д.ф.-м.н., профессор А.И.Самыловский:краткие учебно-методические материалы по читаемым лекционным курсам «Теория вероятностей», «Математическая статистика», «Теория измерений в социологии», «Анализ данных в социологии» Краткие учебно-методические материалы для студентов Социологического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова по учебным дисциплинам «Теория вероятностей», «Математическая статистика», «Теория измерений в социологии», «Анализ данных в социологии» (лектор доктор физико-математических наук, профессор Самыловский Александр Иванович)^ «Теория вероятностей» (второй семестр, зачет) Дидактические единицы:Предмет теории вероятностей. Множество элементарных исходов опыта, событие, операции над событиями. Интуитивное и математическое определения вероятности. Аксиомы теории вероятностей и следствия из них. Вероятностное пространство как парадигма вероятностного мышления и как корректная математическая модель случайного явления. Совместные и несовместные события. Условная вероятность. Зависимые и независимые события. Вероятностная зависимость и причинно-следственная зависимость. Формула полной вероятности. Формула Байеса как теорема гипотез, байесовский анализ. Случайная величина. Закон распределения случайной величины. Случайный вектор, зависимые и независимые случайные величины. Примеры стандартных случайных величин: Бернулли, биномиальная, Пуассона, экспоненциальная, равномерная, Гаусса (нормальная). Предельные теоремы о связи биномиальной случайной величины со случайными величинами Пуассона и Гаусса (предельная теорема Пуассона в схеме Бернулли, локальная и интегральная теоремы Муавра – Лапласа). Правило «три сигма» для нормальной случайной величины. Таблица стандартного нормального распределения и использование компьютерного пакета Microsoft Excel. Математическое ожидание и дисперсия как числовые характеристики случайных величин. Неравенство Чебышёва. Правило «три сигма» для произвольной случайной величины. «Доля» объектов генеральной совокупности, обладающих заданным свойством. Моменты. Квантиль распределения случайной величины, «р-значение» (“p-value”). Децили. Ковариация и линейный коэффициент корреляции Пирсона двух случайных величин. Ранговый коэффициент корреляции Спирмена. Свойства некоррелированности и независимости. Многомерное нормальное распределение, декоррелирующее преобразование. Предельные теоремы в теории вероятностей. Закон больших чисел, теорема Чебышёва. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных независимых случайных величин, интегральная теорема Муавра – Лапласа как ее следствие. Понятие о теореме Ляпунова для неодинаково распределенных случайных величин. Элементы теоретико-вероятностного моделирования в социологии, политологии, менеджменте, психологии, маркетинге. Итоговые компетенции:Знать основные понятия, определения и математические результаты теории вероятностей на уровне грамотного пользователя-нематематика;Знать основные модели и методы теории вероятностей, используемые в современной социологической теории и практике;Уметь использовать основные методы теоретико-вероятностных исследований в научном анализе проблем социологического содержания;Владеть основными практическими приемами проведения теоретико-вероятностного научного анализа проблем социологического содержания.^ Ориентировочные (укрупненные) вопросы к зачету по «Теории вероятностей» (весенняя зачетная сессия на первом курсе): 1. Множество элементарных исходов опыта, событие, теоретико-множественные операции над событиями. Схема опыта с равновозможными исходами. Вероятность события. Доля объектов в «генеральной совокупности», обладающих заданным свойством. Совместные и несовместные события. Теорема сложения вероятностей. Примеры применения. 2. Условная вероятность. Зависимые и независимые события. Попарная независимость событий и независимость в совокупности. Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса (теорема гипотез). Примеры применения. 3. Случайная величина как математическая модель вероятностного явления. Функция распределения и функция плотности распределения вероятностей случайной величины, их свойства. Случайный вектор. Примеры применения. 4. Простейший (пуассоновский) поток событий, пуассоновская случайная величина. Показательная (экспоненциальная) случайная величина. Параметр пуассоновского потока и его оценивание по результатам измерений (по выборке). Примеры применения. 5. Схема независимых испытаний Бернулли, биномиальная случайная величина. Предельная теорема о связи биномиальной и пуассоновской случайных величин. Примеры применения. 6. Нормальная (гауссовская) случайная величина. Локальная и интегральная теоремы Муавра – Лапласа о связи биномиальной и гауссовской случайных величин. Правило «три сигма». Таблицы нормального распределения. Примеры применения. 7. Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание и дисперсия, их свойства. Квантиль распределения случайной величины, “p-value”. Таблицы квантилей стандартных случайных величин. Квартиль, квинтиль, дециль, персентиль. Медиана, мода, асимметрия, эксцесс. Примеры применения. 8. Условные законы распределения случайных величин. Условное математическое ожидание. Примеры применения. 9. Неравенство Чебышёва и его использование для оценивания параметров вероятностных моделей, сравнение с использованием интегральной теоремы Муавра – Лапласа в задаче оценивания вероятности события по частоте его наступления в последовательности испытаний. Примеры применения. 10. Ковариация двух случайных величин как мера их зависимости. Коэффициент корреляции Пирсона и его свойства. Соотношение между некоррелированностью и независимостью случайных величин. Коэффициент корреляции Пирсона для линейно связанных случайных величин. Дисперсионная и корреляционная матрицы случайного вектора. Примеры применения. 11. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных независимых случайных величин. Предельные законы распределения выборочного среднего и выборочной доли генеральной совокупности. Примеры применения. 12. Основные задачи математической статистики и их теоретико-вероятностные основы. Статистическая гипотеза и этапы её проверки. Генеральная совокупность, выборка, статистика. Эмпирическая функция распределения, гистограмма. Выборочные среднее, дисперсия, ковариация, коэффициент корреляции. Статистический критерий, уровень значимости, критическая область гипотезы. Проверяемая гипотеза и конкурирующая (альтернативная) гипотеза.^ «Математическая статистика» (третий семестр, экзамен) Дидактические единицы:Теоретико-вероятностные основания математической статистики. Генеральная совокупность, выборка, статистика. Эмпирическая функция распределения, гистограмма генеральной совокупности. Выборочные среднее, дисперсия, «доля» генеральной совокупности, ковариация, коэффициент корреляции. Статистическая гипотеза и этапы ее проверки. Статистический критерий, уровень значимости, критическая область гипотезы. Проверяемая гипотеза и конкурирующая (альтернативная) гипотеза. Оценивание параметров в вероятностных моделях, точечное и интервальное оценивание. Оценивание «доли» генеральной совокупности и необходимый объем социологического опроса. Понятия о методе наибольшего правдоподобия и о методе наименьших квадратов. Свойства и сравнительный анализ оценок, получаемых различными методами. Понятия о случайных величинах (статистиках) Пирсона («статистика χ2» («хи-квадрат»)), Стьюдента («T-статистика») и Фишера («F-статистика»). Использование таблиц квантилей данных случайных величин при решении задач математической статистики, использование компьютерного пакета Microsoft Excel. Описательные статистики (“descriptive statistics”) и статистические выводы (“inferential statistics”). Критерии согласия (при исследовании законов распределения), критерии значимости (при оценивании параметров законов распределения), критерии однородности, критерии независимости. Исследовательская парадигма “Data Mining” («перелопачивание» данных) и «интеллектуализация» анализа статистической информации. Некоторые понятия, модели, задачи и методы непараметрической статистики. Однофакторный дисперсионный анализ. Парная линейная регрессия. Элементы корреляционного анализа. Элементы математико-статистического моделирования в социологии, политологии, менеджменте, психологии, маркетинге. Итоговые компетенции:Знать основные понятия, определения и математические результаты математической статистики на уровне грамотного пользователя-нематематика;Знать теоретико-вероятностные основы математической статистики, роль математических допущений и предположений при постановке и решении задач математической статистики;Знать классификацию задач, моделей и методов математической статистики;Знать основные модели и методы математической статистики, используемые в современной социологической теории и практике;Уметь использовать основные методы математико-статистических эмпирических исследований в анализе проблем социологического содержания;Владеть основными практическими приемами проведения эмпирического математико-статистического анализа проблем социологического содержания. ^ Ориентировочные (укрупненные) вопросы к экзамену по «Математической статистике» (зимняя экзаменационная сессия на втором курсе):1. Использование неравенства Чебышёва и интегральной теоремы Муавра – Лапласа для оценивания параметров стохастических моделей в прикладном социологическом анализе. Примеры (оценивание доли объектов генеральной совокупности, обладающих заданным свойством). 2. Точечные оценки. Выборочные оценки математического ожидания и дисперсии, выборочная оценка вероятности, выборочная оценка «доли», выборочная оценка линейного коэффициента корреляции Пирсона. Свойства несмещенности, состоятельности, эффективности точечных оценок. Выборочные распределения. Интервальные оценки. Построение доверительных интервалов для параметров. Примеры (построение доверительного интервала для «доли»). 3. Эмпирическая функция распределения, гистограмма. Основные этапы проверки статистической гипотезы. Статистический критерий, выборка, уровень значимости, критическая область гипотезы. Примеры (проверка гипотез о виде закона распределения, о параметрах закона распределения). Исследовательская парадигма “Data Mining” в социологическом анализе и методика ее реализации.4. Нормальная случайная величина (случайная величина Гаусса) и ее использование для проверки статистической гипотезы о значении математического ожидания, для построения доверительного интервала для математического ожидания. Примеры. 5. Случайная величина хи-квадрат (Пирсона) и ее использование для проверки статистической гипотезы о виде функции плотности распределения вероятностей исследуемой случайной величины. Примеры. 6. Использование случайной величины хи-квадрат для проверки статистических гипотез об однородности выборок, о независимости двух случайных величин. Построение таблицы сопряженности «признаков». Проверка статистической гипотезы о некоррелированности двух случайных величин («признаков»). Примеры. 7. Случайная величина Стьюдента и ее использование для построения доверительного интервала для математического ожидания, для проверки статистической гипотезы о значении математического ожидания нормальной случайной величины, для проверки статистической гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормальных случайных величин. Примеры. 8. Случайная величина Фишера и ее использование для проверки статистической гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных случайных величин. «Односторонний» и «двухсторонний» критерии. Примеры. 9. Элементы рангового анализа результатов измерений. Критерий знаков, критерий серий, критерий Уилкоксона (Манна – Уитни) при малых выборках и «в асимптотике». Примеры. 10. Математическая модель однофакторного дисперсионного анализа. Организация базы данных. Примеры. 11. Математическая модель парной регрессии. Коэффициент детерминации. Доверительная область регрессионной прямой. Примеры. 12. Ранговые коэффициенты корреляции Спирмена и Кендалла, проверка гипотез о некоррелированности «признаков». Ранговые критерии в исследовании «панельных данных» (временных рядов). Примеры.^ «Теория измерений в социологии» (четвертый семестр, зачет) Дидактические единицы: Качественные первичные данные и экспертное оценивание в социологических исследованиях.Некоторые непараметрические модели математической статистики. Критерии знаков, серий, Манна – Уитни (Уилкоксона). Примеры применения в социологии. Основные понятия экспертной технологии измерения. Собственный вектор матрицы попарных сравнений как модель достижения согласия в группе экспертов. Итеративные методы получения результатов экспертизы на основании первичных попарных измерений (сравнений). Метод анализа иерархий. Анализ компетентности экспертов. Согласованность и выявление различных точек зрения в группе экспертов. Ранговые коэффициенты корреляции Спирмена и Кендалла. Метод идеальной точки. Коэффициент конкордации (согласия, согласованности) Кендалла и Бэбингтон-Смита. Связь с понятиями, моделями и методами математической статистики. Примеры применения в социологических, политологических, управленческих и маркетинговых исследованиях. Измерение и шкалирование в социологических исследованиях.Основные типы шкал: номинальная, порядковая, интервальная, относительная. Упорядоченность шкал различных типов, их свойства, силы шкал, уровни измерений. Ранги и рейтинги. Сравнительные и несравнительные шкалы, метрическое и неметрическое шкалирование, их достоинства и недостатки. Латентные параметры и их проявление. Конструкт и его характеристики, шкалирование конструкта и измерение его характеристик. Шкала, категории шкалы, пункты шкалы. Связь с понятиями, моделями и методами математической статистики. Примеры применения различных шкал в социологии. Некоторые подходы к шкалированию и шкалы в психологических исследованиях. Примеры шкалирования и измерения при проведении социологических, психологических и маркетинговых исследований. Модели и методы сравнительного шкалирования.Попарное сравнение, порядковое ранжирование (упорядоченное шкалирование), шкалирование с постоянной суммой. Q-сортировка. Шкалирование по Гуттману, типы идеальной шкалы, исследование качества шкалы, коэффициент воспроизводимости по Гуттману. Шкалирование по Тёрстоуну. Вербальные протоколы, глубинные интервью, фокус-группы как инструменты сравнительного шкалирования. Общие проблемы разработки и использования сравнительных шкал. Примеры проведения шкалирования по Гуттману и Q-сортировки в социологических и политологических исследованиях. Модели и методы несравнительного шкалирования.Непрерывная рейтинговая шкала, детализированные рейтинговые шкалы, категории шкалы. Шкала Лайкерта (шкала суммарных оценок). Исследование качества шкалы Лайкерта. Шкала семантического дифференциала (Осгуда), профильный анализ, «радарные» диаграммы. Шкала Стэпела. Исследовательская парадигма “Data Mining” в выборе и конструировании используемых шкал. Элементы исследования поведения респондента на основе взаимосвязи его свойств “удовлетворенности” и “лояльности”. Пример совместного применения трех несравнительных шкал в целях повышения качества измерения. Общие проблемы разработки и использования несравнительных шкал. Модели и методы многомерного шкалирования.Основные понятия и термины многомерного шкалирования (“ММШ”). Многомерное шкалирование и визуализация результатов измерений. Когнитивная карта для представления результатов качественного социологического исследования. Атрибутивные и неатрибутивные карты восприятия для представления предпочтений респондентов. Примеры построения карт восприятия при проведении социологических и маркетинговых исследований. Модели и методы исследования качества измерительных инструментов в социологических исследованиях.Математическая модель измерения в социологии, понятия надежности (устойчивости) и валидности (достоверности) измерительного инструмента (шкалы, анкеты), их связь с понятиями математической статистики. Виды и методы исследования надежности: повторное тестирование, альтернативные формы, внутренняя согласованность, деление совокупности пунктов шкалы на две половины, коэффициент “альфа” Кронбаха, метод Кьюдера – Ричардсона, метод Спирмена – Брауна, метод Рюлона. «Батарея» эмоциональных критериев Бюмонта. Роль понятия корреляции в анализе надежности. Виды и методы исследования валидности: содержательная, критериальная – текущая и прогностическая, конструктная – конвергентная, дискриминантная и номологическая. Внутренняя и внешняя валидность. Роль понятия корреляции в анализе валидности. Пример измерительного инструмента, обладающего конструктной валидностью при измерении дискреционного дохода. Итоговые компетенции:Знать методологию развития теории измерений в социологии, основные понятия и определения теории измерений;Знать основные методы теории измерений, основные используемые шкалы, классификацию методов и шкал;Уметь использовать понятия и методы теории измерений при исследовании проблем социологического содержания, уметь соотносить понятия и методы теории измерений с понятиями и методами математической статистики;Владеть основными практическими приемами измерения и шкалирования в социологии, приемами визуализации результатов шкалирования.^ Ориентировочные (укрупненные) вопросы к зачету по «Теории измерений в социологии» (весенняя зачетная сессия на втором курсе): Метод знаков, метод серий, метод Манна – Уитни (Уилкоксона) в социологических исследованиях. Экспертное оценивание в социологических исследованиях. Коэффициент конкордации в социологических исследованиях. Основные типы шкал и их использование в социологических исследованиях. Шкалирование латентных параметров и измерение их характеристик в социологических исследованиях. Модели и методы сравнительного шкалирования, их достоинства и недостатки. Метод попарных сравнений. Шкалирование по Гуттману. Q-сортировка. Шкалирование по Тёрстоуну. Модели и методы несравнительного шкалирования, их достоинства и недостатки. Шкала Лайкерта. Шкала семантического дифференциала (Осгуда). Шкала Стэпела. Визуализация результатов многомерного шкалирования и карты восприятия. Понятия надежности и валидности измерительных инструментов в социологии. Виды и методы исследования надежности. Виды и методы исследования валидности. «Анализ данных в социологии» (пятый семестр, зачет) Дидактические единицы:Модели и методы анализа данных в таблицах сопряженности.Связь между переменными, измеренными по различным шкалам. Перекрестное табулирование и представление результатов измерений в виде таблицы сопряженности: измерения значений признаков, частоты, клетки таблицы (ячейки), строки и столбцы таблицы, маргинальные частоты (итоги) по строкам и по столбцам. Двухвходовые таблицы сопряженности, управление с помощью третьей переменной, частные таблицы сопряженности. Вычисление статистики “хи-квадрат” и проверка статистической гипотезы о независимости признаков. Меры связи на основе статистики “хи-квадрат”: коэффициент “фи”, коэффициенты взаимной сопряженности Чупрова, Пирсона, Крамера. Мера прогнозируемого пропорционального уменьшения ошибки (“PRE”) (индекс предикативной связи “лямбда”). Меры связи на основе понятия энтропии. Коэффициенты контингенции и ассоциации. Коэффициент “тау” Гудмена и Краскала. Коэффициент “гамма” (Фехнера), частный коэффициент “гамма”. Сравнительный анализ достоинств и недостатков различных мер связи. Пример применения различных мер связи для комплексного анализа таблицы сопряженности в социологическом исследовании. Возможности пакета SPSS. Модели и методы дисперсионного анализа данных.Прикладные социологические задачи, проверяемые статистические гипотезы и математическая модель дисперсионного анализа (“ANOVA”). Однофакторный дисперсионный анализ. Характеристика полного разброса (вариации) наблюдений, структура полного разброса и его разложение на составляющие, основное соотношение анализа, статистики, используемые при проверке гипотезы об отсутствии влияния фактора на отклик. Пример проведения однофакторного дисперсионного анализа в социологическом исследовании. Неметрический дисперсионный анализ Краскела – Уоллиса. Понятия фактора, отклика, эксперимента, блочного плана, рандомизации, полного и дробного факторного эксперимента. Прикладные задачи и математические модели многофакторного и многомерного дисперсионного анализа, относительные важности факторов и их взаимодействий. Ковариационный анализ. Множественные сравнения. Проблема количества наблюдений (количества социологических опросов) при проведении полного многофакторного эксперимента и план дробного эксперимента в виде латинского квадрата. Возможности пакета SPSS и других современных статистических пакетов. Модели и методы регрессионного анализа данных.Прикладные социологические задачи, проверяемые статистические гипотезы и математическая модель линейного регрессионного анализа. Метод наименьших квадратов и его применение для построения линейной регрессионной модели. Парная регрессия и множественная регрессия. Пошаговая регрессия. Мультиколлинеарность. Проверка значимости коэффициентов. Оценивание влияния независимых переменных. Доверительная область построенной регрессионной модели. Коэффициент детерминации как показатель качества построенной регрессионной модели. Пример проведения регрессионного анализа в социологическом исследовании. Номинальный регрессионный анализ (анализ с «фиктивными», бинарными, индикаторными переменными). Возможности пакета SPSS и других современных статистических пакетов. Модели и методы корреляционного анализа данных.Полный (парный) коэффициент корреляции. Частная корреляция и множественная корреляция. Вычислительные формулы и проверка статистических гипотез. Взаимосвязи с множественным регрессионным анализом. Выбор вида коэффициента корреляции для анализа данных в конкретном исследовании. Пример применения понятия частной корреляции для интерпретации результатов социологического исследования. Возможности пакета SPSS и других современных статистических пакетов. Модели и методы главных компонентов (компонентного анализа) и факторного анализа в анализе данных социологических исследований.Проблема снижения размерности математической модели путем отбора (формирования) наиболее информативных признаков. Построение ковариационной (корреляционной) матрицы, приведение ее к диагональному виду, интерпретация ее собственных векторов и собственных значений. Понятие главных компонентов, модель главных компонентов, “нагрузки” начальных показателей на главные компоненты, показатели “общности” начальных показателей. Модель факторного анализа, “общие” латентные факторы, “специфические” факторы, “нагрузки” начальных показателей на них. “Вращение” факторов: ортогональное вращение (метод “варимакс”) и косоугольное вращение. Критерий “каменистой осыпи”, показатель “стресса”. Интерпретация результата факторного анализа данных социологического исследования с помощью атрибутивной карты восприятия. Возможности современных статистических пакетов. Обзор некоторых специальных моделей и методов анализа данных социологических исследований. Канонические корреляции, дискриминантный анализ, кластерный анализ, совместный анализ (“конджойнт-анализ”), анализ соответствий, путевой анализ (“пат-анализ”), латентный анализ, лонгитюдный анализ, контент-анализ. Прикладные задачи социологического содержания, основные понятия и модели, взаимосвязи со стандартными методами анализа данных, сбор первичных данных, вычислительные схемы, проверка статистических гипотез (принятие статистических решений), интерпретация результатов анализа данных. «Интеллектуальный» анализ данных в социологии. Возможности современных статистических пакетов. Итоговые компетенции:Знать структуру научной проблематики анализа данных, понимать суть каждой из основных математических моделей и каждого из основных методов анализа данных в социологии, понимать общность их основ, их взаимосвязи и их различия;Знать методологию и методические приемы адаптации математических моделей и методов анализа данных при их использовании в анализе проблем социологического содержания;Уметь использовать основные модели и методы анализа социологических данных, уметь соотносить модели и методы анализа данных с моделями и методами математической статистики;Владеть основными приемами анализа социологических данных и презентации результатов такого анализа средствами пакета SPSS. ^ Ориентировочные (укрупненные) вопросы к зачету по «Анализу данных в социологии» (зимняя зачетная сессия на третьем курсе): Таблицы сопряженности и меры связи признаков.Сравнительный анализ различных мер связи в таблицах сопряженности.Модель дисперсионного анализа в анализе данных социологического исследования.Модель латинского квадрата в планировании социологического исследования.Модель регрессионного анализа в анализе данных социологического исследования.Модель номинального регрессионного анализа при проведении социологического исследования.Оценивание качества регрессионной модели при проведении социологического исследования.Использование понятий полной, множественной, частной корреляции при интерпретации данных социологического исследования.Модель главных компонентов в анализе данных социологического исследования.Модель факторного анализа в анализе данных социологического исследования.Интерпретация результатов факторного анализа с помощью атрибутивной карты восприятия.Модель канонических корреляций в анализе данных социологического исследования.Модель кластерного анализа данных социологического исследования.Модель дискриминантного анализа данных социологического исследования.Модель конджойнт-анализа данных социологического исследования.Модель пат-анализа данных социологического исследования.Модель лонгитюдного анализа данных социологического исследования.Модель контент-анализа данных социологического исследования. Некоторые вспомогательные вероятностно-статистические таблицыТаблица 1. Биномиальная случайная величина Bi (n;p).В таблице приведены значения биномиальных вероятностей (вероятностей для количества «успехов» в схеме Бернулли), k=0, 1, 2, …, n, при некоторых значениях количества испытаний n схемы Бернулли и вероятности «успеха» p в одном испытании (значения биномиальных вероятностей приведены с округлением до тысячных долей единицы). n=5 pk 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0 0,590 0,328 0,168 0,078 0,031 1 0,328 0,410 0,360 0,259 0,156 2 0,073 0,205 0,309 0,346 0,313 3 0,008 0,051 0,132 0,230 0,313 4 0,000 0,006 0,028 0,077 0,156 5 0,000 0,000 0,002 0,010 0,031 n=10 pk 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0 0,349 0,107 0,028 0,006 0,001 1 0,387 0,268 0,121 0,040 0,010 2 0,194 0,302 0,233 0,121 0,044 3 0,057 0,201 0,269 0,215 0,117 4 0,011 0,088 0,200 0,251 0,205 5 0,001 0,026 0,103 0,201 0,246 6 0,000 0,006 0,037 0,111 0,205 7 0,000 0,001 0,009 0,042 0,117 8 0,000 0,000 0,001 0,011 0,044 9 0,000 0,000 0,000 0,002 0,010 10 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 n=15 pk 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0 0,206 0,035 0,005 0,000 0,000 1 0,343 0,132 0,031 0,005 0,000 2 0,267 0,231 0,092 0,022 0,003 3 0,129 0,250 0,170 0,063 0,014 4 0,043 0,188 0,219 0,127 0,042 5 0,010 0,103 0,206 0,186 0,092 6 0,002 0,043 0,147 0,207 0,153 7 0,000 0,014 0,081 0,177 0,196 8 0,000 0,003 0,035 0,118 0,196 9 0,000 0,001 0,012 0,061 0,153 10 0,000 0,000 0,003 0,024 0,092 11 0,000 0,000 0,001 0,007 0,042 12 0,000 0,000 0,000 0,002 0,014 13 0,000 0,000 0,000 0,000 0,003 14 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 15 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 n=20 pk 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0 0,122 0,012 0,001 0,000 0,000 1 0,270 0,058 0,007 0,000 0,000 2 0,285 0,137 0,028 0,003 0,000 3 0,190 0,205 0,072 0,012 0,001 4 0,090 0,218 0,130 0,035 0,005 5 0,032 0,175 0,179 0,075 0,015 6 0,009 0,109 0,192 0,124 0,037 7 0,002 0,055 0,164 0,166 0,074 8 0,000 0,022 0,114 0,180 0,120 9 0,000 0,007 0,065 0,160 0,160 10 0,000 0,002 0,031 0,117 0,176 11 0,000 0,000 0,012 0,071 0,160 12 0,000 0,000 0,004 0,036 0,120 13 0,000 0,000 0,001 0,015 0,074 14 0,000 0,000 0,000 0,005 0,037 15 0,000 0,000 0,000 0,001 0,015 16 0,000 0,000 0,000 0,000 0,005 17 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 18 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 19 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 20 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 Таблица 2. Пуассоновская случайная величина Po (λ). В таблице приведены значения пуассоновских вероятностей при некоторых значениях параметра k (количество «успехов» в «длинной»: n→∞ схеме Бернулли с «редкими»: p→0 успехами) и параметра λ (λ=np), а также значения суммы вида при некоторых значениях параметров λ и m (значения пуассоновских вероятностей и их сумм приведены с округлением до сотых долей единицы). Значения величины λk 0,5 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 0 0,61 0,37 0,14 0,05 0,02 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 1 0,30 0,37 0,27 0,15 0,07 0,03 0,01 0,01 0,00 0,00 2 0,08 0,18 0,27 0,22 0,15 0,08 0,04 0,02 0,01 0,00 3 0,01 0,06 0,18 0,22 0,20 0,14 0,09 0,05 0,03 0,01 4 0,00 0,02 0,09 0,17 0,20 0,18 0,13 0,09 0,06 0,03 5 0,00 0,00 0,04 0,10 0,16 0,18 0,16 0,13 0,09 0,06 6 0,00 0,00 0,01 0,05 0,10 0,15 0,16 0,15 0,12 0,09 7 0,00 0,00 0,00 0,02 0,06 0,10 0,14 0,15 0,14 0,12 8 0,00 0,00 0,00 0,01 0,03 0,07 0,10 0,13 0,14 0,13 9 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,04 0,07 0,10 0,12 0,13 10 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,02 0,04 0,07 0,10 0,12 11 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,02 0,05 0,07 0,10 12 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,03 0,05 0,07 13 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,01 0,03 0,05 14 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,02 0,03 15 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,02 16 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 17 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 18 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Значения величины λm 0,5 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 0 0,61 0,37 0,14 0,05 0,02 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 1 0,91 0,74 0,41 0,20 0,09 0,04 0,02 0,01 0,00 0,00 2 0,99 0,92 0,68 0,42 0,24 0,12 0,06 0,03 0,01 0,01 3 1,00 0,98 0,86 0,65 0,43 0,27 0,15 0,08 0,04 0,02 4 1,00 1,00 0,95 0,82 0,63 0,44 0,27 0,17 0,10 0,05 5 1,00 1,00 0,98 0,92 0,79 0,62 0,45 0,30 0,19 0,12 6 1,00 1,00 1,00 0,97 0,89 0,76 0,61 0,45 0,31 0,21 7 1,00 1,00 1,00 0,99 0,95 0,87 0,74 0,60 0,45 0,32 8 1,00 1,00 1,00 1,00 0,98 0,93 0,85 0,73 0,59 0,46 9 1,00 1,00 1,00 1,00 0,99 0,97 0,92 0,83 0,72 0,59 10 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,99 0,96 0,90 0,82 0,71 11 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,99 0,98 0,95 0,89 0,80 12 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,99 0,97 0,94 0,88 13 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,99 0,97 0,93 14 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,99 0,98 0,96 15 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,99 0,98 16 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,99 17 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,99 18 1,00 1,00 1,00 1,00