще один прием - метод разложения на множители.Задача 3. Решить уравнение в целых числах y3 - x3 = 91.Решение. 1) Используя формулы сокращенного умножения, разложим правую часть уравнения на множители: (y - x)(y2 + xy + x2) = 91……………………….(1)2) Выпишем все делители числа 91: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91 3) Проводим исследование. Заметим, что для любых целых x и y число y2 + yx + x2 ≥ y2 - 2|y||x| + x2 = (|y| - |x|)2 ≥ 0, следовательно, оба сомножителя в левой части уравнения должны быть положительными. Тогда уравнение (1) равносильно совокупности систем уравнений: ; ; ; 4) Решив системы, получим: первая система имеет решения (5; 6), (-6; -5); третья (-3; 4),(-4;3); вторая и четвертая решений в целых числах не имеют. ^ Ответ: уравнение (1) имеет четыре решения (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).Задача 4. Найти все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению.Решение. Разложим левую часть уравнения на множители и запишем уравнение в виде.Т.к. делителями числа 69 являются числа 1, 3, 23 и 69, то 69 можно получить двумя способами: 69=1·69 и 69=3·23. Учитывая, что , получим две системы уравнений, решив которые мы сможем найти искомые числа: или .Первая система имеет решение , а вторая система имеет решение .Ответ: .Задача 5. Решить уравнение в целых числах:.Решение. Запишем уравнение в виде.Разложим левую часть уравнения на множители. Получим.Произведение двух целых чисел может равняться 1 только в двух случаях: если оба они равны 1 или -1. Получим две системы: или .Первая система имеет решение х=2, у=2, а вторая система имеет решение х=0, у=0.Ответ: .Задача 6. Решить в целых числах уравнение.Решение. Запишем данное уравнение в виде . Разложим левую часть уравнения на множители способом группировки, получим. Произведение двух целых чисел может равняться 7 в следующих случаях: 7=1· 7=7·1=-1·(-7)=-7·(-1).Таким образом, получим четыре системы: или , или , или . Решением первой системы является пара чисел х = - 5, у = - 6. Решая вторую систему, получим х = 13, у = 6.Для третьей системы решением являются числа х = 5, у = 6. Четвёртая система имеет решение х = - 13, у = - 6. Ответ: .Задача 7. Доказать, что уравнение (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 30 не имеет решений в целых числах.Решение. 1) Разложим левую часть уравнения на множители и обе части уравнения разделим на 3, в результате получим уравнение: ( x - y)(y - z)(z - x) = 10…………………………(2) 2) Делителями 10 являются числа ±1, ±2, ±5, ±10. Заметим также, что сумма сомножителей левой части уравнения (2) равна 0. Нетрудно проверить, что сумма любых трех чисел из множества делителей числа 10, дающих в произведении 10, не будет равняться 0. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.Задача 8. Решить уравнение: х2 - у2 =3 в целых числах.Решение: применим формулу сокращенного умножения х2 - у2=(х-у)(х+у)=3найдем делители числа 3 = -1;-3;1;3Данное уравнение равносильно совокупности 4 систем: х-у=1 2х=4 х=2, у=1 х+у=3 х-у=3 х=2, у=-1 х+у=1 х-у=-3 х=-2, у=1 х+у=-1 х-у=-1 х=-2, у=-1 х+у=-3Ответ: (2;1), (2;-1), (-2;1), (-2,-1)2.4 Метод остатков.Задача 9. Решить уравнение: х2+ху=10Решение: Выразим переменную у через х: у= 10-х2 Х У = - хДробь будет целой, если х Є ±1;±2; ±5;±10 3. Найдем 8 значений у. Если х=-1, то у= -9 х=-5, то у=3 Х=1, то у=9 х=5, то у=-3 Х=-2 ,то у=-3 х=-10, то у=9 Х=2, то у=3 х=10, то у=-9 Задача 10. Решить уравнение в целых числах:2х2 -2ху +9х+у=2Решение: выразим из уравнения то неизвестное, которое входит в него только в первой степени - в данном случае у:2х2 +9х-2=2ху-уУ =выделим у дроби целую часть с помощью правила деления многочлена на многочлен «углом». Получим:Следовательно, разность 2х-1 может принимать только значения -3,-1,1,3.Осталось перебрать эти четыре случая.^ Ответ: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)2. Задачи экзаменационного уровняРассмотрев несколько способов решения уравнений первой степени с двумя переменными в целых числах, мы заметили, что чаще всего применяются метод разложения на множители и метод остатков.Уравнения, которые даны в вариантах ЕГЭ -2011, в основном решаются методом остатков.1. Решить в натуральных числах уравнение: , где т>п Решение: Выразим переменную п через переменную т:Найдем делители числа 625: т-25 Є 1; 5; 25; 125; 625 1) если т-25 =1, то т=26, п=25+625=6502) т-25 =5, то т=30, п=1503) т-25 =25, то т=50, п=504) т-25 =125, то т=150, п=305) т-25 =625, то т=650, п=26Ответ: т=150, п=30т=650, п=262. Решить уравнение в натуральных числах: тп +25 = 4тРешение: тп +25 = 4т1) выразим переменную т через п:4т – тп =25т(4-п) =25т =2) найдем натуральные делители числа 25: ( 4-п) Є 1; 5; 25 если 4-п =1, то п=3, т=254-п =5, то п=-1, т=5 (посторонние корни)4-п =25, то п=-21, т=1 (посторонние корни)Ответ: (25;3)3 .Найдите все пары ( х; у) целых чисел, удовлетворяющие системе неравенств:х2 +у 232х - у2 > х2 + 12у + 271Решение: Выделяя полные квадраты, получим:(х-9)2 + (у+10)2 (х-16)2 + (у+6)2 Из первого и второго неравенства системы :(х-9)2 (х-16)2 Подставляя х = 12 в систему, получим:(у+10)2 (у+6)2 Ответ: (12; -8)Заключение. Решение различного вида уравнений является одной из содержательных линий школьного курса математики, но при этом методы решения уравнений с несколькими неизвестными практически не рассматриваются. Вместе с тем, решение уравнений от нескольких неизвестных в целых числах является одной из древнейших математических задач. Большинство методов решения таких уравнений основаны на теории делимости целых чисел, интерес к которой в настоящее время определяется бурным развитием информационных технологий. В связи с этим, учащимся старших классов будет небезынтересно познакомиться с методами решения некоторых уравнений в целых числах, тем более что на олимпиадах разного уровня очень часто предлагаются задания, предполагающие решение какого-либо уравнения в целых числах, а в этом году такие уравнения включены еще и в материалы ЕГЭ. В своей работе мы рассматривали только неопределенные уравнения первой и второй степени. Уравнения первой степени, как мы увидели, решаются довольно просто. Мы выделили виды таких уравнений и алгоритмы их решений. Также было найдено общее решение таких уравнений. С уравнениями второй степени сложнее, поэтому мы рассмотрели лишь частные случаи: теорему Пифагора и случаи, когда одна часть уравнения имеет вид произведения, а вторая раскладывается на множители. Уравнениями третьей и больше степеней занимаются великие математики, потому что их решения слишком сложны и громоздкиВ дальнейшем мы планируем углубить свое исследование в изучении уравнений с несколькими переменными, которые применяются в решении задач Литература. 1. Березин В.Н. Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике. Москва « Просвещение» 1985г. 2. Галкин Е.Г. Нестандартные задачи по математике. Челябинск «Взгляд» 2004г. 3. Галкин Е.Г. Задачи с целыми числами. Челябинск «Взгляд» 2004г. 4. Глейзер Е.И. История математики в школе. Москва «Просвещение» 1983г. 5. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа 10-11 класс. Москва 2003г. 6. Математика. ЕГЭ 2010. Федеральный институт педагогических измерений. 7. Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач. Москва 1986г.