§ 1.Тема. Некоторые определения и обозначения. Определение.Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции. Если неизвестная функция зависит от одной переменной, то это обыкновенное дифференциальное уравнение, иначе - уравнение в частных производных. Определение.Наивысший порядок производных неизвестной функции, входящих в уравнение, называется порядком уравнения. Определение.Дифференциальное уравнение называется линейным, если производные и сама неизвестная функция входят в уравнение линейным образом.µ § (1)Пусть выбран любойµ §, где µ §, и его норма:µ §- дифференциальный оператор.µ § - запись линейного диф. уравнения с помощью диф. оператора. (2) Определение.Открытое, связное множество µ § называется областью.По умолчанию будем считать область ограниченной.Через µ §или µ § будем обозначать границу области. Определение.µ § - (n-1)-мерное многообразие S в µ § принадлежит классу µ § (µ §), если для µ § и µ § такие, что:µ §, где µ §µ § однозначно проектируется на плоскость µ §, при этом: D - проекция данного множества на плоскость µ §, µ § - k раз непрерывно дифференцируема в D по всем переменным.Можно разбить поверхность на части, в каждой части можно одну координату выразить через другие непрерывно дифференцируемой функцией.µ § - множество k раз непрерывно дифференцируемых функций в Q.µ § - множество k раз непрерывно дифференцируемых функций в µ §.µ §, аналогично µ §.µ § - множество финитных k раз непрерывно дифференцируемых функций.Аналогично: µ §.§ 2. Классификация линейных уравнений в частных производных второго порядка.µ §.µ § - матрица квадратичной формы.µ § - n вещественных собственных значений матрицы Aµ § - количество положительных собственных значений.µ § - количество отрицательных собственных значений.µ § - количество нулевых собственных значений с учетом кратности.1.Если µ §= n или µ §= n, то это эллиптическое уравнение.Ex: Уравнение Пуассонаµ §.2.Если µ § = n - 1, µ § = 1, или µ § = 1, µ § = n - 1, то уравнение гиперболическое.Ex: µ § - волновое уравнение.Для уравнения Лапласа:µ §Для волнового уравнения:µ §3.Если µ §, а µ §, то ультрагиперболическое уравнение.Ex: µ §.4.Если µ §, то параболическое уравнение.Ex: µ §, и - уравнение теплопроводности.µ § Определение.Каноническим видом линейного дифференциального уравнения в частных производных называется такой вид, когда матрица A является диагональной.^ Приведение к каноническому виду.1) y=y(x), то:µ §Уравнение (1) в новой системе координат:µ § (1')Матрица Якоби:µ §.В результате: µ § Ex: µ §гиперболическое уравнение.µ § - канонический вид волнового уравнения.Замечание: тип уравнения может быть различный в различных точках.§ 3.Постановка начальных и краевых задач для уравнений в частных производных.Задача Коши для волнового уравнения:µ § µ §Уравнение теплопроводностиµ § µ §Уравнение Пуассонаµ § Определение.Если малые изменения правой части уравнения приводят к большим изменениям в решении, то задача считается некорректной.µ § (6)µ § (7.1)µ § (7.2)µ § (7.3)(6)(7.1) - первая краевая задача, задача Дирихле.(6)(7.2) - вторая краевая задача, задача Неймана.(6)(7.3) - третья краевая задача.Волновое уравнение.µ § (8)µ § (9)µ § (10)µ § (11.1)µ § (11.2)µ § (11.3)(8) (9) (10) (11.1) - смешанные (11.2) задачи (11.3) (краевые задачи)µ § - единичный вектор внешней нормали к поверхности.На µ § задаются начальные условия.На боковой поверхности - краевые задачи.Параболическое уравнение.µ § (12)µ § (13)µ § (14.1)µ § (14.2)µ § (14.3)(12) (13) (14.1) - первая, вторая и третья смешанные задачи (14.2) для уравнения (14.3) теплопроводности.(14.1) - на границе задана температура;(14.2) - задан тепловой поток;(14.3) - задан теплообмен с окружающей средой.§ 4. Решение смешанных задач для волнового уравнения методом Фурье (разделением переменных). Первая смешанная задача.µ § (1)µ § (2)µ § (3)µ § (4)µ § (5)µ § (6)Собственные значения (5) - (6) вещественны, имеют конечную кратность.µ §µ § - изолир. µ §.µ § - ортонормированный базис в µ §.В симметричной матрице собственные вектора, соответствующие разным собственным значениям, попарно ортогональны.Пусть функции µ § - разложены по базису µ § µ §тогда и u(t,x) можно разложить по базису µ § : µ §Почленно дифференцируем ряд 2 раза:µ §µ § (7)Путём разложения решения в ряды по собственным функциям задачи алгебраизуем задачу, получаем счётное число обыкновенных дифференциальных уравнений.µ § (8)µ § (9)(7) (8) (9) - задача.Решим однородное уравнение для (7):µ § - общее решение однородного уравнения (7)µ §µ § (10)µ §В результате: µ § - частное решение неоднородного уравнения (7).µ § - общее решение уравнения (7).Подставим (8) и (9) в решение:µ §т.е. µ §. µ § Замечание: не обоснована сходимость рядов.§ 5.Решение смешанных задач уравнения теплопроводности методом Фурье (разделения переменных).µ § (1)µ § (2)µ § (3)µ § (4)µ § (5)µ § - собственные векторы и собственные значения.µ §µ § (6)µ §µ § - общее решение однородного уравнения (6)µ § - частное решение неоднородного уравнения (6)µ §µ § - общее решение уравнения (6).µ § µ § Рассмотрим функцию:µ §µ § - бесконечно дифференцируема при µ §.Если µ § из µ §, то:µ §µ §, и при µ § функция склеивается как бесконечно гладкая.µ §-финитная :µ §µ § - замыкание множества, где µ § отлична от 0.µ §.Введём µ § - функция n переменных.Свойства µ § :1) µ §- бесконечно дифференцируемая, финитная: µ §.2) µ § - замкнутый шар радиуса h с центром в O.µ §.3)µ §Доказательство.µ §, С находится из условия µ §.4) µ §.Обозначим: µ § µ §Интеграл по x бесконечно дифференцируем.Если µ §, то: µ §Носитель функции принадлежит области интегрирования, и: µ §.Если µ §, то µ § : µ §.Свойства функции µ §:µ §µ §µ §µ §µ § - срезающая функция.Пространство µ §. Определение.Пусть µ §. Назовём множество функций µ §, пространством µ §, если: - µ § - измеримы в Q; - µ § в смысле Лебега.Вводится µ §. Выполняются все аксиомы скалярного произведения.Утверждение (без доказательства).µ § - полное пространство.Вводится µ §. Свойства пространства µ §. Теорема 1.Множество финитных бесконечно дифференцируемых функций всюду плотно в пространстве µ § :µ §.Доказательство.Множество ступенчатых функций плотно в µ §.Множество линейных комбинаций характеристических функций всюду плотно в µ §.Доказать: любую характеристическую функцию измеримого множества можно сколь угодно точно аппроксимировать финитными функциями.Любое измеримое множество сколь угодно точно может быть аппроксимировано открытыми областями.Доказать: характеристическую функцию µ § можно сколь угодно точно аппроксимировать финитными бесконечно гладкими функциями. µ §Рассмотрим µ § - финитная, бесконечно дифференцируема в µ §.µ §Значит, µ §.µ §Аппроксимация получена. Теорема 2.Множество непрерывных функций всюду плотно в пространстве µ §.Определение 2.Пусть µ § и считается продолженной нулем вне Q µ §. Скажем:f - непрерывна в среднеквадратичном, если µ §:µ §.Теорема 3.Любая функция из µ § непрерывна в среднеквадратичном.Доказательство.Пусть µ §. Пусть µ §µ §Оценим: µ §При сдвиге supp сдвигается в пределах шара радиуса 2a.µ § µ §Теорема доказана. Определение 3.µ §µ § - бесконечно дифференцируема, финитна.Свойства:µ §µ § - осреднение функции f.Теорема 4.µ §Любая функция из µ § сколь угодно точно аппроксимируема своими осреднениями - бесконечно дифференцируемыми, финитными в µ §.Доказательство.µ §От Q к µ §, от µ § к µ §µ §При µ §.Возьмем любые две функции:µ § Определение.µ §- множество функций, принадлежащих µ § на любом компакте внутри области.µ § Определение 1.Пусть µ §µ § - обобщённая производная функции f, если µ § выполняется:µ § (1) Теорема 1.Обобщённая производная определяется единственным образом.Доказательство.Предположим противное: µ § - обобщённые производные функции f.µ § (2)µ § (3)(2),(3) - тождество для µ §µ § - что и требовалось доказать. Теорема 2.Обобщённые производные не зависят от порядка дифференцирования.Доказательство - из интегрального тождества (1).Примеры обобщённых производных.Ex 1.µ §По определению: µ §Пусть µ § и µ §µ § µ § Ex 2.µ §Покажем, что обобщённой производной не существует.Пусть µ §, то:µ §где µ §1) пусть µ § носитель в µ §, то :µ §2) пусть µ § : µ §, значит:µ §Вывод: µ §.µ §Вывод: µ §, не имеет обобщённой производной.Теорема 3.Пусть µ § имеет обобщённую производную µ §, то:1. µ § (4)µ §если µ §.2. Если к тому же µ §µ § (6)µ § (7)Доказательство.µ §Выберем h так, чтобы µ §µ §Подсказка: если функция финитна, то её носитель - внутри области.Если функцию умножить на срезающую, то ничего не изменится.Теорема 4.µ § Утверждение.Пусть µ §, то µ §µ §Пусть µ § - открытый компакт, то µ § для µ §µ §µ §Теорема 5.Пусть µ §. µ § имеет обобщённые производные µ § и µ §, тосуществует обобщённая производная µ §.^ Пространство Соболева. Определение.µ §, такая, что µ § называется пространством Соболева порядка k.µ §Обозначения: µ §, µ § или µ §.Введём µ §. Утверждение.µ § - гильбертово(унитарное, сепарабельное).Теорема 1.µ § - полное пространство.Доказательство.µ § - фундаментальная в µ § µ §µ §.µ § - мультииндексµ § - может быть равен 0.µ §µ § в µ §.µ § в µ §.Интегральное тождество для µ §:µ §Из сильной сходимости следует слабая:µ §µ §Вывод: пространство полное.Свойства пространств Соболева.1.µ § для µ §.2.Если µ §, то µ §.3.Если µ §, то µ §.4.Если µ §, тоµ §если µ §, то µ §.5.µ § - невырожденное, k раз непрерывно дифференцируемое преобразование, отображающее µ § в µ §.µ § и пусть µ §.Пусть µ §.Пусть µ §, то µ §. Утверждение.Невырожденная, гладкая замена переменных сохраняет принадлежность функции пространству Соболева.6.Обозначим µ § - куб со стороной 2a с центром в начале координат.Множество бесконечно дифференцируемых функций замыкания куба является всюду плотным в µ §.µ §.Доказательство.Раздвинем область, возьмём µ § и будем её аппроксимировать последовательностью бесконечно гладких функций.µ § (определена в растянутом кубе)µ §Оценим: µ §µ §Выберем µ § и рассмотрим µ §- переход от x к y,переход от y к x : µ §µ §Введём : µ § µ § если µ §µ §µ § на носителях µ § обратятся в 1.µ § Свойства оператора продолжения:1. F(x) - ограниченный оператор;2. Т.к. µ § - финитная, то F(x) - финитная на WДоказать: F(x)=f(x),если µ §.µ § Замечание.Теорема 1 остаётся справедливой для пространств µ § (следует из доказательства). Теорема 2.Пусть µ § - ограниченная областьµ § , µ §- всюду плотно в µ §.Доказательство. Рассмотрим произвольную функцию µ §.µ § - ограниченная.F-продолжение f. Так как F - финитная в W, то µ §µ §Сепарабельность пространств Соболева. Теорема.Пусть µ § - ограниченная область, µ §, тогда :µ § - сепарабельное.Построениe счётного всюду плотного множества.Доказательство. Рассмотрим µ § ; продолжение функции f : µ §.Аппроксимируем функцию F . Множество финитных, бесконечно дифференцируемых функций (в силу свойств осреднений) всюду плотно в пространстве финитных функций µ §.Очевидно : µ §.Где коэффициенты : µ §.Пусть H - сепарабельное гильбертово пространство. Определение.Функции µ § образуют ортонормированную систему, если µ § , и µ § . Утверждение.В каждом сепарабельном гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис, т.е. такая система µ § ,что µ §.Разложение по этому базису единственно, и : µ §. Равенство Парсеваля. µ §.Пространство µ § - сепарабельное гильбертово пространство с ортонормированным базисом : можно взять систему экспонент (нормированную).Разложение в сходящийся ряд :µ §Определим вид коэффициентов Фурье:µ §проинтегрируем по частям и получим :µ § , где µ §Получаем : µ § и следовательно :µ §F можно точно аппроксимировать линейными комбинациями экспонент.Искомое множество - линейное пространство экспонент с рациональными коэффициентами.След функции из Hk(Q).Для функции изµ § понятие значения на (n-1)- мерной поверхности не определено.Если µ § удовлетворяет условиям дифференцируемости, то :определение следа функции на (n-1)- мерной поверхности.Рассмотрим µ §µ § -ограниченную область, µ §.µ § - (n-1) - мерная поверхность, µ §.Пусть µ §µ §µ §Можно разбить на конечное число простых кусков, однозначно проецирующихся на координа тные плоскости и описывающиеся уравнением : µ §µ §µ §Для любой непрерывной функции след - её значение на поверхности, однозначно продолженое по непрерывности.µ §Так как f=0 вне области Q , то по формуле Ньютона-Лейбница :µ §Оценим :µ §Обе части умножим на µ § и проинтегрируем по D :µ §f- финитная.Так как µ § может быть продолжена в W µ § финитным образом,µ §, причём µ §µ §µ §Существует последовательность µ §µ §µ §Отсюда следует фундаментальность последовательности следов в µ §µ §- полное, следовательноµ § - сходится, µ §Перейдём к пределу, получим :µ § Утверждение.Определение µ § не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности µ §.Доказательство.Пусть есть две последовательности µ § в µ §.Пусть µ §.Следовательно, должны совпадать два предела в µ §.Рассмотримµ §Значит : µ §, и µ §.Если функция непрерывна в µ § и принадлежит µ §, то её понятие следа как значения непрерывной функции и как предела совпадают.^ Формула интегрирования по частям.Пусть Q- ограниченная, µ §.µ §, µ § - единичный вектор внешней нормали к µ §.^ Теорема Реллиха-Гординга.Если µ §, то µ §, если µ § сходится в µ §, то µ § сходится в µ §µ §.Пространство Соболева с большим показателем дифференцируемости k компактно вложено в ространство Соболева с меньшим показателем.Пусть µ §- ограничена, µ §, тогда : µ § - компактно вложено в µ §.Множества, ограниченные в µ §, являются предкомпактными в µ §. Определение. Предкомпактными называются такие множества, замыкания которых компактны.Из любой ограниченной последовательности функций из µ § можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся в µ §.Или : Для µ § можно выбрать µ § , сходящуюся в µ §.Доказательство.1. Продолжим функции µ § финитным образом в более широкую область W, µ §.µ §.Оператор продолжения ограничен, и : µ §.Т. к. множество финитных, бесконечно дифференцируемых функций всюду плотно в пространстве функций µ § с компактными носителями, то без ограничения общности рассуждений можно считать, что все функции µ § - бесконечно дифференцируемы в µ § .µ §- из неё будем выбирать сходящуюся подпоследовательность.Используем преобразование Фурье : µ §.µ §.В силу финитности : µ §Оценим по неравенству Коши-Буняковского: µ § Свойство. В гильбертовом пространстве из ограниченной последовательности можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность.µ § - слабо сходящаяся в µ § .µ § - сходящаяся для любой непрерывной линейной функции µ §.В качестве µ § возьмём функции :µ § - сходится µ §Докажем, что µ § - фундаментальна в µ §µ §µ §µ §µ §Так как последовательность µ § сходится для любых x и ограничена, то для интеграла µ § применяем теорему Лебега о предельном переходе под знаком интеграла, получаем :µ §µ §, где µ §- радиус шара.µ §исходя из теоремы Планшереля (в обратную сторону) и свойств преобразования Фурье :µ §Выбором R, интеграл µ § можносделать сколь угодно малым, т.е. :µ §.Если µ § и k,m - выбрать , то : µ § , и последовательностьµ § - фундаментальна.^ Формула интегрирования по частямµ § (1)µ §µ §- ограничена, µ §.µ § (2)µ §В уравнении (2) перейдем к пределу при µ §, получаем уравнение (1).Пространство µ § Определение.Назовём пространством µ §µ § замыкание пространства финитных непрерывно дифференцируемых функций в µ §.µ §- замыкание µ § в µ §.Если есть µ §, то :µ §.Если µ §, то µ §. Справедливо и обратное утверждение. Теорема.µ §.µ §- ограничена, µ §. Определение.Эквивалентные нормы.Пусть H - гильбертово пространство со скалярным произведением ( . , . ).Скалярное произведение µ §. , . µ § называется эквивалентным ( . , . ) , если :µ §µ §.Из эквивалентности скалярных произведений можно пользоваться любым. Теорема 2.В пространстве µ § можно ввести скалярное произведение по формуле : µ § (3)Доказательство.µ §Надо доказать :µ § (4)Доказательство от противного.µ §µ §Будем считать, что µ §, а это значит : µ §µ §µ § (по теореме Реллиха-Гординга)µ §µ §Имеем противоречие.Теорема доказана.^ Обобщенное решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона.µ §Пусть µ §- решение задачи (1)-(2). Возьмем µ § и умножим (1) на µ §, проинтегрируем и получим :µ §. Если µ §- гладкая, то :µ § (3) Определение.Функция µ § называется обобщенным решением задачи (1)-(2), если для любой функции µ § выполняется тождество (3).При исследовании обобщенных решений µ §. Лемма.Существует линейный ограниченный оператор µ §, такой, что µ §.При этом µ § -компактный самосопряжённый положительный оператор.По определению : µ §. µ § - антилинейный по µ §.µ §.f -ограничен, следовательно применим теорему Рисса :µ §F - линейно зависит от u.µ §µ §µ §.Компактность очевидна по теореме Реллиха-Гординга.µ §Самосопряженность доказана.µ § Теорема.Для любой функции µ § cуществует единственный µ § краевой задачи (1) (2). При этомµ § (4)Задача Дирихле для уравнения Пуассона корректна, т.е. существует единственное решение непрерывно зависящее от правой части.Доказательство.µ §^ Собственные значения и собственные функции оператора Лапласа.µ § Определение.Функция µ § называется обобщенной собственной функцией оператора -D с условиями Дирихле, соответствующей обобщенному собственному значению l, если она удовлетворяет следующему интегральному тождеству :µ §µ § (3) Теорема.1. Собственные значения задачи (1) (2), являются вещественными, положительными, изолированными, имеют конечную кратность, и :µ §2.Существует ортонормированный базис в µ § состоящий из собственных функций задачи (1) (2) µ §.3. µ § составляет ортонормированный базис в µ § с эквивалентным скалярным произведением :µ § (4)Доказательство.Интегральное тождество (3) можно записать в виде :µ § , µ § , µ §.Эквивалентная задача : µ § Теорема 1.Если µ § - линейный ограниченный самосопряженный оператор, тогда спектр µ § - вещественный, и :µ § Теорема 2.Пусть µ § - компактный, самосопряженный оператор, тогда µ § состоит из {0} и некоторого (конечного или счетного) множества изолированных собственных значений конечной кратности :µ §{0} всегда принадлежит спектру компактного оператора. Теорема 3.Пусть µ § - копактный, самосопряженный оператор, тогда существует ортонормированный базис в пространстве µ §, состоящий из собственных функций этого оператора : µ §.Для удобства µ §µ § ,µ §.Значит : µ § - ортонормированная система в µ §.Так как µ § всюду плотно в µ §, то µ § образует ортонормированный базис в µ §.µ §Значит : µ § образует ортонормированный базис в µ §.Рассмотрим задачу :µ § (1)где µ §Краевые условия : µ § (2)µ § (3)µ § (4)µ §µ § (5)µ § (6)µ § (7)µ § (8)µ § (9) Теорема 1.Если однородная краевая задача имеет единственное тривиальное решение, то неоднородное неоднородная краевая задача (1) (2) имеет единственное решение для µ §.2. Если (3) (4) имеет нетривиальное решение , то (1) (2) разрешима тогда и только тогда, когда µ § для любого w, являющегося решением (5) (6)3. Задачи (3) (4) и (5) (6) имеют одинаковое число линейно независимых решений.Теорема Фредгольма.Рассмотрим уравнения µ § (10)µ § (11)µ § (12)где I - единичный оператор в H, C - компактный оператор в H.1. Если однородное уравнение (11) имеет единственное тривиальное решение, то для µ § существует единственное решение уравнения (10).2. Если уравнение (11) имеет нетривиальное решение, то уравнение (10) разрешимо тогда и только тогда, когда µ §.3. µ §Оценим член : µ §µ §µ §µ § - компактно.µ § (13)µ § (14)Изучим член :µ §Значит : µ § (15)(1) (2) µ § (16)(3) (4) µ § (17)(5) (6) µ § (18)Доказана первая часть теоремы.Пусть (3) (4) имеет нетривиальное решение, тогда µ §Т.е. µ §Теорема доказана.^ Разложение решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона в ряд по собственным функциям.µ §- ограничено (1)µ § (2)µ § (3)µ § в µ §µ §µ §^ Конечноразностные операторы.Цель : Аппроксимация обобщенных производных конечноразностными операторами.µ §Пусть µ §- финитная в Q :µ § (1)Аналог формулы интегрирования по частям :µ §Обозначим : µ §. Теорема.Пусть µ §, тогда :1) если µ §, где µ §, то :µ § (3) и при этом :µ § (4)2) Если для µ §, то : µ §Доказательство.(1ая часть теоремы)Из теорем об аппроксимации функции f и её обобщённой производной осреднениями функции f и её обобщенной производной сооответственно следует, что достаточно доказать часть теоремы для финитной бесконечно диффреренцируемой функции.µ §µ § (3)µ § (4)µ §µ §µ § - доказано (3)µ § (применив неравенство Коши-Буняковского)µ §µ §По теореме Фубини имеем неравенство :µ §µ §Доказательство. (2-ая часть. )µ §Значит : µ §Доказательство теоремы 2. Пусть µ §µ §- ограниченная, односвязная область. µ §.Q - симметрично относительно µ §, т.е. если µ §, то µ §.µ §Обозначим :µ § Теорема 2.Пусть µ §, тогда :1) если µ §, где µ §, то :µ §2) если µ §, то : µ §Указание. Для доказательства рассмотреть :µ §По определению обобщённой производной в (1) получаем :µ § , тогда :µ §^ Локальная гладкость обобщённых решений.µ §µ § ограниченная.Обобщённое решение : µ §, µ § (3) Теорема 1. Для любого µ § обобщённое решение u задачи (1) (2) µ §независимо от гладкости границы, если правая часть из µ § , то обобщённое решение тоже гладко.Доказательство. µ §µ §µ §Достаточно доказать, что µ § в каждом из шаров : µ §.Обозначим µ §.В качестве v для (3) возьмём : µ §x - финитная, бесконечно дифференцируемая.µ §, v может быть использована как пробная :Подставим v в (3) :µ §(умножение u на срезающую функцию для локализации свойства в шаре )µ § (4)Введём конечноразностный оператор. Пусть µ §.µ §.µ § (5)Представим (5) в виде : µ §.Оценим : µ §По неравенству Коши-Буняковского :µ §µ §,где µ §.Подставляем в решение в качестве пробной функции :µ §Результат : µ §µ § (6)В силу 2-ой части теоремы 1 (см. стр. ...) : µ §.u имеет обощённые производные µ §.^ Обобщение Теоремы на случай произвольной гладкости правой части. Теорема 2.Пусть µ § - ограничена, µ § - обобщённое решение задачи (1) (2), тогда : µ §.^ Гладкость обобщённых решений эллиптических задач вблизи границ.µ § (1)µ § (2)µ §µ § (3) Теорема 1.Пусть µ § - ограниченная область : µ §µ § - обобщённое решение (1) (2), тогда µ §.Доказательство. µ §µ §Доказать, что µ §.Пусть в окрестности X и Y граница создаётся уравнением :µ §Не ограничивая общности рассуждений будем считать, что граница плоская.Введём срезающую функцию :µ §µ §Подставим v в (3), получим :µ § (4)Введём конечноразностный оператор. Пусть µ §.µ §.При этом : µ §.µ § (5)Представим (5) в виде : µ §. Через неравенство Коши-Буняковского, получим :µ §,где µ §.Подставляем в решение в качестве пробной функции :µ §µ § В силу 2-ой части теоремы 1 (см. стр. ...) : µ §.u имеет обощённые производные µ §. Лемма.Пусть µ § - обобщённое решение (1) (2), тогда :µ § - ограничена, следовательно u удовлетворяет уравнению (1) почти всюду в Q.Будем считать : µ §.µ §µ §Значит : µ §. Теорема 2.Пусть µ § - ограниченная область, µ § - обобщённое решение задачи (1) (2), тогда : µ §. Теорема "вложения" Соболева.µ §- ограниченная область, µ §, следовательно µ § -непрерывно вложено. Определение.Непрерывность оператора наложения - это µ § почти всюду в Q .µ § (1)Доказательство (теоремы). µ §, где µ §,если µ §, и :µ § (2)Доказательство (1) будет следовать из доказательства (2) и µ § (3)Пусть (3) доказана для любой финитной, гладкой µ § , то в этом случае теорема справедлива для µ §.µ §;µ §; следует фундаментальность :µ §µ §µ § (4)(Замечание. Предел в смысле почти всюду : µ § п.в.Остаётся доказать (3) для любых финитных, бесконечно дифференцируемых в W функций.µ §Преобразование Фурье : µ §,где µ §.µ §умножим и разделим на µ § и применим неравенство Коши-Буняковского.µ §µ §Докажем, что интеграл конечен :µ §µ §Где µ §.Теорема полностью доказана.^ Обобщённые и классические решения.µ § (1)µ § (2)Функция µ § - называется классическим решением задачи (1) (2), если она удовлетворяет уравнению (1) и краевым условиям (2). Теорема 1.Если µ §, то обобщённое решение µ § обладает следующими свойствами : µ §.Доказательство. Пусть µ §, тогда : µ § Теорема 2.Пусть µ § - ограниченная область;µ §, тогда обобщённое решение µ §.Доказательство. µ § Теорема 3.Пусть µ § - ограниченная область;µ §, тогда обобщённое решение µ § и является классическим решением задачи Дирихле для уравнения Пуассона.Доказательство. µ §, следовательно всюду в Q удовлетворяет уравнению (1) и условию (2). Теорема 4.Пусть µ § - обобщенная собственная функция оператора µ § с однородными условиями Дирихле, тогда: µ §.Доказательство.µ §Если µ §µ §По теореме вложения: µ §Задача Неймана для уравнения Пуассона.µ § Определение.Функция называется обобщенным решением задачи (1) (2), если:µ §Пусть µ § - ограниченная область. Теорема 1.Задача (1) (2) разрешима тогда и только тогда , когда правая часть уравнения (1) ортогональна константам, т.е: µ §. Лемма.Существует линейный ограниченный оператор , такой, что:1)µ §2) µ § - компактный, самосопряженный, положительный оператор.Доказательство - аналогично.µ §Рассмотрим однородное уравнение:для однородной задачи (1) (2) µ §имеет нетривиальное решение.По определению обобщенного решения : µ §µ §Теорема доказана.Рассмотрим уравнение:µ §µ § Теорема 2.1. Если задача (3) (4) имеет единственное решение, то задача (1) (2) также имеет единственное решение для µ §.2. Если задача (3) (4) имеет нетривиальное решение, то задача (1) (2) разрешима тогда и только тогда, когда µ § , где w - решение однородной сопряженной задачи.3. Размерности подпространств в решениях задач (3) (4) и (5) (6) совпадают и конечны.Задача Неймана:µ §Рассмотрим задачу на собственные значения:µ §Теорема 3.1. Собственные значения оператора Лапласа с "-" с условиями Неймана вещественные, конечнократные, неотрицательные и состоят из следующих чисел:µ §.2. Соответствующие собственные функции µ § составляют ортонормированный базис в µ §.3. µ § составляют ортонормированный базис в µ §.Доказательство.µ §Первая часть теоремы доказана.По Гильберту-Шмидту строится µ § - ортогональный базис в µ § и пусть µ §.µ §µ § - ортонормированный базис в µ §.Теорема 3 доказана.Задача Дирихле - однозначная разрешимость.Теорема 4 о гладкости решения задачи Неймана.Пусть µ § - правая часть уравнения. Пусть µ § - обобщенное решение задачи (1) (2), тогда: µ §Доказательство - аналогично теореме 3.Теорема 5.Пусть граница µ § ; пусть правая часть µ § . µ § - обобщенное решение задачи (1) (2), тогда: µ §.Теорема 6.Пусть граница µ § ; правая часть - µ § ; µ § - обобщенное решение задачи (1) (2), тогда: µ §.Доказательство.Обобщенное решение: µ § для µ ^ Единственность классического решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. µ § µ § (1)µ § µ § (2)µ § - это не гарантирует существование решения. µ § Теорема.Задача (1) (2) может иметь не более одного классического решения.Доказательство.Предположим противное: пусть есть два классических решения: µ §. Это значит:µ § µ § (3)µ § µ § (4)µ § µ § (5)µ § µ § (6)µ § µ § (7)µ § µ § (8)µ §Значит: µ § и µ §Следовательно, если существуют два решения, то они равны друг другу. Что и требовалось доказать.^ Обобщенные решения смешаной задачи для волнового уравнения.µ § µ § (1)µ § (2)µ § µ § (3)µ § µ § µ § (4) µ § µ § Обозначения: µ §; µ § . µ § µ § µ §µ §µ § : µ § , µ §Умножим обе части на v и проинтегрируем по цилиндру:µ §µ § (5)Хотя обобщенное решение - общее понятие, но классическое решение может не быть обобщенным. Определение.Обобщенное решение - функция u из µ § - называетсяобобщенным решением задачи (1)-(4), если µ § µ § и дляµ §, такого, что µ § и µ § выполняется интегральноетождество (5).Существование обобщенного решения первой смешанной задачи для волнового уравнения.µ § µ § (1)µ § (2)µ § µ § (3)µ § µ § µ § (4)µ §, µ § µ §µ § µ § (6)µ § (7)µ §- ограниченная область; µ §µ § µ §, µ §, ... , µ §µ § - базис,тогда: µ §µ §µ § где: µ §µ § По теореме Фубини:µ §µ §µ §(8) Теорема.µ § µ § µ § ряд (8) сходится в пространстве µ § и сумма этого ряда является обобщенным решением задачи (1)-(4). При этом имеет место оценка: µ § (9)Доказательство.Первый этап. Пусть: µ §Докажем, что тогда решение u(x,t) имеет вид:µ §µ § (10)µ § (11)µ § (12)µ §при почти всех t µ §.µ §Доказано: если µ § , то: µ § - решение.µ § Второй этап.µ §то: µ § -обобщенное решение смешанной задачи.Третий этап.Докажем, что решения смешанной задачи со специальной правой частью сходятся к обобщенному решению.Осуществляется предельный переход:Оценим µ § и их производные:µ §µ §Докажем, что последовательность фундаментальна.Пусть N>M ; рассмотрим :µ §µ §µ §Значит µ § -фундаментальная в µ § - полном , т.е. µ §.µ § Надо доказать, что u - обобщенное решение, если µ § -обобщенное решение.µ §µ § ; при переходе к пределу получим:µ §^ Единственность обобщенного решения первой смешанной задачи для волнового уравнения.µ § µ § (1)µ § (2)µ § µ § (3)µ § µ § (4)µ § µ § µ §µ §Теорема 1.Задача (1) - (4) может иметь не более одного обобщённого решения.Доказательство.Достаточно убедится, что однородная задача будет иметь единственное решение.µ §Возьмем: µ § где:µ § - произвольная, µ §.µ §Интегральное тождество приобретет следующий вид:µ §µ §Теорема доказана.^ Анизотропные пространства Соболева. Определение.Анизотропным пространством Соболева µ § называется множество функций µ §.Вводится скалярное произведение: µ § (1) Свойства пространств: Теорема.Пространство µ § -полно.Доказательство.Фундаментальная последовательность, переход к пределу в интегральном тождестве.Пусть µ § через µ §. Теорема 2.µ §Теорема 3.µ §-сепарабельно.Доказательство - продолжение функции до финитной.Теорема 4.µ § µ § всюду плотно в µ §. Возьмем µ §µ §µ § Теорема 5.Для µ § можно определить след : µ §µ § и при этом: µ §.Обобщенные решения смешанной задачи для уравнения теплопроводности.µ §µ § Определение.Обобщенное решение µ §- называется обобщенным решением задачи (1)-(3), если µ §: µ § выполняется интегральное тождество (4).^ Существование обобщенного решения первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности (метод Фурье, метод разделения переменных).µ §µ §- собственные значения;µ § - ортогональный базис в µ §;µ § - ортонормированный базис в µ §.Будем считать: µ §µ §при почти всех t интегрируема с квадратом в µ §.Равенство Парсеваля:µ § f-измерима и µ § по неравенству Гельдера. µ §.По теореме Лебега можно слева и справа проинтегрировать по t и поменять местами µ §.µ §Решение имеет вид:µ §Надо доказать сходимость в µ §.Теорема.µ § ряд (6) сходится в пространстве µ § к некоторой функции µ §, которая является обобщенным решением задачи (1)-(3). При этом:µ §