ТЕМА: «Типовые тригонометрические задания, используемые в вариантах ЕГЭ, технология их решения. Практический тренинг».В настоящее время в педагогической практике большое внимание уделяется вопросам подготовки учащихся к выпускным испытаниям в форме ЕГЭ. Как сделать обучение максимально развивающим мышление, как использовать все познавательные способности учащихся, как научить их быстро ориентироваться при решении текстовых задач – это те вопросы, которые находятся в центре внимания учителей математики выпускных классов. Тем более, в свете модернизации школьного образования результатами образования являются не только знания, умения и навыки, но и сформированность различных компетенций, т. е. умение делать перенос полученных знаний в жизненные ситуации, решать эти проблемные ситуации. При решении тестовых заданий от учащихся также требуется умение анализировать, сравнивать, обобщать, проводить аналогии. ЕГЭ по математике подразумевает решение двух задач. С одной стороны, проверку обязательного уровня усвоения выпускниками школы курса алгебры и начала анализа и, с другой стороны – отбор учащихся для последующего обучения в высших учебных заведениях. Успешность выполнения заданий работы на экзамене обусловлена не только хорошими знаниями по предмету, но и правильной подготовкой к этому испытанию. Известно, что задания по тригонометрии вызывают наибольшие затруднения у обучающихся при изучении курса математики и при выполнении заданий ЕГЭ. Без хорошего понимания тригонометрии обучающимся трудно понимать некоторые разделы алгебры, геометрии и физики, а также это необходимо для дальнейшего образования в ВУЗе. В этой связи хотелось бы проанализировать результаты сдачи ЕГЭ российскими школьниками и разобраться в тех причинах, которые не дают нам, учителям математики высокого положительного результата по решению типовых тригонометрических задач в процессе подготовки к сдаче ЕГЭ. В материалах ЕГЭ обычно встречаются 4 – 6 тригонометрических заданий (из 26), т. е. около 20% от общего числа всех заданий. Причём, в обязательном порядке даются задания на вычисление значений тригонометрических функций, преобразование выражений, решение уравнений. Также могут встречаться задания на решение неравенств, графиков тригонометрических функций и их свойств, задачи с параметрами, с модулем, смешанные уравнения (например, Cos x = x). В вариантах КИМ – 2008, как и в предыдущие годы, Часть1 (задания А1 – А10, В1 – В3) была направлена на проверку достижения выпускником уровня обязательной подготовки по курсу алгебры и начал анализа 10 – 11 классов (курс В) и, соответственно, содержала задания только базового уровня сложности. Успешного выполнения этих заданий было достаточно для получения положительной отметки «3». Часть 2 (задания В4 – В11, С1, С2) и Часть 3 (задания С3 – С5) были направлены на обеспечение последующей дифференциации более подготовленных обучающихся. В них были включены задания по алгебре и геометрии повышенного и высокого уровня сложности, в пяти из них (С1 – С5) требовалось записать полное решение. Результаты выполнения этих заданий позволяли не только выставить более высокие аттестационные отметки («4» и «5»), но и выявить тех выпускников, подготовка которых соответствует требованиям тех вузов, где математика изучается углублённо или интенсивно используется при изучении других предметов. Все варианты КИМ включали задания на тождественные преобразования выражений, содержащих тригонометрические выражения. В каждую из трёх частей работы были включены задания, в которых предполагалось проведение преобразований. Так, например, в заданиях базового уровня (Часть1) проверялось владение каким-либо одним из изученных свойств выражений или правил действий с ними. Ученик должен был применить свойство (правило) для конкретных значений переменной и сделать вычисления. Причём, условие задания явно указывало на вид математической деятельности, владение которым было необходимо продемонстрировать. В варианты КИМ было включено только одно задание повышенного уровня (Часть 2), где явно требовалось выполнить преобразование тригонометрических выражений, логарифмов или степеней. Заметим, что при его выполнении ученик должен был интегрировать знания из двух разделов курса алгебры: проверялось умение преобразовывать степени с одинаковыми основаниями, но при этом применять ещё либо формулы сокращённого умножения, либо тригонометрические формулы. Кроме этого задания, ещё в двух других заданиях повышенного уровня сложности преобразования различных видов выражений являлись одним из ключевых моментов решения задания. В вариантах КИМ были представлены преобразования всех видов выражений, изучаемых в старшей школе. В заданиях базового уровня сложности проверялись основные свойства различных выражений, в том числе и тригонометрических (преобразование с использованием основного тригонометрического тождества, определения тангенса, произведение тангенса и котангенса). Умение выполнять преобразования тригонометрических выражений проверялось заданиями типа: 1) Найти значение выражения: tgα ctgα sinα - 7, если sinα = 0,8 (63%) 2) Найти значение выражения: 2 + 4tgx cos²x, если sinx = 0,6 (46%)3) Найти значение выражения: 5sin²х – 1, если cos²х = 0,3 (38%)4) Найти значение выражения: 8cos²α – 2sin²α, если sinα = -0,2 (34%)5) Найти значение выражения: sinα, если cosα = - , ≤α≤П (38%)Как и во все предыдущие годы, самые низкие результаты показали выпускники при преобразовании тригонометрических выражений. Именно здесь ниже результаты даже тех выпускников, которые получили оценки «4» и «5» (68% - 86% и 93% - 98%), а также и выпускников, получивших оценку «3» (23% - 69%). Отметим, что среди выпускников, получивших оценку «2», только 1% -3% правильно выполнили приведенные задания. Заметим, что в зависимости от типов заданий имеется различный разброс результатов их выполнения. На базовом уровне проверялись три основные, наиболее отрабатываемые в ходе обучения формулы: - основное тригонометрическое тождество (и следствие из него – выражение синуса через косинус и наоборот), - определение тангенса (котангенса), - произведение тангенса и котангенса. Как видно их приведенных данных, наилучший результат показали при выполнении примера 1 (это задание стояло на первом месте в заданиях с кратким ответом базового уровня). Для его выполнения выпускники должны применить формулу и провести действие сложение (или вычитание) действительных чисел. Практически аналогичная ситуация в примере 2, где нужно было применить определение тангенса, а далее выполнить сложение (или вычитание) действительных чисел, но предварительно вторую компоненту нужно было возвести в квадрат. По-видимому, именно это простейшее вычисление, которое учатся выполнять с 5 - 6 классов, обусловило снижение результатов более чем на 20%. Остальные три задания проверяли умение найти значение (или его квадрат) одной из тригонометрических функций по другой. Анализируя полученные данные, следует отметить, что названное умение не освоено выпускниками. В сводной таблице приведены средние проценты выполнения заданий базового уровня сложности, проверяющие умение проводить тождественные преобразования различных выражений.^ Средние проценты выполнения заданий базового уровня сложности на тождественные преобразования. логарифмы тригонометрия степени корни Общие результаты 2008 84%,75%,75% 46%, 38% 85%, 85% 76%, 73% 2007 77,5%,80,1%,81,5% 54%, 52,9% 85,4%,86,4% 79%,85,4% Результаты получивших оценку «5» 2008 100%,100%,99% 96%, 94% 99%, 99% 99%, 99% 2007 99%,100%,100% 96%, 96% 99%, 99% 100%, 99% Результаты получивших оценку «3» 2008 94%, 84%, 81% 41%, 25% 92%, 94% 84%, 81% 2007 84%, 85%, 87% 45%, 46% 90%, 74% 85%, 93% Как видно из таблицы, средние проценты выполнения заданий базового уровня сложности, в основном, располагаются в промежутке от 75% до 85%. Исключение составляет раздел «Тригонометрия», где процент выполнения значительно ниже (около 38% -46%). В течение всех лет проведения ЕГЭ отмечается низкий уровень овладения разделом «Тригонометрия». Заметим, что ограничение в 2006 – 2007 г.г. списка формул, включаемых в контролируемое содержание, не принесло существенного повышения результатов овладения этим разделом. В 2008 году контролировались владение основным тригонометрическим тождеством и определением тангенса. Как видно из таблицы, этими двумя формулами владеют ≈ 38% - 46%, однако эти результаты значительно ниже границы усвоения (65%). Как и в предыдущие годы, практически все обучающиеся, получившие оценку «5», успешно справляются со всеми заданиями на преобразование выражений базового уровня. Учащиеся, получившие оценку «3», овладели контролируемыми результатами обучения по всем разделам, кроме раздела «Тригонометрия». Анализ ответов, выбираемых выпускниками при выполнении заданий с выбором ответа (А1 – А10), показывает, что из года в год они допускают одни и те же типичные ошибки. Нужно отметить, что причиной типичных ошибок, главным образом, является незнание тригонометрических формул. Кроме того, наблюдается большое число вычислительных ошибок.В заданиях повышенного уровня сложности выпускникам предлагалось применить факты из двух тем, в которых изучаются свойства выражений. Приведём примеры заданий. 1) Упростите выражение: (30,8%) 2) Вычислите значение выражения (36) (27%) Эти примеры оказались по силам тем, кто получил оценку «4» (справились соответственно 73% и 80% выпускников), и тем, кто получил оценку «5» (выполнили правильно эти примеры соответственно 93% и 94%). Менее успешно выполнили пример 2), где после возведения степени в степень требовалось преобразовать показатель степени, применяя формулы приведения (sin( - α) = cosα). По-видимому, главная проблема при выполнении этого задания состояла в том, чтобы в выражении sin выделить cos , который требуется для формулы синуса двойного аргумента. С этой проблемой успешно справились те, кто получил оценку «5» и «4» (90% и 63% соответственно). Т. о., со всеми предложенными заданиями повышенного уровня сложности на преобразование выражений успешно справляются хорошо и отлично подготовленные выпускники. Эти задания хорошо дифференцируют сильных учеников, с ними справляется незначительная часть учащихся, имеющих удовлетворительную оценку.Задания на решение уравнений и неравенств содержится в каждой из трёх частей вариантов КИМ. Набор типов уравнений и неравенств в вариантах КИМ является достаточно представительным. В заданиях базового уровня сложности также проверялись умениярешать тригонометрические уравнения. Например, простейшие уравнения (базовый уровень) были представлены заданиями типа: 1) Решите уравнение: cosх - = 0 (68%) 2) Решите уравнение: tg4х = 1 (67%) 3) Решите уравнение: sin = - (59%) 4) Решите уравнение: tg(х + ) = (47%) Сравнение результатов выполнения заданий, проверявших умение решать простейшие уравнения, в 2007 и 2008 г.г. показывает, что в 2008 г. практически по всем видам уравнений результаты ниже прошлогодних. Хуже решаются тригонометрические уравнения вида 3) и 4). Даже результаты хорошо и отлично подготовленных учеников ниже при выполнении этих примеров (90% и 85%). Для выпускников, получивших удовлетворительные оценки, эти уравнения оказались непосильными (справились 59% и 56% соответственно). Заметим, что 1/5 часть выпускников (18 -23%), получивших оценку «2», умеет решать простейшие тригонометрические уравнения. Среди различных методов решения уравнений базового уровня сложности в 2008 г. проверялось овладение методом разложения на множители (в тригонометрических и показательных уравнениях) при решении уравнений. Приведем пример задания. Решите уравнение: sin²3x + 5sin3x = 0 (53%) Анализ результатов выполнения этого задания показывает, что методом разложения на множители овладели хорошо подготовленные выпускники и отличники. Для выпускников, имеющих удовлетворительную подготовку, существенным оказался этот вид уравнения: с ним справились 46%. Как и с решением простейших уравнений, указанным выше методом овладевают 6% - 11% выпускников, получивших оценку «2». Такой процент выполнения данного тригонометрического уравнения, возможно, объясняется тем, что это задание было с выбором ответа. ^ Средние проценты выполнения заданий базового уровня на решение уравнений и неравенств.Тригонометрические уравнения: Общий результат: 2008г. – 67%, 2007г. – 70% Результат получивших оценку «5»: 2008г. – 99%, 2007г. – 99% Результат получивших оценку «3»: 2008г. – 68%, 2007г. – 72%Как видно из таблицы, средние проценты выполнения заданий базового уровня сложности, в основном, располагаются в промежутке от 65% до 80%. Сравнение результатов овладения указанными выше умениями в 2008 и 2007 г.г. показывает, что в 2008 г. они ниже прошлогодних.В заданиях повышенного уровня сложности с развёрнутым ответом предлагалось, например такие задания: 1) Найти все значения х, при каждом из которых выражения и принимают равные значения (10%) 2) Найдите количество целочисленных решений неравенства (17%) 3) Найдите количество целочисленных решений неравенства (19%) В задании 1) выпускникам предлагалась текстовая задача, в которой требовалось найти значения переменных, при которых равны значения указанных в условии выражений. Для ответа на поставленный вопрос нужно было решить составленное уравнение. С этим заданием справились только 10% выпускников (только отличники). Заданиями с кратким ответом впервые в вариантах КИМ на повышенном уровне проверялось умение решать неравенства. Заметим, что техническая составляющая решения неравенств была достаточно проста: воспользоваться условием положительности (отрицательности) дроби, учитывая, что значение её числителя (знаменателя) всегда положительны на области его определения. Фактически выпускникам предлагалось решить простейшие неравенства, трудность заключалась в том, что надо было учесть область определения выражения, представленного в записи левой части неравенства. Результат выполнения примеров низкий, т.к. область определения неравенства, например, в задании 3), «заявляет» о себе неявно. В этом примере знаменатель положителен при всех значениях х, для которых определён тангенс. По-видимому, выпускники заметили только, что знаменатель положителен, но не учли область определения тангенса.Задания на проверку функциональных представлений учащихся касались следующих вопросов: область определения и область значений функции, чётность (нечётность) и периодичность функций, промежутков возрастания и убывания, точки максимума (минимума), промежутки знакопостоянства, наибольшее (наименьшее) значение. В базовый уровень было включено следующее задание: Найдите множество значений функции у = sin2x +2 (61%) ^ Средний процент выполнения заданий базового уровня по разделу «Функция» Множество значений тригонометрических функций: Общие результаты: 2008г. - 61%, 2007г. – 75,7% Результаты получивших оценку «5»: 2008г. – 99%, 2007г. – 100% Результаты получивших оценку «3»: 2008г. – 55%, 2007г. – 94% Как неоднократно отмечалось, при проверке усвоения раздела "Тригонометрия" выпускники показывают самые низкие результаты: – при выполнении тождественных преобразований тригонометрических выражений, с которыми справляются только 44,7% - 54,1%, – при работе с простейшими тригонометрическими уравнениями, которые решают 67,7% – 70%. Как показывает опыт преподавания, успеха добиваются те учителя, которые в первую очередь заботятся о понимании учащимися изучаемого материала. В методике математики для обеспечения понимания пользуются различными интерпретациями понятий, «переводами» с одного языка на другой (например, с «алгебраического» языка на «геометрический» и наоборот), а также – математическими моделями. В тригонометрии появляются новые для учеников модели – числовая окружность и числовая окружность на координатной плоскости (в различных учебниках для 10-11 классов имеется различная терминология). Эта модель обеспечивает понимание не только вводимых определений (синуса числа и косинуса числа), но и облегчает прочное усвоение основных формул. В сегодняшних условиях перед учителями математики возникает вопрос: «Как мы можем помочь устранить некоторые пробелы в заданиях обучающихся и предостеречь их от возможных ошибок на ЕГЭ? Для решения этого вопроса надо добиваться от учащихся не формального усвоения программного материала, а его глубокого и осознанного понимания, развития скорости устных вычислений и преобразований, а также развития навыков решения простейших задач «в уме». Необходимо убеждать учеников в том, что лишь при наличии активной позиции, при изучении математики, при условии обретения практических умений, навыков и их использования, можно рассчитывать на реальный успех. Нужно использовать любую возможность для подготовки к ЕГЭ, в том числе и элективные курсы в 10-11-х классах, курсы по выбору в 9-х классах, регулярно проводить разбор сложных заданий с обучающимися, выбирая самый рациональный способ решения на уроках и дополнительных занятиях. Не мало важным залогом успеха на экзамене является систематическая самостоятельная работа учеников. В ходе тематического и итогового повторения курса математики учащиеся решают тесты самостоятельно, сравнивают ответы, а затем вместе с учителем разбирают ошибки, все возможные способы решения заданий и сравнивают их с различных точек зрения: стандартность и оригинальность, объём вычислительной работы, эстетическая и практическая ценность. Т.к. тестовая форма аттестации обладает весьма существенными особенностями, то предлагаю следующие рекомендации и советы для подготовки к ЕГЭ.^ Методические рекомендацииОсновная трудность, с которой встречаются учащиеся при решении тригонометрических уравнений и заданий на преобразование тригонометрических выражений, вычисление значений тригонометрических выражений связана с выбором метода решения и умением использовать тригонометрические формулы, а также свойства тригонометрических функций. Поэтому необходимо обратить внимание учащихся на поиск способа решения тригонометрических заданий, определение ориентиров, помогающих выбрать формулы, необходимые для выполнения тождественных преобразований. Часто при решении тригонометрических уравнений помогают свойства тригонометрических функций, а также метод оценки значений левой и правой частей уравнения. Для успешной работы по отработке основных приемов решения тригонометрических заданий необходима комплексная работа, включающая в себя следующие этапы: диагностика, тренинг, мониторинг, коррекция. Диагностика проводится с целью определения уровня знаний и умений учащихся по данной теме и выявлению пробелов и причин их возникновения. Результаты диагностики позволят спланировать дальнейшую работу с учетом индивидуальных особенностей учащихся. Работу по овладению учащимися приемами выполнения заданий базового уровня необходимо проводить с использованием дифференцированного подхода к обучению. Тренинг по решению задач можно проводить как в процессе изучения данной темы, так и в процессе подготовки к сдаче ЕГЭ. Тренинг по одному из видов заданий. Например, тренинг на знание и применение тригонометрических формул. Этот тренинг можно проводить в виде теста: а) Какую из данных формул нужно использовать при выполнении задания на преобразование данного выражения? б) Для выполнения каких заданий (из данного перечня) можно использовать данную формулу? в) Какая формула была использована для выполненного тождественного преобразования? После изучения всей темы нужно провести контрольную работу в виде теста, включающую основные задания, наиболее часто встречающиеся в тестах ЕГЭ. 2. В процессе подготовки к ЕГЭ в 10-11 классах тригонометрические задания можно включать в тестовые задания по другим темам, а также предлагать в качестве домашних заданий на повторение. Для расширения и углубления знаний и умений по теме «Тригонометрические функции и решение тригонометрических заданий» можно использовать занятия элективного курса. В нашей школе для учащихся 10-11 классов разработана программа элективного курса «Избранные задачи алгебры и геометрии», где одной из тем является тема «Тригонометрические уравнения и неравенства». Со многими приемами решения тригонометрических заданий учащиеся знакомятся при изучении основного курса математики, поэтому цель занятий элективного курса - научить учащихся выполнять анализ более сложных заданий, а также познакомить с новыми приемами решения уравнений и неравенств. При организации познавательной деятельности учащихся на занятиях элективного курса можно предложить использовать прием неоконченного решения задачи: в процессе коллективной или групповой работы учащиеся анализируют задание, намечают план его выполнения, а само решение выполняют самостоятельно дома. Этот прием позволяет увеличить объем изучаемого материала, а также способствует развитию познавательной активности учащихся. Если у ученика возникли трудности с самостоятельным выполнением этих заданий, он может обратиться за консультацией к учителю или своим товарищам. Следующее занятие можно начать с разбора заданий, вызвавших затруднения. Уровень современной техники позволяет выполнить эту работу очень быстро. Учащиеся могут принимать участие в подготовке небольших презентаций по изучаемому материалу. В качестве самостоятельной работы учащимся можно предложить написать небольшие рефераты по методам решения тригонометрических уравнений и неравенств. Примерные темы исследований. Тригонометрические тождества и методы их доказательства. Составление тригонометрических тождеств в процессе решения геометрических задач. Составление тригонометрических тождеств в процессе выполнения тождественных преобразований. Тригонометрические уравнения с параметрами. Решение уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции. Составление тригонометрических уравнений в процессе решения геометрических задач. Решение нестандартных тригонометрических уравнений.Таким образом, при обучении хорошо успевающих обучающихся нужно не только позаботиться об усвоении базовой составляющей курса алгебры и начал анализа, (усвоение изученных правил, формул, методов), но и о реализации одной из главных целей обучения математике – развитию мышления учащихся, в частности, математического мышления. Анализ вариантов КИМ, убедительно показывает, что задания повышенного (а тем более высокого) уровня сложности в полной мере проверяют такие качества мышления учащихся, как глубину, гибкость, самостоятельность и т.п. Но именно в этом и состоят проблемы в организации обучения школьных «хорошистов» и «отличников». Для их решения учителям нужно организовать целенаправленную работу на уроках математики. Очевидно, что учителям математики не отведут специального времени (или специальных уроков) на формирование математического мышления, поэтому данную проблему нужно решать на каждом уроке. Как отмечают специалисты, одним из основных путей развития мышления является решение проблемных задач. В этой связи встают два вопроса, какие задачи можно считать проблемными, как органично включать проблемные задачи в учебный материал по курсу алгебры и начал анализа? Постараемся ответить на эти вопросы. К проблемным задачам обычно относят те задачи, в которых – предполагается перестройка знакомых (изученных) способов решения, – проводится выбор рационального способа решения из возможных способов, – применяются известные методы для решения новых задач, – применяются изученные факты для решения реальных жизненных проблем и т.п. Приведу пример, используя задания, представленные в КИМ–2007. В разделе «Тригонометрия» рассматривается решение систем двух уравнений, одно из которых - тригонометрическое уравнение. В учебниках и пособиях для подготовки к экзаменам имеется много трудных, содержащих громоздкие преобразования и вычисления заданий, где требуется решить подобные системы. В КИМ-2007 в Части 2, где расположены задачи повышенного уровня сложности, была предложена следующая система: «Найдите значение выражения , если известно что ». Очевидно, что по своему внешнему виду система, вполне «привлекательна» для выпускников, поскольку она решается стандартным способом. Вместе с тем, если выпускник обратит внимание на необычное (нестандартное) требование задания, то для ответа на поставленный вопрос (при рациональном способе решения) он должен перестроить изученный способ решения. Таким образом, данную задачу с полным основанием можно отнести к проблемной. Замечу, что такие задания учитель может составить самостоятельно и активно включать в учебный процесс, так как они органично ложатся в канву изучаемого материала, а решение подобного задания способствует формированию гибкости мышления. Таким образом, очевидно, что при подборе соответствующих задач уроки математики обладают большими потенциальными возможностями для развития мышления обучающихся, а целенаправленная работа в этом направлении будет способствовать повышению качества математической подготовки обучающихся, получающих школьные оценки «4» и «5». Об организации учебного процесса в пояснительной записке к Программе по математике для средней школы говорится, что учебный процесс должен быть организован так, чтобы все учащиеся освоили материал курса на обязательном уровне и, кроме того, чтобы обучение способствовало «удовлетворению потребностей и запросов школьников, проявляющих интерес, склонности и способности к математике. Такие школьники должны получать индивидуальные задания (и в первую очередь нестандартные математические задачи), их следует привлекать к участию в математических кружках, олимпиадах, факультативных занятиях; желательно рекомендовать им дополнительную литературу». Для всевозможных дополнительных занятий (факультативов, кружков, практикумов, курсов и т.п.) и индивидуальных заданий (на уроке, в домашнем задании) полезно использовать пособия, содержащие задачи из вариантов ЕГЭ2. Отдельные задачи можно включать и в общую работу на уроке. Знакомство с ними расширит область нестандартных ситуаций применения изученных геометрических сведений. Однако при этом важно продумать и систему проверки решения этих задач, а также организацию консультативной помощи обучающимся по решению дополнительных задач. Таким образом, положительный результат в области решения типовых тригонометрических задач может быть достигнут, если учителя математики, будут, создавая хорошую базовую подготовку обучающихся, искать новые пути в решении открывшихся перед нами проблем, активно экспериментировать, применять современные педагогические технологии, методы, приёмы, создающие благоприятные условия для эффективной самореализации и самоопределения обучающихся в новых социальных условиях.^ Используемая литература:1. Методическое письмо«Об использовании результатов единого государственного экзамена 2007 года в преподавании математики в средней школе»Письмо подготовлено членами федеральной предметной комиссии по математике к. п. н. Л.О. Денищевой, к. п. н. Н.Б. Мельниковой, к. п. н. К.А. Краснянской на основе аналитического отчета «Результаты единого государственного экзамена 2007 года», размещенного на сайте ФИПИ (http://www.fipi.ru).2. ФИПИ, «Результаты единого государственного экзамена» (май – июнь 2008 года), Москва, 2008г. 3. Единый государственный экзамен: математика: Сборник заданий / [Л.О.Денищева, Г.К Безрукова, Е.М.Бойченко и др.] М-во образования и науки Рос.Федерации, Федерал. Служба по надзору в сфере образования и науки – М.:Просвещение, 2005, 2006.Единый государственный экзамен: математика: Контрольные измерительные материалы: 2006-2007. – М.:Просвещение, 2007.5. Математика: реальные варианты: ЕГЭ 2007-2008 /В.В.Кочагин и др. – М.:АСТ: Астрель, 2007.Муниципальное общеобразовательное учреждение лицей №2 Д О К Л А Д( с презентацией)на районном методическом объединении учителей математикиТЕМА: «Типовые тригонометрические задания, используемые в вариантах ЕГЭ, технология их решения. Практический тренинг».Андрияхина Елена Александровна, учитель математики, руководитель кафедры учителей математики, информатики, физики (МИФ) лицея №231 марта 2009 г.г. Павловский Посад 2 Единый государственный экзамен: математика: Сборник заданий / [Л.О.Денищева, Г.К Безрукова, Е.М.Бойченко и др.] М-во образования и науки Рос.Федерации, Федерал. служба по надзору в сфере образования и науки – М.:Просвещение, 2005, 2006.Единый государственный экзамен: математика: Контрольные измерительные материалы: 2006-2007. – М.:Просвещение, 2007.Математика: реальные варианты: ЕГЭ 2007-2008 /В.В.Кочагин и др. – М.:АСТ: Астрель, 2007.