§IV Інтерполювання функцій Приклад 1. За допомогою формули Лагранжа побудувати інтерполяційний многочлен для функції, що задана наступною таблицеюТаб. xi –2 –1 0 1 2 fi 3 –1 –1 3 –13 ^ Обчислити значення в точці x=0,5. Розв’язання. За формулою ЛагранжаДалі Приклад 2. Побудувати інтерполяційний многочлен за формулою Ньютона для функції, що задана таблицею (х), та обчислити значення в точці x=0,5. Розв’язання. Таблиця розділених різниць для цих даних має вигляд xi fi –2 3 –4 –1 –1 2 0 0 0 –1 2 –1 4 –4 1 3 –10 –16 2 –13 Тоді за формулою Ньютона.Далі. Приклад 3. За допомогою інтерполяції обчислити e0,15, якщо xi 0. 0.1 0.2 1 1,10517 1,22140 Оцінити похибку. Розв’язання. Позначимо . Тоді таблиця розділених різниць для даних в таблиці має вигляд xi fi 0 1,0 1,0517 0,1 1,105187 0,553 1,1623 0,2 1,22140 Томута.Оцінка для похибки буде мати вигляд,де . Тому. Приклад 4. За значеннями в точках знайти . Оцінити похибку. Розв’язання. Таблиця розділених рівнянь має вигляд xi fi 0 1,0 0 Приклад 5. а) Побудувати на проміжку [–1,1] многочлени Чебишева четвертого та п’ятого степеня з коефіцієнтом 1 при старшому степені. Обчислити їх відхилення від 0. Побудувати графіки. Розв’язання. За рекурентною формулоюзнаходимоШукані многочлени Чебишева мають вигляд.За формулою відхилення від нуля такі . б) ^ Побудувати на проміжку [0,1] многочлен Чебишева четвертого степеня з коефіцієнтом 1 при старшому степені. Обчислити її відхилення від 0. Розв’язання. У многочлені Чебишева(див. попередню задачу) зробимо заміну змінної.При a=0, b=1 маємо -2x-1. Тоді многочлен Чебишева для проміжку [0,1] має вигляд.Шуканий многочлен такий.Його відхилення від 0 дорівнює. Приклад 6. Оцінити похибку інтерполяції функції ex на[0,1] многочленом четвертого степеня побудованим за вузлами. Розв’язання. З оцінки залишкового члена інтерполяційної формули маємо. Приклад 7. Скільки чебишевських вузлів інтерполяції необхідно вибрати, щоб похибка інтерполяції для функції не перевищувала =10–4. Розв’язування. З оцінки залишкового члена інтерполяційної формули маємо.Далі.Тому n шукаємо з умови.Підстановкою знаходимо, що.Таким чином треба вибрати 6 чебишевських вузлів.